教學(xué)課件-復(fù)變函數(shù)

第一節(jié)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算三、小結(jié)與思考作業(yè)要求：作業(yè)統(tǒng)一用A4

紙做；每章講完后交作業(yè)，一共有六章，請(qǐng)大家認(rèn)真、獨(dú)立、按時(shí)地完成；請(qǐng)?jiān)诿繌堊鳂I(yè)紙的上方寫(xiě)好姓名和班級(jí)；2作業(yè)不要求抄寫(xiě)題目，但是要寫(xiě)明題號(hào)。第一章作業(yè)：1,3,4,7,10,11,15,16,18,19,21,233一、復(fù)數(shù)的概念1.虛數(shù)單位:對(duì)虛數(shù)單位的規(guī)定:4虛數(shù)單位的特性:……52.復(fù)數(shù):6例1解令7

兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等.

復(fù)數(shù)z等于0當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于0.說(shuō)明兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的大小,如果不全是實(shí)數(shù),就不能比較大小,也就是說(shuō),復(fù)數(shù)不能比較大小.8二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1.兩復(fù)數(shù)的和:2.兩復(fù)數(shù)的積:3.兩復(fù)數(shù)的商:94.共軛復(fù)數(shù):

實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱(chēng)為共軛復(fù)數(shù).例2解105.共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):以上各式證明略.11例3解12例4解13例5解14例6解15例7證16三、小結(jié)與思考

本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運(yùn)算.重點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算,它是本節(jié)課的重點(diǎn).思考題復(fù)數(shù)為什么不能比較大??？17思考題答案由此可見(jiàn),在復(fù)數(shù)中無(wú)法定義大小關(guān)系.放映結(jié)束，按Esc退出.第二節(jié)復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面二、復(fù)球面三、小結(jié)與思考19一、復(fù)平面1.復(fù)平面的定義202.復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值)顯然下列各式成立213.復(fù)數(shù)的輻角說(shuō)明輻角不確定.22輻角主值的定義:234.利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.245.復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)25利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式歐拉介紹6.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示26例1將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故三角表示式為27指數(shù)表示式為故三角表示式為指數(shù)表示式為28故三角表示式為指數(shù)表示式為29例2解(三角式)(指數(shù)式)30例3解31例4證32兩邊同時(shí)開(kāi)方得33例5證34兩邊平方,并化簡(jiǎn)得下面例子表明,很多平面圖形能用復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)表示;也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程(或不等式)來(lái)確定它所表示的平面圖形.35例6解所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為3637例7證38兩邊同時(shí)平方,39例8求下列方程所表示的曲線:解40化簡(jiǎn)后得41二、復(fù)球面1.球面與復(fù)平面的對(duì)應(yīng)42球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.我們可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大”與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng),記作.因而球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大的幾何表示.球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng),這樣的球面稱(chēng)為復(fù)球面.2.復(fù)球面的定義433.擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱(chēng)為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱(chēng)為有限復(fù)平面,或簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)平面.對(duì)于復(fù)數(shù)

來(lái)說(shuō),實(shí)部,虛部,輻角等概念均無(wú)意義,它的模規(guī)定為正無(wú)窮大.復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴(kuò)充復(fù)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來(lái).4445三、小結(jié)與思考學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有復(fù)數(shù)的模、輻角;復(fù)數(shù)的各種表示法.并且介紹了復(fù)平面、復(fù)球面和擴(kuò)充復(fù)平面.注意：為了用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，引入了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)．無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無(wú)窮大這個(gè)復(fù)數(shù)相對(duì)應(yīng),所謂無(wú)窮大是指模為正無(wú)窮大（輻角無(wú)意義）的唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)，不要與實(shí)數(shù)中的無(wú)窮大或正、負(fù)無(wú)窮大混為一談．46思考題是否任意復(fù)數(shù)都有輻角?思考題答案否.它的模為零而輻角不確定.資料下載郵箱：賬戶(hù)：scutfbhs@163.com密碼：scut201347LeonhardEulerBorn:15April1707inBasel,Switzerland

Died:18Sept1783inStPetersburg,Russia歐拉資料第三節(jié)復(fù)數(shù)的乘冪與方根一、乘積與商二、冪與根三、小結(jié)與思考49一、乘積與商定理一

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.證50兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為[證畢]51說(shuō)明由于輻角的多值性,兩端都是無(wú)窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集.對(duì)于左端的任一值,右端必有值與它相對(duì)應(yīng).例如，52由此可將結(jié)論推廣到n

個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況:53定理二

兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.證按照商的定義,[證畢]54例1解55例2解如圖所示,5657二、冪與根1.n次冪:58棣莫佛公式棣莫佛介紹推導(dǎo)過(guò)程如下:2.棣莫佛公式59根據(jù)棣莫佛公式,60當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時(shí),這些根又重復(fù)出現(xiàn).61從幾何上看,62例3解6364例4解65即66例5解即6768例6解故原方程可寫(xiě)成69故原方程的根為70例7證利用復(fù)數(shù)相等可知:71等式得證.72三、小結(jié)與思考

