【教無憂】高中數(shù)學(xué)同步講義（人教B版2019選擇性必修一）重難點(diǎn)10 橢圓方程及性質(zhì)十三大題型

重難點(diǎn)10橢圓方程及性質(zhì)十三大題型匯總技巧一.橢圓是在平面內(nèi)定義的，所以“平面內(nèi)”這一條件不能忽視．定義中到兩定點(diǎn)的距離之和是常數(shù)，而不能是變量．常數(shù)(2a)必須大于兩定點(diǎn)間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷曲線是否為橢圓的限制條件．技巧二.求橢圓方程有兩種方法：1.用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程先根據(jù)橢圓的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓的方程．其中常用的關(guān)系有：①b2＝a2－c2；②橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和等于2a；③橢圓上一短軸頂點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離等于長半軸長a.2.用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟注意：當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，可設(shè)為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可設(shè)為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．技巧三.橢圓定義的應(yīng)用把方程寫成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，得到形式，要想表示：1.焦點(diǎn)在軸上的橢圓，必須要滿足，解這個(gè)不等式就可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．2.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，必須要滿足A>B>0，解這個(gè)不等式就可求出實(shí)數(shù)的取值范圍．技巧四.求橢圓中焦點(diǎn)三角形面積的方法：①根據(jù)橢圓的定義求出|PF1|+PF2|＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積④結(jié)論：S技巧五.和差最值1.線段公理——兩點(diǎn)之間，線段最短。2.對(duì)稱的性質(zhì)——①關(guān)于一條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等。②對(duì)稱軸是兩個(gè)對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線3.三角形兩邊之和大于第三邊。4.三角形兩邊之差小于第三邊。5.垂直線段最短技巧六.離心率問題1．橢圓的離心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq\r(1－\f(b2,a2))，求出eq\f(b,a)后求e.(2)將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式兩邊同除以a2或a4構(gòu)造關(guān)于eq\f(c,a)(e)的方程求e.2．求離心率范圍時(shí)，常需根據(jù)條件或橢圓的范圍建立不等式關(guān)系，通過解不等式求解，注意最后要與區(qū)間(0,1)取交集．技巧七.直線與橢圓的位置關(guān)系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩解，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有一解，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無解，直線與橢圓相離．技巧八.弦長問題1.定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．2.求弦長的方法①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．②根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：|AB|＝1+k2(x1技巧九.弦中點(diǎn)問題的解決方法（1）用“點(diǎn)差法”求解弦中點(diǎn)問題的解題步驟①設(shè)點(diǎn)——設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)；②代入——代入圓錐曲線方程；③作差——兩式相減，再用平方差公式把上式展開；④整理——轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，然后求解．（2）對(duì)于弦中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件Δ>0；在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交．橢圓第三定義：P為橢圓上一點(diǎn)，e為離心率，①A1，A②A1，A以上結(jié)論也適用于雙曲線.題型1橢圓的定義【例題1】（23·24上·六安·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:xA．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】由橢圓的定義可得MF【詳解】因?yàn)镸在C上，由橢圓的定義可得：MF1+當(dāng)且僅當(dāng)MF所以MF1?故選：C.【變式1-1】1.（22·23上·涼山·期末）在平面內(nèi)若曲線C上存在點(diǎn)A，使A到平面內(nèi)兩點(diǎn)M(?1,0)，N(1,0)距離之和為4，則稱曲線C為“美好曲線”，以下曲線C是“美好曲線”的是（

）A．x2+yC．x26?【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義求出動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程，則問題轉(zhuǎn)化為橢圓x2【詳解】依題意AM+AN=4>MN，所以點(diǎn)A在以M(?1,0)，所以a=2、c=1，則b=a2?c2則問題轉(zhuǎn)化為橢圓x2對(duì)于A：x2+y2=16表示圓心為0,0對(duì)于B：雙曲線y22?x2所以點(diǎn)0,±2在橢圓x對(duì)于C：雙曲線x26?y2即點(diǎn)±6,0在橢圓對(duì)于D：橢圓x216+y2顯然4>2、22>3，則橢圓x故選：B【變式1-1】2.（23·24上·東城·期中）設(shè)P為橢圓C:x27+y23=1上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)【答案】(x+2)【分析】由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|=2a=27，|PQ|=|PF2|，從而【詳解】∵P為橢圓C:x27+y延長F1P至點(diǎn)Q，使得∴|PF1|+|P∴|PF∴Q的軌跡是以F1(?2,0)為圓心，∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為(x+2)2故答案為：(x+2)【變式1-1】3.（23·24上·廣州·期中）已知圓x+22+y2=16的圓心為M，點(diǎn)P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N2,0，線段PN的垂直平分線交【答案】x【分析】由垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的定義得出點(diǎn)G的軌跡方程.【詳解】依題意，點(diǎn)M(?2,0)，半徑r=4，線段PN的垂直平分線交PM于G點(diǎn)，則于是GM+因此點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，由2a=4，2c=22，得b所以點(diǎn)G的軌跡C的方程為：x2故答案為：x2【變式1-1】4.（23·24上·四平·期中）已知橢圓C：x216+y27=1【答案】25【分析】先根據(jù)定義得到PF1和【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，所以PF又由均值不等式可得PF當(dāng)且僅當(dāng)PF1=PF故答案為：25【變式1-1】5.（22·23·西安·模擬預(yù)測）P為橢圓x26+y2A．913 B．813 C．219【答案】D【分析】先得到A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，不妨設(shè)A?2,0，B2,0，C0,?1由橢圓定義得到PA+PB=26，進(jìn)而求出PC+PD=2【詳解】x2+y=1中，令x=0得y=±1，令不妨設(shè)A?2,0，B2,0，C0,?1，D則PA+因?yàn)镻A+PB+又CD=2，PC由橢圓定義可知，P點(diǎn)在以C0,?1，D其中2a=26,2c=2，故a=6所以P為橢圓x2由x26+y22=1故選：D【變式1-1】6.（22·23下·廈門·期末）已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊sinA+sinB=4sinCA．23 B．15 C．3 D．4【答案】B【分析】用正弦定理和余弦定理，計(jì)算得到c=2,a+b=8，得到CB+CA=8>AB=2，再利用橢圓的定義，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得面積的最大值.【詳解】因?yàn)閟inA+由正弦定理、余弦定理可得a+b=4c,a?a解得c=2,a+b=8，即CB又由橢圓的定義，可得點(diǎn)C點(diǎn)的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓，其中且長軸長為8，焦距為2，短軸長為215，可得橢圓的方程為x當(dāng)C點(diǎn)在短軸端點(diǎn)時(shí)，△ABC面積最大，最大值12故選：B.