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…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁(yè),總=sectionpages22頁(yè)第=page11頁(yè),總=sectionpages11頁(yè)2025年浙科版高三數(shù)學(xué)下冊(cè)月考試卷含答案考試試卷考試范圍:全部知識(shí)點(diǎn);考試時(shí)間:120分鐘學(xué)校:______姓名:______班級(jí):______考號(hào):______總分欄題號(hào)一二三四五六總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題(共8題,共16分)1、已知拋物線C:y2=4x,直線l交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,若k1?k2=-2,則△AOB面積的最小值為()A.4B.3C.4D.82、在數(shù)列{an}中,對(duì)于任意的n∈N+,都有=k(k為常數(shù)),則稱{an}為“等差比數(shù)列”.下面對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷:
①等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;
②等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;
③通項(xiàng)公式為an=a?bn+c(a≠0,b≠0;1)的數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”.
其中正確的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.33、數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,an=(n≥3且n∈N),則a2014=()A.1B.2C.D.2-20144、已知a=log0.50.4,b=,c=()則a,b,c的大小關(guān)系是()A.a>c>bB.b>a>cC.c>b>aD.a>b>c5、對(duì)于函數(shù)f(x)定義域中任意x1,x2(x1≠x2),有如下結(jié)論:①f(x1+x2)=f(x1)?f(x2);②?>0,③f()?<.當(dāng)f(x)=2x時(shí),上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是()A.3B.2C.1D.06、△ABC中,已知其面積為,則角C的度數(shù)為()A.135°B.45°C.60°D.120°7、已知某幾何體的三視圖如圖所示;則此幾何體的體積是()
A.
B.
C.
D.
8、右圖是一容量為100的樣本的重量的頻率分布直方圖;則由圖可估計(jì)樣本重量的中位數(shù)為()
A.11B.11.5C.12D.12.5評(píng)卷人得分二、填空題(共8題,共16分)9、已知n∈N*,在坐標(biāo)平面中有斜率為n的直線ln與圓x2+y2=n2相切,且ln交y軸的正半軸于點(diǎn)Pn,交x軸于點(diǎn)Qn,則的值為_(kāi)___.10、已知?jiǎng)訄Ax2+y2-2mx-4my+6m-2=0恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn),這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是____.11、若數(shù)列{an}滿足:a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2),則a3=____.12、(2014秋?長(zhǎng)陽(yáng)縣校級(jí)期中)兩直立矮墻成135°二面角,現(xiàn)利用這兩面矮墻和籬笆圍成一個(gè)面積為54m2的直角梯形菜園(墻足夠長(zhǎng)),已知修筑籬笆每米的費(fèi)用為50元,則修筑這個(gè)菜園的最少費(fèi)用為為_(kāi)___元.13、定義max{x1,x2,x3}為實(shí)數(shù)x1,x2,x3中的較大值,記f(x)=max{sinx,cosx,},則f(x)min=____.14、設(shè)m∈{2,5,8,9},n∈{1,3,4,7},方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則滿足以上條件的橢圓共有____.15、已知函數(shù)y=f(x)在R上是偶函數(shù),對(duì)任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),當(dāng)x1,x2∈[0,3]且x1≠x2時(shí),給出如下命題:
①函數(shù)y=f(x)在[-9;6]上為增函數(shù)。
②直線x=-6是y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸。
③f(3)=0
④函數(shù)y=f(x)在[-9;9]上有四個(gè)零點(diǎn).
其中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi)___.16、【題文】在等差數(shù)列中,公差為前項(xiàng)和為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最大值,則的取值范圍_________.評(píng)卷人得分三、判斷題(共9題,共18分)17、判斷集合A是否為集合B的子集;若是打“√”,若不是打“×”.
(1)A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6}.____;
(2)A={1,3,5},B={1,3,6,9}.____;
(3)A={0},B={x|x2+1=0}.____;
(4)A={a,b,c,d},B={d,b,c,a}.____.18、已知函數(shù)f(x)=4+ax-1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)p,則點(diǎn)p的坐標(biāo)是(1,5)____.(判斷對(duì)錯(cuò))19、判斷集合A是否為集合B的子集;若是打“√”,若不是打“×”.
