【教無(wú)憂(yōu)】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修三）第01講 5.1.1 數(shù)列的概念【KS5U 高考】

.1.1數(shù)列的概念課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過(guò)實(shí)例了解數(shù)列的概念，明確數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別，理解數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的含義，理解數(shù)列的函數(shù)特征。（2）根據(jù)給定的項(xiàng)數(shù)，求出相應(yīng)數(shù)列的通項(xiàng)公式，并理解通項(xiàng)公式的含義。（3）知道數(shù)列的分類(lèi)：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列等。（4）掌握數(shù)列的表示方法。（5）通過(guò)觀察、歸納、猜想等方法，探索數(shù)列的規(guī)律。通過(guò)日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法，了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。知識(shí)點(diǎn)01數(shù)列的概念1、數(shù)列的定義：按照一定次序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次成為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)……，組成數(shù)列的數(shù)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。2、數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成，，，……，，……，其中表示數(shù)列的第項(xiàng)（也稱(chēng)為的序號(hào)，其中為正整數(shù)，即），稱(chēng)為數(shù)列的通項(xiàng)。此時(shí)一般將整個(gè)數(shù)列簡(jiǎn)記為。（2）一般地，如果數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用來(lái)表示，其中是關(guān)于的不含其它未知數(shù)的表達(dá)式，則稱(chēng)上述關(guān)系式為這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式?！炯磳W(xué)即練1】（2023·陜西寶雞·高二?？计谀ǘ噙x）下列結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的B．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式的表達(dá)式不是唯一的C．?dāng)?shù)列1，3，5，7可表示為D．?dāng)?shù)列1，3，5，7與數(shù)列7，5，3，1不是同一數(shù)列【答案】BD【解析】數(shù)列按項(xiàng)數(shù)分類(lèi)可分為有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的，也可以是無(wú)限的，故A錯(cuò)誤；數(shù)列通項(xiàng)公式的表達(dá)式不是唯一的，例如，數(shù)列1，，1，，…的通項(xiàng)公式可以是，也可以是，故B正確；構(gòu)成數(shù)列的數(shù)是有順序的，而集合中的元素是無(wú)序的，故C錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列定義，兩數(shù)列的數(shù)排列次序不相同，不是相同的數(shù)列，故D正確．故選：BD.知識(shí)點(diǎn)02數(shù)列的分類(lèi)及表示1、數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型滿(mǎn)足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列其中n∈N+遞減數(shù)列常數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列2、數(shù)列的表示：數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法．【即學(xué)即練2】（2023·海南儋州·高二?？计谥校┫铝袛?shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是（）A．1，，，，…B．，，，C．，，，，…D．1，，，…，【答案】C【解析】A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意．故選：C．知識(shí)點(diǎn)03數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系1、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系由于數(shù)列中的每一項(xiàng)與它的序號(hào)有下面的對(duì)應(yīng)關(guān)系：所以，數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f(n)．也就是說(shuō)，當(dāng)自變量從1開(kāi)始，按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是數(shù)列{an}．2、數(shù)列的單調(diào)性：判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法（1）作差比較法：?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（2）作商比較法：ⅰ.當(dāng)時(shí)，則?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列；ⅱ.當(dāng)時(shí)，則?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（3）結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷：寫(xiě)出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去．【即學(xué)即練3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)B．?dāng)?shù)列若用圖像表示，則從圖像上看都是一群孤立的點(diǎn)C．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】ABD【解析】由數(shù)列的定義知，數(shù)列是特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集或它的有限子集，選項(xiàng)A，B正確；由于數(shù)列有有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列之分，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以是有限的，也可以是無(wú)限的，C不正確；對(duì)于，得到，所以，數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確，故選：ABD【題型一：數(shù)列的概念及辨析】例1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式是，，則它的圖象是（）A．直線B．直線上孤立的點(diǎn)C．拋物線D．