題型2橢圓定義的應(yīng)用【例題2】（22·23高二上·北京海淀·階段練習(xí)）若m，n∈R，且mn≠0則“14nA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由(14)n>(1【詳解】由(14)又因?yàn)榉匠蘹2n+由m>n不一定能推出m>n>0，但由m>n>0一定能推出m>n，所以“(14)故選：B.【變式2-1】1.(多選)（22·23高二上·黑龍江哈爾濱·期末）當(dāng)m變化時(shí)，x2A．當(dāng)1<m<3時(shí)，方程表示橢圓B．m<1或m>3是方程表示雙曲線的充要條件C．該方程不可能表示圓D．m=1是方程表示直線的充分不必要條件【答案】ACD【分析】分別列出方程x2【詳解】若該方程表示橢圓，則3?m>0m?1>03?m≠m?1，若該方程表示是雙曲線，則(3?m)(m?1)<0，∴m>3或m<1，故B正確；若該方程表示是圓，則3?m=m?1，∴m=2，即當(dāng)∴m=2時(shí)，此方程表示圓，故C錯(cuò)誤；若該方程不能表示是直線，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.【變式2-1】2.（多選）（22·23高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知曲線C:x2sinA．若θ=π4，曲線C為圓心在原點(diǎn)，半徑為B．若π2C．若C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則πD．若C表示兩條直線，則θ=【答案】BD【分析】分類討論確定方程表示的曲線后判斷各選項(xiàng)?！驹斀狻喀取?0,π2)時(shí)，cos由已知當(dāng)θ∈(0,π4)時(shí)，cosθ>sinθ=π4時(shí)，方程為x2π4<θ<π2時(shí)，θ=π2時(shí)，方程化為π2<θ<π時(shí)，1sinθ綜上AC錯(cuò)，BD正確．故選：BD．【變式2-1】3.（22·23高二上·北京東城·期末）已知點(diǎn)P是曲線ax2+by2①當(dāng)ab>0時(shí)，方程ax②當(dāng)ab<0時(shí)，方程ax③當(dāng)a=124，b=18，且t=4時(shí)，使得④當(dāng)a=124，b=18，且0<t<4時(shí)，使得【答案】②③④【分析】對(duì)①②，根據(jù)方程ax對(duì)③④，求出點(diǎn)P到直線y=x的距離d的取值范圍，對(duì)點(diǎn)P是否為直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論，確定d，t的等量關(guān)系，綜合可得出結(jié)論.【詳解】方程ax2+by2=1中當(dāng)a=b>0時(shí)可表示圓，當(dāng)ab<0時(shí)，在③④中：橢圓方程為x224+設(shè)點(diǎn)P(26cosθ,22sin

d=對(duì)③：t=4時(shí)，(1)若P為直角頂點(diǎn)，如圖1，則|MN|=t=4，d=22<4，滿足△MNP為等腰直角三角形的點(diǎn)圖1(2)若P不是直角頂點(diǎn)，如圖2，則|MN|=t=4，d=4，滿足△PMN是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn)P有兩個(gè)，圖2故t=4時(shí)，使得△MNP是等腰直角三角形的點(diǎn)P有6個(gè)，③正確；對(duì)④：0<t<4時(shí)，(1)若P為直角頂點(diǎn)，如圖1,則|MN|=t，d=t2<4，滿足△MNP(2)若P不是直角頂點(diǎn)，如圖3,則|MN|=t，d=t<4，滿足△MNP是等腰直角三角形的非直角頂點(diǎn)P有四個(gè)，圖3故0<t<4時(shí)，使得△MNP是等腰直角三角形的點(diǎn)P有8個(gè)，④正確；故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】橢圓的參數(shù)方程是x=acosθ,y=bsin【變式2-1】4.（19·20高二上·福建莆田·期末）以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|PA②平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓③若方程x24?t④雙曲線x225?其中真命題的序號(hào)為（寫出所有真命題的序號(hào)）．【答案】③④【解析】①分析k與AB的大小關(guān)系即可判斷軌跡是否為雙曲線；②根據(jù)到兩定點(diǎn)距離之和的大小情況判斷軌跡是否為橢圓；③根據(jù)題設(shè)要求列出不等式組求解出t的范圍即可進(jìn)行判斷；④計(jì)算出橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷對(duì)錯(cuò).【詳解】①當(dāng)k大于AB時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)的軌跡不存在，故錯(cuò)誤；②當(dāng)?shù)絻啥c(diǎn)的距離之和等于常數(shù)時(shí)（常數(shù)為兩定點(diǎn)的距離），此時(shí)軌跡是兩定點(diǎn)連成的線段，故錯(cuò)誤；③因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在x軸上的橢圓，所以4?t>t?1>0，所以1<t<5④雙曲線x225?y29=1故答案為：③④.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與雙曲線的定義辨析、利用方程表示的圖形求解參數(shù)、焦點(diǎn)坐標(biāo)的求解，屬于綜合性問題，難度一般.判斷點(diǎn)的軌跡是否為橢圓或雙曲線，注意對(duì)其中細(xì)節(jié)的把握.【變式2-1】5.（17·18高二下·上海寶山·期末）若z?2i+z?z0【答案】0,6【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義以及橢圓定義列關(guān)于z0的條件，再解不等式得z【詳解】因?yàn)閦?2i+z?z0即|∵|故答案為：0,6【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及橢圓定義，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.題型3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例題3】（22·23高二上·湖南郴州·期末）已知F1、F2是橢圓C:x2a2+y2b2A．x24+C．x24+【答案】A【分析】首先根據(jù)PF1的最值得到a+ca?c=a2?【詳解】因?yàn)镻F1的最大值與最小值之積為3，所以四邊形F1B1所以O(shè)到直線F2B1的距離為32，即所以2c2?c2=3橢圓C:x故選：A【變式3-1】1.（21·22·昆明·一模）已知橢圓M：x2a2+y2=1a>1的中心為O，過焦點(diǎn)F的直線l與M交于A，B兩點(diǎn)，線段A．x22+y2=1 B．x【答案】B【分析】設(shè)A(m,n)，F(xiàn)(a2?1,0)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到P(m+a2?12【詳解】設(shè)A(m,n)，F(xiàn)(a2?1因?yàn)镺P=PF=所以(m?a即(m?a解得m=0，n2=1，所以橢圓M的方程為x2故選：B.【變式3-1】2.（21·22上·渭南·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1A．x29+C．x27+【答案】A【分析】畫出圖形，利用已知條件TP=2TQ，推出PF1=2QF2，延長QF2交橢圓C于點(diǎn)M，得到直角【詳解】如圖所示，TP=2TQ,延長QF2交橢圓C于點(diǎn)M，可得直角△F設(shè)QF2=m根據(jù)橢圓的定義，可得QF在直角△F1MQ中，(2a?2m)又在△F1M代入可得5a2=9所以橢圓C的方程為x2故選：A.【變式3-1】3.（23·24上·揭陽·期末）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1【答案】x【分析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB交x軸于點(diǎn)C，并作出圖，根據(jù)AB⊥AF，直線AB的斜率為?3，得到∠AFC=30°，結(jié)合橢圓的性質(zhì)得到OA=a2，OF=3a2，從而設(shè)直線AB的方程：y=?3【詳解】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB交x軸于點(diǎn)C，如圖所示：由題意知：AB⊥AF，直線AB的斜率為?3，即k所以∠ACF=60°，∠AFC=30°.由橢圓的性質(zhì)知：OA=b，OF=c，則AF=a，所以O(shè)A則A0,a2聯(lián)立x2a2+y所以B43a則S△ABF=1又a>0，所以a=12，即b=a故答案為：x2【變式3-1】4.（22·23上·江北·階段練習(xí)）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1【答案】x【分析】首先證明四邊形PF1Qm+n=2a=8m【詳解】連接PF1,Q所以四邊形PF所以PF1=又∵PF2⊥設(shè)P則由題意得m+n=2a=8m2+則b2=a故答案為：x2【變式3-1】5.（16·17高三上·河南·階段練習(xí)）如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，F(xiàn)(-25,0)為橢圓C的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，滿足|A．x225+y25=1 B．【答案】D【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'，連接PF'，由|OP|=|OF|=OF'可得【詳解】如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'，則F'(2因?yàn)閨OP|=|OF所以PF由橢圓的定義可得2a=|PF又因?yàn)閏=|OF|=2所以橢圓C的方程為x2故選：D題型4橢圓的幾何性質(zhì)【例題4】（22·23高二下·湖北恩施·期末）法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=A．5 B．8 C．4 D．10【答案】B【分析】由勾股定理和基本不等式可得面積最大值，然后可得答案.【詳解】橢圓C的蒙日?qǐng)A的半徑為a2因?yàn)镸P⊥MQ，所以PQ為蒙日?qǐng)A的直徑，所以PQ=2a2因?yàn)镸P?MQ≤MP|2+由△MPQ面積的最大值為28，得a2+12=28，得a=4，故橢圓故選：B．

