【教無憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修一）第43講 專題2-8 動(dòng)點(diǎn)軌跡方程五種題型

專題2-8動(dòng)點(diǎn)軌跡方程五種題型匯總題型1直接法 2題型2定義法 5題型3相關(guān)點(diǎn)法 11題型4交軌法 17題型5參數(shù)法 24知識(shí)點(diǎn)一.直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程定義：如果動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法.知識(shí)點(diǎn)二.定義法求軌跡方程若某動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡如直線、圓、圓錐曲線的定義，則可以利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義等直接寫出所求的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識(shí)分析得出這些條件．知識(shí)點(diǎn)三.相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程若動(dòng)點(diǎn)Px?,?y的變動(dòng)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Qx0?,?y0，而Q在某已知曲線Fx?,?y=0（或具有某種規(guī)律的圖形）上（這時(shí)把從動(dòng)點(diǎn)P叫做軌跡動(dòng)點(diǎn)，主動(dòng)點(diǎn)Q叫做點(diǎn)P的相關(guān)點(diǎn)），求出關(guān)系式知識(shí)點(diǎn)四.交軌法求軌跡方程定義：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)是兩條動(dòng)曲線的交點(diǎn)，那么選取參數(shù)并把參數(shù)看成已知數(shù)，寫出這兩條動(dòng)曲線的方程，再聯(lián)立兩動(dòng)曲線的方程，消去參數(shù)，或者動(dòng)曲線的方程與定曲線的方程聯(lián)立，消去x或y，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再消去參數(shù)，便得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．這種求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法，我們稱之為交軌法．知識(shí)點(diǎn)二.參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有時(shí)不容易得出動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）該動(dòng)點(diǎn)常常受到另一個(gè)變量（角度，斜率，比值，解距或時(shí)間等）的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x?,?題型1直接法【方法總結(jié)】直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟為：第一步，根據(jù)已知條件及一些基本公式(兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線斜率公式等.)第二步，根據(jù)公式直接列出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系式，從而得到軌跡方程.【例題1】（23·24上·大興·期中）已知等腰三角形ABC的頂點(diǎn)為A(4??，???2)，底邊的一個(gè)端點(diǎn)為【答案】x2+【分析】根據(jù)題意，設(shè)另一個(gè)端點(diǎn)C的坐標(biāo)為x,y，由AB=【詳解】設(shè)底邊的另一個(gè)端點(diǎn)C的坐標(biāo)為x,y，則4?x2化簡可得x2因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以三點(diǎn)不共線且B,C不重合，當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，kAB由直線的點(diǎn)斜式可得y?2=1×x?4，化簡可得x?y?2=0所以點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y故答案為：x2+y【變式1-1】1.（23·24上·北京·期中）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A?4,0,B2,0，點(diǎn)M滿足MA【答案】x?4【分析】根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)距離即可列方程化簡求解.【詳解】設(shè)Mx,y，則MA化簡得x2+y故答案為：x?4【變式1-1】2.（23·24上·全國·課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為?2,0，2,0，直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積是14

