第2部分連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析培訓(xùn)課件

第2章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析

1/30/20251佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.1引言2.2微分方程式的建立和求解2.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.4沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.5卷積積分及其性質(zhì)2.6用算子符號(hào)表示微分方程1/30/20252佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院引言系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：

微分方程

方框圖連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)處理連續(xù)信號(hào)用微分方程來(lái)描述：系統(tǒng)的輸入與輸出之間通過它們時(shí)間函數(shù)及其對(duì)時(shí)間的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合聯(lián)系起來(lái)，不研究系統(tǒng)內(nèi)部其它信號(hào)的變化－－－輸入輸出法、端口描述法1/30/20253佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院系統(tǒng)分析的任務(wù)：給定系統(tǒng)模型和輸入信號(hào)求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。求響應(yīng)系統(tǒng)分析方法很多，系統(tǒng)時(shí)域分析法不通過任何變換，直接求解微分、積分方程；fyT[.]時(shí)域分析方法，直觀、物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換的基礎(chǔ)；1/30/20254佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院(2)電感L(3)電容C(4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關(guān)系等。2.結(jié)構(gòu)約束：KCL與KVL1/30/20256佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院[例]如圖所示電路，輸入激勵(lì)是電流源iS(t),試列出電流iL(t)及R1上電壓u1(t)為輸出響應(yīng)變量的方程式。1/30/20257佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院[解]由KVL，列出電壓方程對(duì)上式求導(dǎo)，考慮到（2-1）1/30/20258佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院根據(jù)KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))(2―2)整理上式后，可得(2―3)1/30/20259佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【例】圖中所示電路，試分別列出電流i1(t)、電流i2(t)和電壓uO(t)的數(shù)學(xué)模型。【解】1/30/202510佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院解此聯(lián)立方程，最后求得1/30/202511佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院1/30/202512佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院

2.1.2微分方程的經(jīng)典解

如果單輸入、單輸出線性非時(shí)變的激勵(lì)為f(t)，其全響應(yīng)為y(t)，則描述線性非時(shí)變系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)與響應(yīng)y(t)之間關(guān)系的是n階常系數(shù)線性微分方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即為齊次解yh(t)。非齊次方程的特解yp(t)y(t)=yh(t)+yp(t)1/30/202513佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院1.齊次解

齊次解滿足齊次微分方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0

由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知，該齊次微分方程的特征方程為

λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=01/30/202514佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院(1)特征根均為單根。如果幾個(gè)特征根都互不相同(即無(wú)重根)，則微分方程的齊次解(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)個(gè)根λγ+1，λγ+2，…，λn都是單根，則微分方程的齊次解1/30/202515佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院(3)特征根有一對(duì)單復(fù)根。即λ1,2=a±jb，則微分方程的齊次解yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt(4)特征根有一對(duì)m重復(fù)根。即共有m重λ1,2=a±jb的復(fù)根，則微分方程的齊次解1/30/202516佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【例】求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的齊次解。【解】由特征方程λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=-1，λ2=-2。因此該方程的齊次解yh(t)=c1e-t+c2e-2t

1/30/202517佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【例】求微分方程y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齊次解?！窘狻坑商卣鞣匠苔?+2λ+1=0解得二重根λ1=λ2=-1，因此該方程的齊次解yh(t)=c1e-t+c2te-t

1/30/202518佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【例】求微分方程y″(t)+y(t)=f(t)的齊次解。【解】由特征方程λ2+1=0解得特征根是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)λ1,2=±j因此，該方程的齊次解yh(t)=c1cost+c2sint1/30/202519佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.特解特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。表中列出了幾種類型的激勵(lì)函數(shù)f(t)及其所對(duì)應(yīng)的特征解yp(t)。選定特解后，將它代入到原微分方程，求出其待定系數(shù)Pi，就可得出特解。1/30/202520佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院激勵(lì)函數(shù)及所對(duì)應(yīng)的解1/30/202521佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【例】若輸入激勵(lì)f(t)=e-t，試求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的特解。將特解yp(t)代入微分方程，有【解】查表，因?yàn)閒(t)=e-t，α=-1與一個(gè)特征根λ1=-1相同，因此該方程的特解1/30/202522佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院3.完全解

完全解是齊次解與特解之和，如果微分方程的特征根全為單根，則微分方程的全解為

當(dāng)特征根中λ1為γ重根，而其余(n-γ)個(gè)根均為單根時(shí)，方程的全解為1/30/202523佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院如果微分方程的特征根都是單根，則方程的完全解為將給定的初始條件分別代入到式中及其各階導(dǎo)數(shù)，可得方程組y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0)y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0)…y(n-1)(0)=λn-11c1+λn-12c2+…+λn-1ncn+y(n-1)p(0)