【變式4-1】1.（22·23高二上·云南臨滄·期末）已知橢圓C:x2m2+1+y2m2=1m≠0的左、右焦點(diǎn)分別為F1A．?1,0∪0,1 C．?1,0∪0,1 【答案】A【分析】由橢圓方程可得a與b的值，結(jié)合圓與橢圓的位置關(guān)系可得m的不等式，求解即可.【詳解】由橢圓C:x2m所以F1?1,0,F21,0，又其方程為x2+y2=1，又點(diǎn)P在C如圖：所以m<1<m2+1，解得?1<m<1且m≠0，所以故選：A【變式4-1】2.（多選）（22·23高二下·湖北·期末）“嫦娥五號(hào)”是中國首個(gè)實(shí)施無人月面取樣返回的月球探測器，是中國探月工程的收官之戰(zhàn)，實(shí)現(xiàn)了月球區(qū)域著陸及采樣返回.如圖所示，月球探測器飛到月球附近時(shí)，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月飛行，然后在P點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ上繞月飛行，最后在Q點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ上繞月飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則以下說法正確的是（

）

A．橢圓軌道Ⅱ的焦距為R?rB．橢圓軌道Ⅱ的短軸長為RrC．若r不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨R的增大而增大D．若R不變，則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨r的增大而增大【答案】AC【分析】根據(jù)圖中幾何關(guān)系列方程組求出a，c，然后可得b，可判斷AB；分離常數(shù)，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷CD.【詳解】在橢圓中，由圖可知PQ=2a=R+ra?c=QF=r，解得a=所以b=R+r22e=ca=R?rR+r=1?2re=ca=R?rR+r=?1+2R故選：AC【變式4-1】3.（22·23高三上·浙江·期末）設(shè)點(diǎn)A，B，C，D是曲線x2100+A．四邊形ABCD有三個(gè)內(nèi)角為銳角 B．四邊形ABCD有三個(gè)內(nèi)角為鈍角C．四邊形ABCD有且僅有三邊相等 D．四邊形ABCD為非等腰的梯形【答案】ABCD【分析】曲線為橢圓，作出符合條件的四邊形ABCD，則說明這樣的四邊形ABCD存在.【詳解】曲線x2100+y2=1為橢圓，點(diǎn)A，取A0,1四邊形ABCD中∠C為鈍角，其余三個(gè)內(nèi)角為銳角，A選項(xiàng)正確；取A?8,四邊形ABCD中∠D為銳角，其余三個(gè)內(nèi)角為鈍角，B選項(xiàng)正確；取A0,1，以A為圓心，2為半徑作弧，與橢圓在第一象限相交于點(diǎn)D，在第四象限相交于點(diǎn)B，D則四邊形ABCD中，AB=CD=DA≠BC，有且僅有三邊相等，C選項(xiàng)正確；直線y=x與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，直線y=x?8與橢圓相交于C,D兩點(diǎn)，如圖所示，則AB//CD，AD≠BC，四邊形故選：ABCD【變式4-1】4.（22·23高二上·福建南平·期末）已知橢圓C：x2a2+y210=1a>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1?c,0、F2c,0【答案】7【分析】先根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理和三角形面積公式可得∠F【詳解】因?yàn)镻是橢圓C上一點(diǎn)，所以PF1+PF由余弦定理cos=4可得PF所以S△即3sin所以sin∠又因?yàn)椤螰1P由PF1=所以3a?c=4c3，即3a=7c，又故答案為：7【變式4-1】5.（19·20上·南平·期末）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1A．1 B．2 C．2 D．2【答案】B【解析】將點(diǎn)P22,32代入橢圓方程得12a【詳解】因?yàn)闄E圓E的離心率為22，所以c因?yàn)闄E圓過點(diǎn)P22,又a2=b所以焦距為2c=2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率及焦距的概念，考查基本運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意焦距是2c而不是c.題型5橢圓的離心率【例題5】（22·23高二上·浙江·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0，點(diǎn)B為直線l:3x?2y+6=0與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)A是直線l上異于BA．263 B．32 C．2【答案】D【分析】分析可知直線l與橢圓C相離，將直線l與橢圓C的方程聯(lián)立，由Δ<0可得出3a2+4b2<36，設(shè)點(diǎn)Pacosθ,bsinθ，其中0≤θ<2π，計(jì)算出點(diǎn)P到直線l的距離d，分析可得d【詳解】若直線l與橢圓C有公共點(diǎn)時(shí)，△PAB的面積不存在最小值，不合乎題意，故直線l與橢圓C相離，聯(lián)立3x?2y+6=0b2Δ=122設(shè)點(diǎn)Pacosθ,b點(diǎn)P到直線l的距離為d==6?3a2+4所以，dmax=6+因?yàn)椤鱌AB面積最大值是它的最小值的5倍，則dmax=5d所以，3a2+4b2當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b3a2+4所以，橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四邊形面積為S=1此時(shí)，c=a2?b2故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得a、c的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.【變式5-1】1.（22·23高二上·四川成都·階段練習(xí)）F1?F2是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)A．89 B．56 C．23【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合向量加法的平行四邊形法則確定|MF1|【詳解】由3MF1+5MF2由∠F1MN=∠F2因此這個(gè)平行四邊形是菱形，有3|MF又|MF1|+|M令橢圓E的半焦距為c，在△F1M由余弦定理得：|F即4c則有e2=c2a2=故選：D【變式5-1】2.（22·23高二上·福建三明·期中）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0）的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，且2PA．1010 B．31010 C．21【答案】B【分析】由已知即向量數(shù)量積定義可得cos∠F1PF【詳解】由題設(shè)2PF1又∠F1P由余弦定理知：cos∠F1所以|PF1||P因?yàn)椤鱂1PF2所以(a+c)r=33b由PF1=3r所以3b2a+c=4c所以e=3a2+21e7b所以目標(biāo)式最小值為310故選：B【變式5-1】3.（21·22高二下·江西贛州·期中）已知橢圓C:x2a2+A．5?12,1 B．0,2?1 【答案】A【分析】設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)后將PF1?PF【詳解】設(shè)Px∵P在橢圓上，∴x∴x02?c2+∴∴e≥5?12，又因?yàn)闄E圓離心率e∈故選：A.【點(diǎn)睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．【變式5-1】4.（21·22上·武漢·期末）已知橢圓C：x2a2+yA．(0,6?12C．(0,3?1] 【答案】D【分析】由題設(shè)易知四邊形MF1NF2【詳解】由橢圓的對(duì)稱性知：|NF1|=|M又|MN|=|F1F所以|MF2|2+|MF所以|MF2|=a?a2綜上，{|MF2所以22故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由橢圓的對(duì)稱性及矩形性質(zhì)可得|MF2|【變式5-1】5.（21·22上·合肥·期末）橢圓E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1A．63 B．23 C．22【答案】D【分析】根據(jù)題意表達(dá)出yP=3y【詳解】因?yàn)椤鱌F1F2的重心為G，設(shè)PxP,yP，Gx1,y1，HxH,yH，所以y1=13yP，因?yàn)镚H故選：D題型6橢圓的弦長【例題6】（22·23高二上·浙江·期中）已知A?1,233,B1,?233,Px0,y0為橢圓C:x23+A．0 B．54 C．53 【答案】B【分析】根據(jù)三角形面積公式及∠APB=∠MPN或∠APB+∠MPN=π得PAPB=【詳解】由S△PAB=S由圖知：當(dāng)P位置變化時(shí)，∠APB=∠MPN或∠APB+∠MPN=π，故sin所以PAPB=PNPM，而直線AP、故PAPBPNPM所以x02?1=(當(dāng)x02?1=當(dāng)1?x02=x所以x0故選：B.【變式6-1】1.（20·21高二上·江西宜春·期末）過橢圓T:x22+y2=1上的焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線l1、l2，A．833,33 B．