(1)A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6}.____;
(2)A={1,3,5},B={1,3,6,9}.____;
(3)A={0},B={x|x2+1=0}.____;
(4)A={a,b,c,d},B={d,b,c,a}.____.20、函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]是奇函數(shù).____(判斷對(duì)錯(cuò))21、已知函數(shù)f(x)=4+ax-1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)p,則點(diǎn)p的坐標(biāo)是(1,5)____.(判斷對(duì)錯(cuò))22、已知A={x|x=3k-2,k∈Z},則5∈A.____.23、空集沒(méi)有子集.____.24、任一集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上子集.____.25、若b=0,則函數(shù)f(x)=(2k+1)x+b在R上必為奇函數(shù)____.評(píng)卷人得分四、作圖題(共4題,共8分)26、設(shè)集合U={不大于10的自然數(shù)},A、B是U的兩個(gè)子集,已知A∩B={5,7},?UA∩?UB={0,2,4,9},?UA∩B={1,8},用韋恩圖求集合A、B.27、已知函數(shù)y=(x+1)-2+2.
(1)作出函數(shù)y的圖象;
(2)確定隨x的增加;函數(shù)值y的變化情況;
(3)比較f(-2)與f(-)的大?。?8、設(shè)=(cosx,-1),=(sinx-cosx,-1),函數(shù)f(x)=?-
(1)用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期上的圖象;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間和對(duì)稱中心的坐標(biāo);
(3)求不等式f(x)≥的解集;
(4)如何由y=sinx的圖象變換得到f(x)的圖象.29、如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=BC=2AC=2.
(Ⅰ)若D為AA1中點(diǎn),求證:平面B1CD⊥平面B1C1D;
(Ⅱ)在AA1上是否存在一點(diǎn)D,使得二面角B1-CD-C1的大小為60°.評(píng)卷人得分五、其他(共3題,共6分)30、已知<,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.31、函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),且x∈[0,+∞)時(shí),f(x)=x2-3x,則不等式>0的解集為_(kāi)___.32、解不等式.評(píng)卷人得分六、綜合題(共3題,共27分)33、數(shù)列的通項(xiàng)是an=-,記Sn=a1+a2++an,求使Sn>的n的最小值.34、(2012秋?湖南校級(jí)月考)如圖,△ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚,A、B是南北方向上的兩個(gè)定點(diǎn),正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角,為了使遮陰影面ABD面積最大,遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角的大小為_(kāi)___.35、如圖所示,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F;過(guò)點(diǎn)F且斜率存在的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),已知當(dāng)直線l的斜率為1時(shí),|AB|=8.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)A作拋物線C的切線交直線x=于點(diǎn)D,試問(wèn):是否存在定點(diǎn)M在以AD為直徑的圓上?若存在,求點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案一、選擇題(共8題,共16分)1、C【分析】【分析】由題意可設(shè)直線AB的方程為:x=my+b,與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、利用斜率公式得出直線AB過(guò)定點(diǎn)M(2,0),再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出結(jié)論.【解析】【解答】解:由題意可設(shè)直線AB的方程為:x=my+b.
聯(lián)立,化為y2-4my-4b=0;
∴y1+y2=4m,y1y2=-4b.
∵直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,k1?k2=-2.
∴=-2.
∴y1y2=-8;
∴-4b=-8;
∴b=2.
因此直線AB過(guò)定點(diǎn)M(2;0).
∴△AOB面積S=|y1-y2|=
因此當(dāng)m=0時(shí),△AOB的面積取得最小值4.
故選:C.2、B【分析】【分析】利用等差比數(shù)列的定義,對(duì)于①②只要舉常數(shù)列即可驗(yàn)證它是錯(cuò)的;對(duì)于③,其中k=b即可得出結(jié)論.【解析】【解答】解:當(dāng)?shù)炔顢?shù)列為常數(shù)列時(shí)不滿足題設(shè)的條件;故①不正確.
當(dāng)?shù)缺葦?shù)列為常數(shù)列時(shí);不滿足題設(shè),故②不正確.