1/30/202524佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【例】描述某線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)，已知系統(tǒng)的初始條件是y(0)=y′(0)=0，輸入激勵(lì)f(t)=e-tu(t)，試求全響應(yīng)y(t)?！窘狻吭谇懊嬉亚蟮迷摲匠痰凝R次解和特解，它們分別是yh(t)=c1e-t+c2e-2t

yp(t)=te-t

因此，完全解是y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t

1/30/202525佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院由初始條件y(0)=y′(0)=0，有y(0)=c1+c2=0y′(0)=-c1-2c2+1=0解得c1=-1，c2=1，所以，全響應(yīng)為y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)·u(t)1/30/202526佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院1/30/202527佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.3起始點(diǎn)的跳變－－從0-到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換把響應(yīng)區(qū)間確定為激勵(lì)信號(hào)e(t)加入之后系統(tǒng)狀態(tài)變化區(qū)間。一般激勵(lì)都是從t=0時(shí)刻加入，這樣的系統(tǒng)區(qū)間定義為0+

t<

如果系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入之前瞬間有一組狀態(tài)，系統(tǒng)的起始狀態(tài)（0_狀態(tài)），它包含未來(lái)響應(yīng)的“過去”信息在激勵(lì)的作用下，這組狀態(tài)從t=0_到t=0+時(shí)刻可能發(fā)生變化1/30/202528佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院在電路分析中，為確定初始條件，常常利用系統(tǒng)內(nèi)部?jī)?chǔ)能的連續(xù)性，即電容上電荷的連續(xù)性和電感中磁鏈的連續(xù)性。

當(dāng)電路中沒有沖激電流（或階躍電壓）強(qiáng)迫作用于電容；當(dāng)電路中沒有沖激電壓（或階躍電流）強(qiáng)迫作用于電感；有

則換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變。有1/30/202529佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【例】如圖所示，t<0開關(guān)S處于1的位置而且已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)；當(dāng)t=0時(shí),S由1轉(zhuǎn)向2。建立電流I(t)的微分方程并求解I(t)在t0+時(shí)的變化。＋－R1＝1

L＝1/4HC＝1Fe(t)=4ve(t)=2ViL(t)＋－R2＝3/2

ic(t)i(t)S211/30/202530佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【解】（1）列出電路的微分方程列出回路方程列結(jié)點(diǎn)方程1/30/202531佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院消去變量Vc(t)消去變量IL(t)1/30/202532佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院(2)求系統(tǒng)的完全響應(yīng)完全解＝齊次解＋特解齊次解特征方程為：特征根為：齊次解為：1/30/202533佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院特解：由于t0+時(shí),e(t)=4V右端為4X4，令特解為Ip（t）＝B即10B＝4X4，B＝8/5完全響應(yīng)為1/30/202534佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院(3)確定換路后的I(0+)和di(0+)/dt換路前1/30/202535佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院換路后的I(0+)和di(0+)/dt換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變1/30/202536佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院(4)求解I(t)在t0+時(shí)的完全響應(yīng)由解得1/30/202537佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院要求的完全響應(yīng)為1/30/202538佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【例】如圖所示的電路，已知L=2H，C=0.25F，R1=1Ω，R2=5Ω；電容上初始電壓uC(0-)=3V,電感初始電流iL(0-)=1A；激勵(lì)電流源iＳ(t)是單位階躍函數(shù)，即iＳ(t)=u(t)A。試求電感電流iL(t)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。u(t)＋－uC(t)＋－LiS(t)iL(t)R1R2C1/30/202539佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院u(0)＋－＋－R1R2uCx(0＋)iLx(0＋)Lx＋3V1AiS(0＋)R1R2iLf(0＋)uLf(0＋)＋－uC(t)＋－uL(t)＋－iS(t)iL(t)R1R2C1/30/202540佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【解】若以iL(t)為輸出變量，已知其微分方程為將各元件數(shù)值代入得1/30/202541佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院(1)零輸入響應(yīng)。當(dāng)輸入為零時(shí)，電感電流的零輸入應(yīng)滿足齊次方程其特征根λ1=-1，λ2=-2，因此零輸入響應(yīng)已知iLx(0+)=1A，由KVL：再由可得1/30/202542佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院解得，故而1/30/202543佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院(2)零狀態(tài)響應(yīng)。輸入iS(t)=u(t)A。在t>0時(shí)，iS(t)=1A，代入零狀態(tài)響應(yīng)方程其齊次解為cf1e-t+cf2e-2t，特解yp(t)=P0。代入原微分方程得P0=1，所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)iLf(t)=cf1e-t+cf2e-2t+1(t≥0)1/30/202544佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院已知iLf(0+)=0，且有解得1/30/202545佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.2.3初始狀態(tài)等效為信號(hào)源引入奇異函數(shù)概念之后，我們進(jìn)一步討論電容和電感上電壓和電流的關(guān)系。在任意時(shí)刻t，電容端口電壓uC(t)與電容電流iＣ(t)的關(guān)系是

