2024-2025學年高中數(shù)學第3章空間向量與立體幾何3.2空間向量在立體幾何中的應用3.2.5距離選學學案新人教B版選修2-1

PAGEPAGE13．2.5距離(選學)1.了解圖形與圖形的距離的概念．2.理解四種距離的概念．3.會求一些簡潔的距離問題．1．距離的概念一個圖形內(nèi)的任一點與另一圖形內(nèi)的任一點的距離中的最小值，叫做圖形與圖形的距離．2．點到平面的距離(1)連接平面外一點與平面內(nèi)隨意一點的全部線段中，垂線段最短．(2)一點到它在一個平面內(nèi)正射影的距離，叫做點到這個平面的距離．3．直線與它的平行平面的距離(1)假如一條直線平行于平面α，則直線上的各點到平面α所作的垂線段相等，即各點到α的距離相等．(2)一條直線上的任一點與它平行的平面的距離，叫做直線與這個平面的距離．4．兩個平行平面的距離(1)和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線．公垂線夾在平行平面間的部分，叫做兩個平面的公垂線段．(2)兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離．1．已知直線l過點A(1，－1，2)，和l垂直的一個向量為n＝(－3，0，4)，則P(3，5，0)到l的距離為()A．5 B．14C．eq\f(14,5) D．eq\f(4,5)答案：C2．在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A1到平面BB1D1D的距離為()A．a(chǎn) B．eq\f(1,2)aC．eq\f(\r(3),4)a D．eq\f(\r(2),2)a解析：選D．設B1D1中點為O，則A1O即為點A1到平面BB1D1D的距離．可求得A1O＝eq\f(\r(2),2)a.3．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則BC到平面AB1C1D的距離為()A．1 B．eq\f(\r(2),2)C．eq\r(2) D．eq\r(3)解析：選C．設AB1中點為O，則BO即為BC到平面AB1C1D的距離，可求得BO＝eq\r(2).計算兩點之間的距離如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B、D間的距離．【解】因為∠ACD＝90°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0.同理，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.因為AB與CD成60°角，所以〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°或120°.又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝3＋2×1×1×cos〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4，〈\o(BA,\s\up6(→))，\o(CD,\s\up6(→))〉＝60°，,2，〈\o(BA,\s\up6(→))，\o(CD,\s\up6(→))〉＝120°.))所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2或eq\r(2)，即B、D間的距離為2或eq\r(2).eq\a\vs4\al()計算兩點之間的距離和線段的長度是計算四種距離中的最基本的題型．一般方法有三種：(1)構造三角形，通過解三角形求解．(2)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求出兩點的坐標，利用公式求解．(3)把線段用向量表示，轉化為求向量的模，利用|a|2＝a·a求解．設A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，則AB的中點M到點C的距離|CM|＝()A．eq\f(\r(53),4) B．eq\f(53,2)C．eq\f(\r(53),2) D．eq\f(\r(13),2)答案：C求點到平面的距離四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F(xiàn)，E分別為AD，PC的中點．(1)求證：DE∥平面PFB；(2)求點E到平面PFB的距離．【解】(1)證明：以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0，0，2)，F(xiàn)(1，0，0)，B(2，2，0)，E(0，1，1)．eq\o(FP,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(1，2，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，1，1)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(FP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，又因為DE?平面PFB，所以DE∥平面PFB.(2)因為DE∥平面PFB，所以點E到平面PFB的距離等于點D到平面PFB的距離．設平面PFB的一個法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(FB,\s\up6(→))＝0,n·\o(FP,\s\up6(→))＝0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0，,－x＋2z＝0，))令x＝2，得y＝－1，z＝1，所以n＝(2，－1，1)．又因為eq\o(FD,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，所以點D到平面PFB的距離d＝eq\f(|\o(FD,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).所以點E到平面PFB的距離為eq\f(\r(6),3).eq\a\vs4\al()(1)利用點到平面的距離的定義求點到平面的距離，只需作出點在平面內(nèi)的射影，然后求垂線段的長即可．(2)用向量法求點到平面的距離的方法：求出平面的一個法向量n的坐標，再求出已知點P與平面內(nèi)任一點M構成的向量eq\o(MP,\s\up6(→))的坐標，那么P到平面的距離d＝|eq\o(MP,\s\up6(→))|·|cos〈n，eq\o(MP,\s\up6(→))〉|.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，點E為CC1的中點，求點D1到平面BDE的距離．解：以D點為原點，建立空間直角坐標系Dxyz如圖，所以D(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，1)，故eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，1，1)．設平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，則n⊥eq\o(DB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up6(→))＝0,n·\o(DE,\s\up6(→))＝0))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0,y＋z＝0))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x,z＝x))，取x＝1，則y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1)．