拋物線上孤立的點(diǎn)【答案】B【解析】數(shù)列對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，所以圖象是直線上孤立的點(diǎn)，故選：B變式1-1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)列可以用圖象來(lái)表示B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式不唯一C．?dāng)?shù)列中的項(xiàng)不能相等D．?dāng)?shù)列可以用一群孤立的點(diǎn)表示【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由數(shù)列定義知，數(shù)列是以項(xiàng)數(shù)為自變量，項(xiàng)為因變量的特殊函數(shù)，故可以用圖象來(lái)表示，A正確；對(duì)于B，若數(shù)列有通項(xiàng)公式，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一，例如：數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為，也可以為，B正確；對(duì)于C，數(shù)列中的項(xiàng)可以相等，如常數(shù)列，C不正確；對(duì)于D，由數(shù)列是特殊的函數(shù)且知，數(shù)列可以用一群孤立的點(diǎn)表示，D正確.故選：ABD變式1-2．（2023·黑龍江雞西·高二雞西市第四中學(xué)?？计谥校┫铝薪Y(jié)論中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)B．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無(wú)限的C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式的形式是唯一的D．?dāng)?shù)列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通項(xiàng)公式【答案】A【解析】對(duì)于A，由數(shù)列定義知，A正確；對(duì)于B，數(shù)列只有5項(xiàng)，該數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為，也可以為，該數(shù)列通項(xiàng)公式不唯一，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，該數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為，D錯(cuò)誤.故選：A變式1-3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法不正確的是（）A．?dāng)?shù)列可以表示為B．?dāng)?shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為1＋D．?dāng)?shù)列可記為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，數(shù)列和數(shù)列，前者是有限項(xiàng)，后者是無(wú)限項(xiàng)，所以?xún)蓚€(gè)數(shù)列不一樣，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，數(shù)列與數(shù)列的項(xiàng)的順序不相同，所以不是相同數(shù)列，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，所以數(shù)列的第項(xiàng)為1＋，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，數(shù)列可記為，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD變式1-4．（2023·云南曲靖·高二曲靖市民族中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)列與是相同的B．?dāng)?shù)列可以表示為C．?dāng)?shù)列與是相同的數(shù)列D．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為【答案】D【解析】對(duì)于A項(xiàng)，數(shù)列與是不同的，表示數(shù)列，而表示數(shù)列中的第項(xiàng)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，是一個(gè)集合，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)雖然相同，但順序不同，不是相同的數(shù)列，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】掌握數(shù)列的概念辨析解題技巧需要明確數(shù)列的定義、數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。題型二：數(shù)列的分類(lèi)例2．（2023·新疆塔城·高二塔城市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（）A．1，，，，…B．sin，sin，sin，…C．－1，－，－，－，…D．1，，，…，【答案】C【解析】D是有窮數(shù)列，A是遞減數(shù)列，B是擺動(dòng)數(shù)列，C是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列，故選：C.變式2-1．（2022·江蘇南通·高二?？计谥校┫铝袛?shù)列既是遞增數(shù)列，又是無(wú)窮數(shù)列的是（）A．1，2，3，…，20B．-1，-2，-3，…，-n，…C．1，2，3，2，5，6，…D．-1，0，1，2，…，100，…【答案】D【解析】由遞增數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列的定義知D項(xiàng)正確.答案：D變式2-2．（2022·重慶·高二永川北山中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）（多選）下面四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（）．A．1，，，，…，，…B．，，，，…，，…C．，，，…，，…D．1，，，…，，…【答案】BD【解析】對(duì)于A，1，，，，…，，…為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，，…，，…為遞增數(shù)列，且是無(wú)窮數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，，，，…，，…中，故不是遞增數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，1，，，…，，…既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的，故D正確.故選：BD.變式2-3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？（1）2017，2018，2019，2020，2021；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）9，9，9，9，9，9.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析（4）答案見(jiàn)解析；（5）答案見(jiàn)解析；（6）答案見(jiàn)解析【解析】（1）因數(shù)列（1）只有5項(xiàng)，且依次增大，故（1）為有窮數(shù)列，且為遞增數(shù)列.（2）因數(shù)列（2）有無(wú)限項(xiàng)，所以不是有窮數(shù)列，當(dāng)?shù)脑龃髸r(shí)，也增大，故為遞增數(shù)列.（3）因數(shù)列（3）有無(wú)限項(xiàng)，所以不是有窮數(shù)列，當(dāng)?shù)脑龃髸r(shí)，減小，故為遞減數(shù)列.