2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章集合與常用邏輯用語1.1集合1.1.2集合的基本關(guān)系學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊

PAGE1-1.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解集合之間的包含與相等的含義．(重點)2．能識別給定集合的子集、真子集．3．了解維恩圖的含義，會用Venn圖表示兩個集合間的關(guān)系．1.通過對集合之間包含關(guān)系與相等的含義以及子集，真子集概念的理解，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助子集和真子集的求解，培育數(shù)學(xué)運算及邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．3．利用Venn圖，培育直觀想象數(shù)學(xué)素養(yǎng)．草原上，藍(lán)藍(lán)的天上白云飄，白云下面馬兒跑．假如草原上的棗紅馬組成集合A，草原上的全部馬組成集合B.問題(1)那么集合A中的元素與集合B中的元素的關(guān)系是怎樣的？(2)集合A與集合B又存在什么關(guān)系？1．維恩圖一般地，假如用平面上一條封閉曲線的內(nèi)部來表示集合，那么可作出示意圖來形象地表示集合之間的關(guān)系，這種示意圖稱為維恩圖．維恩圖的優(yōu)點及其表示(1)優(yōu)點：形象直觀．(2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部代表集合．2．子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念思索：(1)任何兩個集合之間是否有包含關(guān)系？(2)符號“∈”與“?”有何不同？[提示](1)不確定，如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，這兩個集合就沒有包含關(guān)系．(2)符號“∈”表示元素與集合間的關(guān)系；而“?”表示集合與集合之間的關(guān)系．[拓展](1)若A?B，則A有以下三種狀況：①A是空集；②A是由B的部分元素組成的集合；③A是由B的全部元素組成的集合．故不能簡潔地認(rèn)為“若A?B，則A是由B的部分元素組成的集合”．(2)是隨意一個集合的子集．(3)是隨意非空集合的真子集，這里強(qiáng)調(diào)的是“非空”兩字，解題時不能丟掉空集這一狀況．(4)任何集合都確定有子集，但是不確定有真子集．空集沒有真子集，一個集合的真子集的個數(shù)比子集的個數(shù)少1.3．集合間關(guān)系的性質(zhì)(1)任何一個集合都是它本身的子集，即A?A.(2)對于集合A，B，C.①若A?B，且B?C，則A?C；②若AB，BC，則AC；③若A?B，A≠B，則AB.1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任何集合至少有兩個子集． ()(2){0，1，2}?{2，0，1}． ()(3)若A?B，且A≠B，則AB. ()(4)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．下列命題：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，則A≠.其中正確的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3B[在①中，空集的子集是空集，故①錯誤；在②中，空集只有一個子集，還是空集，故②錯誤；在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③錯誤；在④中，若A，則A≠，故④正確．故選B.]3．已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M?P，則M可以是()A．{0，1} B．{1，3}C．{－1，1} D．{0，5}A[A.0∈P，1∈P，則M?P成立；B．3P，則M?P不成立；C．－1P，則M?P不成立；D．5P，則M?P不成立；故選A.]4．(教材P14練習(xí)B③改編)已知集合A{2018，2019}，則這樣的集合A共有________個．3[滿意A{2018，2019}的集合A為：，{2018}，{2019}，共3個．]集合間關(guān)系的推斷【例1】(1)下列各式中，正確的個數(shù)是()①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}?{2，1，0}；③?{0，1，2}；④＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2C．3 D．4(2)指出下列各組集合之間的關(guān)系：①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；②A＝{x|x是等邊三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．(1)B[對于①，是集合與集合的關(guān)系，應(yīng)為{0}{0，1，2}；對于②，實際為同一集合，任何一個集合是它本身的子集；對于③，空集是任何集合的子集；對于④，{0}是含有單元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以{0}；對于⑤，{0，1}是含有兩個元素0與1的集合，而{(0，1)}是以有序數(shù)組(0，1)為元素的單元素集合，所以{0，1}與{(0，1)}不相等；對于⑥，0與{0}是“屬于與否”的關(guān)系，所以0∈{0}．故②③是正確的，應(yīng)選B.](2)[解]①集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對，故A與B之間無包含關(guān)系．②等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故AB.③法一：兩個集合都表示正奇數(shù)組成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.法二：由列舉法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以NM.,集合間基本關(guān)系判定的兩種方法和一個關(guān)鍵eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．推斷下列兩個集合之間的關(guān)系：(1)A＝{1，2，4}，B＝{x|x是8的約數(shù)}；(2)A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}；(3)A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}．[解](1)∵A＝{1，2，4}，B＝{1，2，4，8}，如圖，∴AB(A?B亦可，但AB更精確).