因為eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(0，0，2)，所以eq\o(DD1,\s\up6(→))·n＝2，|n|＝eq\r(3)，所以d＝eq\f(|\o(DD1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，即點D1到平面BDE的距離為eq\f(2\r(3),3).求線面距離和面面距離如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側棱AA1＝3，底面邊長AB＝2，E、F分別為棱BC、B1C1的中點．(1)求證：平面BD1F∥平面C1DE；(2)求平面BD1F與平面C1DE間的距離．【解】(1)證明：如圖，以D為原點，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，3)，C1(0，2，3)，B1(2，2，3)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(xiàn)(1，2，3)，eq\o(D1F,\s\up6(→))＝(1，2，0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，2，0)，所以eq\o(D1F,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))，所以D1F∥DE，又因為DE?平面DEC1，所以D1F∥平面DEC1，又因為eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－1，0，3)，eq\o(EC1,\s\up6(→))＝(－1，0，3)，所以eq\o(BF,\s\up6(→))∥eq\o(EC1,\s\up6(→))，所以BF∥EC1，又因為EC1?平面C1DE，所以BF∥平面C1DE.因為D1F∩BF＝F，所以平面BD1F∥平面C1DE.(2)由(1)可知平面BD1F與平面C1DE間的距離等于D1到平面C1DE的距離，設平面C1DE的法向量n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE,\s\up6(→))＝0,n·\o(EC1,\s\up6(→))＝0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝0,－x＋3z＝0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x,z＝\f(1,3)x))，令x＝6，得n＝(6，－3，2)，所以D1到平面C1DE的距離d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(D1C1,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－3×2,7)))＝eq\f(6,7)，所以平面BD1F與平面C1DE間的距離為eq\f(6,7).eq\a\vs4\al()平面α平行于平面β，則α、β之間的距離就是α內(nèi)任一點到β的距離，所以求兩平行平面間的距離，可依據(jù)定義轉化為點到平面的距離求解．如圖，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、C1C的中點，DG＝eq\f(1,3)DD1，過E、F、G的平面交AA1于點H，求A1D1到平面EFGH的距離．解：以D點為坐標原點，分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,3)))，D1(0，0，1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，－\f(1,6)))，設平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，則n·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，且n·eq\o(FG,\s\up6(→))＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＝0，,y＋\f(1,6)z＝0.))令z＝6，可得n＝(0，－1，6)．又eq\o(D1F,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，－\f(1,2)))，所以d＝eq\f(|\o(D1F,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(4\r(37),37).點到平面的距離的求法(1)幾何法①由點到平面的距離的定義轉化為平面幾何中解直角三角形問題，進行求解．②由已知點和平面內(nèi)不共線的三點構成三棱錐，轉化為體積問題，進而用等積法求解．(2)向量法如圖，BO⊥平面α，垂足為O，則點B到平面α的距離就是線段BO的長度．若AB是平面α的任一條斜線段，則在Rt△BOA中，|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos∠ABO＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BO,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(BO,\s\up6(→))|)).求線面距離時，留意在l上所取一點的位置，通常借助于面面垂直的性質過這一點作平面的垂線，從而轉化為點到面的距離求解．1．在空間直角坐標系中，已知M(－1，0，3)，N(2，4，3)，則M，N之間的距離為()A．eq\r(10) B．5C．eq\r(29) D．eq\r(34)答案：B2．已知矩形ABCD的一邊CD在平面α內(nèi)，AC與α所成角為60°，若AB＝2，AD＝4，則AB到α的距離為()A．eq\r(15) B．eq\r(5)C．eq\r(10) D．3解析：選A．如圖，作AE⊥α于E，因為AB∥CD，AB?α，CD?α，所以AB∥α，所以點A到平面α的距離就是AB到平面α的距離，又AC＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，所以AE＝ACsin60°＝2eq\r(5)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(15).3．已知平面α的一個法向量n＝(－2，－2，1)，點A(－1，3，0)在α內(nèi)，則P(－2，1，4)到α的距離為________．解析：因為eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，2，－4)，所以點P到α的距離d＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－2－4－4|,\r((－2)2＋(－2)2＋12))＝eq\f(10,3).答案：eq\f(10,3)4．在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱B1C1和C1D1的中點，則直線EF到平面B1D1D的距離為________．解析：設B1D1中點為O，EF中點為K，則KO即為EF到平面B1D1D的距離，KO＝eq\f(1,2)C1O＝eq\f(\r(2),4).答案：eq\f(\r(2),4)[A基礎達標]1．設P是60°的二面角α-l-β內(nèi)一點，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A、B為垂足，PA＝4，PB＝2，則AB的長為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(5)C．