把a(bǔ)n=a?bn+c代入,結(jié)果為b;為常數(shù),故③正確.
故選B.3、A【分析】【分析】首先根據(jù)遞推關(guān)系式,求出一部分的值,在觀察出數(shù)列的各項(xiàng)具備的規(guī)律,利用周期最后求出結(jié)果.【解析】【解答】解:數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2;
利用an=(n≥3且n∈N);
則:
1,2,2,1,,,1,2,2,1,,;1,2,
所以:數(shù)列的周期為:6
2014=335×6+4
所以:a2014=a4=1
故選:A4、D【分析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得a>1,化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為根式可得c<b<1,由此得到a,b,c的大?。窘馕觥俊窘獯稹拷猓骸遖=log0.50.4>log0.50.5=1;
b=<,c=;
且b===>c==;
∴a>b>c.
故選:D.5、A【分析】【分析】直接把等式兩邊的變量代入函數(shù)解析式判斷①;
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷②;把等式兩邊的變量代入函數(shù)解析式利用基本不等式判斷③.【解析】【解答】解:∵f(x)=2x;
∴f(x1+x2)=,f(x1)?f(x2)=;
命題①成立;
∵f(x)=2x是定義域內(nèi)的增函數(shù),∴>0;
命題②成立;
f()==≤=.
命題③成立.
∴正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè).
故選:A.6、B【分析】【分析】利用三角形面積公式表示出S,利用余弦定理表示出cosC,變形后都代入已知等式,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求出tanC的值,即可確定出C的度數(shù).【解析】【解答】解:∵cosC=,即a2+b2-c2=2abcosC,S=absinC,且S=(a2+b2-c2);
∴absinC=abcosC;即tanC=1;
∵C為三角形的內(nèi)角;
∴C=45°.
故選B7、C【分析】
由題意可知;三視圖復(fù)原的幾何體是三棱錐,三棱錐的底面是等腰三角形,底邊的邊長(zhǎng)是1,高為1;
三棱錐的一個(gè)側(cè)面垂直底面;并且三棱錐的高為1;
所以三棱錐的體積是:=.
故選C.
【解析】【答案】通過(guò)三視圖復(fù)原的幾何體的形狀;結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的體積.
8、C【分析】【解答】中位數(shù)是把頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分的平行于縱軸的直線橫坐標(biāo).設(shè)中位數(shù)為則將頻率分布直方圖分成兩個(gè)面積相等部分,則有所以=二、填空題(共8題,共16分)9、略
【分析】【分析】設(shè)切線ln的方程為:y=nx+m,由于直線ln與圓x2+y2=n2相切,可得=n,取m=n.可得切線ln的方程為:y=nx+n,可得Pn,Qn,可得|PnQn|.再利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則即可得出.【解析】【解答】解:設(shè)切線ln的方程為:y=nx+m;
∵直線ln與圓x2+y2=n2相切;
∴=n,取m=n.
∴切線ln的方程為:y=nx+n;
∴Pn,Qn.
∴|PnQn|==1+n2.
∴===.
故答案為:.10、略
【分析】【分析】由已知得x2+y2-2=(2x+4y-6)m,從而,由此能求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】【解答】解:x2+y2-2mx-4my+6m-2=0;
∴x2+y2-2=(2x+4y-6)m;
∴;
解得x=1,y=1,或x=,y=;
∴定點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1),或(,).
故答案為:(1,1),或(,).11、略
【分析】【分析】利用遞推公式,結(jié)合遞推思想求解.【解析】【解答】解:∵數(shù)列{an}滿足:a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2);
∴a2=1+6-2=5;
a3=5+9-2=12.
故答案為:12.12、略
【分析】【分析】由題意作出圖形,設(shè)出直角梯形的高和籬笆總長(zhǎng),由面積列式,整理得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得最值,則答案可求.【解析】【解答】解:如圖;
設(shè)CD=xm;籬笆總長(zhǎng)為ym,(x>0,y>0);
則BC=y-2x;
∴;
整理得:;
.
當(dāng)x∈(0;6)時(shí),y′0.
∴當(dāng)x=6;籬笆總長(zhǎng)有最小值18m.