如果選初始時(shí)刻為t=0，那么，在t>0的任意時(shí)刻，上式可寫為1/30/202546佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院式中u(t)為單位階躍信號(hào)。積分下限取0-是考慮到iC(t)可能包括沖激信號(hào)(t=0時(shí)的沖激)。如果iC(t)不包含沖激信號(hào)，即iC(t)連續(xù)有界，則可不必區(qū)分0-與0+。

或?qū)憺?/30/202547佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院＋－uC(t)uC(0－)＋－iC(t)C(a)＋－uC(t)uC(0－)u(t)iC(t)C＋－iC(t)CuC(t)＋－CuC(0－)d(t)ttuCd)(dC(b)(c)圖三個(gè)電路對(duì)于端口電壓uC(t)和電流iC(t)來(lái)說是互相等效的。1/30/202548佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院將式求導(dǎo)數(shù)并乘以C，得移項(xiàng)，有1/30/202549佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院同理，對(duì)于電感L，也有對(duì)偶的等效公式和等效電路模型圖如圖所示：uL(t)iL(t)iL(0－)L＋－(a)LiL(t)uL(t)iL(0－)u(t)＋－L＋－iL(t)＋－uL(t)LuL(0－)d((b)(c)1/30/202550佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院

沖激函數(shù)平衡（匹配）法系統(tǒng)的0_到0+狀態(tài)有無(wú)發(fā)生跳變，決定于微分方程右端是否包含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)。沖激平衡法是指為保持系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程式的恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號(hào)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)必須相等。根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。若微分方程右端是包含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，說明0_到0+狀態(tài)發(fā)生跳變，1/30/202551佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【例】已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。1/30/202552佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【解】根據(jù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的定義，當(dāng)f(t)=δ(t)時(shí)，即為h(t)，即原動(dòng)態(tài)方程式為由于動(dòng)態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號(hào)δ(t)，為了保持動(dòng)態(tài)方程式的左右平衡，等式左側(cè)也必須含有δ(t)。這樣沖激響應(yīng)h(t)必為Aeλtu(t)的形式?？紤]到該動(dòng)態(tài)方程的特征方程為1/30/202553佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院特征根λ1=-3，因此可設(shè)h(t)=Ae-3tu(t)，式中A為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式有即解得A=2，因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為1/30/202554佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院求導(dǎo)后，對(duì)含有δ(t)的項(xiàng)利用沖激信號(hào)δ(t)的取樣特性進(jìn)行化簡(jiǎn)，即1/30/202555佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―12已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解由原方程可得1/30/202556佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院由于動(dòng)態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號(hào)δ′(t)，為了保持動(dòng)態(tài)方程式的左右平衡，等式左側(cè)h(t)最高次h′(t)也必須含有δ′(t)。這樣，沖激響應(yīng)h(t)必含有δ(t)項(xiàng)?？紤]到動(dòng)態(tài)方程式的特征方程為特征根為λ1=-6，因此設(shè)式中A、B為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式有1/30/202557佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院解得即因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為1/30/202558佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―13已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解由原方程可得考慮到該動(dòng)態(tài)方程的特征方程為λ2+3λ+2=0，特征根λ1=-1，λ2=-2，因此設(shè)1/30/202559佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院式中A、B為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式，解得A=1，B=1。因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為1/30/202560佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―14RLC串聯(lián)電路如圖2.16所示。R=3Ω，L=0.5H，C=0.25F，電路輸入激勵(lì)為單位沖激電壓δ(t)。電路的初始狀態(tài)為零，試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)電容電壓uC(t)解由KVL由VAR即有1/30/202561佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.16RLC串聯(lián)電路1/30/202562佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院考慮到該動(dòng)態(tài)方程的特征方程為代入R、L、C元件參數(shù)值并化簡(jiǎn)得特征根因此設(shè)1/30/202563佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院式中A、B為待定系數(shù)。則有u′C(t)=(-2Ae-2t-4Be-4t)u(t)+(A+B)δ(t)u″C(t)=(4Ae-2t+16Be-4t)u(t)-(2A+4B)δ(t)+(A+B)δ′(t)將u″C(t),u′C(t)及u(t)代入原動(dòng)態(tài)方程式解得A=4，B=-4因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)電容電壓為uC(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t)1/30/202564佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式兩邊沖激信號(hào)的平衡來(lái)設(shè)定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)時(shí)，若等式左邊求導(dǎo)的最高階次為n次，等式右邊求導(dǎo)的最高階次為m次，且動(dòng)態(tài)方程的特征方程的特征根全為單根時(shí)，則有(2―46)(2―47)n>m時(shí)，n=m時(shí)，1/30/202565佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院在零輸入條件下，等式右端均為零，化為齊次方程。y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)若其特征根全為單根，則其零輸入響應(yīng)式中cxi為待定常數(shù)。若系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能為零，亦即初始狀態(tài)為零，仍為非齊次方程。若其特征根均為單根，則其零狀態(tài)響應(yīng)式中cfi為待定常數(shù)。1/30/202566佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院系統(tǒng)的完全響應(yīng)既可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，也可分解為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)，它們的關(guān)系為：式中