【答案】x【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式列方程求解即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,y，由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)可得直線AP，BP的斜率分別為kAP=y由已知得yx+2化簡得點(diǎn)P的軌跡方程為x2【變式1-1】3.（23·24上·全國·課時(shí)練習(xí)）已知兩條直線l1:y=3【答案】y=x或y=?x【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出兩個(gè)距離，整理即可．【詳解】直線方程整理為l1:x?3設(shè)滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，則根據(jù)題意得：|x?即有x?3y=?3x+y或x?3故所求軌跡方程為：y=x或y=?x．【變式1-1】4.（23·24上·昆明·期中）若圓x2+y2?ax+2y+1=0與圓xA．y2?4x+4y+8=0 C．y2+4x?4y+8=0 【答案】C【分析】出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)，兩個(gè)半徑，利用兩個(gè)圓關(guān)于直線的對稱知識(shí)，求出a的值，然后設(shè)出圓心P的坐標(biāo)為(x,y)，圓心到點(diǎn)?a,a的距離等于圓心到y(tǒng)軸的距離，列出方程求出圓心P的軌跡方程．【詳解】如圖所示：圓x2+y2?ax+2y+1=0的圓心為A因?yàn)閳Ax2+y2?ax+2y+1=0所以AB的中點(diǎn)a4,?12滿足直線方程過點(diǎn)C(?2,2)的圓P與y軸相切，設(shè)圓心P的坐標(biāo)為(x,y)，所以x+22+y?2故選：C．題型2定義法【方法總結(jié)】常見情形1．到線段兩端點(diǎn)相等的點(diǎn)的軌跡是該線段的垂直平分線．2．到角的兩邊相等的點(diǎn)的軌跡是該角的平分線及外角平分線．3．平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑．4．平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1?,?F2的距離之和等于常數(shù)（PF5．平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1?,?F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（PF6．平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）距離之比對于常數(shù)ee>0的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線．當(dāng)0<e<1時(shí)為橢圓；當(dāng)e>1時(shí)為雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)為拋物線．其中，定點(diǎn)F叫做圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線l【例題2】（23·24上·全國·課時(shí)練習(xí)）已知△ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列，且a>b>c，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(?1,0),(1,0)，則頂點(diǎn)B的軌跡方程為．【答案】x【分析】由△ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列，可得點(diǎn)B的軌跡滿足橢圓的定義，可求出橢圓方程，再結(jié)合a>b>c和B、A、C三點(diǎn)構(gòu)成△ABC，可得頂點(diǎn)B的軌跡是此橢圓的部分，可得其軌跡方程.【詳解】因?yàn)椤鰽BC的三邊a，b，c成等差數(shù)列，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(?1,0),(1,0)，所以a+c=2b，即BC+所以點(diǎn)B的軌跡滿足橢圓的定義，此橢圓是以A、C為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，故橢圓方程為x2因?yàn)閍>b>c，所以BC>BA，所以又因?yàn)锽、A、C三點(diǎn)構(gòu)成△ABC，所以B、A、C三點(diǎn)不能在一條直線上，所以x≠?2，所以頂點(diǎn)B的軌跡方程為x2故答案為：x【變式2-1】1.（23·24上·上?！ふn時(shí)練習(xí)）已知過拋物線y2=4x焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O作OM，使OM⊥AB，垂足為點(diǎn)【答案】x?【分析】根據(jù)條件可得點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)F為直徑的圓，從而可得其軌跡方程.【詳解】依題意F(0,1)，因?yàn)镺M⊥AB，所以所以點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)F為直徑的圓，則其圓心為12,0，半徑為故可得點(diǎn)M的軌跡方程為x?

【變式2-1】2.（22·23上·全國·課時(shí)練習(xí)）求下列動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程：(1)與圓C1:x(2)與圓C1:x+3【答案】(1)y(2)x【分析】（1）依題意可得MC1?MC2=1<（2）依題意可得MC2?MC1=4<【詳解】（1）圓C1:x2+圓C2:x2+因?yàn)镃1C2=4>r設(shè)圓M的半徑為R，由題意可得MC1=R?1所以圓心M的軌跡是以點(diǎn)C1、C設(shè)圓心M的軌跡方程為y2由題意可得2a=1，則a=12，因此圓心M的軌跡方程為y2

（2）圓C1:x+32+圓C2:x?32+因?yàn)镃1C2=6>r設(shè)圓M的半徑為R，由題意可得MC1=R?3所以圓心M的軌跡是以點(diǎn)C1、C設(shè)圓心M的軌跡方程為x2由題意可得2a=4，則a=2，b=3因此圓心M的軌跡方程為x2

【變式2-1】3.（21·22·全國·專題練習(xí)）已知兩圓C1：x+42+y2=9,C2：A．y27?C．x27?【答案】D【分析】通過動(dòng)圓C與圓C1外切，且和圓C【詳解】如圖，設(shè)動(dòng)圓C的半徑為R，則CC1=3+R則CC所以動(dòng)圓圓心C的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)，以因?yàn)?a=6,2c=8，所以a=3,c=4,b故動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為x2故選：D.【變式2-1】4.（22·23上·廣州·期末）已知A(0,7)，B(0,?7)，C(12,2)，以C為焦點(diǎn)的橢圓過A、B兩點(diǎn)，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程為（