（4）因數(shù)列（4）有無(wú)限項(xiàng)，所以不是有窮數(shù)列，因數(shù)列正負(fù)交替，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列，也不是常數(shù)列.（5）因數(shù)列（5）有無(wú)限項(xiàng)，所以不是有窮數(shù)列，因數(shù)列為1，0，-1，0循環(huán)，故數(shù)列不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列，也不是常數(shù)列.（6）因數(shù)列（6）只有5項(xiàng)，故（1）為有窮數(shù)列，且各項(xiàng)均為9，故為常數(shù)數(shù)列.【方法技巧與總結(jié)】判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無(wú)窮數(shù)列，只需觀察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無(wú)限項(xiàng)。若數(shù)列含有限項(xiàng)則是有窮數(shù)列，否則是無(wú)窮數(shù)列。而判斷數(shù)列的單調(diào)性，則需要從第2項(xiàng)起，觀察每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的大小關(guān)系，若滿(mǎn)足，則是遞增數(shù)列；若滿(mǎn)足，則是遞減數(shù)列；若滿(mǎn)足，則是常數(shù)列；若與的大小不確定時(shí)，則是擺動(dòng)數(shù)列。題型三：由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式例3．（2023·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市第二中學(xué)校聯(lián)考期末）數(shù)列，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】觀察數(shù)列，，，，可知其分母為，其分子是交替出現(xiàn)，故分子可為，所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為.故選：A.變式3-1．（2023·貴州貴陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）數(shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對(duì)于A，，符合題意，A是；對(duì)于B，，符合題意，B是；對(duì)于C，，符合題意，C是；對(duì)于D，，不符合題意，D不是.故選：ABC變式3-2．（2023·內(nèi)蒙古通遼·高三校考階段練習(xí)）數(shù)列，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列，，，，的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列，，，，的通項(xiàng)公式為，而數(shù)列，，，，的每一項(xiàng)都是上面數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的，所以數(shù)列，，，，的通項(xiàng)公式為.故選：C.變式3-3．（2023·湖北武漢·高二武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫(xiě)出下列點(diǎn)數(shù)構(gòu)成數(shù)列的第5項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)（）

A．32B．35C．36D．42【答案】B【解析】由題意，，所以，根據(jù)規(guī)律，，所以，故選：B變式3-4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．（1）（2）（3）0，，，，…；（4）1，11，111，1111，….【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是；（2）數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為；（3）因?yàn)樗詳?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為；（4）原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)椋字獢?shù)列9，99，999，9999，…，的一個(gè)通項(xiàng)公式為，所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為．【方法技巧與總結(jié)】由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）各項(xiàng)的符號(hào)特征，通過(guò)或來(lái)調(diào)節(jié)正負(fù)項(xiàng)．（2）考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系．（3）相鄰項(xiàng)(或其絕對(duì)值)的變化特征．（4）拆項(xiàng)、添項(xiàng)后的特征．（5）通過(guò)通分等方法變化后，觀察是否有規(guī)律．【注意】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式其實(shí)是利用了不完全歸納法，蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，由不完全歸納法得出的結(jié)果不一定是準(zhǔn)確的.題型四：判斷或?qū)懗鰯?shù)列中的項(xiàng)例4．（2022·黑龍江佳木斯·高二?？计谀┮阎獢?shù)列滿(mǎn)足：，則等于（）A．32B．64C．48D．128【答案】B【解析】由，令，得，故選：B.變式4-1．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，若，則的值為（）A．17B．23C．25D．41【答案】A【解析】依題意，.故選：A變式4-2．（2023·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知數(shù)列1，，，，…，，…，則下列說(shuō)法正確的是（）A．是它的第3項(xiàng)B．是它的第4項(xiàng)C．是它的第9項(xiàng)D．是它的第16項(xiàng)【答案】CD【解析】當(dāng)時(shí)，，C正確，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故D正確，B錯(cuò)誤．故選：CD．變式4-3．（2023·河南洛陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)，則.【答案】【解析】由于數(shù)列的通項(xiàng)，故，，所以.變式4-4．（2023·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則是該數(shù)列的第（）項(xiàng)A．10B．7C．5D．8【答案】D【解析】由已知，解得，負(fù)值舍去，則是該數(shù)列的第項(xiàng).故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)．（2）判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法：先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無(wú)解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng)．題型五：數(shù)列單調(diào)性的判斷例5．（2023·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列數(shù)列是遞減數(shù)列的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對(duì)選項(xiàng)A：為遞增數(shù)列；對(duì)選項(xiàng)B：為遞減數(shù)列；對(duì)選項(xiàng)C：，先增后減數(shù)列；對(duì)選項(xiàng)D：，先減后增數(shù)列.