1/30/202567佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.1.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

線性非時(shí)變系統(tǒng)的完全響應(yīng)也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。

零輸入響應(yīng)是激勵(lì)為零時(shí)僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}所引起的響應(yīng)，用yx(t)表示；

零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零(即系統(tǒng)的初始儲(chǔ)能為零)時(shí)，僅由輸入信號(hào)所引起的響應(yīng)，用yf(t)表示。這樣，線性非時(shí)變系統(tǒng)的全響應(yīng)將是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和，即y(t)=yx(t)+yf(t)1/30/202568佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院

2.3沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)

2.3.1沖激響應(yīng)一線性非時(shí)變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位沖激信號(hào)δ(t)所引起的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，用h(t)表示。亦即，沖激響應(yīng)是激勵(lì)為單位沖激信號(hào)δ(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。其示意圖如圖2.15所示。1/30/202569佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.15沖激響應(yīng)示意圖1/30/202570佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院1.沖激平衡法沖激平衡法是指為保持系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程式的恒等，方程式兩邊所具有的沖激信號(hào)函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)必須相等。根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。例2―11已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。1/30/202571佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院解根據(jù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的定義，當(dāng)f(t)=δ(t)時(shí)，即為h(t)，即原動(dòng)態(tài)方程式為由于動(dòng)態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號(hào)δ(t)，為了保持動(dòng)態(tài)方程式的左右平衡，等式左側(cè)也必須含有δ(t)。這樣沖激響應(yīng)h(t)必為Aeλtu(t)的形式。考慮到該動(dòng)態(tài)方程的特征方程為1/30/202572佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院特征根λ1=-3，因此可設(shè)h(t)=Ae-3tu(t)，式中A為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式有即解得A=2，因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為1/30/202573佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院求導(dǎo)后，對(duì)含有δ(t)的項(xiàng)利用沖激信號(hào)δ(t)的取樣特性進(jìn)行化簡(jiǎn)，即1/30/202574佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―12已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解由原方程可得1/30/202575佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院由于動(dòng)態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號(hào)δ′(t)，為了保持動(dòng)態(tài)方程式的左右平衡，等式左側(cè)h(t)最高次h′(t)也必須含有δ′(t)。這樣，沖激響應(yīng)h(t)必含有δ(t)項(xiàng)?？紤]到動(dòng)態(tài)方程式的特征方程為特征根為λ1=-6，因此設(shè)式中A、B為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式有1/30/202576佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院解得即因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為1/30/202577佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―13已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解由原方程可得考慮到該動(dòng)態(tài)方程的特征方程為λ2+3λ+2=0，特征根λ1=-1，λ2=-2，因此設(shè)1/30/202578佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院式中A、B為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式，解得A=1，B=1。因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為1/30/202579佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―14RLC串聯(lián)電路如圖2.16所示。R=3Ω，L=0.5H，C=0.25F，電路輸入激勵(lì)為單位沖激電壓δ(t)。電路的初始狀態(tài)為零，試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)電容電壓uC(t)解由KVL由VAR即有1/30/202580佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.16RLC串聯(lián)電路1/30/202581佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院考慮到該動(dòng)態(tài)方程的特征方程為代入R、L、C元件參數(shù)值并化簡(jiǎn)得特征根因此設(shè)1/30/202582佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院式中A、B為待定系數(shù)。則有u′C(t)=(-2Ae-2t-4Be-4t)u(t)+(A+B)δ(t)u″C(t)=(4Ae-2t+16Be-4t)u(t)-(2A+4B)δ(t)+(A+B)δ′(t)將u″C(t),u′C(t)及u(t)代入原動(dòng)態(tài)方程式解得A=4，B=-4因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)電容電壓為uC(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t)1/30/202583佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程式兩邊沖激信號(hào)的平衡來(lái)設(shè)定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)時(shí)，若等式左邊求導(dǎo)的最高階次為n次，等式右邊求導(dǎo)的最高階次為m次，且動(dòng)態(tài)方程的特征方程的特征根全為單根時(shí)，則有(2―46)(2―47)n>m時(shí)，n=m時(shí)，1/30/202584佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.等效初始條件法系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求解還有另一種方法，稱為等效初始條件法。沖激響應(yīng)h(t)是系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，受單位沖激信號(hào)δ(t)激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)，它屬于零狀態(tài)響應(yīng)。例2―15已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為y′(t)+3y(t)=2f(t)t≥0試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解沖激響應(yīng)h(t)滿足動(dòng)態(tài)方程式h′(t)+3h(t)=2δ(t)t≥01/30/202585佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院由于動(dòng)態(tài)方程式右邊最高次為δ(t)，故方程左邊的最高次h′(t)中必含有δ(t)，故設(shè)h′(t)=Aδ(t)+Bu(t)因而有h(t)=Au(t)將h′(t)與h(t)分別代入原動(dòng)態(tài)方程有Aδ(t)+Bu(t)+3Au(t)=2δ(t)Aδ(t)+(B+3A)u(t)=2δ(t)解得A=2，B=-61/30/202586佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―16已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為y″(t)+5y′(t)+4y(t)=2f′(t)+3f(t)t≥0試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解沖激響應(yīng)h(t)滿足動(dòng)態(tài)方程式h″(t)+5h′(t)+4h(t)=2δ′(t)+3δ(t)t≥0由于動(dòng)態(tài)方程式右邊最高次為δ′(t)，故方程左邊的最高次h″(t)中必含有δ′(t)，故設(shè)h″(t)=Aδ′(t)+Bδ(t)+Cu(t)