應(yīng)熟練掌握復(fù)數(shù)乘積與商的運(yùn)算.在各種形式中以三角形式、指數(shù)形式最為方便:

棣莫佛(deMoivre)公式放映結(jié)束，按Esc退出.73AbrahamdeMoivre棣莫佛資料Born:26May1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov1754inLondon,England第四節(jié)區(qū)域一、區(qū)域的概念二、單連通域與多連通域三、典型例題四、小結(jié)與思考75一、區(qū)域的概念1.鄰域:說(shuō)明762.去心鄰域:說(shuō)明773.內(nèi)點(diǎn):4.開(kāi)集:

如果G內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那末G稱(chēng)為開(kāi)集.785.區(qū)域:

如果平面點(diǎn)集D滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件,則稱(chēng)它為一個(gè)區(qū)域.(1)D是一個(gè)開(kāi)集；(2)D是連通的,就是說(shuō)D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來(lái).6.邊界點(diǎn)、邊界:

設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)P不屬于D,但在P

的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點(diǎn),這樣的P點(diǎn)我們稱(chēng)為D的邊界點(diǎn).79D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.說(shuō)明(1)區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.(2)區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域80以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界7.有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域:81(1)圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無(wú)界.82二、單連通域與多連通域1.連續(xù)曲線:平面曲線的復(fù)數(shù)表示:832.光滑曲線:

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱(chēng)為按段光滑曲線.843.簡(jiǎn)單曲線:

沒(méi)有重點(diǎn)的曲線C稱(chēng)為簡(jiǎn)單曲線(或若爾當(dāng)曲線).85換句話說(shuō),簡(jiǎn)單曲線自身不相交.簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì):

任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.內(nèi)部外部邊界86課堂練習(xí)判斷下列曲線是否為簡(jiǎn)單曲線?答案簡(jiǎn)單閉簡(jiǎn)單不閉不簡(jiǎn)單閉不簡(jiǎn)單不閉874.單連通域與多連通域的定義:

復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱(chēng)為單連通域.一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱(chēng)為多連通域.單連通域多連通域88三、典型例題例1

指明下列不等式所確定的區(qū)域,是有界的還是無(wú)界的,單連通的還是多連通的.解無(wú)界的單連通域(如圖).89是角形域,無(wú)界的單連通域(如圖).無(wú)界的多連通域.90表示到1,–1的距離之和為定值4的點(diǎn)的軌跡,是橢圓,有界的單連通域.91例2解

滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)集是什么,如果是區(qū)域,指出是單連通域還是多連通域?是一條平行于實(shí)軸的直線,不是區(qū)域.單連通域.92是多連通域.不是區(qū)域.9394單連通域.95四、小結(jié)與思考應(yīng)理解區(qū)域的有關(guān)概念:鄰域、去心鄰域、內(nèi)點(diǎn)、開(kāi)集、邊界點(diǎn)、邊界、區(qū)域、有界區(qū)域、無(wú)界區(qū)域理解單連通域與多連通域.放映結(jié)束，按Esc退出.第五節(jié)復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的定義二、映射的概念三、典型例題四、小結(jié)與思考9697一、復(fù)變函數(shù)的定義1.復(fù)變函數(shù)的定義:982.復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系:例如,99二、映射的概念(函數(shù)的幾何理解)1.引入:1002.映射的定義:101今后不再區(qū)別函數(shù)與映射.1023.兩個(gè)特殊的映射:103且是全同圖形.104105根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知,106(如下頁(yè)圖)107

將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個(gè)長(zhǎng)方形.108以原點(diǎn)為焦點(diǎn),開(kāi)口向左的拋物線.(圖中紅色曲線)以原點(diǎn)為焦點(diǎn),開(kāi)口向右的拋物線.(圖中藍(lán)色曲線)1094.反函數(shù)的定義:110解三、典型例題例1還是線段.111例1解112例1解仍是扇形域.113例2解114所以象的參數(shù)方程為115四、小結(jié)與思考

復(fù)變函數(shù)以及映射的概念是本章的一個(gè)重點(diǎn).注意：復(fù)變函數(shù)與一元實(shí)變函數(shù)的定義完全一樣,只要將后者定義中的“實(shí)數(shù)”換為“復(fù)數(shù)”即可.115思考題函數(shù)、映射、變換等名詞有無(wú)區(qū)別？答

在復(fù)變函數(shù)中,對(duì)“函數(shù)”、“映射”、“變換”等名詞的使用,沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別.只是函數(shù)一般是就數(shù)的對(duì)應(yīng)而言,而映射與變換一般是就點(diǎn)的對(duì)應(yīng)而言的.第六節(jié)復(fù)變函數(shù)的極限

和連續(xù)性一、函數(shù)的極限二、函數(shù)的連續(xù)性三、小結(jié)與思考117一、函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義:注意:1182.極限計(jì)算的定理定理一證根據(jù)極限的定義(1)必要性.119(2)充分性.120[證畢]說(shuō)明121定理二與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類(lèi)似.122例1證(一)123根據(jù)定理一可知,證(二)124125例2證126根據(jù)定理一可知,127二、函數(shù)的連續(xù)性1.連續(xù)的定義:128定理三例如,129定理四130特殊的:(1)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)(2)有理分式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的.131例3證132三、小結(jié)與思考

通過(guò)本課的學(xué)習(xí),熟悉復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性的運(yùn)算法則與性質(zhì).