故選：B.變式5-1．（2023·河南濮陽(yáng)·高二范縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列，，為遞減數(shù)列，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意可知，解得，故答案為：變式5-2．（2023·貴州·清華中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“為遞增數(shù)列”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，為遞增數(shù)列，故，故，由于，故，因?yàn)?，，故“為遞增數(shù)列”是“”的必要不充分條件.故選：B變式5-3．（2023·廣東東莞·高二東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）使得“對(duì)于任意，是遞減數(shù)列”為真命題的整數(shù)值是.（寫(xiě)出一個(gè)符合要求的答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)閷?duì)于任意，是遞減數(shù)列，所以，所以整數(shù)值可以為.變式5-4．（2023·天津·高二咸水沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列中，（且）．若對(duì)任意的，都有成立，的取值范圍是．【答案】【解析】，已知對(duì)任意的，都有成立，，函數(shù)在區(qū)間和單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，得，因此實(shí)數(shù)的取值范圍為.【方法技巧與總結(jié)】由于數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以用研究函數(shù)的思想方法來(lái)研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、最大值、最小值等，此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2，…，n}這一條件．題型六：數(shù)列中的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)例6．（2023·山東棗莊·高二滕州市第一中學(xué)新校?？茧A段練習(xí)）（多選）已知在數(shù)列中，，則數(shù)列的最小項(xiàng)是（）A．第1項(xiàng)B．第2項(xiàng)C．第3項(xiàng)D．第4項(xiàng)【答案】BC【解析】依題意，，函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，由于，所以當(dāng)或時(shí)，取得最小值.故選：BC變式6-1．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列中的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（）A．2B．3C．2或3D．4【答案】C【解析】；；，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)或.故選：C變式6-2．（2023·上?！じ叨?fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng).【答案】【解析】依題意，，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第項(xiàng).變式6-3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，求該數(shù)列前30項(xiàng)中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)．【答案】最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為【解析】，，而，，若要最大，則需要取最小正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，最大，若要最小，則需要取最大負(fù)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，最小．所以該數(shù)列前30項(xiàng)中的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為.變式6-4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，判斷該數(shù)列的單調(diào)性，并求出這個(gè)數(shù)列的最小項(xiàng)．【答案】答案見(jiàn)解析【解析】令，則，故時(shí)，所以，故該數(shù)列的先遞減后遞增，又，故數(shù)列最小項(xiàng)為第三、四項(xiàng)為.【方法技巧與總結(jié)】求數(shù)列最大(小)項(xiàng)的方法（1）構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)．（2）利用，求數(shù)列中的最大項(xiàng)；利用，求數(shù)列中的最小項(xiàng).當(dāng)解不唯一時(shí)，比較各解大小即可確定．一、單選題1．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（）A．如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列B．?dāng)?shù)列1，0，，與，，0，1是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第k項(xiàng)為D．?dāng)?shù)列0，2，4，6，可記為【答案】C【解析】對(duì)A，數(shù)列可為常數(shù)數(shù)列，A錯(cuò)誤；對(duì)B，一個(gè)遞減，一個(gè)遞增，不是相同數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)D，數(shù)列中的第一項(xiàng)不能用表示，D錯(cuò)誤.故選：C2．（2018·陜西延安·高二階段練習(xí)）下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是（）A．1，，，，…B．，，，C．，，，，…D．1，，，…，【答案】C【解析】A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意．故選：C．3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．是無(wú)窮數(shù)列B．是遞增數(shù)列C．不是常數(shù)列D．中有最大項(xiàng)【答案】D【解析】對(duì)于A，顯然是無(wú)窮數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，即，即是遞增數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，，故不是常?shù)列，故C正確；對(duì)于D，由B知，是遞增數(shù)列，當(dāng)趨近于無(wú)窮大時(shí)，也趨近于無(wú)窮大，所以中無(wú)最大項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選：D4．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，則a2a3的值是（）A．70B．28C．20D．16【答案】D【解析】依題意，，，則，所以a2a3的值是16.故選：D5．（2023·陜西安康·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（）A．第21項(xiàng)B．第22項(xiàng)C．第23項(xiàng)D．