1/30/202587佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院因而有h′(t)=Aδ(t)+Bu(t)h(t)=Au(t)將h″(t)，h′(t)與h(t)分別代入原動(dòng)態(tài)方程式可解得A=2，B=-7，C=27因此可得h(0+)=A=2,h′(0+)=B=-7,h″(0+)=271/30/202588佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―17已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)(LTI)的動(dòng)態(tài)方程式為y′(t)+3y(t)=2f′(t)+5f(t)t≥0試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解沖激響應(yīng)h(t)滿足動(dòng)態(tài)方程式h′(t)+3h(t)=2δ′(t)+5δ(t)t≥0由于動(dòng)態(tài)方程式右邊最高次為δ′(t)，故方程左邊的最高次h′(t)中必含有δ′(t)，故設(shè)h′(t)=Aδ′(t)+Bδ(t)+Cu(t)1/30/202589佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院因而有h(t)=Aδ(t)+Bu(t)將h′(t)與h(t)分別代入原動(dòng)態(tài)方程有Aδ′(t)+(A+B)δ(t)+(B+C)u(t)=2δ′(t)+5δ(t)解得A=2，B=3，C=-3以上表示在t=0處，h(t)含有幅度為B的跳變，h′(t)含有幅度為C的跳變。因此可得h(0+)=B，h′(0+)=C1/30/202590佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院3.其它方法系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)反映的是系統(tǒng)的特性，只與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)，而與系統(tǒng)的外部激勵(lì)無(wú)關(guān)。但系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以由沖激信號(hào)δ(t)作用于系統(tǒng)而求得。在以上兩種求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的過程中，都是已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。1/30/202591佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―18已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)在f1(t)=4u(t-1)作用下，產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3)試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解已知系統(tǒng)在f1(t)作用下產(chǎn)生響應(yīng)為y1(t)，而系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為系統(tǒng)在沖激信號(hào)δ(t)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。因此，為求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，只需找出f1(t)與沖激信號(hào)δ(t)之間的關(guān)系即可。已知f1(t)=4u(t-1)y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3)1/30/202592佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院根據(jù)線性系統(tǒng)的特性，可以有根據(jù)非時(shí)變系統(tǒng)的特性，可以有1/30/202593佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.3.2階躍響應(yīng)一線性非時(shí)變系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí)，輸入為單位階躍函數(shù)所引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，用g(t)表示。階躍響應(yīng)是激勵(lì)為單位階躍函數(shù)u(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，如圖2.17所示。1/30/202594佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.17階躍響應(yīng)示意圖1/30/202595佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院如果描述系統(tǒng)的微分方程是式(2―7)，將f(t)=u(t)代入，可求得其特解若式(2―7)的特征根λi(i=1，2，…，n)均為單根，則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一般形式(n≥m)為(2―48)(2―4９)1/30/202596佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―19若描述系統(tǒng)的微分方程為y″(t)+3y′(t)+2y(t)=1/2f′(t)+2f(t)試求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。解系統(tǒng)的特征根為λ1=-1，λ2=-2，由式(2―49)知，其階躍響應(yīng)g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)u(t)它的一階，二階導(dǎo)數(shù)(考慮到?jīng)_激函數(shù)的抽樣性質(zhì))分別為g′(t)=(c1+c2+1)δ(t)+(-c1e-t-2c2e-2t)u(t)g″(t)=(c1+c2+1)δ′(t)+(-c1-2c2)δ(t)+(c1e-t+4c2e-2t)u(t)1/30/202597佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院將f(t)=u(t)，y(t)=g(t)，及其導(dǎo)數(shù)g′(t)和g″(t)代入系統(tǒng)的微分方程，稍加整理得(c1+c2+1)δ′(t)+(2c1+c2+3)δ(t)+2u(t)=1/2δ(t)+2u(t)由系統(tǒng)對(duì)應(yīng)相等有所以，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為1/30/202598佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.4卷積積分2.4.1信號(hào)分解為沖激信號(hào)序列在信號(hào)分析與系統(tǒng)分析時(shí)，常常需要將信號(hào)分解為基本信號(hào)的形式。這樣，對(duì)信號(hào)與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷?duì)基本信號(hào)的分析，從而將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，且可以使信號(hào)與系統(tǒng)分析的物理過程更加清晰。