注意:復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實(shí)變函數(shù)極限的定義雖然在形式上相同,但在實(shí)質(zhì)上有很大的差異,它較之后者的要求苛刻得多.133思考題思考題答案沒(méi)有關(guān)系.極限值都是相同的.第一節(jié)解析函數(shù)的概念一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分二、解析函數(shù)的概念三、小結(jié)與思考135一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.導(dǎo)數(shù)的定義:136在定義中應(yīng)注意:

易見(jiàn)：函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo)則在z0處一定連續(xù),但函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo).137例1解138例2解1391402.求導(dǎo)法則:

由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致,并且復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)中一樣,因而實(shí)變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái),且證明方法也是相同的.求導(dǎo)公式與法則:141142二、解析函數(shù)的概念1.解析函數(shù)的定義1432.奇點(diǎn)的定義根據(jù)定義可知:函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.但是,函數(shù)在一點(diǎn)處解析與在一點(diǎn)處可導(dǎo)是不等價(jià)的概念.即函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo),不一定在該點(diǎn)處解析.函數(shù)在一點(diǎn)處解析比在該點(diǎn)處可導(dǎo)的要求要高得多.144例3解由本節(jié)例1知:145146147例4解148定理以上定理的證明,可利用求導(dǎo)法則.149根據(jù)定理可知:(1)所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的.150三、小結(jié)與思考

理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分以及解析函數(shù)的概念;掌握連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系以及求導(dǎo)方法.

注意:復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與一元實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義在形式上完全一樣,它們的一些求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則也一樣,然而復(fù)變函數(shù)極限存在要求與z趨于零的方式無(wú)關(guān),這表明它在一點(diǎn)可導(dǎo)的條件比實(shí)變函數(shù)嚴(yán)格得多.151思考題思考題答案反之不對(duì).152第二章作業(yè)：P332，4，7，1012，14，16，18第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件一、主要定理二、典型例題三、小結(jié)與思考154一、主要定理定理一155證(1)必要性.156157(2)充分性.由于158159160[證畢]161162解析函數(shù)的判定方法:163二、典型例題例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解不滿(mǎn)足柯西－黎曼方程,164四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)指數(shù)函數(shù)165四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)166例2證167168例3解169課堂練習(xí)答案170例4證171參照以上例題可進(jìn)一步證明:172三、小結(jié)與思考

在本課中我們得到了一個(gè)重要結(jié)論—函數(shù)解析的充要條件:掌握并能靈活應(yīng)用柯西—黎曼方程.173思考題思考題答案174Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料175Riemann黎曼資料Born:17Sept1826inBreselenz,Hanover(nowGermany)

Died:20July1866inSelasca,Italy第三節(jié)初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)二、對(duì)數(shù)函數(shù)三、乘冪

ab與冪函數(shù)四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)六、小結(jié)與思考177一、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:178指數(shù)函數(shù)的定義等價(jià)于關(guān)系式:1792.加法定理證180181例1解182例2解求的輻角主值:183二、對(duì)數(shù)函數(shù)(多值函數(shù))1.定義184其余各值為特殊地,185例3解注意:在實(shí)變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù),而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.186例4解1872.性質(zhì)188證(3)[證畢]189三、乘冪與冪函數(shù)1.乘冪的定義注意:190191特殊情況:192193例5解答案課堂練習(xí)1942.冪函數(shù)的解析性它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,195它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,196四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1.三角函數(shù)的定義將兩式相加與相減,得現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況.197198有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).199(注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的)200其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義201例6解2022.雙曲函數(shù)的定義203它們的導(dǎo)數(shù)分別為并有如下公式:它們都是以為周期的周期函數(shù),204例7解205五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1.反三角函數(shù)的定義兩端取對(duì)數(shù)得206

同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù),重復(fù)以上步驟,可以得到它們的表達(dá)式:2.反雙曲函數(shù)的定義207例8解208六、小結(jié)與思考

復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣,它既保持了后者的某些基本性質(zhì),又有一些與后者不同的特性.如:1.指數(shù)函數(shù)具有周期性2.負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)的結(jié)論不再成立3.三角正弦與余弦不再具有有界性4.雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)209思考題

實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同?答

兩者在函數(shù)的奇偶性、周期性、可導(dǎo)性上是類(lèi)似的,而且導(dǎo)數(shù)的形式、加法定理、正余弦函數(shù)的平方和等公式也有相同的形式.