）A．y2?xC．y248?【答案】A【分析】由兩點(diǎn)間距離公式可得AC=13,BC=15,【詳解】因?yàn)锳0,7，B0,?7，所以AC=122+7?2因?yàn)锳,B都在橢圓上，所以AF+AC=故F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的下支，又2c=AB=14，2a=AF?BF=2，即因此F的軌跡方程是y2?x故選：A.題型3相關(guān)點(diǎn)法【方法總結(jié)】相關(guān)點(diǎn)法解題步驟一般分為三步：第一步，設(shè)所求軌跡的點(diǎn)Mx?,第二步，找出Mx?,?y與Qx0第三步，Qx0?而從動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x?,?①利用定義；②利用參數(shù)；③利用向量；④利用相關(guān)公式；⑤利用對稱知識(shí)等．下面舉例說明．【例題3】（23·24上·南陽·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是圓O:x2+A．x24+y2=1 B．x【答案】D【分析】設(shè)出中點(diǎn)Mx,y【詳解】如下圖所示：

不妨設(shè)Mx,y,Px易知H0,又線段PH的中點(diǎn)為M，可得x=x即x0=2x,y0=y整理得x2故選：D【變式3-1】1.（23·24上·臨夏·期中）已知圓C:x2+y2=3，直線l過點(diǎn)A?2,0A．x?12+yC．x2+y?1【答案】B【分析】建立點(diǎn)M和點(diǎn)A之間的關(guān)系式，再利用點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式得到點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件，即可求出.【詳解】設(shè)Mx,y，B由點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，得x=x0?2又點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動(dòng)，所以x0將上式代入可得，2x+22化簡整理得點(diǎn)M的軌跡方程為：x+12故選：B【變式3-1】2.（22·23上·全國·課時(shí)練習(xí)）設(shè)圓x2【答案】x【分析】設(shè)M(x,y)，P（x0，y0），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出x0=2x?1y【詳解】圓x2+y則A(1,?1)，設(shè)M(x,y)，P（x0，y0），所以1+整理得x0=2x?1y將點(diǎn)P代入圓的方程得(2x?1)2即為x2故答案為：x2【變式3-1】3.（23·24·全國·競賽）平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線Γ:y2=4x，F(xiàn)為Γ的焦點(diǎn)，A，B為Γ上的兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn)，使得線段AB的一個(gè)三等分點(diǎn)P位于線段OF上（含端點(diǎn)），記Q為線段【答案】y【分析】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，由三等分點(diǎn)關(guān)系可得P2x1【詳解】解：設(shè)Ax1,y1，B易知F1,0.由于點(diǎn)P位于線段OF上，故2x1可設(shè)y1=t，y2=?2t，則x1且由A，B不重合知t≠0，所以t2設(shè)QxQ,yQ，則x注意到xQ=34t【變式3-1】4.（23·24上·上?！ふn時(shí)練習(xí)）已知曲線C:y2=x+1和定點(diǎn)A3,1，點(diǎn)B為曲線C上任意一點(diǎn)，若AP=2PB，當(dāng)點(diǎn)【答案】3【分析】設(shè)出點(diǎn)P(x,y)和點(diǎn)B(a,b)，由AP=2PB，得到這兩個(gè)坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)B點(diǎn)在拋物線上，滿足拋物線方程，即可得x，【詳解】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)(a,b)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，又A(3,1)，所以AP=x?3,y?1，∵AP=2∴x?3,y?1∴x?3=2a?2x∴a=∵點(diǎn)B在拋物線上，∴b2=a+1整理得3y所以點(diǎn)P的軌跡方程為3y【變式3-1】5.（22·23·全國·課堂例題）橢圓x29+y2=1上有動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)【答案】x2【分析】根據(jù)重心坐標(biāo)公式以及相關(guān)點(diǎn)代入法求出M的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)P，M的坐標(biāo)分別為x1,y∵在已知橢圓的方程中，a=3，b=1，∴c=9?1則已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1?22∵△PF1F由三角形重心坐標(biāo)公式有x=x1∵y1≠0，∴∵點(diǎn)P在橢圓上，∴x1∴3x2故△PF1F【變式3-1】6.（23·24上·全國·課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)A0,?2的直線與拋物線y【答案】y2+4y?4x=0（y<?8或【分析】設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，Mx,y【詳解】設(shè)Px1,y1由題意過點(diǎn)A0,?2的直線的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx?2與拋物線方程聯(lián)立y=kx?2y2=4x，可得k且Δ=16+32k>0可得k>?12所以由y1+y因?yàn)樗倪呅蜲PMQ是平行四邊形，所以x2即x2,y因?yàn)閥2=2k，而k>?12且所以M的軌跡方程為y2+4y?4x=0（y<?8或