823【答案】C【解析】當(dāng)直線l1、l2有一條斜率不存在時(shí)，可直接求得AB+CD=32，當(dāng)直線l1、l2的斜率都存在且不為0時(shí)，不妨設(shè)直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為?1【詳解】當(dāng)直線l1、l2有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線此時(shí)AB=22，所以AB+當(dāng)直線l1、l2的斜率都存在且不為0時(shí)，不妨設(shè)直線l1不妨設(shè)直線l1、l所以直線l1:y=k(x?1)，直線聯(lián)立l1與橢圓Ty=k(x?1)x2Δ=(?4x1所以AB=1+同理CD=所以AB+令1+k2=t，因?yàn)閗≠0所以AB+CD=令y=2+1因?yàn)閠>1，所以1t所以y∈2,94所以AB+綜上AB+CD的取值范圍是故選：C【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長公式，求得AB+CD的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解，易錯(cuò)點(diǎn)為需求直線l1【變式6-1】2.（20·21高二上·江西撫州·期末）已知橢圓Ω:x29+y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,B，點(diǎn)P為Ω上一點(diǎn)，且P不在坐標(biāo)軸上，直線AP與直線y=?3交于點(diǎn)C，直線BP與直線y=?3將于點(diǎn)D．設(shè)直線APA．?49 B．?94 C．【答案】A【解析】設(shè)Px0,y0，以及直線PA,PB方程然后聯(lián)立直線y=?3，求解點(diǎn)C與點(diǎn)D【詳解】設(shè)Px0,y0，A?3,0，則k因?yàn)閗PA=k，所以直線AP的方程為y=kx+3，則C的橫坐標(biāo)為?直線BP的方程為y=?19kx?3，則D所以CD=整理得9k2+14k+1=0解得k=?7±2109或k=所以k的所有值的和為?7?2故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵在于得到kPA?kPB=?【變式6-1】3.（多選）（22·23高三上·浙江寧波·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1:x24+y2=1A．若點(diǎn)Q在C2上運(yùn)動(dòng)，則PQ的最大值為B．若l與C1、C．若過P點(diǎn)作C1的切線，則切線唯一且方程為D．若k=2,b∈Z，l與C1【答案】AC【分析】A選項(xiàng)：圓C2的半徑r=7，則PQ的最大值為B選項(xiàng)：畫出圖形，由C1與C2外離，得到公切線有4條，由點(diǎn)到直線距離得到C2C選項(xiàng)：先得到點(diǎn)P在C1上，切線唯一，再考慮過PD選項(xiàng)，利用弦長公式得到l與C1相交弦長，利用垂徑定理得到l與C2的弦長，列出方程，得到【詳解】A選項(xiàng)，C2:x2+點(diǎn)Q在C2上運(yùn)動(dòng)，PQ的最大值為PPC所以|PQ|B項(xiàng)：C1的上頂點(diǎn)與C2的圓心距離為132?1=11所以由圖易知l有4條，C2到3x+2y?4=0距離為C2與3C項(xiàng)：P2,22滿足當(dāng)過P2,22的直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為設(shè)過P2,2聯(lián)立C1:x整理，得1+4k由Δ=42故切線方程為y?22=?D項(xiàng)：分別記l與C1l:y=kx+b與C1:x設(shè)Ax1,則l與C1截得弦長為|AB|=l為圓心C2距離為d=所以|CD|=2R因?yàn)閨AB|=|CD|，所以2k因?yàn)閗=2，所以1017?顯然b≠0，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過圓x?a2+y?b2=過圓x?a2+y?b2=過橢圓x2a2+y過雙曲線x2a2?y【變式6-1】4.（多選）（23·24高三上·江蘇南京·期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:x2a2+y28=1(a>22).過點(diǎn)M2,1作斜率分別為22和?22的兩條直線l1A．C的離心率為22 B．C．1MP+1MQ【答案】ABD【分析】求得P點(diǎn)坐標(biāo)并代入橢圓方程，由此求得a，進(jìn)而求得橢圓的離心率.設(shè)出直線l1和l【詳解】依題意OP=2OM=所以222a所以橢圓C:x216依題意可知直線l1的傾斜角α為銳角，且tan由sinαcosα直線l2的傾斜角β為鈍角，且tan由sinβcosβ設(shè)直線l1的參數(shù)方程為x=2+由2+23解得tQ設(shè)直線l2的參數(shù)方程為x=2?由2?23解得tS所以ST=1MP3×3所以MQMT=MSMP，而所以∠MSQ=∠MPT，所以P,Q,S,T四點(diǎn)共圓.（也可用圓的相交弦定理的逆定理，直接由MP?MQ=所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】待定系數(shù)法求橢圓的方程，可利用題目所給已知條件，列出等量關(guān)系式，由此來求得橢圓方程中的未知參數(shù).四點(diǎn)共圓的證明方法，可利用相交弦定理的逆定理，也可利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”來證明.【變式6-1】5.（2022·四川宜賓·三模）已知點(diǎn)A1,2在曲線E：2mx2+my2=1上，斜率為2的直線l與曲線E交于B，（1）曲線E有兩個(gè)焦點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為?2,0，（2）將曲線E上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的曲線是一個(gè)圓；（3）△ABC面積的最大值為2；（4）線段BC長度的最大值為3．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】（2）（3）【分析】將點(diǎn)A1,2代入曲線E中，即可求出曲線E的方程，即可判斷（1）；將曲線E上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），代入化簡后為以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，即可判斷（2）；設(shè)直線l為：y=2x+m，橢圓與直線聯(lián)立，韋達(dá)定理，表示出BC=3?m22+4，當(dāng)m=0時(shí)，即可求出BC【詳解】點(diǎn)A1,2在曲線E：2mx2+my2=1上，所以m=14，所以曲線將曲線E上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），設(shè)曲線E上任意一點(diǎn)設(shè)為Ex,y，擴(kuò)大后的坐標(biāo)設(shè)為E'x',y'，所以x'=2x設(shè)直線l為：y=2x+m，m≠0，所以聯(lián)立x2Δ=22x1BC=1+k當(dāng)m=1時(shí)，BC=A1,2到直線直線l：y=2S≤12?m2故選：（2）（3）.題型7橢圓的中點(diǎn)弦【例題7】（22·23高二上·河南許昌·期中）已知過橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0左焦點(diǎn)F且與長軸垂直的弦長為32，過點(diǎn)P(2,1)且斜率為-1的直線與C相交于A．6 B．22+3 C．23【答案】D【分析】由過橢圓左焦點(diǎn)F且與長軸垂直的弦長為32，可得b2a=322；由過點(diǎn)P(2,1)且斜率為-1的直線與C相交于A,B兩點(diǎn)，且P【詳解】由題可得F?c,0，其中c>0，且c又由橢圓對(duì)稱性可知，在F正上方且位于橢圓上的點(diǎn)到F距離為322，即此點(diǎn)坐標(biāo)為將其代入橢圓方程有：c2a2+3設(shè)Ax1,y1，Bx2,y則y2又A，B兩點(diǎn)在橢圓上，則x1兩式相減得：x又y22?又b2a=322，則b2故橢圓方程為：x218+y29=1則x0MF=x0有MF=x0則橢圓C上一點(diǎn)M到F的距離的最大值為32故選：D【變式7-1】1.（21·22高二上·重慶沙坪壩·期中）以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的橢圓C1,C2焦點(diǎn)分別在x軸，y軸，離心率分別為e1,e2，直線l交C1,CA．±1 B．±2 C．±2 D．【答案】A【分析】分類討論直線l的斜率存在與不存在兩種情況，聯(lián)立直線與曲線方程，再根據(jù)x1x2【詳解】設(shè)橢圓C1,C2的方程分別為x2直線l的斜率一定存在，故設(shè)直線l的方程為y=kx+m.聯(lián)立{x2a故x1=?km聯(lián)立{x2b則x2=?km因?yàn)閤1x2所以k2又2e12所以a12b22故選：A.【點(diǎn)睛】此題利用設(shè)而不求的方法，找出a1、b1、a2、b【變式7-1】2.（20·21高一下·江西景德鎮(zhèn)·期末）以下五個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①平面內(nèi)到定點(diǎn)A（1，0）和定直線l：x=2的距離之比為12的點(diǎn)的軌跡方程是x②點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是A3,6③平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)λ（λ>0）的點(diǎn)的軌跡是圓；④若動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足x?12+⑤若過點(diǎn)C1,1的直線l交橢圓x24+y23=1于不同的兩點(diǎn)A，B，且其中真命題個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】對(duì)于①：設(shè)動(dòng)點(diǎn)Px,y對(duì)于②：利用幾何法求出PA+對(duì)于③：當(dāng)λ=1時(shí)，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)1的點(diǎn)的軌跡是直線，即可驗(yàn)證；對(duì)于④：利用雙曲線的定義，進(jìn)行判斷；對(duì)于⑤：用“點(diǎn)差法”求出直線方程進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于①：設(shè)動(dòng)點(diǎn)Px,y，由題意可得：PAd=12，即x?12+對(duì)于②：設(shè)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d，則d=PM+12，由拋物線的定義得，d=PF,所以PM=d?12=對(duì)于③：當(dāng)λ=1時(shí)，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于常數(shù)1的點(diǎn)的軌跡是直線，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：“若動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足x?12+y+22對(duì)于⑤：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x=1，AB的中點(diǎn)為（1,0），不符合題意；設(shè)直線l的斜率為k，設(shè)Ax1,因?yàn)锳、B在橢圓x24+y23因?yàn)镃1,1是AB的中點(diǎn)，所以x2+所以直線l的方程是3x+4y?7=0.