第24項(xiàng)【答案】B【解析】由題意可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，又，解得，所以是這個(gè)數(shù)列的第22項(xiàng)．故選：B．6．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列1，，，…的通項(xiàng)公式可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，對(duì)于C中，對(duì)于D中，四個(gè)選項(xiàng)中只有同時(shí)滿(mǎn)足，，.故選：A7．（2023·貴州貴陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）數(shù)列1，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】數(shù)列前4項(xiàng)的絕對(duì)值依次為1，，，，由此得數(shù)列第n項(xiàng)的絕對(duì)值為，而數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，可用表示數(shù)列的第n項(xiàng)的符號(hào)，因此.故選：B8．（2023·安徽蕪湖·高二蕪湖一中?？茧A段練習(xí)）已知的通項(xiàng)公式為（），若數(shù)列為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，由數(shù)列為遞減數(shù)列，則，即恒成立，即，當(dāng)時(shí)，的最小值為，即.故選：C二、多選題9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，那么（）A．30是數(shù)列的一項(xiàng)B．45是數(shù)列的一項(xiàng)C．66是數(shù)列的一項(xiàng)D．90是數(shù)列的一項(xiàng)【答案】BC【解析】分別令的值為30，45，66，90，可知只有當(dāng)時(shí)，或（舍去）

；當(dāng)時(shí)，或（舍去），故45，66是數(shù)列的一項(xiàng)．故選：BC10．（2023·安徽蕪湖·高二?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列的前項(xiàng)分別為，，，，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對(duì)于A，當(dāng)，，，時(shí)，分別對(duì)應(yīng)的是，，，，正確；對(duì)于B，當(dāng)，，，時(shí)，分別對(duì)應(yīng)的是，，，，正確；對(duì)于C，當(dāng)，，，時(shí)，分別對(duì)應(yīng)的是，，，，正確；對(duì)于D，，，，，錯(cuò)誤.所以這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是ABC.故選：ABC11．（2023·陜西西安·高二西安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，若對(duì)恒成立，則滿(mǎn)足條件的正整數(shù)k可以為（）A．6B．7C．8D．9【答案】BC【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為和，因?yàn)閷?duì)恒成立，所以或.故選：BC.12．（2023·江蘇·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，若存在正整數(shù)，使待對(duì)任意，均有，則稱(chēng)是“間隔遞增數(shù)列”，是數(shù)列的“間隔數(shù)”，下列選項(xiàng)正確的是（）A．公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列B．已知，則數(shù)列是間隔遞增數(shù)列C．已知，則數(shù)列是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2D．已知，若數(shù)列是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，對(duì)于函數(shù)，明顯其在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)，即時(shí)，，B正確；對(duì)于C：，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，存在，使成立，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，存在，使成立，綜上，數(shù)列是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2，故C正確；對(duì)于D：若數(shù)列是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則對(duì)恒成立，即，解得，又該不等式的解為所以，解得，可以得到，D正確；故選：BCD.三、填空題13．（2023·甘肅臨夏·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，則125是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).【答案】8【解析】由，得，而，解得，所以125是這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng).14．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，可以得出第8個(gè)圖有個(gè)點(diǎn).

【答案】57【解析】根據(jù)題意，圖（1）中只有1個(gè)點(diǎn)，無(wú)分支；圖（2）除中間一個(gè)點(diǎn)外，有兩個(gè)分支，每個(gè)分支由1個(gè)點(diǎn)；圖（3）除中間一個(gè)點(diǎn)外，有三個(gè)分支，每個(gè)分支由2個(gè)點(diǎn)；圖（4）除中間一個(gè)點(diǎn)外，有四個(gè)分支，每個(gè)分支由3個(gè)點(diǎn)，則第個(gè)圖形中除中間一個(gè)點(diǎn)外，有個(gè)分支，每個(gè)分支有個(gè)點(diǎn)，第個(gè)圖形中有個(gè)點(diǎn)，故第8個(gè)圖形中有個(gè)點(diǎn)．15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則使成立的正整數(shù)的最大值為．【答案】【解析】由，解得，因?yàn)?，所以正整?shù)的最大值為.16．（2023·江蘇宿遷·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的通項(xiàng)公式，記數(shù)列落在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，則．【答案】23【解析】由題意為數(shù)列落在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，所以令，解得，所以.四、解答題17．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無(wú)窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？（1），，，，…；（2）2，4，6，8，10，…；（3）7，7，7，7，…；（4），，，，…；（5）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；（6），，，，，，….【答案】（1）無(wú)窮數(shù)列，遞減數(shù)列；（2）無(wú)窮數(shù)列，遞增數(shù)列；（3）無(wú)窮數(shù)列，常數(shù)列（4）無(wú)窮數(shù)列，遞減數(shù)列；（5）有窮數(shù)列，遞減數(shù)列；（6）無(wú)窮數(shù)列【解析】（1）數(shù)列有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，故該數(shù)列為