初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級專題17 不等式（組）的應(yīng)用

專題17不等式(組)的應(yīng)用閱讀與思考許多數(shù)學(xué)問題和實際問題所求的未知量往往受到一些條件的限制，可以通過數(shù)量關(guān)系和分析，列出不等式(組)，運用不等式的有關(guān)知識予以求解，不等式(組)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在：1．作差或作商比較有理數(shù)的大?。?．求代數(shù)式的取值范圍．3．求代數(shù)式的最大值或最小值．4．列不等式(組)解應(yīng)用題．列不等式(組)解應(yīng)用題與列方程(組)解應(yīng)用題的步驟相仿，關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上，將一些詞語轉(zhuǎn)化為不等式．如“不大于”“不小于”“正數(shù)”“負(fù)數(shù)”“非正數(shù)”“非負(fù)數(shù)”等對應(yīng)不等號：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”．例題與求解【例1】如果關(guān)于的方程只有負(fù)根，那么的取值范圍是_________．(遼寧省大連市“育英杯”競賽試題)解題思路：由＜0建立關(guān)于的不等式．【例2】已知A＝，B＝，C＝，則有()．A．A＞B＞CB．C＞B＞AC．B＞A＞CD．B＞C＞A(浙江省紹興市競賽試題)解題思路：當(dāng)作差比較困難時，不妨考慮作商比較【例3】已知，，，，，，是彼此不相等的正整數(shù)，它們的和等于159，求其中最小數(shù)的最大值．(北京市競賽試題)解題思路：設(shè)＜＜＜···＜，則+++···+＝159，解題的關(guān)鍵是怎樣把多元等式轉(zhuǎn)化為只含的不等式．【例4】一玩具廠用于生產(chǎn)的全部勞力為450個工時，原料為400個單位，生產(chǎn)一個小熊玩具要使用15個工時、20個單位的原料，售價為80元；生產(chǎn)一個小貓玩具要使用10個工時、5個單位的原料，售價為45元．在勞力和原料的限制下合理安排生產(chǎn)小熊玩具、小貓玩具的個數(shù)，可以使小熊玩具和小貓玩具的總售價盡可能高．請用你所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識分析，總售價是否可能達(dá)到2200元．(“希望杯”邀請賽試題)解題思路：列不等式的關(guān)鍵是勞力限制在450個工時，原料限制為400個單位．引入字母，把方程和不等式結(jié)合起來分析．【例5】某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分，2分，5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣多于2分的硬幣，請你據(jù)此設(shè)計兌換方案．(河北省競賽試題)解題思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合組，把解方程組、解不等式組結(jié)合起來．【例6】已知，皆為自然數(shù)，且1＜＜．若，．求的值．(香港中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題)解題思路：此題可理解為在個連續(xù)自然數(shù)中去除其中一個數(shù)(且1＜＜，是非兩頭的兩個數(shù))，使剩余的數(shù)的平均數(shù)等于10，求和之和。能力訓(xùn)練A級1.若方程的解小于零，則的取值范圍是___________．2.若方程組的解為，，且2＜＜4，則－的取值范圍是___________．（山東省聊城市中考試題）3.，，，是正整數(shù)，且＋＝20，＋＝24，＋＝22，設(shè)＋＋＋的最大值為M，最小值為N，則M－N＝_________．（重慶市競賽試題）4．一輛公共汽車上有名乘客，到某一車站時有名乘客下車，則車上原有______________名乘客．（吉林省長春市中考試題）5．一個盒子里裝有紅、黃、白三種顏色的球，若白球至多是黃球的，且至少是紅球的，黃球與白球合起來不多于55個，則盒子中至多有紅球__________個．(河北省競賽試題)6．若，且≥2，則()A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值(浙江省杭州市中考題)7．設(shè)，，則P，Q的大小關(guān)系是（）．A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．不能確定8．