信號(hào)分解為沖激信號(hào)序列就是其中的一個(gè)實(shí)例。1/30/202599佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.18信號(hào)分解為沖激序列1/30/2025100佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院從圖2.18可見，將任意信號(hào)f(t)分解成許多小矩形，間隔為Δτ，各矩形的高度就是信號(hào)f(t)在該點(diǎn)的函數(shù)值。根據(jù)函數(shù)積分原理，當(dāng)Δτ很小時(shí)，可以用這些小矩形的頂端構(gòu)成階梯信號(hào)來(lái)近似表示信號(hào)f(t)；而當(dāng)Δτ→0時(shí)，可以用這些小矩形來(lái)精確表達(dá)信號(hào)f(t)。即1/30/2025101佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院1/30/2025102佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院式(2―52)只是近似表示信號(hào)f(t),且Δτ越小，其誤差越小。當(dāng)Δτ→0時(shí)，可以用上式精確地表示信號(hào)f(t)。由于當(dāng)Δτ→0時(shí)，kΔτ→τ，Δτ→dτ，且故式(2―52)在Δτ→0時(shí)，有(2―53)1/30/2025103佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.4.2卷積積分法求解零狀態(tài)響應(yīng)在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)時(shí)，將任意信號(hào)f(t)都分解為沖激信號(hào)序列，然后充分利用線性非時(shí)變系統(tǒng)的特性，從而解得系統(tǒng)在任意信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。由式(2―53)可得1/30/2025104佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院上式表明,任意信號(hào)f(t)可以分解為無(wú)限多個(gè)沖激序列的疊加。不同的信號(hào)f(t)只是沖激信號(hào)δ(t-kΔτ)前的系數(shù)f(kΔτ)不同(系數(shù)亦即是該沖激信號(hào)的強(qiáng)度)。這樣，任一信號(hào)f(t)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)yf(t)可由諸δ(t-kΔτ)產(chǎn)生的響應(yīng)疊加而成。對(duì)于線性非時(shí)變系統(tǒng)，若系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，則有下列關(guān)系式成立。1/30/2025105佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院1/30/2025106佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)為輸入激勵(lì)f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分，為(2―54)1/30/2025107佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―20已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為y′(t)+3y(t)=2f(t)t≥0輸入激勵(lì)為3u(t)，試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。解首先計(jì)算系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)，即h′(t)+3h(t)=2δ(t)t≥0應(yīng)用沖激平衡法，故可設(shè)h(t)=Ae-3tu(t)將h(t)及h′(t)分別代入沖激響應(yīng)微分方程式得Ae-3tδ(t)-3Ae-3tu(t)+3Ae-3tu(t)=2δ(t)t≥01/30/2025108佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院解得A=2，因此，沖激響應(yīng)h(t)=2e-3tu(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為1/30/2025109佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院由上例可見，如果激勵(lì)f(t)和沖激響應(yīng)h(t)均為因果函數(shù)(即有t<0，f(t)=0，h(t)=0)，并且系統(tǒng)的特征根均為單根，那么全響應(yīng)(2―55)1/30/2025110佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―21RC串聯(lián)電路如圖2.19所示。已知電路的激勵(lì)uS(t)=e-tu(t)。試求零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)=uC(t)。圖2.19例2―21圖1/30/2025111佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院解由KVL得uR(t)+uC(t)=uS(t)1/30/2025112佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院由于激勵(lì)信號(hào)uS(t)和沖激響應(yīng)信號(hào)h(t)都是有始信號(hào)，所以，對(duì)于t>0，有因此，零狀態(tài)響應(yīng)1/30/2025113佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―22已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為輸入激勵(lì)f(t)=e-tu(t)，且已知h(0)=0，h′(0)=1。試用卷積積分法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。解系統(tǒng)的特征方程為λ2+3λ+2，特征根為λ1=-1，λ2=-2。又因?yàn)閚>m，因此，設(shè)h(t)=(c1e-t+c2e-2t)u(t)由h(0)=0，h′(0)=1，解得c1=1，c2=-1。因此，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)=(e-t-e-2t)u(t)1/30/2025114佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院由于激勵(lì)f(t)=e-tu(t)和沖激響應(yīng)h(t)均為因果函數(shù)，因此，在t>0時(shí)，有因此，零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)=(te-t-e-t+e-2t)u(t)1/30/2025115佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.4.3卷積積分的性質(zhì)1.卷積積分的代數(shù)性質(zhì)卷積積分是一種線性運(yùn)算，它具有以下基本特征。1)交換律(2―56)式(2―56)說明兩信號(hào)的卷積積分與次序無(wú)關(guān)。