故⑤正確.故選：B【變式7-1】3.（22·23下·長春·開學(xué)考試）已知直線l與橢圓y26+x2【答案】x?【分析】令A(yù)B的中點(diǎn)為E，利用點(diǎn)差法得到kOE?kAB=?12，再設(shè)直線AB:y=kx+m求出C,D【詳解】依題意，不妨設(shè)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左邊，記AB的中點(diǎn)為E，如圖，設(shè)Ax1,y1，B所以x126所以y1+y設(shè)直線AB:y=kx+m，則k>0，m>0，令x=0得y=m，令y=0得x=?mk，即C?因?yàn)锽C=AD，所以CE=DE，即點(diǎn)E為所以m2?m2k×k=?又CD=23，即CD=mk所以直線AB:y=22x+2故答案為：x?2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，注意Δ的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2、x1（5）代入韋達(dá)定理求解.【變式7-1】4.（20·21上·紹興·期末）已知橢圓C：x24+y2=1，A，B是橢圓C上兩點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)【答案】?1?132,【解析】先利用點(diǎn)差法可求出直線AB的斜率為?3【詳解】設(shè)Ax1,則x124∵M(jìn)12,34故直線AB斜率為?36，則直線AB方程為y?3將直線方程代入橢圓得x2?x?2=0，解得則可得A?1,設(shè)Pm,n，則PA中點(diǎn)為m?12,∵PA，PB的中點(diǎn)均在橢圓C上，則m?1216+2n+3∴P的坐標(biāo)為?1?132,故答案為：?1?132,【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)弦問題，解題的關(guān)鍵是先利用點(diǎn)差法求出直線斜率，進(jìn)而求出A,B坐標(biāo)，再結(jié)合題意求解.【變式7-1】5.（17·18上·江蘇·階段練習(xí)）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4)，離心率e=55【答案】6x?5y?28=0【詳解】由題意得b=4，又e2=c∴橢圓的方程為x2∴橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q(x由三角形重心的性質(zhì)知BF=2FQ，從而解得x0所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,?2)．設(shè)M(x1,y1以上兩式相減得(x∴kMN故直線的方程為y+2=65(x?3)答案：6x?5y?28=0題型8焦三角問題【例題8】（21·22高三上·陜西咸陽·開學(xué)考試）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),FA．35 B．43 C．8【答案】C【分析】利用焦點(diǎn)三角形的面積公式，建立等量關(guān)系，可得c=ea,b=a(1+e)2，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，計(jì)算橢圓的離心率，再結(jié)合焦點(diǎn)三角形的面積公式，求【詳解】由題意可得，△PF1F2的內(nèi)心I(s,1)到x軸的距離就是內(nèi)切圓的半徑.又點(diǎn)P在橢圓C上，∴PF1+PF2+F1F2=2a+2c,∴故選：C.【變式8-1】1.（23·24高三上·山西·階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)【答案】523/【分析】利用e=ca=12可得橢圓C的方程為3x2+4y2?12【詳解】因?yàn)闄E圓C的離心率e=ca=12，所以a=2c，b2=在△AF1F2中，AF過F2且垂直于AF1的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，所以DE為線段AF1的垂直平分線，直線DE的斜率為tan設(shè)Dx1,y1，E所以x1+x所以DE=1+k2x因?yàn)镈E為線段AF1的垂直平分線，所以AD=所以△ADE的周長為AD+故答案為：52【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算Δ；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2、x1（5）代入韋達(dá)定理求解.【變式8-1】2.（2023·遼寧錦州·模擬預(yù)測）已知F1、F2分別為橢圓x24+y22=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F2關(guān)于直線PF1的對(duì)稱點(diǎn)為【答案】233【分析】將對(duì)稱性和橢圓的定義結(jié)合起來，得到PM，PN的和為定值2a，從而知當(dāng)M、N、P三點(diǎn)共線時(shí)，MN的值最大，然后通過幾何關(guān)系求出∠F【詳解】根據(jù)橢圓的方程可知，F(xiàn)1則|PM|+|PN|=|PF此時(shí)∠MP又因∠MPF1在△F1P即8=PF1S故答案為：23

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：焦點(diǎn)三角形的作用在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．【變式8-1】3.（22·23高二上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，斜率為12的直線l經(jīng)過左焦點(diǎn)F【答案】5【分析】由題意得r1r2=?yAy【詳解】如圖所示，由橢圓定義可得AF1+設(shè)△AF1F2的面積為S1，△B所以122a+2cr設(shè)直線l:x=2y?c，則聯(lián)立橢圓方程與直線l，可得x=2y?cb由韋達(dá)定理得：yA+又yA+化簡可得16c2a即36c2=5故答案為：5【變式8-1】4.（多選）（22·23上·吉林·期中）已知點(diǎn)F為橢圓C：x2a2+y2b2=1，a>b>0A．e=74 B．e=33 C．【答案】BD【分析】設(shè)出右焦點(diǎn)F'，根據(jù)橢圓定義結(jié)合對(duì)稱性以及余弦定理得到a,c關(guān)系，則離心率可求，設(shè)出P,M坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法可求得k1?k2【詳解】連接PF'，QF'，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形PFQF所以|PF|+PF'由余弦定理可得(2c)2化簡得c2=13a設(shè)Mx0,所以k1k2=y因?yàn)閏2a2=13，所以故選：BD.【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵在于合理運(yùn)用焦點(diǎn)三角形的知識(shí)以及點(diǎn)差法設(shè)而不求的思想去計(jì)算；橢圓是一個(gè)對(duì)稱圖形，任何過原點(diǎn)的直線(不與焦點(diǎn)所在軸重合)與橢圓相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形.【變式8-1】5.（多選）（22·23高二上·河北滄州·期末）已知F，F(xiàn)'分別為橢圓C:x2A．四邊形AFBF'的周長為16 B．1C．△ABE面積的最大值為2 D．AB⊥AP【答案】BCD【分析】對(duì)A：利用四邊形AFBF'為平行四邊形及橢圓定義可求四邊形對(duì)B：由AF+BF為定值，再結(jié)合基本不等式求對(duì)C：直線AB的方程為y=kxk≠0，與橢圓方程聯(lián)立，將△ABE的面積S=12對(duì)D：設(shè)Pm,n，Ax0,y0，B?x0【詳解】對(duì)于A，連接AF'，BF∴AF+BF=∴四邊形AFBF1AF+2當(dāng)且僅當(dāng)BF=2∵A，B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，∴設(shè)直線AB的方程為y=kxk≠0由x24+y22∴△ABE的面積S=1當(dāng)且僅當(dāng)k=±2對(duì)于D，設(shè)Pm,n，Ax0,y0，則kPA又點(diǎn)P和點(diǎn)A在橢圓C上，m24+n22=1①，x0因?yàn)閗PB=kBE=∴kPA?kAB故選：BCD．題型9和差最值問題【例題9】（19·20上·麗水·期末）已知橢圓x26+y22=1的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P【答案】6?2【解析】求得橢圓的a,b,c，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，可P(22cosθ,22sinθ)，由兩點(diǎn)的距離公式可得2|PA|+|PQ|?