∴修筑這個(gè)菜園的最少費(fèi)用為18×50=900元.
故答案為:900.13、略
【分析】【分析】根據(jù)本題的特點(diǎn),作出三個(gè)函數(shù)的圖象,利用圖象的直觀得出所求最小值是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)交點(diǎn)中縱坐標(biāo)較小的那一個(gè),再由正余弦函數(shù)的性質(zhì)求出值即可【解析】【解答】解:由于;作出三個(gè)函數(shù)的圖象如圖。
f(x)=max{sinx,cosx,}的最小值在如圖的點(diǎn)A處取到;A點(diǎn)是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)交點(diǎn)中縱坐標(biāo)較小的那一個(gè)。
由正余弦函數(shù)的性質(zhì)知,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是-
故答案為-14、略
【分析】【分析】由已知方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,可得m>n>0,在通過(guò)分類討論即可得出.【解析】【解答】解:∵方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;∴m>n>0.
①當(dāng)m=2時(shí);n=1;
②當(dāng)m=5時(shí);n=1,3,4;
③當(dāng)m=8時(shí);n=1,3,4,7;
④當(dāng)m=9時(shí);n=1,3,4,7.
綜上可知:滿足條件的橢圓共有12個(gè).
故答案為12.15、略
【分析】
①因?yàn)楫?dāng)x1,x2∈[0,3],x1≠x2時(shí),有>0成立;故f(x)在[0,3]上為增函數(shù);
又f(x)為偶函數(shù);故在[-3,0]上為減函數(shù),故①錯(cuò)誤;
②令x=-3;由f(x+6)=f(x)+f(3),得f(3)=f(-3)+f(3);
∵y=f(x)在R上是偶函數(shù);∴f(3)=0;
∴f(x+6)=f(x);故f(x)是周期等于6的周期函數(shù).
由于f(x)為偶函數(shù);y軸是對(duì)稱軸;
故直線x=-6也是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸;故②正確.
③令x=-3;則由f(x+6)=f(x)+f(3),函數(shù)y=f(x)在R上是偶函數(shù);
得f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3);故f(3)=0,故③正確.
④函數(shù)f(x)周期為6;故f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0;
故y=f(x)在[-9;9]上有四個(gè)零點(diǎn),故④正確.
故答案為:②③④.
【解析】【答案】①根據(jù)偶函數(shù)f(x)在[0;3]上為增函數(shù),則f(x)在[-3,0]上是減函數(shù),知①不正確;
②將f(3)=0代入;得到f(x+6)=f(x),故f(x)是周期等于6的周期函數(shù),再由f(x)是偶函數(shù)可得,x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸;
③令x=-3;代入f(x+6)=f(x)+f(3),根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù),得到f(3)=0;
④根據(jù)f(3)=0;周期為6,得到f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,有四個(gè)零點(diǎn).
16、略
【分析】【解析】
試題分析:由題意得:所以即
考點(diǎn):等差數(shù)列性質(zhì)【解析】【答案】三、判斷題(共9題,共18分)17、√【分析】【分析】根據(jù)子集的概念,判斷A的所有元素是否為B的元素,是便說(shuō)明A是B的子集,否則A不是B的子集.【解析】【解答】解:(1)1;3,5∈B,∴集合A是集合B的子集;
(2)5∈A;而5?B,∴A不是B的子集;
(3)B=?;∴A不是B的子集;
(4)A;B兩集合的元素相同,A=B,∴A是B的子集.
故答案為:√,×,×,√.18、√【分析】【分析】已知函數(shù)f(x)=ax-1+4,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求出其過(guò)的定點(diǎn).【解析】【解答】解:∵函數(shù)f(x)=ax-1+4;其中a>0,a≠1;
令x-1=0,可得x=1,ax-1=1;
∴f(x)=1+4=5;
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1;5);
故答案為:√19、√【分析】【分析】根據(jù)子集的概念,判斷A的所有元素是否為B的元素,是便說(shuō)明A是B的子集,否則A不是B的子集.【解析】【解答】解:(1)1;3,5∈B,∴集合A是集合B的子集;
(2)5∈A;而5?B,∴A不是B的子集;
(3)B=?;∴A不是B的子集;
(4)A;B兩集合的元素相同,A=B,∴A是B的子集.