【變式3-1】7.（22·23·全國·專題練習(xí)）一種作圖工具如圖1所示．O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DN=ON=1，MN=3．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)一周（D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng)），M處的筆尖畫出的曲線記為C．以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．求曲線C的軌跡方程；【答案】x【分析】利用相關(guān)點(diǎn)法，由點(diǎn)M、N的關(guān)系及N的軌跡建立方程消元化簡計(jì)算即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)Dt,0MD=2DN，且即t?x=2x0?2ty=?2y于是t=2x0，故x0=x即所求的曲線C的方程為x2題型4交軌法【方法總結(jié)】交軌法一般用于求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程．若動(dòng)點(diǎn)P是由兩動(dòng)曲線相交所得，其過程是選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出兩動(dòng)曲線的方程或動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，再消去參數(shù)，即得所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程．【例題4】（20·21·全國·課時(shí)練習(xí)）求兩動(dòng)直線y=kx+1與y=?2kx?1【答案】x【分析】設(shè)點(diǎn)Px,y【詳解】令l1:y=kx+1，則直線l1的斜率k1=k，直線l2的斜率易知l1過定點(diǎn)A(0,1)，l2過定點(diǎn)令l1與l2的交點(diǎn)為P(x,y)，因?yàn)閗1，k所以k1=y?1所以k1?k所以交點(diǎn)P的軌跡方程為x2故答案為：x【變式4-1】1.（21·22·全國·專題練習(xí)）如圖，垂直于x軸的直線交雙曲線x2a2?y2b2=1于M、N【答案】答案見解析【分析】根據(jù)題意設(shè)P(x,y)及M(x1,y1),N(x1,?y1)，A1(?a,0),A【詳解】解：設(shè)P(x,y)及M(x1,所以，直線A1M的方程為y=y1x1+a由①②得y2=又因?yàn)閤1所以?y12=b2a所以，點(diǎn)P的軌跡方程為x2所以，當(dāng)a=b時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、a為半徑的圓；當(dāng)a≠b時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓．【變式4-1】2.（21·22·全國·專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C1的方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，A、B為其左?右兩個(gè)頂點(diǎn)，P是雙曲線C1【答案】a2x2【分析】，設(shè)P(x0,y0),Q(x,y)，進(jìn)而結(jié)合kQB【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)P(x∵A(?a,0),B(a,0),QB⊥PB,QA⊥PA，∴k∴y0x0+a.yx+a∵x0∴y02x02∴b2y2=x經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)?a,0,a,0不滿足∴Q點(diǎn)的軌跡方程為a2x2【變式4-1】3.（21·22·全國·專題練習(xí)）已知拋物線y2=4x，過頂點(diǎn)的兩弦OA?【答案】x【分析】可以先設(shè)OA?,?OB的直線方程分別為y=kx?,?【詳解】解：易得直線OA?,?OB的斜率存在，設(shè)直線OA和拋物線聯(lián)立得y=kxy2=4x，解得x=4k以O(shè)A為直徑的圓的圓心為2k2?所以以O(shè)A為直徑的圓的方程為x?2所以x?2k2所以k2x同理，以?1k代替k可得以O(shè)B為直徑的圓的方程為x①+②得1+k∵1+k所以以O(shè)A?,【變式4-1】4.（16·17上·通州·期中）已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，點(diǎn)D，E分別在線段OC，AB上運(yùn)動(dòng)，且OD=BE，設(shè)AD與OE交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的軌跡方程是（