|QF|=|PB|+|PQ|+Q【詳解】解：橢圓x26+右焦點(diǎn)為F(2,0)，右焦點(diǎn)為F2(?2,0)點(diǎn)P在圓x2+y2|PA|=2=(2表示點(diǎn)P與B(0,42由橢圓的定義可得?|QF|=Q2|PA|+|PQ|?|QF|=|PB|+|PQ|+QF2當(dāng)且僅當(dāng)B,P,Q,F故2PA+PQ故答案為：6?26【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查圓的參數(shù)方程的運(yùn)用和兩點(diǎn)的距離公式，注意轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查化簡運(yùn)算能力，屬于難題.【變式9-1】1.（17·18下·廈門·期末）已知點(diǎn)M在圓(x?6)2+(y?4)2=1上，點(diǎn)P在橢圓x【答案】?6【詳解】分析：根據(jù)題意，詳解：根據(jù)題意，當(dāng)P,C,F'三點(diǎn)共線時(shí)|PM|?|PF|.點(diǎn)睛：本題考查橢圓的定義，看出最小值IDE求法，屬難題.【變式9-1】2.（多選）（20·21上·常德·階段練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)M(?x?,?y?)分別到兩定點(diǎn)?5,0，5,0連線的斜率的乘積為A．曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1B．若∠F1MC．△F1MD．設(shè)A32，2，則MA【答案】ACD【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)連線斜率的乘積為定值可求得曲線的方程，可得到橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式可得焦點(diǎn)三角形面積，當(dāng)焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓半徑最大時(shí)面積最大，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上方運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知半徑變化是由小到大再變小，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在上頂點(diǎn)處內(nèi)切圓半徑最大，利用等面積法可求得內(nèi)切圓半徑；利用橢圓定義將動(dòng)點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的差，當(dāng)點(diǎn)M在A的上方時(shí)有最大值.【詳解】由題意可知:yx+5?yA項(xiàng)：c2=a2?B項(xiàng)：先推導(dǎo)焦點(diǎn)三角形面積公式：在ΔMF1F2中，設(shè)∠Fcosα=M=(r=4(a∴r1r2∴SΔMF1F2S△MC項(xiàng)：在三角形MF1F2中，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，由橢圓形定義MF1+MF2=10，F(xiàn)1FD項(xiàng)：在三角形MF1F2中,MF1+MF故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線方程的求解、圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)、橢圓第一定義的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題目，解題中首先對(duì)橢圓性質(zhì)要準(zhǔn)確掌握，可以簡化計(jì)算，其次對(duì)字母運(yùn)算能力要求較高.【變式9-1】3.（多選）（21·22上·哈爾濱·期末）已知橢圓C：x2a2+y2bA．橢圓C的焦距為1 B．橢圓C的短軸長為2C．PQ+PF的最小值為23【答案】BD【分析】求出a的值，利用橢圓的定義結(jié)合三點(diǎn)共線可求得c的值，進(jìn)一步求出b的值，可判斷選項(xiàng)AB；利用橢圓的定義結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；設(shè)出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出切線的方程，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闄E圓C的長軸長與圓E的直徑長相等，所以2a=4，即a=2，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)F'?c,0，由橢圓的定義可知所以PQ?所以EF'=25=因?yàn)閏<a=2，所以c=1，即橢圓的焦距為2c=2，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由b=a2?對(duì)于C，PQ+對(duì)于D，若過點(diǎn)F的直線的斜率不存在，則直線方程為x=1，圓心?3,4到直線x=1的距離為4，不合乎題意；設(shè)過點(diǎn)F的切線方程為y=kx?1，即kx?y?k=0，則?3k?k?4k2故選：BD.【變式9-1】4.（多選）（19·20下·濰坊·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為A．QF1B．橢圓C的短軸長可能為2C．橢圓C的離心率的取值范圍為0,D．若PF1=F【答案】AC【分析】利用橢圓的定義計(jì)算判斷A；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)建立不等式，推理計(jì)算判斷BC；求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，列出方程計(jì)算判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，由F1F2=2=2a?(|QF2|?|QP|)≥2a?對(duì)于B，由點(diǎn)P1,1在橢圓內(nèi)部，得1a2+1b2對(duì)于C，因?yàn)?a2+1b2<1解得a2>3+52=(1+5)對(duì)于D，由PF1=F1Q，得F1為線段PQ即a4?11a2+9=0，解得a2=故選：AC

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．【變式9-1】5.（21·22上·海淀·期末）如圖所示，在圓錐內(nèi)放入兩個(gè)球O1，O2，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線相切），切點(diǎn)圓（圖中粗線所示）分別為⊙C1，⊙C2.這兩個(gè)球都與平面α相切，切點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，丹德林（G·Dandelin）利用這個(gè)模型證明了平面α與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2為此橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，這兩個(gè)球也稱為Dandelin雙球.若圓錐的母線與它的軸的夾角為30°，⊙C1，⊙A．6 B．8 C．33 D．【答案】A【解析】在橢圓上任取一點(diǎn)P，可證明△O1PF1?△O1PQ，可得PF1=PQ，設(shè)點(diǎn)P【詳解】在橢圓上任取一點(diǎn)P，連接VP交球O1于點(diǎn)Q，交球O2于點(diǎn)R，連接O1Q，O1F1在△O1PF1與△O1∠O1QP=∠所以△O所以PF1=PQ，設(shè)點(diǎn)P沿圓錐表面到達(dá)則PF當(dāng)且僅當(dāng)P為直線VM與橢圓交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，QR=VR?VQ=r所以最小值為6，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是證明△O1PF1?△O1PQ題型10直線與圓位置關(guān)系【例題10】（21·22高三上·河南·期末）已知橢圓C：x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M為橢圓C上不與A，B重合的任意一點(diǎn)，直線AM與直線x=2交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B，D分別作BP⊥A．有一個(gè) B．有兩個(gè) C．有無數(shù)個(gè) D．不存在【答案】D【分析】由題意，直線AM的斜率存在且不為0，設(shè)AM:y=kx+2(k≠0),則D(2,4k)，BD的中點(diǎn)E為(2,2k)，設(shè)Mx0,y0，聯(lián)立x24+y【詳解】解：由題意，直線AM的斜率存在且不為0，設(shè)AM:y=kx+2(k≠0)，則D(2,4k),BD的中點(diǎn)聯(lián)立x24+y2設(shè)Mx0,y0故有y0=kx當(dāng)k=±12時(shí)，M1,±32所以四邊形BPQD為矩形，所以BP+所以|BP|+|DQ|=|BD|；當(dāng)k≠±12時(shí)，因?yàn)閗M所以直線MF2:y=所以點(diǎn)E到直線MF2的距離d=8k1?4k所以以BD為直徑的圓與直線MF因?yàn)樗倪呅蜝PQD為直角梯形，BD的中點(diǎn)為E，所以BP+綜上，BP+所以不存在使BP+故選：D.【變式10-1】1.（20·21高二上·江蘇無錫·期末）若橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的點(diǎn)(2,53)到右準(zhǔn)線的距離為5A．13 B．±13 C．±【答案】B【解析】點(diǎn)代入橢圓方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線距離和a2=b2+c2，解得a2=9,b【詳解】解：由題意可得4a2+所以橢圓C:x設(shè)l：y=kx+1,設(shè)A(因?yàn)锳M=2由y=kx+1x2則x1+x2=?18k故選：B.【點(diǎn)睛】在運(yùn)用圓錐曲線問題中的設(shè)而不求方法技巧時(shí)，需要做到：①凡是不必直接計(jì)算就能更簡潔地解決問題的，都盡可能實(shí)施“設(shè)而不求”；②“設(shè)而不求”不可避免地要設(shè)參、消參，而設(shè)參的原則是宜少不宜多.