最大的區(qū)別是,實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)中,正余弦函數(shù)都是有界函數(shù),但在復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)中,第一節(jié)復(fù)變函數(shù)積分的概念一、積分的定義二、積分存在的條件及其計(jì)算法三、積分的性質(zhì)四、小結(jié)與思考211一、積分的定義1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱(chēng)為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,212簡(jiǎn)單閉曲線正向的定義:

簡(jiǎn)單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說(shuō)明:

在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.2132.積分的定義:214(215關(guān)于定義的說(shuō)明:216二、積分存在的條件及其計(jì)算法1.存在的條件記住如下重要公式217在形式上可以看成是公式218在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.2.積分的計(jì)算法219例1解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x220(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x221y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為222例2解積分路徑的參數(shù)方程為223例3解積分路徑的參數(shù)方程為224重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無(wú)關(guān).記??！225三、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類(lèi)似的性質(zhì).估值不等式226性質(zhì)(4)的證明兩端取極限得[證畢]227例4解根據(jù)估值不等式知228229四、小結(jié)與思考

本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì).應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.第三章作業(yè)：P542，4，5(4)，6(1),(3),(5),(7)，7(3)，9，10，11230思考題231思考題答案即為一元實(shí)函數(shù)的定積分.放映結(jié)束，按Esc退出.第二節(jié)柯西－古薩基本定理一、問(wèn)題的提出二、基本定理三、典型例題四、小結(jié)與思考233例

解直線方程為一、問(wèn)題的提出234此時(shí)積分與路線無(wú)關(guān).觀察上節(jié)例1,積分與路線有關(guān)。由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān),可能決定于被積函數(shù)的解析性.235二、基本定理柯西－古薩基本定理此定理也稱(chēng)為柯西積分定理.236三、典型例題例1解根據(jù)柯西－古薩定理,有237例2證由柯西－古薩定理,238由柯西－古薩定理,由上節(jié)例3可知,？239例3解根據(jù)柯西－古薩定理得240241四、小結(jié)與思考通過(guò)本課學(xué)習(xí),重點(diǎn)掌握柯西－古薩基本定理:并會(huì)利用該定理去計(jì)算一些較為復(fù)雜的積分.242最后一點(diǎn)注記柯西-古薩定理不能反過(guò)來(lái)用.放映結(jié)束，按Esc退出.243Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料244GoursatBorn:21May1858inLanzac,Lot,France

Died:25Nov1936inParis,France古薩資料第三節(jié)基本定理的推廣一、問(wèn)題的提出二、復(fù)合閉路定理三、典型例題復(fù)合閉路定理四、小結(jié)與思考246一、問(wèn)題的提出根據(jù)本章第一節(jié)例4可知,由此希望將基本定理推廣到多連域中.247二、復(fù)合閉路定理248三、典型例題例1解依題意知,249根據(jù)復(fù)合閉路定理,250例2解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,251例3解252由復(fù)合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來(lái)很方便,因?yàn)椴槐厥菆A,a也不必是圓的圓心,只要a在簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)即可.253例4解由上例可知254四、小結(jié)與思考本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理,掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點(diǎn).常用結(jié)論:255思考題復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用?要注意什么問(wèn)題?思考題答案利用復(fù)合閉路定理是計(jì)算沿閉曲線積分的最主要方法.使用復(fù)合閉路定理時(shí),要注意曲線的方向.第四節(jié)原函數(shù)與不定積分一、主要定理和定義二、典型例題三、小結(jié)與思考257一、主要定理和定義定理一由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),(如下頁(yè)圖)1.兩個(gè)主要定理:258259定理二證利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證.260由于積分與路線無(wú)關(guān),261262由積分的估值性質(zhì),263此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類(lèi)似.[證畢]2642.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:證265那末它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]2663.不定積分的定義:定理三(類(lèi)似于牛頓-萊布尼茲公式)267證根據(jù)柯西-古薩基本定理,[證畢]說(shuō)明:有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類(lèi)似的方法去計(jì)算.268二、典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,269例2解(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)270例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,271例3另解此方法使用了微積分中“分部積分法”272例4解利用分部積分法可得課堂練習(xí)答案273例5解274例6解所以積分與路線無(wú)關(guān),根據(jù)?！R公式:275三、小結(jié)與思考本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓—萊布尼茲公式.在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與《高等數(shù)學(xué)》中相關(guān)內(nèi)容相結(jié)合,更好的理解本課內(nèi)容.276思考題解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓–萊布尼茲公式與實(shí)函數(shù)定積分的牛頓–萊布尼茲公式有何異同?277思考題答案兩者的提法和結(jié)果是類(lèi)似的.兩者對(duì)函數(shù)的要求差異很大.放映結(jié)束，按Esc退出.第五節(jié)柯西積分公式一、柯西積分公式二、典型例題三、小結(jié)279一、柯西積分公式定理280關(guān)于柯西積分公式的說(shuō)明:(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.(這是解析函數(shù)的又一特征)(2)公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.281二、典型例題例1解282283例2解由柯西積分公式284例3解由柯西積分公式285例４解根據(jù)柯西積分公式知,286例5解287例5解288由閉路復(fù)合定理,得例5解289課堂練習(xí)答案290三、小結(jié)柯西積分公式是復(fù)積分計(jì)算中的重要公式,它的證明基于柯西–古薩基本定理,它的重要性在于:一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過(guò)積分表示,而這個(gè)可以作為研究解析函數(shù)的重要工具.柯西積分公式:第六節(jié)高階導(dǎo)數(shù)一、問(wèn)題的提出二、主要定理三、典型例題四、小結(jié)與思考292一、問(wèn)題的提出問(wèn)題:(1)解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)?(2)若有高階導(dǎo)數(shù),其定義和求法是否與實(shí)變函數(shù)相同?回答:(1)解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù).(2)高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示,這與實(shí)變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?293二、主要定理注記：該定理說(shuō)明解析函數(shù)具有各階導(dǎo)數(shù).應(yīng)用：不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.294三、典型例題例1解(1)295296根據(jù)復(fù)合閉路定理297298課堂練習(xí)答案299例4解300根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,301302例5(Morera定理)證依題意可知303參照本章第3節(jié)定理3,可證明因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),304四、小結(jié)與思考高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式.它表明了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結(jié)論,同時(shí)表明了解析函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.高階導(dǎo)數(shù)公式305思考題解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式說(shuō)明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何不同?思考題答案這一點(diǎn)與實(shí)變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別.一、復(fù)數(shù)列的極限二、級(jí)數(shù)的概念第一節(jié)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)三、典型例題四、小結(jié)與思考307一、復(fù)數(shù)列的極限1.定義記作3082.復(fù)數(shù)列收斂的條件：定理一定理一說(shuō)明:可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性.309課堂練習(xí):下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.310二、級(jí)數(shù)的概念1.定義表達(dá)式稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù).其最前面n