即系統(tǒng)輸入信號(hào)f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以互相調(diào)換，其零狀態(tài)響應(yīng)不變。1/30/2025116佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.20系統(tǒng)級(jí)聯(lián)滿足交換律1/30/2025117佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2)分配律(f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t)(2-57)式(2―57)的實(shí)際意義如圖2.21所示，表明兩個(gè)信號(hào)f1(t)與f2(t)疊加后通過某系統(tǒng)h(t)將等于兩個(gè)信號(hào)分別通過此系統(tǒng)h(t)后再疊加。1/30/2025118佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.21卷積分配律示意圖1/30/2025119佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院3)結(jié)合律設(shè)有u(t)，v(t)，w(t)三函數(shù)，則有u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t)(2―58)由于此時(shí)積分變量為τ，1/30/2025120佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院此時(shí)積分變量為λ，而從上式來(lái)看，對(duì)變量τ而言，λ無(wú)異于一常數(shù)。可引入新積分變量x=λ+τ，則有τ=x-λ,dτ=dx。將這些關(guān)系代入上式右邊括號(hào)內(nèi)，則有交換積分次序，并根據(jù)卷積定義，即可得1/30/2025121佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院4)卷積的微分特性設(shè)y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)則y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t)(2―59)證明1/30/2025122佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院5)卷積的積分特性設(shè)y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t)則y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t)(2―60)式中y(-1)(t)，f(-1)(t)及h(-1)(t)分別表示y(t)，f(t)及h(t)對(duì)時(shí)間t的一次積分。1/30/2025123佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院6)卷積的等效特性設(shè)y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)則y(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(-1)(t)(2―61)證明根據(jù)式(2―59)卷積微分特性，有y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t)將上式對(duì)時(shí)間t積分，即可證明式(2―61)。1/30/2025124佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院式(2―61)說明，通過激勵(lì)信號(hào)f(t)的導(dǎo)數(shù)與沖激響應(yīng)h(t)的積分的卷積，或激勵(lì)信號(hào)f(t)的積分與沖激響應(yīng)h(t)的導(dǎo)數(shù)的卷積，同樣可以求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。這一關(guān)系為計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)提供了一條新途徑。上述性質(zhì)4)、5)、6)可以進(jìn)一步推廣，其一般形式如下：設(shè)y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)則y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t)(2―62)1/30/2025125佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院7)卷積的延時(shí)特性若f(t)*h(t)=y(t)則有f(t-t1)*h(t-t2)=y(t-t1-t2)(2―63)1/30/2025126佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.奇異信號(hào)的卷積特性含奇異信號(hào)的卷積積分具有以下特性。1)延時(shí)特性f(t)*kδ(t-t0)=kf(t-t0)(2―64)1/30/2025127佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.22理想延時(shí)器及其沖激響應(yīng)1/30/2025128佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院同理，如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為δ(t)，則此系統(tǒng)稱為理想放大器，其中k稱為放大器的增益或放大系數(shù)，如圖2.23所示。當(dāng)信號(hào)f(t)通過該放大器時(shí)，其輸出為y(t)=f(t)*kδ(t)=kf(t)即輸出是輸入信號(hào)f(t)的k倍。1/30/2025129佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.23理想放大器及其沖激響應(yīng)1/30/2025130佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2)微分特性f(t)*δ′(t)=f′(t)(2―65)即，任意信號(hào)f(t)與沖激偶信號(hào)δ′(t)卷積，其結(jié)果為信號(hào)f(t)的一階導(dǎo)數(shù)。如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為沖激偶信號(hào)δ′(t)，則此系統(tǒng)稱為微分器，如圖2.24所示。1/30/2025131佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.24微分器及其沖激響應(yīng)1/30/2025132佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院3)積分特性即，任意信號(hào)f(t)與階躍信號(hào)u(t)卷積，其結(jié)果為信號(hào)f(t)本身對(duì)時(shí)間的積分。如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為階躍信號(hào)u(t)，則此系統(tǒng)稱為積分器，如圖2.25所示。