北京第一七九中學(xué)2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理第一次診斷性考試含解析

北京第一七九中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理第一次診斷性考

試含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.已知直線，方程為了?>)=°白5,乃)和舄分別為直線，上和，外的點(diǎn)，則

方程/(")-/("】)-/(與仍)=。表示()

A.過(guò)點(diǎn)片且與‘垂直的直線B.與‘重合的直線

C.過(guò)點(diǎn)舄且與，平行的直線D.不過(guò)點(diǎn)鳥(niǎo)，但與，平

行的直線

參考答案：

C

略

2.兩個(gè)變量x,y與其線性相關(guān)系數(shù)r有下列說(shuō)法

(1)若r>0,則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大：

(2)若rvO,則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；

(3)若或「=一3則x與y的關(guān)系完全對(duì)應(yīng)有函數(shù)關(guān)系［，在做點(diǎn)圖上各個(gè)散點(diǎn)

均在一條直統(tǒng)上，其中正確的有，

A.(D@B.@?C.(D?D.

參考答案:

C

3.K的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()

A.—12B.—6C.6D.12

參考答案：

C

【分析】

化簡(jiǎn)二項(xiàng)式的展開(kāi)式，令X的指數(shù)為零，求得常數(shù)項(xiàng).

【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為心=《*尸.-力'=(T)V二令

2z-4=0,r=2故常數(shù)項(xiàng)為(T)'*C?=6,故選c.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，考查二項(xiàng)式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，屬于

基礎(chǔ)題.

4,用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式/⑶=6/>5?+4/+3*+2/+"7在x=0.6時(shí)的值

時(shí).，需做加法與乘法的次數(shù)和

是(

)

A.12B.11C.10

D.9

參考答案：

A

5.已知4-耳=(：,那么n的值

是()

(A)12(B)13(C)14(D)15

參考答案：

C

6.如圖，在正方體ABCD-AiBiGDi中，M.N分別為Ai&、CCi的中點(diǎn)，P為AD上一動(dòng)

點(diǎn)，記q為異面直線PM與。川所成的角，則a的集合是()

A.{9B.娓WaW多

C.{靖Wawg}D.謁姿盡錄

參考答案：

A

略

2位

7.已知函數(shù)丁二不+】的圖像上一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1+Az2+?),則山等于

A.2+3)2B.2+AxC,2xD.2

參考答案：

B

略

8.若橢圓與雙曲線的離心率之積等于1,則稱這組橢圓司雙曲線為李生曲線.已知曲線

Ci：925一與雙曲線C2是李生曲線，且曲線C2與曲線G的焦點(diǎn)相同，則曲線C2的

漸近線方程為

3.34

y=-xv=±-xy=-x

A.4B.4c.3

J

y=±-x

D.3

參考答案：

D

2i

9.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)13r等于（）

A.-1+iB.1-iC.2+2iI）.1+i

參考答案：

A

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算.

【分析】復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共枕復(fù)數(shù)，虛數(shù)單位i的導(dǎo)運(yùn)算性質(zhì)，把式子化簡(jiǎn)

到最簡(jiǎn)形式.

2i2i（l+i）-2+2i

［解答］解：復(fù)數(shù)13r=（l-i）（l+i）=2=-1+i,

故選A.

10.已知雙曲線C的焦點(diǎn)、實(shí)軸端點(diǎn)分別恰好是橢圓25的長(zhǎng)軸端點(diǎn)、焦點(diǎn)，則雙曲

線C的漸近線方程為（）

A.4x±3y=0B.3x±4y=0C.4x±5y=0D.5x±4y=0

參考答案：

A

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【專題】計(jì)算題.

【分析】依據(jù)題意，求得雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和實(shí)軸端點(diǎn)坐標(biāo)，求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，

從而求得雙曲線C的漸近線方程.

【解答】解：橢圓西+金口的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為（±5,0）,焦點(diǎn)為（±3,0）.

由題意可得，對(duì)雙曲線C,焦點(diǎn)（±5,0）,實(shí)軸端點(diǎn)為（±3,0）,??.a=3,c=5,b=4,

故雙曲線C的方程為百T6=1,故漸近線方程為y=±豆I即4x±3y=0,

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

方程是解題的關(guān)鍵.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.方程夕=3”+2的解為；

參考答案：

log32

12.設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P(-1,0)的直線1交拋物線C于兩點(diǎn)A,B,

點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，若|FQ|=2,則直線1的斜率等于.

