2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.1.1合情推理練習(xí)新人教A版選修1-2

PAGE1-1合情推理[課后提升案·素養(yǎng)達(dá)成][限時45分鐘；滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“a(b·c)＝b(a·c)”；③“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；④“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑤“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是A．1B．2C．3D．4解析由向量的學(xué)問可得只有①正確．答案A2．下面由火柴棒拼出的一列圖形中，第n個圖形由n個正方形組成．通過視察可以發(fā)覺第10個圖形中火柴棒的根數(shù)是A．30B．31C．32D．34解析第1個圖形中有4根火柴棒；第2個圖形中有4＋3＝7根火柴棒；第3個圖形中有4＋3×2＝10根火柴棒；…第10個圖形中有4＋3×9＝31根火柴棒．答案B3．視察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝A．28B．76C．123D．199解析視察規(guī)律，歸納推理．從給出的式子特點(diǎn)視察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)起先，后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123.答案C4．定義A*B，B*C，C*D，D*A的運(yùn)算分別對應(yīng)下圖中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下圖中的(A)，(B)所對應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D解析由(1)(2)(3)(4)圖得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故圖(A)(B)表示B*D和A*C.答案B5．視察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般結(jié)論是A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析可以發(fā)覺：第一個式子的第一個數(shù)是1，其次個式子的第一個數(shù)是2，…故第n個式子的第一個數(shù)是n；第一個式子中有1個數(shù)相加，其次個式子中有3個數(shù)相加，…故第n個式子中有2n－1個數(shù)相加；第一個式子的結(jié)果是1的平方，其次個式子的結(jié)果是3的平方，…故第n個式子應(yīng)當(dāng)是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案B6．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形態(tài)來探討數(shù)．比如：他們探討過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A．289B．1024C．1225D．1378解析視察三角形數(shù)：1，3，6，10，…，記該數(shù)列為{an}，則a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.所以a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)?an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2)，視察正方形數(shù)：1，4，9，16，…，記該數(shù)列為{bn}，則bn＝n2.把四個選項(xiàng)的數(shù)字，分別代入上述兩個通項(xiàng)公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.答案C二、填空題(每小題5分，共15分)7．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為________．解析eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S1,S2)))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案eq\f(1,8)8．圖(1)所示的圖形有面積關(guān)系：eq\f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq\f(PA′·PB′,PA·PB)，則圖(2)所示的圖形有體積關(guān)系：eq\f(VP－A′B′C′,VP－ABC)＝________．解析由三棱錐的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh及相類比可知，eq\f(VP－A′B′C′,VP－ABC)＝eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)答案eq\f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC)9．若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，前n項(xiàng)的和為Sn，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，且通項(xiàng)為eq\f(Sn,n)＝a1＋(n－1)·eq\f(d,2)，類似地，請完成下列命題：若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q，前n項(xiàng)的積為Tn，則________．解析∵Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝beq\o\al(n,1)q1＋2＋3＋…＋(n－1)＝beq\o\al(n,1)qeq\s\up6(\f(n（n－1）,2))，∴eq\r(n,Tn)＝b1qeq\s\up6(\f(n－1,2))＝b1(eq\r(q))n－1，∴數(shù)列{eq\r(n,Tn)}是首項(xiàng)為b1，公比為eq\r(q)的等比數(shù)列，其通項(xiàng)為eq\r(n,Tn)＝b1(eq\r(q))n－1.答案數(shù)列(eq\r(n,Tn))為等比數(shù)列，且通項(xiàng)為eq\r(n,Tn)＝b1(eq\r(q))n－1三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(11分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－eq\f(2,3)，且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4并猜想Sn的表達(dá)式．解析因?yàn)镾n＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，所以Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以eq\f(1,Sn)＝－2－Sn－1(n≥2)，當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝－eq\f(2,3)；當(dāng)n＝2時，eq\f(1,S2)＝－2－a1＝－eq\f(4,3)，所以S2＝－eq\f(3,4)；當(dāng)n＝3時，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,4)，所以S3＝－eq\f(4,5)；當(dāng)n＝4時，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(6,5)，所以S4＝－eq\f(5,6).由此猜想Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2).11．(12分)視察下列等式：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝eq\f(3,4).②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4).請寫出與上面兩式規(guī)律相同的一個等式并加以證明．解析由①②可看出，兩角差為30°，則它們的相關(guān)形式的函數(shù)運(yùn)算式的值均為eq\f(3,4).猜想：若β－α＝30°，則β＝30°＋α，sin2α＋cos2β＋sinαcosβ＝eq\f(3,4)，也可干脆寫成sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4).下面進(jìn)行證明：左邊＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos（2α＋60°）,2)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos2αcos60°－sin2αsin60°,2)＋sinα·(cosα·cos30°－sinαsin30°)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)cos2α－eq\f(\r(3),4)sin2α＋eq\f(\r(3),4)sin2α－eq\f(1－cos2α,4)＝eq\f(3,4)＝右邊．故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4).12．(12分)如圖1，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB2＝BD·BC；若類比該命題，如圖2，三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則可以得到什么命題？命題是否是真命題？并加以證明．解析命題是：三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有Seq\o\al(2,△ABC)＝S△BCM·S△BCD，是一個真命題．證明如下：在圖2中，連接DM，并延長交BC于E，連接AE，則有DE⊥BC.因?yàn)锳D⊥平面ABC，所以AD⊥A