2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式綜合能力測(cè)試

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式綜合能力測(cè)試（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，設(shè)集合，，則為的真子集.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B2．若且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A：當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，滿足，，不成立，故B錯(cuò)誤；C：，因?yàn)?，所以，得，即，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，滿足，，不成立，故D錯(cuò)誤.故選：C3．由于豬肉的價(jià)格有升也有降，小張想到兩種買肉方案.第一種方案：每次買3斤豬肉；第二種方案：每次買50元豬肉.下列說法正確的是（

）A．采用第一種方案劃算 B．采用第二種方案劃算C．兩種方案一樣 D．采用哪種方案無法確定【答案】B【解析】不妨設(shè)兩次購(gòu)買豬肉的價(jià)格分別為，，第一種方案，均價(jià)為，第二種方案，均價(jià)為，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以采用第二種方案劃算.故選：B4．若變量x，y滿足約束條件，，則的最小值為（

）A．-7 B．-6 C．-5 D．-4【答案】B【解析】設(shè)，故且，所以，故，由于，，所以，，故最小值為，此時(shí)，故選：B.5．若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，不等式為對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，符合題意，當(dāng)時(shí)，要使得不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則，解得，綜上所述，的取值范圍為.故選：D．6．不等式的解集為（

）．A．或 B．或C．或 D．【答案】B【解析】由，得或，解得或，所以不等式的解集為或.故選：B.7．設(shè)表示與的最大值，若，都是正數(shù)，，則的最小值為（

）A． B．3 C．8 D．9【答案】B【解析】由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3.故選：B8．存在三個(gè)實(shí)數(shù)，使其分別滿足下述兩個(gè)等式：（1）（2）其中M表示三個(gè)實(shí)數(shù)中的最小值，則（

）A．M的最大值是 B．M的最大值是C．M的最小值是 D．M的最小值是【答案】B【解析】由已知得，中必有個(gè)正數(shù)，1個(gè)負(fù)數(shù)，設(shè)，，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以，由得，，即，所以，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若，則下列不等式恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】對(duì)于A，，，，，，即，A正確；對(duì)于B，，，，，，即，B正確；對(duì)于C，當(dāng)，，，時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，，，時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AB.10．若正實(shí)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．有最大值為 B．有最小值為C．有最小值為 D．有最大值為【答案】ABC【解析】對(duì)于A：因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故A正確，對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確，對(duì)于C：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C正確，對(duì)于D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，這與均為正實(shí)數(shù)矛盾，故D錯(cuò)誤，故選：ABC．11．已知，且，以下說法正確的是（

）A．中至少有一個(gè)不大于1 B．C． D．若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A,若均大于1,那么,矛盾,所以中至少有一個(gè)不大于1,A正確.對(duì)于B,,當(dāng)且僅當(dāng)""時(shí),等號(hào)成立,B正確.對(duì)于C,.所以:,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,C錯(cuò)誤.對(duì)于D,,,即,則,D正確.故選：ABD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知不等式的解集為，則=，=【答案】【解析】依題意，不等式的解集為，所以，解得.故答案為：；13．一元二次不等式的解集為.【答案】【解析】由得，所以的解集為.故答案為：.14．若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】/【解析】由可得，可得；而，所以，解得；當(dāng)且僅當(dāng)，也即時(shí)，上式右邊等號(hào)成立；此時(shí)的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）求解下列不等式：(1)(2)【解析】（1）因?yàn)椋?，解得；?）因?yàn)椋?，即，此時(shí)有，解得．16．（15分）2022年新冠肺炎仍在世界好多國(guó)家肆虐，并且出現(xiàn)了傳染性更強(qiáng)的“德爾塔”變異毒株、“拉姆達(dá)”變異毒株，盡管我國(guó)疫情得到了很好的遏制，但由于整個(gè)國(guó)際環(huán)境的影響，時(shí)而也會(huì)出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢(shì)依然嚴(yán)峻，日常防護(hù)依然不能有絲毫放松．在日常防護(hù)中，醫(yī)用防護(hù)用品必不可少，某公司一年購(gòu)買某種醫(yī)用防護(hù)用品600噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的存儲(chǔ)費(fèi)用為萬元.一年的總費(fèi)用y（萬元）包含運(yùn)費(fèi)與存儲(chǔ)費(fèi)用.(1)要使總費(fèi)用不超過公司年預(yù)算260萬元，求x的取值范圍.(2)要使總費(fèi)用最小，求x的值.【解析】（1）因?yàn)楣疽荒曩?gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買x噸，所以購(gòu)買貨物的次數(shù)為，故，化簡(jiǎn)得，解得，所以x的取值范圍為.（2）由（1）可知，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，一年的總費(fèi)用最小，故x的值為30.17．（15分）已知不等式.(1)當(dāng)時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）①若，則原不等式可化為，顯然恒成立，②若，則不等式恒成立，等價(jià)于，解得，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.（2）①當(dāng)時(shí)，則原不等式可化為，顯然恒成立，②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，若時(shí)不等式恒成立，則，解得，③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向下，若時(shí)不等式恒成立，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.18．（17分）根據(jù)要求完成下列問題：(1)若、、.①求證：；②求證：；③在②中的不等式中，能否找到一個(gè)代數(shù)式，滿足所求式？若能，請(qǐng)直接寫出該代數(shù)式；若不能，請(qǐng)說明理由.(2)設(shè)，求證：成立的充要條件是.【解析】（1）①∵，且、，∴，∴；②∵，∴，又，∴，∴，∴，∵、，∴，由（1）知，∴，∴；③∵，，∴或（只要寫出其中一個(gè)即可）；（2）①充分性：如果，則有和兩種情況，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則、，等式成立，當(dāng)時(shí)，則、，等式成立，當(dāng)時(shí)，等式成立，當(dāng)時(shí)，即、或、，當(dāng)、時(shí)，、，等式成立，當(dāng)、時(shí)，、，等式成立，∴當(dāng)時(shí)，等式成立，∴當(dāng)時(shí)，成立，②必要性：若且，則，即，則，故，綜上所述，是等式成立的充要條件.19．（17分）已知關(guān)于的不等式．(1)當(dāng)，時(shí)，求原不等式的解集；(2)在（1）的條件下，若原不等式恰有個(gè)整數(shù)解，求的取值集合．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，即，又，則所以，即不等式的解集為；（2）在（