故答案為:√,×,×,√.20、×【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可得到答案.【解析】【解答】解:∵x∈[0;2π],定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
故函數(shù)y=sinx不是奇函數(shù);
故答案為:×21、√【分析】【分析】已知函數(shù)f(x)=ax-1+4,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求出其過(guò)的定點(diǎn).【解析】【解答】解:∵函數(shù)f(x)=ax-1+4;其中a>0,a≠1;
令x-1=0,可得x=1,ax-1=1;
∴f(x)=1+4=5;
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1;5);
故答案為:√22、×【分析】【分析】判斷5與集合A的關(guān)系即可.【解析】【解答】解:由3k-2=5得,3k=7,解得k=;
所以5?Z;所以5∈A錯(cuò)誤.
故答案為:×23、×【分析】【分析】根據(jù)空集的性質(zhì),分析可得空集是其本身的子集,即可得答案.【解析】【解答】解:根據(jù)題意;空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;
即空集是其本身的子集;則原命題錯(cuò)誤;
故答案為:×.24、×【分析】【分析】特殊集合?只有一個(gè)子集,故任一集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上子集錯(cuò)誤.【解析】【解答】解:?表示不含任何元素;?只有本身一個(gè)子集,故錯(cuò)誤.
故答案為:×.25、√【分析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可作出判斷.【解析】【解答】解:當(dāng)b=0時(shí);f(x)=(2k+1)x;
定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
且f(-x)=-(2k+1)x=-f(x);
所以函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù).
故答案為:√.四、作圖題(共4題,共8分)26、略
【分析】【分析】畫出韋恩圖,寫出集合A、B即可.【解析】【解答】解:韋恩圖如右圖:
則集合A={3;6,10,5,7};
B={5,7,1,8}.27、略
【分析】【分析】(1)函數(shù)y=x-2是偶函數(shù);在(0,+∞)上遞減,以坐標(biāo)軸為漸近線,且過(guò)點(diǎn)(1,1).
(2)利用函數(shù)圖象可得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間;
(3)由函數(shù)圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱,可得f(-2)=f(0);利用單調(diào)性可得f(-)>f(0),進(jìn)而得出答案.【解析】【解答】解:(1)先做出偶函數(shù)y=x-2的圖象;
再向左平移1個(gè)單位;
最后向上平移2個(gè)單位.得到y(tǒng)=(x+1)-2+2的圖象;
(2)由圖象可知:
當(dāng)x∈(-∞;-1)時(shí),隨x的增加,函數(shù)值y也增加;
當(dāng)x∈(-1;+∞)時(shí),隨x的增加,函數(shù)值y減?。?/p>
(3)由圖可知f(-2)=f(0);
f(-)>f(0);
∴f(-)>f(-2).28、略
【分析】【分析】(1)運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二倍角公式及兩角差的正弦公式;化簡(jiǎn)f(x),再由五點(diǎn)法畫圖步驟,即可得到一個(gè)周期內(nèi)的圖象;
(2)由圖象求得一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間和對(duì)稱中心;再由周期即可得到;
(3)可令+2kπ≤2x-≤+2kπ;解不等式即可得到解集;
(4)運(yùn)用圖象變換的特點(diǎn),先相位變換,再周期變換,即可得到.【解析】【解答】解:(1)由=(cosx,-1),=(sinx-cosx;-1);
則函數(shù)f(x)=?-=cosx(sinx-cosx)+1-
=sinxcosx-cos2x+═sin2x-cos2x=sin(2x-).
列表如下:
。2x-0π2πxf(x)00-0描點(diǎn)畫出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期上的圖象;如圖所示:
(2)由圖象可得[,]內(nèi)的減區(qū)間為[,]
則函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+,kπ+](k∈Z);
由2x-=kπ(k∈Z),可得x=+;
即有對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(+;0).