【變式10-1】2.（19·20高二上·浙江杭州·期末）已知A(x1,y1),B(xA．6-2 B．4 C．6+2【答案】C【解析】設(shè)2x=m,2y=n,設(shè)C(m1,n1),D(m2,n2),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得OC=(m1【詳解】解：已知A(x1,可得4x12設(shè)C(m1,n1可得m12+可得C、D兩點(diǎn)均在圓m2+n可得ΔCOD為等邊三角形，且CD=1根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知：2x1+y1?12設(shè)CD的中點(diǎn)為E,E到直線x+y?1=0的距離d3則d1可得d1+d可得2x1+y1故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離，綜合性大，屬于難題【變式10-1】3.（22·23下·浙江·期末）橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)(2,0)且上頂點(diǎn)到x軸的距離為1，直線m過點(diǎn)【答案】y=12或y=【分析】先求出橢圓方程，再分類討論直線m的斜率是否存在，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)镋:x2a2+y所以E:x因?yàn)?24+122=12當(dāng)斜率不存在時(shí)，則m:x=1時(shí)，由橢圓對(duì)稱性可得A1,則AB中點(diǎn)為1,0在坐標(biāo)軸上，所以x=1符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)m:y?12聯(lián)立方程x24+則x1+x因?yàn)锳B中點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則x1+x解得k=0或k=12，此時(shí)直線m的方程為y=1綜上所述：所以直線m的方程為y=12或y=1故答案為：y=12或y=1

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：弦中點(diǎn)問題的解法：在解決有關(guān)弦中點(diǎn)、弦所在直線的斜率的斜率問題時(shí)可利用韋達(dá)定理運(yùn)算求解，但要注意直線斜率是否存在．【變式10-1】4.（多選）（22·23高二上·浙江寧波·期末）已知橢圓Q:x29A．若△PFB．若P的坐標(biāo)為1,42C．若過O的直線l交Q于不同兩點(diǎn)A，B，設(shè)PA，PB的斜率分別為k1,D．若A，B是Q的長軸上的兩端點(diǎn)，P不與A,B重合，且AR?AP【答案】BCD【分析】對(duì)A：根據(jù)題意結(jié)合橢圓縱坐標(biāo)的取值范圍分析運(yùn)算；對(duì)B：設(shè)切線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合Δ=0運(yùn)算求解；對(duì)C：利用點(diǎn)差法分析運(yùn)算；對(duì)D：法一：利用點(diǎn)差法的結(jié)論分析可得kAR?kBR【詳解】由橢圓Q:x29設(shè)點(diǎn)PxA項(xiàng)：S=12FB項(xiàng)：顯然過P處切線的斜率存在，設(shè)為k，則切線方程為y=kx?1聯(lián)立方程y=kx?1+4則Δ=整理得32k?1故過P處切線方程為：y=26x?1C項(xiàng)：設(shè)Ax1,則x029則y02?D項(xiàng)：法一：當(dāng)R不與A,B重合時(shí)，由C知：kAP∵kAR?kAP=?1所以kAR設(shè)R(x,y)，則A(?3,0),B(3,0)，kAR可得yx+3?y當(dāng)R與A,B重合時(shí)，滿足題意，符合上式；綜上所述：R的方程為9x法二：設(shè)R(x,y)，則A(?3,0),B(3,0)，可得AR=∵AR?AP=由點(diǎn)Px0,y0在橢圓Q即4y2x故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法定睛：求點(diǎn)的軌跡常用方法：1.直接法：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，代入其滿足的等式化簡整理；2.定義法：根據(jù)題意分析動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件，結(jié)合已知曲線的定義，進(jìn)而求軌跡方程；3.相關(guān)點(diǎn)法：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入相關(guān)點(diǎn)滿足的等式化簡整理；4.參數(shù)法：選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，用參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，再消去參數(shù)，從而得到軌跡方程.【變式10-1】5.（多選）（2023·河北張家口·三模）已知Px1,y1,Qx2,y2是圓x2+A．直線x1xaB．直線ax+by=1與圓x2C．若橢圓C的焦距為2,AP,BQ兩直線的斜率之積為?22D．若AP,BQ兩直線的斜率之積為12，則【答案】BCD【分析】由a=2,b=2時(shí)，點(diǎn)P(12,32)時(shí)，得到直線方程x+23y=8，聯(lián)立方程組，結(jié)合Δ<0，可判定A錯(cuò)誤；由原點(diǎn)到直線ax+by=1的距離為d=1a2+b【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)a=2,b=2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)可以為(可得直線x1xa2+由x+23y=8x24所以直線x+23y=8與橢圓對(duì)于B中，因?yàn)閍>b>1，所以a2+b2>1由點(diǎn)到直線的距離公式，可得d=1所以直線ax+by=1與圓x2對(duì)于C中，橢圓C的焦距為2，可得2c=2，即c=1，不妨設(shè)k1=kAP由原點(diǎn)到直線AP的距離等于1，可得?k1a同理可得k2=b2?1解得a2=2b2?1所以離心率e=c對(duì)于D中，不妨設(shè)kAP>0,kBQ>0所以kAP?k所以e2因?yàn)閎>1，可得0<e2<故選：BCD.

【點(diǎn)睛】解答圓錐曲線的最值與范圍問題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.題型11取值范圍問題【例題11】（19·20高二上·重慶南岸·期末）如圖，α，β，γ是由直線l引出的三個(gè)不重合的半平面，其中二面角α?l?β大小為60°，γ在二面角α?l?β內(nèi)繞直線l旋轉(zhuǎn)，圓C在γ內(nèi)，且圓C在α，β內(nèi)的射影分別為橢圓C1，C2.記橢圓C1，C2的離心率分別為e1A．13,34 B．13,【答案】C【解析】顯然圓在兩平面內(nèi)的射影均為橢圓，且橢圓的長軸都為圓的直徑，設(shè)圓的直徑為2，要求橢圓的離心率，關(guān)鍵是求出其短軸，現(xiàn)將問題平面化，如圖所示，設(shè)AB=2，在平面α內(nèi)的投影為A1B1，平面β內(nèi)的投影為A2B2，設(shè)∠MOH=θ，θ∈0,【詳解】解：顯然圓在兩平面內(nèi)的射影均為橢圓，且橢圓的長軸都為圓的直徑，設(shè)圓的直徑為2，要求橢圓的離心率，關(guān)鍵是求出其短軸，現(xiàn)將問題平面化，如圖所示，設(shè)AB=2，在平面α內(nèi)的投影為A1B1，平面β內(nèi)的投影為A2B2則A1B所以e12∴=1?==1?∵θ∈∴2θ+∴∴1?即e故選：C【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.【變式11-1】1.（19·20高三上·山西運(yùn)城·期末）已知F1，F(xiàn)2為橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是ΔF1PA．0,1 B．0,2 C．0,3 【答案】C【解析】首先延長PF2，F(xiàn)1M交于N=12(PF【詳解】延長PF2，F(xiàn)1M交于因?yàn)辄c(diǎn)Q是ΔF所以PQ平分∠F因?yàn)镕1M⊥PQ，所以PN=PF又因?yàn)镺為F1所以O(shè)M=1所以O(shè)M的取值范圍是：(0,3故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義，同時(shí)考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，屬于難題.【變式11-1】2.（18·19高二上·湖北武漢·期中）橢圓C：x2a2+y2bA．(?16,?10) B．(?10,?394) C．(?16,?【答案】C【分析】根據(jù)橢圓C的長軸長、短軸長和焦距成等差數(shù)列，F(xiàn)(3,0)為橢圓C的右焦點(diǎn)及橢圓中a【詳解】因?yàn)闄E圓C的長軸長、短軸長和焦距成等差數(shù)列所以2a+2c=4b，即a+c=2bF(3,0)為橢圓C在橢圓中，a所以a2=所以橢圓方程為x設(shè)P(m,n)0<m<5則m225+OP?PF==3m?m=3m?=?=?因?yàn)?<m<5，所以當(dāng)m=256時(shí)，OP?當(dāng)m趨近于0時(shí)，OP?所以O(shè)P?PF所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用，向量在解析幾何中的用法，屬于中檔題．【變式11-1】3.（23·24高三上·上海浦東新·期末）已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左，右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若【答案】7【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義、橢圓和雙曲線的離心率公式，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，從而可得1e1?1e2=2，進(jìn)而可得到e1+2e2【詳解】設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為c，PF1=m，P由于△PF1F由PF1=10，即有m=10由橢圓的定義可得m+n=2a1，由雙曲線定義可得則a1=5+c，a2即1e1?