項(xiàng)的和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.部分和311收斂與發(fā)散說(shuō)明:與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是:3123132.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的條件定理二說(shuō)明

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題(定理二)314解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.課堂練習(xí)315必要條件重要結(jié)論:316不滿(mǎn)足必要條件,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.啟示:判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí),可先考察?級(jí)數(shù)發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷.3173.絕對(duì)收斂與條件收斂注意應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法則判定.定理三318非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱(chēng)為條件收斂級(jí)數(shù).如果

收斂,那末稱(chēng)級(jí)數(shù)

為絕對(duì)收斂.定義319下列數(shù)列是否收斂,如果收斂,求出其極限.而解

三、典型例題例1320解

所以數(shù)列發(fā)散.321例2解級(jí)數(shù)滿(mǎn)足必要條件,但322例3故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.因?yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知:解323故原級(jí)數(shù)收斂.所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.例4解324四、小結(jié)與思考通過(guò)本課的學(xué)習(xí),應(yīng)了解復(fù)數(shù)列的極限概念;熟悉復(fù)數(shù)列收斂及復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與絕對(duì)收斂的充要條件;理解復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散、絕對(duì)收斂與條件收斂的概念與性質(zhì).第二節(jié)冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)的斂散性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)四、典型例題五、小結(jié)與思考326或這種級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù).一、冪級(jí)數(shù)的概念327二、冪級(jí)數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級(jí)數(shù)在收斂,那末對(duì)的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散,那末對(duì)滿(mǎn)足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿(mǎn)足阿貝爾介紹328證由收斂的必要條件,有因而存在正數(shù)M,使對(duì)所有的n,329而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知:收斂.[證畢]3302.收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù),其收斂半徑的情況有三種:(1)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.331例如,級(jí)數(shù)對(duì)任意固定的z,從某個(gè)n開(kāi)始,總有于是有故該級(jí)數(shù)對(duì)任意的z均收斂.332(2)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.(3)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù).例如,級(jí)數(shù)通項(xiàng)不趨于零,如圖:故級(jí)數(shù)發(fā)散.333..收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.334答案:

冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問(wèn)題1:

在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意問(wèn)題2:冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?335例如,級(jí)數(shù):收斂圓周上無(wú)收斂點(diǎn);在收斂圓周上處處收斂.3363.收斂半徑的求法方法1:比值法(定理二):那末收斂半徑注意:存在且不為零.定理中極限337如果:即注意:存在且不為零.定理中極限(極限不存在),即338答案課堂練習(xí)試求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.339方法2:根值法(定理三)那末收斂半徑說(shuō)明:(與比值法相同)如果340三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1.冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算341定理四設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到,是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)

.(1)2.復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)342(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,簡(jiǎn)言之:在收斂圓內(nèi),冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析;冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分.(常用于求和函數(shù))即343四、典型例題例1