參考答案：

不存在

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；直線的斜率.

【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

ipy=x+l

<2

【分析】由題意設(shè)直線1的方程為my=x+l,聯(lián)立〔y二盤得到y(tǒng)2?4my+4=0,A=16ni:-

2

16=16(m-1)>0.設(shè)A(xi,Y)),B(x2,ya)?Q(x0,y0).利用根與系數(shù)的關(guān)系可

二丫產(chǎn)2

得y1+y2=4m,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,°2=2m,x?=myo-l=2m2-1.Q(2m-1,

2m),由拋物線C：y2:4x得焦點(diǎn)F(1,0).再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出m及k,

再代入△判斷是否成立即可.

fmy^x+l

【解答】解：由題意設(shè)直線1的方程為my=x+1,聯(lián)立1/二以得到y(tǒng)2-4my+4=0,△二16nl?

-16=16(m2-1)>0.

設(shè)A(xi,yi),B(X2,y；)?Q(x(),y(i).

yf

yn=-----------

.*.yi+y2=4m,u2=2m,.*.xo=myo-l=2m"-1.

AQ(2m2-1,2m),

由拋物線C：y~4x得焦點(diǎn)F(1,0).

V|QF|=2,/.V(2產(chǎn)-2)2+(2m)2=2,化為1n2=1,解得m=±l,不滿足△>().

故滿足條件的直線1不存在.

故答案為不存在.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了直線與拋物線的位置關(guān)系與△的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐

標(biāo)關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力和計(jì)算能力.

13.右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在/時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米

后，水面寬米.

課金宓閡g

參考答案:

2瓶

略

14已知03。一知=%+,（"-1），，（1）氣一），（1）1則

參考答案:

380

試題分析:因?yàn)?.可。-可=[2*（r-l）][112（x-I）],所以

勺=2C；m.哈妙二380

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.

1114

15.若正數(shù)a,b滿足a+b=l,則&一1+b-1的最小值為

參考答案:

4

【考點(diǎn)】基本不等式.

11a

【分析】由a+b=l得到b=a-l＞（）,代入代數(shù)式變形利用基本不等式即可得出.

1_1a

【解答】解：,??正數(shù)a,b滿足W+E=l,???b=a-l>0,解得a>L同理b>L

4

_1_^__i_1__/_L_，4(a-D

則a-l+b-l=a-l+a-l=a-I+4(a-1)22Ya-1=4,當(dāng)且僅當(dāng)

3_

a=5時(shí)取等號(hào)(此時(shí)b=3).

14

???a-l+b-l的最小值為4.

故答案為:4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影

為4,%則4冏=

參考答案：

90°

略

17.將二進(jìn)制數(shù)1°"°%)化為十進(jìn)制數(shù)，結(jié)果為

參考答案：

45

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.(本小題滿分12分)某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)

(均為整數(shù))分成六段M5。)，6。砌…網(wǎng)1。。］后畫出如下部分頻率分布直方

圖.觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：

(1)求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；

(2)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分；

(3)從成績(jī)是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概丞.

參考答案：

(1)因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故第四組的頻率:

f產(chǎn)1-(0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.03分

直方圖如右所示......................4分

(2)依題意，60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組,

頻率和為(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75

所以，抽樣學(xué)生成績(jī)的合格率是75%……6分

利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分

45-fi+55?f2+65-M75?f4+85?fs+95?f?

=45X0.1+55X0.15+65X0.15+75X0.3

+85X0.25+95X0.05=71

估計(jì)這次考試的平均分是71分.................8分

(3)[70,80),[80,90).[90,100]的人數(shù)是18,15,3,

所以從成績(jī)是70分以上[包括70分)的學(xué)生中選兩人，他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率。

尸二生生$=牝

C210.................................12分

19.(本小題滿分12分)如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，

ZABC=ZBCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,側(cè)面PBC1底面ABCD,。是BC中

點(diǎn)，AO交BD于E.(I)求證：PA.LBD；(II)求二面角P-DC-B的大小：

(ITT)求證：平面PATH?平面PAB.