(2)∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，用數(shù)軸表示如下：∴AB.(3)法一：任取x0∈A，則x0＝2k0＋1，k0∈Z.又∵x0＝2(k0＋1)－1，k0∈Z，∴k0＋1∈Z，∴x0∈B，則A?B.同理可得，B?A.由A?B，B?A，得A＝B.法二：集合A＝{…，－5，－3，－1，1，3，5，7，…}，集合B＝{…，－7，－5，－3，－1，1，3，5，…}，依據(jù)規(guī)律可知集合A與B所含元素相同，所以A＝B.集合的子集、真子集的個數(shù)問題【例2】(教材P11例1改編)(1)寫出集合{a，b，c，d}的全部子集；(2)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有多少個子集？多少個真子集？驗證你的結(jié)論．[解](1)，{a}，，{c}，tb48smu，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．(2)若一個集合有n(n∈N)個元素，則它有2n個子集，2n－1個真子集．如，有一個子集，0個真子集．為了排列時不重不漏，要講究列舉依次，這個依次有點類似于從1到100數(shù)：先是一位數(shù)，然后是兩位數(shù)，在兩位數(shù)中，先數(shù)首位是1的等等．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．適合條件{1}?A{1，2，3，4，5}的集合A的個數(shù)是()A．15B．16C．31 D．32A[這樣的集合A有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，3，4，5}共15個．]利用集合關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍[探究問題]1．集合A＝[m，2m－1]，集合A[提示]當(dāng)m≤2m－1，即m≥1時集合A非空；當(dāng)m＜1時，A＝.2．已知區(qū)間A＝(－∞，2]和B＝(－∞，a)，且B?A，則實數(shù)a的取值范圍是什么？[提示]借助數(shù)軸可知a≤2.【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m(1)若BA，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若A?B，求實數(shù)m的取值范圍．[思路點撥]兩個集合都是連續(xù)型的無限集，可考慮用數(shù)軸來表示．[解](1)①當(dāng)B≠，如圖所示．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1＜5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＞－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解這兩個不等式組，得2≤m≤3.②當(dāng)B＝時，由m＋1＞2m－1，得m＜2.綜上可得，m的取值范圍m≤3.(2)當(dāng)A?B時，如圖所示，此時B≠.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1＞m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞2，,m≤－3，,m≥3，))∴m不存在．即不存在實數(shù)m使A?B.類似本題的設(shè)問，我們還可以得到下列的問題：(1)(變條件)若AB，求實數(shù)m的取值范圍；(2)(變條件)若B?A，求實數(shù)m的取值范圍．[解](1)若AB，則集合B確定不是空集，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1＞5，,2m－1＞m＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＜－2，,2m－1≥5，,2m－1＞m＋1，))無解，∴m不存在．即不存在實數(shù)m使AB.(2)由B?A得，①若B＝，則m＋1＞2m－1，即m＜2，此時滿意B?A；②若B≠，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①②可得，符合題意的實數(shù)m的取值范圍為{m|m≤3}．,利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的方法,已知兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)時，要依據(jù)集合間的關(guān)系來確定元素之間的關(guān)系，需關(guān)注子集是否為空集．一般地，當(dāng)集合為有限集時，往往通過列方程或方程組來處理，此時需留意集合中元素的互異性；當(dāng)集合為連續(xù)型無限集時，常常利用核心素養(yǎng)中的直觀想象，借助數(shù)軸列不等式或不等式組來求解，要留意運用分類探討、數(shù)形結(jié)合等思想方法，尤其需留意端點值能否取到．學(xué)問：1．對子集、真子集有關(guān)概念的理解(1)集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，這是推斷A?B的常用方法．(2)不能簡潔地把“A?B”理解成“A是B中部分元素組成的集合”，因為若A＝時，則A中不含任何元素；若A＝B，則A中含有B中的全部元素．(3)在真子集的定義中，AB首先要滿意A?B，其次至少有一個x∈B，但xA.2．集合子集的個數(shù)求集合的子集問題時，一般可以依據(jù)子集元素個數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集．集合的子集、真子集個數(shù)的規(guī)律為：含n個元素的集合有2n個子集，有2n－1個真子集，有2n－2個非空真子集．寫集合的子集時，空集和集合本身易漏掉．方法：數(shù)形結(jié)合法：借助維恩圖或數(shù)軸解決集合的基本關(guān)系問題．1．下列集合中，結(jié)果是空集的是()A．{x∈R|x2－1＝0} B．{x|x＞6或x＜1} C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}D[A.{x∈R|x2－1＝0}＝{1，－1}，B．{x|x＞6或x＜1}不是空集，C.{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0，0)}，D．{x|x＞6且x＜1}＝，故選D.]2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，則P與T的關(guān)系為()A．P?T B．P∈TC．P＝T D．PTA[集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，T＝{－1，0，1}，∴P?T，故選A.]3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，那么()A．若a＝3，則A?B B．若A?B，則a＝3C．若a＝3，則AB D．若A?B，則a＝2A