求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級(jí)數(shù)的部分和為344級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,收斂半徑為1,345例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時(shí)的情形)或解(1)因?yàn)?46所以收斂半徑即原級(jí)數(shù)在圓內(nèi)收斂,在圓外發(fā)散,收斂的級(jí)數(shù)所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周上,級(jí)數(shù)347說(shuō)明：在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),也有級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).原級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂.發(fā)散.原級(jí)數(shù)成為調(diào)和級(jí)數(shù)，(2)348例3求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項(xiàng)積分,得:所以349五、小結(jié)與思考

這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了冪級(jí)數(shù)的概念和阿貝爾定理等內(nèi)容，應(yīng)掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法和冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).350阿貝爾資料Born:5Aug1802inFrindoe(nearStavanger),Norway

Died:6April1829inFroland,NorwayNielsAbel第三節(jié)泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒定理二、將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)三、典型例題四、小結(jié)與思考五、泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用一、泰勒定理352其中這個(gè)級(jí)數(shù)稱(chēng)為泰勒級(jí)數(shù)，系數(shù)稱(chēng)為泰勒系數(shù)利用柯西積分公式證明（略）那末即因此,任何解析函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù),因而展開(kāi)式是唯一的.問(wèn)題1：展開(kāi)式是否唯一？354問(wèn)題2：“附近”到底是怎樣一個(gè)范圍？355問(wèn)題3：從形式上看復(fù)變函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)時(shí)弱得多，為什么？復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性和解析性要比實(shí)函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性強(qiáng)很多！356所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)數(shù)的實(shí)用范圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多.注意因?yàn)榻馕觯梢员ＷC無(wú)限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;二、將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)357常用方法:

直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開(kāi)定理計(jì)算系數(shù)358例如，故有359仿照上例,3602.間接展開(kāi)法:

借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開(kāi)式.間接法的優(yōu)點(diǎn):

不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔,使用范圍也更為廣泛.361例如，362附:常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式363三、典型例題364例1解365上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),366例2分析如圖,367即

將展開(kāi)式兩端沿C逐項(xiàng)積分,得解368例3

解369例4解370例5解四、小結(jié)與思考371理解泰勒展開(kāi)定理熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式掌握將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法，熟練準(zhǔn)確奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題奇函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含z的奇次冪項(xiàng),偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含z的偶次冪項(xiàng).思考題答案補(bǔ)充：泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用3721.解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性373補(bǔ)充：泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用3742.解析函數(shù)的唯一性定理3.解析函數(shù)的最大模原理3752，4(2)(4)，7(1)(3)(5)，1011(2)(4)(6)(8)，12(2)(4)(6)，16(1)(4)(7)，1718(3)(5)(7)，19(2)，21第四章作業(yè)P87泰勒資料376Born:18Aug1685inEdmonton,Middlesex,England

Died:29Dec1731inSomersetHouse,London,EnglandBrookTaylor第四節(jié)洛朗級(jí)數(shù)二、洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)定理三、函數(shù)的洛朗展開(kāi)式一、問(wèn)題的引入五、小結(jié)與思考四、典型例題378一、問(wèn)題的引入問(wèn)題:負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分解析部分同時(shí)收斂收斂379收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無(wú)公共部分,兩收斂域有公共部分R380結(jié)論:.常見(jiàn)的特殊圓環(huán)域:...381例如，都不解析,但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的.而2.問(wèn)題:在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開(kāi)成級(jí)數(shù)?382所以即內(nèi)可以展開(kāi)成級(jí)數(shù).也可以展開(kāi)成級(jí)數(shù)：383二、洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞

的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線.為洛朗系數(shù).384說(shuō)明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級(jí)數(shù).1)2)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開(kāi)為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù).定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的一般方法.385三、函數(shù)的洛朗展開(kāi)式常用方法:1.直接法2.間接法1.直接展開(kāi)法利用定理公式計(jì)算系數(shù)然后寫(xiě)出缺點(diǎn):計(jì)算往往很麻煩.386根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi).優(yōu)點(diǎn):簡(jiǎn)捷,快速.2.間接展開(kāi)法387四、典型例題例1解由定理知:其中388故由柯西–古薩基本定理知:由高階導(dǎo)數(shù)公式知:389另解本例中圓環(huán)域的中心z=0既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),390例2內(nèi)是處處解析的,試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).解391oxy139212oxy由且仍有3932oxy由此時(shí)394仍有395注意:奇點(diǎn)但卻不是函數(shù)的奇點(diǎn).本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項(xiàng)的說(shuō)明:1.函數(shù)在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中盡管含有的負(fù)冪項(xiàng),而且又是這些項(xiàng)的奇點(diǎn),但是可能是函數(shù)的奇點(diǎn),也可能的奇點(diǎn).不是3962.給定了函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)以后,函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開(kāi)式(包括泰勒展開(kāi)式作為它的特例).回答：不矛盾.朗展開(kāi)式是唯一的)問(wèn)題：這與洛朗展開(kāi)式的唯一性是否相矛盾?(唯一性