參考答案：

解析：方法一：(I)證明：

,:PB=PC、POLBC,又?.?平面尸8cL平面

ABCD,平面處CPI平面ABCD=BC,二戶。1平面

ABCD...2分

在梯形ABCD中，可得R&BO￡RlSCD

乙BRO=Z.OAB+￡DBA=乙DBC+助=90°,

即AO1￡D

VPA在平面ABCD內(nèi)的射影為AO,

二PALBD……4分

(II)解：且平面即CL平面ABCD

DC1平面PBC,vFCu平面

PBC,：,DC1PC

二NPCB為二面角P—DC—B的平面

角....6分

???AP3C是等邊三角形二=60°,即二面角P-DC-B的大小為

600…8分

(Hi)證明：取PB的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,vPC=BCCNLPB①

二A8LBC,且平面MC_L平面ABCD,.."Bl平面

PBC.......10分

VABC平面PAB：.平面戶8cl平面PAB②

由①、②知CML平面PAB..................10分

連結(jié)DM、MN,貝IJ由MN〃AB〃CD,M"=2AB=°。，

得四邊形MNCD為平行四邊形，.：DA/1平面PAB.

VDMU平面PAD：.平面BW1平面PAB...........................12分

方法二；取BC的中點(diǎn)0,因?yàn)锳P8c是等邊三角形，

由側(cè)面PBC工底面ABCD得R1L底面ABCD……1分

以BC中點(diǎn)。為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)。與AB平行的直線為y軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0—xyz……2分

(I)證明：???co=i,則在直角梯形中，

AB=耽=2

在等邊三角形PBC中，口=力……3分

：.4a-20),B6,0,0),D(-io),p(aa@

T_

BD=(-2.-1?0)?PA=(1.-2-5/3)

vBDW-(-2)xH(-l)x(-2)+Ox(-75)-0；,PA1BDt即RUM…4分

笳=(」o,g

(II)解：取PC中點(diǎn)N,則2

VDC?(O.2J).CP?(IA->/5)肅是=(-$x0+0x2+孚xO=O

TT375k

BNCP=(-i)xt+OxO+yX^=O

.??笳，平面PDC,顯然。?=(&0，V3),且晶JL平面ABCD

—>—>

:,BN、°F所夾角等于所求二面角的平面角……6分

,:BNOP?(-y)x0+0x0?x.E-|BN|-|OP卜￡

3

TT21

:.COf<BMOPXu匚.二n-n

出忑2,：二面角p-8-8的大小為

60°……8分

J1a

(III)證明：取PA的中點(diǎn)M,連結(jié)DM,則M的坐標(biāo)為勺’

又

晟?(：，0,乎)，陽(yáng).(1，0,■品

10分

ZiWPJ4=1XI+0X(-2)+^X(-^)=0DMxl+0x0+gx(?5?0

DMLPA,DM1PB.即0MU%,DMLPB

Z)MJ_平面PAB,平面R4nL平面PAB……12分

20.(本小題12分)設(shè)｛■是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，'產(chǎn)2,%=%+4

(D求SJ的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)例)是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列｛氏"J的前R項(xiàng)和當(dāng)。

參考答案：

⑴勺=2：⑵S*2*1+J_2

a+a一?a?Q-5￡

21.已知正項(xiàng)等差數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)和為S,，且滿足15~3a3

(1)求數(shù)列｛數(shù)的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛3*口｝的前口項(xiàng)和.

參考答案：

【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式.

【分析】(1)與數(shù)列｛a.是等差數(shù)列,解

/包+曳)

得a3=6.根據(jù)12位56,可得電，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.

(2)利用等比數(shù)列的求和公式即可得出.

【解答】解：(1)因?yàn)閿?shù)列｛a,｝是等差數(shù)列,

所以203-3&3,又“>c

所以a3=6.

7(a[+a?)

因?yàn)镾廣一2一二7池56,

所以a產(chǎn)8.

所以公差d刊-a3=2,

所以a?=a3+(n-3)d=6+(n-3)X2=2n.

(2)設(shè)數(shù)列｛3、｝的前n項(xiàng)和為T”

242n1n

.Tn=3+3+-+3^-'''=1-(9-l)

22.(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/⑶=xL+x+1,(awR)

(I)討論函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(二二)

(II)設(shè)函數(shù)/3)在區(qū)間3*3內(nèi)是減函數(shù)，求」的取值范圍.

參考答案:

解：（1）八R=3/+2“+1

△=4a3-121分

當(dāng)A40時(shí)，即一指時(shí)，/'（力20,__

/。）在（-B,+CO）上遞增：......................................3分

當(dāng)A>0時(shí)，即4V—J5或時(shí)，/W>0,

_-a±y/a"-3

由/'（x）=°求得兩根為“3......................5分

.-a-y/cP-3.1a-3、

即在~003和3'+⑼上