(3)不等式f(x)≥即為sin(2x-)≥;
即有+2kπ≤2x-≤+2kπ,(k∈Z),可得+kπ≤x≤kπ+;
則解集為{x|+kπ≤x≤kπ+}(k∈Z);
(4)先將y=sinx的圖象向右平移個(gè)單位,可得y=sin(x-)的圖象;
再將所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半(縱坐標(biāo)不變),可得y=sin(2x-)的圖象.29、略
【分析】【分析】法一(Ⅰ)D為AA1中點(diǎn),推出平面B1CD內(nèi)的直線CD,垂直平面B1C1D內(nèi)的兩條相交直線DC1,B1C1可得CD⊥平面B1C1D;即可得到
平面B1CD⊥平面B1C1D;
(Ⅱ)在平面ACC1A1內(nèi)過(guò)C1作C1E⊥CD,交CD或延長(zhǎng)線或于E,連EB1,則EB1⊥CD,可得∠B1EC1為二面角B1-CD-C1的平面角;設(shè)AD=x;
△DCC1的面積為1求出x,在AA1上存在一點(diǎn)D滿足題意.
法二:(Ⅰ)建立空間直角坐標(biāo)系.計(jì)算,推出CD⊥平面B1C1D,可得平面B1CD⊥平面B1C1D.
(Ⅱ)設(shè)AD=a,則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,a),通過(guò)計(jì)算求出a,即可說(shuō)明在AA1上存在一點(diǎn)D滿足題意.【解析】【解答】解法一:(Ⅰ)證明:∵∠A1C1B1=∠ACB=90°
∴B1C1⊥A1C1
又由直三棱柱性質(zhì)知B1C1⊥CC1(1分)∴B1C1⊥平面ACC1A1.
∴B1C1⊥CD(2分)
由AA1=BC=2AC=2,D為AA1中點(diǎn),可知;
∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1(4分)
又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D
又CD?平面B1CD
故平面B1CD⊥平面B1C1D(6分)
(Ⅱ)解:當(dāng)時(shí)二面角B1-CD-C1的大小為60°.(7分)
假設(shè)在AA1上存在一點(diǎn)D滿足題意;
由(Ⅰ)可知B1C1⊥平面ACC1A1.
如圖,在平面ACC1A1內(nèi)過(guò)C1作C1E⊥CD,交CD或延長(zhǎng)線或于E,連EB1,則EB1⊥CD
所以∠B1EC1為二面角B1-CD-C1的平面角(8分)
∴∠B1EC1=60°
由B1C1=2知,(10分)
設(shè)AD=x,則
∵△DCC1的面積為1∴
解得,即
∴在AA1上存在一點(diǎn)D滿足題意(12分)
解法二:
(Ⅰ)如圖,以C為原點(diǎn),CA、CB、CC1
所在直線為x;y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0;0,2),D(1,0,1).
即(2分)
由得
由得(4分)
又DC1∩C1B=C1
∴CD⊥平面B1C1D又CD?平面B1CD
∴平面B1CD⊥平面B1C1D(6分)
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)二面角B1-CD-C1的大小為60°.(7分)
設(shè)AD=a;則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,a);
設(shè)平面B1CD的法向量為
則由令z=-1
得(8分)
又∵為平面C1CD的法向量
則由(10分)
解得,故.
∴在AA1上存在一點(diǎn)D滿足題意(12分)五、其他(共3題,共6分)30、略
【分析】【分析】令y=,由冪函數(shù)的性質(zhì),可得在(0,+∞)上遞減,在(-∞,0)上遞減,由<;
可得或或,分別求解,再求并集即可.【解析】【解答】解:令y=;
由冪函數(shù)的性質(zhì);可得。
在(0;+∞)上遞減,在(-∞,0)上遞減;
由<;
可得或或;
即有或或;
則有-<a<3或a∈?或a<-4.
即有實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-4)∪(-,3).31、略
【分析】【分析】求出f(x)=,轉(zhuǎn)為>0,即或求解即可.【解析】【解答】解:∵函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù);
∴f(-x)=-f(x);
∵x∈[0,+∞)時(shí),f(x)=x2-3x;
∴設(shè)x<0,-x>0,f(x)=-f(-x)=-[x2+3x]=-x2-3x;(x<0)
∴f(x)=
∵不等式>0;
∴>0;
∴或
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