第38講-點(diǎn)差法與定比點(diǎn)差法(解析版)

加QQ309000116進(jìn)百度群內(nèi)容2000G分成20多類自動(dòng)更新永久服務(wù)第38講點(diǎn)差法與定比點(diǎn)差法參考答案與試題解析一．選擇題（共3小題）1．（2021?平頂山期末）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，．那么的取值范圍是A． B． C． D．或【解答】解：設(shè)，，，，線段的中點(diǎn)為，，，將，代入橢圓中，可得，，兩式相減可得，即，，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，即，解得，．故選：．2．（2021春?新余期末）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，則直線斜率是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，由，在橢圓上，則①，②，①②得：，由的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，，，直線的斜率，故選：．3．（2021春?桃城區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓內(nèi)有一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于、和、兩點(diǎn)，且滿足，，若變化時(shí)，直線的斜率總為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【解答】解：設(shè)，、，、，、，，由，即，，，則，，由，同理可得：，．則，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓方程作差可得：，由題意可得：，．則①，同理可得：，，②①②得：，，，則橢圓的離心率．故選：．二．填空題（共7小題）4．（2021?福田區(qū)校級(jí)期中）已知橢圓，一組平行直線的斜率是，當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)，這些直線被橢圓截得的線段的中點(diǎn)軌跡方程是．【解答】解：設(shè)這組平行直線的方程為，聯(lián)立，整理得，則，所以它們與橢圓交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，即這些點(diǎn)均在上，故答案為：．5．（2021?浙江）已知點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)，滿足，則當(dāng)5時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．【解答】解：設(shè)，，，，由，，可得，，即有，，又，即為，①，②①②得，可得，解得，，則，即有，即有時(shí)，有最大值4，即點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．故答案為：5．6．（2021?慈溪市校級(jí)期中）設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在橢圓上，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，．【解答】解：因?yàn)?，分別為橢圓的焦點(diǎn)，則，，，，設(shè)，，，．，，，解得，，點(diǎn)，在橢圓上，代入橢圓方程，解得，．，，．故答案為：，．7．（2021?長(zhǎng)寧區(qū)二模）設(shè)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上，且不是橢圓的頂點(diǎn)．若，且，則實(shí)數(shù)的值為1．【解答】解：因?yàn)椋?，所以，根?jù)橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形一定為平行四邊形，如圖：所以，所以，即，故答案為：1．8．（2021春?郫都區(qū)校級(jí)期中）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)和，且．點(diǎn)滿足，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為【解答】解：設(shè)，，，，，由，，，則，，即為，，相乘可得，①同理可得，②可得，即，化簡(jiǎn)可得，即，即的軌跡方程，可得的最小值為．故答案為：．9．（2021?惠農(nóng)區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，則直線斜率是．【解答】解：設(shè)，，，，則由已知可得：，，把，兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得：，兩式作差可得：，即，所以直線的斜率為，故答案為：．10．（2021?金山區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若弦恰好以點(diǎn)為中點(diǎn)，則直線的方程為．（寫(xiě)成一般式）【解答】解：設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，由，在橢圓上，則①，②，①②得：，由的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，，，由直線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式方程可知：，整理得：，故答案為：．三．解答題（共7小題）11．（2021?都勻市校級(jí)期末）已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)能否作一條直線，與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)是的中點(diǎn)？【解答】解：設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為或（1）當(dāng)存在時(shí)，有，，得（1）當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有△，，又方程（1）的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，又為線段的中點(diǎn)，即，．，使但使△因此當(dāng)時(shí)，方程（1）無(wú)實(shí)數(shù)解故過(guò)點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)、且為線段中點(diǎn)的直線不存在．（2）當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)但不滿足條件，綜上，符合條件的直線不存在．12．（2021?如皋市校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：設(shè)，，，，由題意設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立整理可得：，△，可得：，①且：，，所以，的中點(diǎn)，，由題意的坐標(biāo)在直線上，所以，整理可得：，由①得，整理可得：，解得或，即的范圍為：或．13．（2021?丹東期末）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．證明：，，成等差數(shù)列．【解答】解：（1）設(shè)，，，，，，兩式相減得：，又．，，；（2）．，即，為的右焦點(diǎn)，，．．，，由（1）可知：，所以，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入橢圓方程可得，或，，即，在軸上方，點(diǎn)在軸下方，即，，故點(diǎn)為，聯(lián)立方程，解得，，直線方程為，聯(lián)立方程，消去得：，，，即，設(shè)，由橢圓的離心率定義可得：，，，，，，成等差數(shù)列．14．（2021?浙江月考）如圖，已知橢圓，且滿足，拋物線，點(diǎn)是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（Ⅰ）若點(diǎn)，求橢圓及拋物線的方程；（Ⅱ）若橢圓的離心率為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)記為，若存在直線，使為線段的中點(diǎn)，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在拋物線上，可得，即，故拋物線的方程為；由在橢圓上，可得，又，，解得，，可得橢圓的方程為；（Ⅱ）橢圓的離心率為，則，又，，解得，，橢圓的方程為，由題意可得，，又為線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，，又，在橢圓上，可得①，②，①②可得，即，關(guān)于的方程有解，故△，解得，故，可得，的最大值為，當(dāng)，時(shí)取得．15．（2021?浙江）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，不同于．（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線使為線段的中點(diǎn)，求的最大值．【解答】解：（Ⅰ），則，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，，（Ⅱ）直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合，不滿足題意，設(shè)直線的方程為，，，，，，，由，消可得，△，即，，，，，，點(diǎn)在拋物線上，，，聯(lián)立，解得，，代入橢圓方程可得，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為．16．（2021?萬(wàn)州區(qū)模擬）如圖所示，離心率為的橢圓上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的距離的最大值為3，過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)、和、，且滿足，，其中為常數(shù)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交橢圓于、兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)，求直線的方程，并證明點(diǎn)平分線段．【解答】解：（Ⅰ）由題得，，聯(lián)立，解得，，，橢圓方程為（4分）（Ⅱ）方法一：設(shè)，，，，由可得．點(diǎn)在橢圓上，故整理得：（6分）又點(diǎn)在橢圓上可知，故有①由，同理可得：②②①得：，即（9分）又，故直線的方程為：，即．由可得：是的中點(diǎn)，即點(diǎn)平分線段（12分）（Ⅱ）方法二：，，，即在梯形中，設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，過(guò)作的平行線交，于點(diǎn)，與面積相等，，，三點(diǎn)共線（6分）設(shè)，，，，，兩式相減得，顯然，（否則垂直于軸，不在軸上，此時(shí)不可能垂直于軸保持與平行）且（否則平行于軸或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)，，三點(diǎn)不可能共線）設(shè)直線斜率為，直線斜率為，即①設(shè)直線斜率為，直線斜率為同理，，又，，即，，三點(diǎn)共線（8分），，，四點(diǎn)共線，，代入①得（9分）直線的方程為，即聯(lián)立得點(diǎn)平分線段（12分）17．（2021春?紹興校級(jí)期末）設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直