(2―66)1/30/2025133佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.25積分器及其沖激響應(yīng)1/30/2025134佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―23設(shè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=δ(t+T)+δ(t-T)，如圖2.26(a)所示。輸入信號(hào)為f(t)，如圖2.26(b)所示，試求系統(tǒng)在信號(hào)f(t)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)。解ff(t)=f(t)*h(t)=f(t)*(δ(t+T)+δ(t-T))=f(t+T)+f(t-T)也就是說，只需在每個(gè)沖激信號(hào)出現(xiàn)的位置處重畫信號(hào)f(t)即可，卷積結(jié)果(即系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng))如圖2.26(c)所示。1/30/2025135佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.26例2―23信號(hào)波形1/30/2025136佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―25已知f(t)=e-tu(t)，h(t)=u(t)-u(t-2)，試求兩信號(hào)的卷積y(t)=f(t)*h(t)。解根據(jù)卷積運(yùn)算的分配律，有ff(t)=f(t)*h(t)=f(t)*(u(t)-u(t-2))=f(t)*u(t)+f(t)*u(t-2)=f(-1)(t)-f(-1)(t-2)亦可利用卷積的等效特性來(lái)計(jì)算，即yf(t)=f(t)*h(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f(-1)(t)*(u(t)-u(t-2))′=f(-1)(t)*(δ(t)-δ(t-2))=f(-1)(t)-f(-1)(t-2)1/30/2025137佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院可見兩種方法計(jì)算結(jié)果一樣。進(jìn)一步求解可得卷積的最后結(jié)果為1/30/2025138佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―26已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)如圖2.27所示。已知圖中h1(t)=u(t)，h2(t)=δ(t-1)，h3(t)=e-3(t-2)u(t-2)，試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解當(dāng)多個(gè)子系統(tǒng)通過級(jí)聯(lián)，并聯(lián)組成一個(gè)大系統(tǒng)時(shí)，大系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以直接通過各子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)計(jì)算得到。從圖2.27可見，子系統(tǒng)h1(t)與h2(t)是級(jí)聯(lián)關(guān)系，而h3(t)支路與h1(t)及h2(t)組成的支路是并聯(lián)關(guān)系，因此1/30/2025139佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t)=h(t)*δ(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)=u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)圖2.27例2―26系統(tǒng)框圖1/30/2025140佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.4.4卷積積分的計(jì)算1.解析計(jì)算參與卷積的兩個(gè)信號(hào)f1(t)與f2(t)都可以用解析函數(shù)式表達(dá)，可以直接按照卷積的積分定義進(jìn)行計(jì)算。例2―27已知f1(t)=e-3tu(t)，f2(t)=e-5tu(t)，試計(jì)算兩信號(hào)的卷積f1(t)*f2(t)。解根據(jù)卷積積分的定義，可得1/30/2025141佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院1/30/2025142佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院【例】已知信號(hào)f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)與f2(t)=e-5(t-2)u(t-2)，試計(jì)算兩信號(hào)的卷積f1(t)*f2(t)。【解】根據(jù)卷積積分的定義，可得1/30/2025143佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院在例2―27中，f1(t)的起點(diǎn)為0，f2(t)的起點(diǎn)為0，故f1(t)*f2(t)的起點(diǎn)也為零；在例2―28中，f1(t)的起點(diǎn)為1，f2(t)的起點(diǎn)為2，故f1(t)*f2(t)的起點(diǎn)為1+2=3。例2―29可以驗(yàn)證終點(diǎn)之間的關(guān)系，它們的關(guān)系如圖2.28所示。1/30/2025144佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.28例2―29圖1/30/2025145佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院在利用卷積的定義通過信號(hào)的函數(shù)解析式進(jìn)行卷積時(shí)，對(duì)于一些基本信號(hào)可以通過查卷積積分表直接得到，避免卷積積分過程中重復(fù)與繁雜的計(jì)算。卷積積分表如表2―2所示。當(dāng)然，在利用解析式進(jìn)行求解信號(hào)卷積時(shí)，可以利用卷積的一些特性來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算。1/30/2025146佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院表2―2卷積積分常用公式表1/30/2025147佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院2.圖解計(jì)算對(duì)于一些較簡(jiǎn)單的函數(shù)符號(hào)，如方波、三角波等，可以利用圖解方式來(lái)計(jì)算。而且，熟練掌握?qǐng)D解卷積的方法，對(duì)理解卷積的運(yùn)算過程是有幫助的。下面通過例題來(lái)介紹圖解卷積的具體步驟。1/30/2025148佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院例2―30已知分別如圖2.29(a)，(b)所示。試用圖解法求兩信號(hào)的卷積y(t)=f(t)*h(t)。1/30/2025149佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院圖2.29例2―30圖1/30/2025150佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院綜合各段結(jié)果，有1/30/2025151佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)