所以e1+2e顯然fe2=所以fe所以e1+2e故答案為：73【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意得到1e1?1e2=2，從而得到e1+2【變式11-1】4.（23·24高三上·上海閔行·期末）已知向量b與非零向量a滿足a?b=a?b?1.若“對(duì)任意滿足前式的b【答案】2【分析】先對(duì)條件作幾何解釋，再對(duì)a分類討論即可.【詳解】如圖：設(shè)Aa,0（a>0），向量a則有b?ta=CB，所以點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)范圍總在直線l1:y=a設(shè)Bx,y，則a=a,0，b=x,y∴1?若a=1，則y=0，滿足條件；若a<1，則有x2∴1?a2≤a若a>1，則有x2顯然當(dāng)x→∞時(shí)，y→故答案為：25【變式11-1】5.（17·18高二上·湖北黃岡·期末）過原點(diǎn)作一條傾斜角為θ的直線與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A、B【答案】π【分析】結(jié)合圖像，由題意得2csinθ2+2ccosθ2【詳解】依題意，如圖，設(shè)右焦點(diǎn)F'，連接AF'，B∵FF'=2c，∴AB=2c，則OB=OF∴∠ABF∴在Rt△ABF'中，B∴2csinθ2∵該橢圓的離心率e∈2∴12sinθ∵θ∈0,π，則π∴π3≤θ2+故答案為：π6【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)．有關(guān)橢圓的離心率問題的關(guān)鍵是利用圖形中的幾何條件構(gòu)造a,b,c的關(guān)系,解決橢圓離心率的相關(guān)問題的兩種方法：（1）直接求出a,c的值,可得e；（2）建立a,b,c的齊次關(guān)系式,將b用a,c表示,令兩邊同除以a或a2化為e題型12最值問題【例題12】（22·23高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x23+y2A．494 B．8 C．173 【答案】D【分析】根據(jù)橢圓定義得到PF1+PF2=2a=4，且PF1∈1,3【詳解】由題意得：橢圓C：x23+y2則c2=4?3=1，故由橢圓定義可知：PF設(shè)PF1=t，則由橢圓性質(zhì)可知：P16P其中16=17令4?tt=m，則m=4由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知：y=16m+1m在故當(dāng)m=13時(shí)，y=16m+1故16P等且僅當(dāng)PF故選：D【變式12-1】1.（18·19高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）已知橢圓C1：x2a12+y2b12=1（a1>b1>0）與雙曲線C2：x2a2A．2 B．258 C．198【答案】B【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積相等，即可求得e1【詳解】因?yàn)闄E圓和雙曲線有相同的交點(diǎn)，且∠F則可得b1tan45°=b2tan45°整理得a12+故可得4e12當(dāng)且僅當(dāng)e224e1故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線中焦點(diǎn)三角形的面積涉及均值不等式求最小值，屬綜合困難題.【變式12-1】2.（20·21高三上·浙江嘉興·期末）已知A，B是橢圓C：y23+x2=1短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上不同于A，B的動(dòng)點(diǎn)，若直線PA，PB分別與直線x=?4交于點(diǎn)A．243 B．123 C．65【答案】D【分析】設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由直線PA,PB的方程以及x=?4，求得M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得MN的表達(dá)式，求得MN的最小值，進(jìn)而求得ΔOMN面積的最小值.【詳解】設(shè)Px0,y0,?1<x0<1,y0≠0，則y023+x02=1，即y02=31?x02.依題意A?1,0,B1,0.則直線PA,PB的方程分別為y=y0x0+1x+1,y=y0x0?1x?1，令x=?4，得yM=?3y故選：D

【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線方程，考查三角形面積最值的計(jì)算，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.【變式12-1】3.（22·23高二上·河南駐馬店·期末）已知橢圓C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0與雙曲線C2:x2a22?yA．π3 B．π2 C．2π【答案】A【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義可得PF1=a1+a2PF2【詳解】由題意可知：PF1+又因?yàn)閏a1=由直線PF1與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為0,3在△PF1=a可得24+9e12=2e且e1>0，所以由橢圓性質(zhì)可知：當(dāng)Q為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，∠F此時(shí)sin∠且∠F1QF2∈0,故選：A.

.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于找到cos∠PF1【變式12-1】4.（19·20高二上·天津和平·期末）已知F1,F2橢圓C:x2a2+y2b2A．4 B．92 C．5 D．【答案】B【解析】根據(jù)|F1F2|=4可得c=2，再利用橢圓上的已知點(diǎn)Q可得a與b【詳解】由題意得c=2，因?yàn)辄c(diǎn)Q(2,2)在橢圓所以4a2+2b所以橢圓方程為x2由題意得F1因?yàn)镻是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P(x,y)，由橢圓的參數(shù)方程可得{x=22cos所以P(22又因?yàn)镼(2,則PQ=PF所以PQ=(2?2=?4+8=4?2=?4(sin所以當(dāng)sinα=?24時(shí)，PQ故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)以及參數(shù)方程的應(yīng)用，屬中檔難度題目.【變式12-1】5.（20·21高三下·浙江衢州·階段練習(xí)）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0,1)，以A，B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e1，以C，D為焦點(diǎn)且過點(diǎn)A的橢圓的離心率為e2，若對(duì)任意x∈(0,1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，則t的最大值為（

）A．3 B．5 C．2 D．2【答案】B【解析】根據(jù)余弦定理以及橢圓、雙曲線的定義求出離心率e1【詳解】在等腰梯形ABCD中，過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足于H在ΔADH中，cos由余弦定理可得：B=4+1?2×1×2×(1?x)=1+4x設(shè)雙曲線的實(shí)半軸為a1，橢圓的長半軸為由雙曲線的定義可知：a1=由橢圓的定義可知：a2=所以e1=所以e令m=1+4x?1∈(0,令y=2my所以函數(shù)y=2m+m所以e1+e2故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓以及雙曲線的定義以及簡單的性質(zhì)等，屬于較難題.題型13解答題綜合問題【例題13】（22·23高二下·陜西榆林·期末）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)(1)求C的方程；(2)若過F2且斜率不為0的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，A1，A2分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，直線A1M，A2N分別與直線l1：【答案】(1)x(2)證明見解答【分析】（1）由已知可得bc=3，ca=12，a2=b2+c（2）由題意設(shè)l的方程為x=my+1，Mx1,y1，Nx2,y2，與【詳解】（1）由題意知bc=3，c2=12所以a=2，b=3，c=1故C的方程為x2（2）由（1）知F21,0，A1因?yàn)閘的斜率不為0，故設(shè)l的方程為x=my+1，Mx1,聯(lián)立得x=my+1x24+yΔ=36y1+y直線A1M的斜率kA1M與x=1聯(lián)立可得y=3y1x1同理可求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為1,?y3y2my即3y1x又OF2=1=所以四邊形OTA

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、菱形的判定定理.【變式13-1】1.（22·23高二下·四川涼山·期末）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)M0,1的直線l交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPQ【答案】(1)x(2)2【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a,b,c的方程組，求得a2（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+1，聯(lián)立方程組求得x1+x2=?4k2k2【詳解】（1）解：由題意，橢圓C的離心率為22，點(diǎn)A2,1在橢圓可得a2=b所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程