）.A．y=x(1?x)(0≤x≤1) B．x=y(1?y)(0≤y≤1)C．y=x2(0≤x≤1)【答案】A【詳解】設(shè)D(0,m)(0≤m≤1)，則E(1,1?m)，所以直線AD的方程為x+y直線DE的方程為：y=(1?m)x，設(shè)G(x,y)，則由x+ym=1消去m可得y=(1?x)x(0≤x≤1)．本題選擇A選項(xiàng).【變式4-1】5.（20·21·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)P?2,2、Q0,2以及直線l:y=x，設(shè)長為2的線段AB在直線l上移動(dòng)（如圖所示），求直線PA和【答案】y+12【分析】由題設(shè)條件P、A、M三點(diǎn)共線，Q、B、M三點(diǎn)共線．若設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次為a,a，b,b，利用三點(diǎn)共線導(dǎo)出相應(yīng)的關(guān)系式后，若從中解出a和b，再由AB=【詳解】解：如圖所示，∵點(diǎn)A、B在直線y=x上，設(shè)點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為a,a，b,b，x,y，其中b>a．當(dāng)y≠2時(shí)，由P?2,2、Aa,a、得x+2y?2=a+2a?1由Q0,2、Bb,b、得xy?2=bb?2由條件AB=2，得2b?a=2．由①、②、③式得2xx?y+2整理得①x2?y當(dāng)y=2時(shí)，兩直線PA和QB的交點(diǎn)M與點(diǎn)P?2,2或點(diǎn)Q0,2重合，得點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)都滿足方程總之，④式就是點(diǎn)M的軌跡方程．④式可改寫成y+12∴軌跡的圖形是雙曲線，它的中心是點(diǎn)?1,?1，焦點(diǎn)在直線x=?1上．【變式4-1】6.（21·22·全國·專題練習(xí)）如圖，P為橢圓C1：x28+y26=1上的動(dòng)點(diǎn)，過P作橢圓C1的切線交圓C2：x2【答案】x2【分析】設(shè)點(diǎn)Px0，y0，可證得橢圓C1在點(diǎn)P處的切線方程為x0x8+y0y6=1，設(shè)點(diǎn)Mx1，y1，可證得圓【詳解】設(shè)點(diǎn)Px0，y0，先證明橢圓C聯(lián)立x0x8+y故橢圓C1在點(diǎn)P處的切線方程為x設(shè)點(diǎn)Mx1，y1，再證圓C當(dāng)直線OM的斜率存在且不為零時(shí)，kOM=y1x1，圓∴圓C2在點(diǎn)M處的切線方程為y?y1當(dāng)直線OM的斜率不存在且為零時(shí)，在點(diǎn)M處的切線滿足上式.設(shè)點(diǎn)Nx2，y2，則圓C設(shè)點(diǎn)Qm，n∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)滿足方程mx+ny=24，故直線MN的方程為mx+ny=24，由于直線mx+ny=24與直線x0即直線mx+ny=24與直線3x∴m=3x0n=4由于點(diǎn)P在橢圓C1上，則x02因此，點(diǎn)Q的軌跡方程為x2題型5參數(shù)法【方法總結(jié)】參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程一般步驟第一步，選擇坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)Px第二步，分析軌跡的已知條件，選定參數(shù)（選擇參數(shù)時(shí)要考慮，既要有利于建立方程又要便于消去參數(shù)）；第三步，建立參數(shù)方程；第四步，消去參數(shù)得到普通方程；第五步，討論并判斷軌跡．常用的消參方法有：代人消參，加減消參，整體代換法，三角消參法（sin2θ+cos【例題5-1】（17·18上·湖北·期中）已知過點(diǎn)(0,1)的直線與圓x2+y2=4相交于A、BA．x2+(y?C．x2+(y?【答案】B【詳解】設(shè)P(x，y)，A(x1，y1由OA→+OB→=OP→1+k2x2即x=?2k1+k2故選B【變式5-1】1.（21·22·全國·專題練習(xí)）已知拋物線y2=x+1，定點(diǎn)A(3?,?1)?,?B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)【答案】x=【分析】設(shè)B(X?,?Y)、P(x?,?y)，利用定比分點(diǎn)公式求點(diǎn)【詳解】設(shè)B(X?,?Y)、P∴X=32(x?1)①∵B在拋物線y2∴Y2=X+1，把①②代入得(即x=3【變式5-1】2.（21·22·全國·專題練習(xí)）當(dāng)θ在0?,?π2【答案】y=?【分析】將原式配方，得頂點(diǎn)坐標(biāo)，將參數(shù)方程化為普通方程，最后再注明x的范圍即可.【詳解】將原式配方得，y=x?2設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為x?,?消去參數(shù)θ，得x2=?2y+1由于原參數(shù)方程中x的取值范圍是0≤x≤2，而普通方程y=?12x2?1中x【變式5-1】3.（21·22·全國·專題練習(xí)）已知定點(diǎn)P(1,?1)【答案】y=4x2-4x【分析】由題意，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)以及直線方程，聯(lián)立方程，由根的判別式以及韋達(dá)定理，表示出中點(diǎn)坐標(biāo)，消去斜率，可得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,?y)顯然，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y-1=由y-1=kx∴Δ>0，解得：k<4-22或k>4+22而y1+y∴x=k由k<4-22或k>4+22，得：綜上，點(diǎn)M的軌跡方程y=4x2