:指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛397解

例3398例4解399例5內(nèi)的洛朗展開(kāi)式.解400401402五、小結(jié)與思考

在這節(jié)課中,我們學(xué)習(xí)了洛朗展開(kāi)定理和函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)的方法.將函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn).403洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)有何關(guān)系?思考題

洛朗級(jí)數(shù)是一個(gè)雙邊冪級(jí)數(shù),其解析部分是一個(gè)普通冪級(jí)數(shù);思考題答案是一般與特殊的關(guān)系.洛朗級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是圓環(huán)域第四節(jié)孤立奇點(diǎn)一、孤立奇點(diǎn)的概念二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系三、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)四、小結(jié)與思考405一、孤立奇點(diǎn)的概念定義

如果函數(shù)在

不解析,但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱(chēng)為的孤立奇點(diǎn).例1是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).注意:

孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn),但奇點(diǎn)不一定是孤立奇點(diǎn).406例2

指出函數(shù)在點(diǎn)的奇點(diǎn)特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),的奇點(diǎn)存在,函數(shù)的奇點(diǎn)為總有不是孤立奇點(diǎn).所以407孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)依據(jù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類(lèi):1．可去奇點(diǎn)1．可去奇點(diǎn);2．極點(diǎn);3．本性奇點(diǎn).如果洛朗級(jí)數(shù)中不含

的負(fù)冪項(xiàng),那末孤立奇點(diǎn)

稱(chēng)為

的可去奇點(diǎn).1)定義408其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說(shuō)明:(1)(2)無(wú)論在是否有定義,補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析.4092)可去奇點(diǎn)的判定(1)由定義判斷:的洛朗級(jí)數(shù)無(wú)負(fù)在如果冪項(xiàng)則為的可去奇點(diǎn).(2)

判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點(diǎn).410如果補(bǔ)充定義:時(shí),那末在解析.例3中不含負(fù)冪項(xiàng),是的可去奇點(diǎn).411例4說(shuō)明為的可去奇點(diǎn).解

所以為的可去奇點(diǎn).無(wú)負(fù)冪項(xiàng)另解

的可去奇點(diǎn).為4122.極點(diǎn)

其中關(guān)于的最高冪為即級(jí)極點(diǎn).那末孤立奇點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的或?qū)懗?)定義

如果洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng),413說(shuō)明:1.2.特點(diǎn):(1)(2)的極點(diǎn),則為函數(shù)如果例5有理分式函數(shù)是二級(jí)極點(diǎn),是一級(jí)極點(diǎn).4142)極點(diǎn)的判定方法的負(fù)冪項(xiàng)為有的洛朗展開(kāi)式中含有限項(xiàng).在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且(1)由定義判別(2)由定義的等價(jià)形式判別(3)利用極限判斷

.415課堂練習(xí)求的奇點(diǎn),如果是極點(diǎn),指出它的級(jí)數(shù).答案416本性奇點(diǎn)3.如果洛朗級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多個(gè)那末孤立奇點(diǎn)稱(chēng)為的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng),例如，含有無(wú)窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng)特點(diǎn):

在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)不存在且不為同時(shí)不存在.417綜上所述:孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為無(wú)負(fù)冪項(xiàng)含無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為418二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1.零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱(chēng)為的

m級(jí)零點(diǎn).例6注意:

不恒等于零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.4192.零點(diǎn)的判定零點(diǎn)的充要條件是證

(必要性)由定義:設(shè)的泰勒展開(kāi)式為:如果在解析,那末為的級(jí)如果為的級(jí)零點(diǎn)420其中展開(kāi)式的前m項(xiàng)系數(shù)都為零,由泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)公式知:并且充分性證明略.421(1)由于知是的一級(jí)零點(diǎn).課堂練習(xí)是五級(jí)零點(diǎn),是二級(jí)零點(diǎn).知是的一級(jí)零點(diǎn).解

(2)由于答案例7求以下函數(shù)的零點(diǎn)及級(jí)數(shù):(1)(2)的零點(diǎn)及級(jí)數(shù).求4223.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定理如果是的m級(jí)極點(diǎn),那末就是的

m級(jí)零點(diǎn).反過(guò)來(lái)也成立.證如果是的m級(jí)極點(diǎn),則有當(dāng)時(shí),函數(shù)在解析且423由于只要令

那末的m級(jí)零點(diǎn).就是反之如果

的m級(jí)零點(diǎn),是那末當(dāng)時(shí),解析且所以是的m級(jí)極點(diǎn).424說(shuō)明此定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)便的方法.例8函數(shù)有些什么奇點(diǎn),如果是極點(diǎn),指出它的級(jí).解