小芳和爸爸、媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重一共為150千克，爸爸坐在蹺蹺板的一端，體重只有媽媽一半的小芳和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端，這時，爸爸的那一端仍然著地，請你猜一猜小芳的體重應(yīng)小于()A．49千克B．50千克C．24千克D．25千克(山東省煙臺市中考試題)9．中國第三屆京劇藝術(shù)節(jié)在南京舉行，某場京劇演出的票價有2元到100元多種，某團(tuán)體需購買票價6元和10元的票共140張，其中票價為10元的票數(shù)不少于票價為6元的票數(shù)的2倍．問這兩種票各購買多少張所需的錢最少?最少需要多少錢?(江蘇省競賽試題)10．某港受潮汐的影響，近日每天24小時港內(nèi)的水深變化大體如圖所示：一艘貨輪于上午7時在該港碼頭開始卸貨，計劃當(dāng)天卸完貨后離港．已知這艘貨輪卸完貨后吃水深度為2.5m(吃水深度即船底與水面的距離)．該港口規(guī)定：為保證航行安全，只有當(dāng)船底與港內(nèi)水底間的距離不少于3.5m時，才能進(jìn)出該港．根據(jù)題目中所給的條件，回答下列問題：(1)要使該船能在當(dāng)天卸完貨并安全出港，則出港時水深不能少于_______m，卸貨最多只能用______小時；(2)已知該船裝有1200噸貨，先由甲裝卸隊單獨卸，每小時卸180噸，工作了一段時間后，交由乙隊接著單獨卸，每小時卸120噸．如果要保證該船能在當(dāng)天卸完貨并安全出港，則甲隊至少應(yīng)該工作幾小時，才能交給乙隊接著卸？（江蘇省蘇州市中考試題）B級1．設(shè)，，，都是整數(shù)，且＜3，＜5，＜7，＜30，那么的最大可能值為_______．（“新世紀(jì)杯”數(shù)學(xué)競賽試題）2．某賓館底樓客房比二樓少5間，某旅游團(tuán)有48人，若全安排住底樓，每間住4人，房間不夠；每間住5人，有房間沒有住滿5人．又若全安排在二樓，每間住3人，房間不夠；每間住4人，有房間沒有住滿4人，該賓館底樓有客房___________間．3．已知＜0，滿足不等式，那么的取值范圍是___________．4．若，滿足，S＝，則S的取值范圍是__________．(廣西競賽試題)5．已知，，，…，是彼此互不相等的負(fù)數(shù)，且M＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，N＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，那么M與N的大小關(guān)系是()A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．無法確定(江蘇省競賽試題)6．某出版社計劃出版一套百科全書，固定成本為8萬元，每印刷一套增加成本20元．如果每套書定價100元，賣出后有3成收入給經(jīng)銷商，出版社要盈利10％，那么該書至少要發(fā)行()套．A．2000B．3000C．4000D．5000(“希望杯”邀請賽試題)7．今有濃度為5％，8％，9％的甲、乙、丙三種鹽水分別為60克，60克，47克，現(xiàn)要配制濃度為7％的鹽水100克，問甲種鹽水最多可用多少克?最少可用多少克?(北京市競賽試題)8．為了迎接世界杯足球賽的到來，某足球協(xié)會舉辦了一次足球聯(lián)賽，其記分規(guī)則與獎勵方案如下表：勝一場平一場負(fù)一場積分310獎金（元/人）15007000當(dāng)比賽進(jìn)行到第12輪結(jié)束(每隊均需比賽12場)時，A隊共積19分．(1)請通過計算，判斷A隊勝、平、負(fù)各幾場．(2)若每賽一場，每名參賽隊員均得出場費500元．設(shè)A隊其中一名參賽隊員所得的獎金與出場費的和為W(元)，試求W的最大值。(黑龍江省中考試題)9．為實現(xiàn)區(qū)域教育均衡發(fā)展，我市計劃對某縣A，B兩類薄弱學(xué)校全部進(jìn)行改造．根據(jù)預(yù)算，共需資金1575萬元，改造一所A類學(xué)校和兩所．B類學(xué)校共需資金230萬元；改造兩所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校共需資金205萬元．(1)改造一所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校所需的資金分別是多少萬元?(2)若該縣的A類學(xué)校不超過5所，則B類學(xué)校至少有多少所?(3)我市計劃今年對該縣A，B兩類學(xué)校共6所進(jìn)行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔(dān)，若今年國家財政撥付的改造資金