函數(shù)的奇點(diǎn)是使的點(diǎn),這些奇點(diǎn)是是孤立奇點(diǎn).的一級(jí)極點(diǎn).即425解

解析且所以不是二級(jí)極點(diǎn),而是一級(jí)極點(diǎn).是的幾級(jí)極點(diǎn)?思考例9問(wèn)是的二級(jí)極點(diǎn)嗎?注意:不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論.426三、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)1.定義如果函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)解析,則稱(chēng)點(diǎn)為的孤立奇點(diǎn).Rxyo427令變換規(guī)定此變換將:映射為擴(kuò)充z平面擴(kuò)充t平面映射為映射為映射為428結(jié)論:

在去心鄰域內(nèi)對(duì)函數(shù)的研究在去心鄰域內(nèi)對(duì)函數(shù)的研究因?yàn)樵谌バ泥徲騼?nèi)是解析的,所以是的孤立奇點(diǎn).規(guī)定:

m級(jí)奇點(diǎn)或本性奇點(diǎn).的可去奇點(diǎn)、m級(jí)奇點(diǎn)或本性奇點(diǎn),如果t=0

是是的可去奇點(diǎn)、

那末就稱(chēng)點(diǎn)4291)不含正冪項(xiàng);2)含有有限多的正冪項(xiàng)且為最高正冪;3)含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng);那末是的1)可去奇點(diǎn);2)m級(jí)極點(diǎn);3)本性奇點(diǎn).判別法1(利用洛朗級(jí)數(shù)的特點(diǎn))2.判別方法:在內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中:如果430例10(1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式為:不含正冪項(xiàng)所以是的可去奇點(diǎn).(2)函數(shù)含有正冪項(xiàng)且z為最高正冪項(xiàng),所以是的m級(jí)極點(diǎn).431(3)函數(shù)的展開(kāi)式:含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng)所以是的本性奇點(diǎn).課堂練習(xí)的奇點(diǎn)及其類(lèi)型.說(shuō)出函數(shù)答案432判別法2:(利用極限特點(diǎn))如果極限1)存在且為有限值;2)無(wú)窮大;3)不存在且不為無(wú)窮大;那末是的1)可去奇點(diǎn);2)m級(jí)極點(diǎn);3)本性奇點(diǎn).433例11函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)有些什么類(lèi)型的奇點(diǎn)?如果是極點(diǎn),指出它的級(jí).解

函數(shù)除點(diǎn)外,所以這些點(diǎn)都是的一級(jí)零點(diǎn),故這些點(diǎn)中除1,-1,2外,都是的三級(jí)極點(diǎn).內(nèi)解析.在434所以那末是的可去奇點(diǎn).

因?yàn)?35不是的孤立奇點(diǎn).所以436四、小結(jié)與思考

理解孤立奇點(diǎn)的概念及其分類(lèi);掌握可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)與本性奇點(diǎn)的特征;熟悉零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系.思考題答案第一節(jié)留數(shù)理論一、留數(shù)的引入二、利用留數(shù)求積分三、在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)四、典型例題五、小結(jié)與思考438一、留數(shù)的引入設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn);內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù):在.的某去心鄰域鄰域內(nèi)包含的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線4390(基本結(jié)論)0(柯西-古薩基本定理)440定義

記作的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿內(nèi)包含的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線

C的積分的值除后所得的數(shù)稱(chēng)為以如果441二、利用留數(shù)求積分1.留數(shù)定理在區(qū)域

D內(nèi)除有限個(gè)孤外處處解析,C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,那末立奇點(diǎn)函數(shù)...442證[證畢]兩邊同時(shí)除以且...如圖4432.留數(shù)的計(jì)算方法(1)如果為的可去奇點(diǎn),如果為的一級(jí)極點(diǎn),那末規(guī)則1成洛朗級(jí)數(shù)求(2)如果為的本性奇點(diǎn),(3)如果為的極點(diǎn),則有如下計(jì)算規(guī)則展開(kāi)則需將444如果為的級(jí)極點(diǎn),規(guī)則2證那末445+(含有正冪的項(xiàng))兩邊求階導(dǎo)數(shù),[證畢]得446規(guī)則3

如果設(shè)及在都解析，證的一級(jí)零點(diǎn),為的一級(jí)極點(diǎn).為那末為的一級(jí)極點(diǎn),

且有447解析且在因此其中在解析且為的一級(jí)極點(diǎn),448三、在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)注意積分路線取順時(shí)針?lè)较蛘f(shuō)明記作1.定義設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，449.......證由留數(shù)定義有:(繞原點(diǎn)的并將內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線)包含在2.定理二如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那末在所有各奇點(diǎn)

(包括

點(diǎn))的留數(shù)的總和必等于零.[證畢]450說(shuō)明:由定理得(留數(shù)定理)計(jì)算積分計(jì)算無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).優(yōu)點(diǎn):使計(jì)算積分進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化.(避免了計(jì)算諸有限點(diǎn)處的留數(shù))4513.在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算規(guī)則4說(shuō)明:定理二和規(guī)則4提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法:

在很多情況下此法更為簡(jiǎn)單.452四、典型例題例1求在的留數(shù).解453例2

求在的