2eq\r(7) D．4eq\r(2)解析：選C．由已知得∠APB＝120°，在△APB中，由余弦定理得AB2＝42＋22－2×4×2cos120°＝28.所以AB＝2eq\r(7).2．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，O是A1C1的中點，則點O到平面ABC1D1的距離為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),3)解析：選B．由題意知A1到平面ABC1D1的距離為eq\f(1,2)A1D＝eq\f(\r(2),2).又因為O是A1C1的中點，所以O到平面ABC1D1的距離為A1到平面ABC1D1距離的eq\f(1,2).所以距離為eq\f(\r(2),4)，故選B．3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點E是A1B1的中點，則點A到直線BE的距離是()A．eq\f(6\r(5),5) B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)解析：選B．建立空間直角坐標系如圖所示，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，1，2)，設∠ABE＝θ，則cosθ＝eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))·\o(BE,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BE,\s\up6(→))|))＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(2,5)eq\r(5).故A到直線BE的距離d＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|sinθ＝2×eq\f(2,5)eq\r(5)＝eq\f(4,5)eq\r(5).4．已知夾在兩平行平面α，β內(nèi)的兩條斜線段AB＝8cm，CD＝12cm，AB和CD在α內(nèi)的射影長的比為3∶5，則α與β的距離為()A．eq\r(15)cm B．eq\r(17)cmC．eq\r(19)cm D．eq\r(21)cm解析：選C．如圖所示，設AB和CD在α內(nèi)的射影長分別為3x和5x，則有82－(3x)2＝122－(5x)2，解得x＝eq\r(5)，則α、β間的距離為eq\r(19)cm.故選C．5．如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′的側面ABB′A′內(nèi)有一動點P，點P到直線A′B′的距離與到直線BC的距離相等，則動點P所在曲線的形態(tài)為()解析：選C．在平面ABB′A′內(nèi)作PM⊥A′B′，連接PB，則PB⊥BC，因為PM＝PB，故點P的軌跡是以A′B′為準線以B為焦點的拋物線(一部分)，故應選C．6．在三棱錐P-ABC中，側棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝2，則點P到平面ABC的距離等于________．解析：利用VA-PBC＝VP-ABC可求得點P到平面ABC的距離為eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)7．已知直角三角形ABC的直角頂點C在平面α內(nèi)，AB∥α，AC，BC與α所成角分別為45°和30°，若AB＝6，則AB到α的距離為________．解析：設AB到α的距離為h，CB＝eq\f(h,sin30°)＝2h，AC＝eq\f(h,sin45°)＝eq\r(2)h，由勾股定理AB2＝AC2＋CB2可得(eq\r(2)h)2＋(2h)2＝62，解得h＝eq\r(6).答案：eq\r(6)8．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3)，將矩形ABCD沿對角線AC折起，使平面ABC與平面ACD垂直，則B與D之間的距離為________．解析：過B，D分別向AC作垂線，垂足分別為M，N(圖略)．則可求得AM＝eq\f(1,2)，BM＝eq\f(\r(3),2)，CN＝eq\f(1,2)，DN＝eq\f(\r(3),2)，MN＝1.由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(ND,\s\up6(→))，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(ND,\s\up6(→)))2＝|eq\o(BM,\s\up6(→))|2＋|eq\o(MN,\s\up6(→))|2＋|eq\o(ND,\s\up6(→))|2＋2(eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(ND,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＋2×(0＋0＋0)＝eq\f(5,2)，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(10),2).答案：eq\f(\r(10),2)9．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E、F、G分別是C1C、D1A1、AB的中點，求點A到平面EFG的距離．解：以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，如圖．則A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(xiàn)(1，0，2)，G(2，1，0)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1，－2，1)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(2，－1，－1)，eq\o(GA,\s\up6(→))＝(0，－1，0)．設n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量．則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(EF,\s\up6(→))，,n⊥\o(EG,\s\up6(→))))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋z＝0，,2x－y－z＝0.))從而有x＝y(tǒng)＝z，所以可取n＝(1，1，1)．eq\o(GA,\s\up6(→))在n上射影的長度為eq\f(|\o(GA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－1|,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).即點A到平面EFG的距離為eq\f(\r(3),3).10．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點，N為BC的中點．(1)求點M到直線AC1的距離；(2)求點N到平面MA1C1的距離．解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直線AC1的一個單位方向向量為s0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(2，0，1)，故點M到直線AC1的距離d＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AM,\s\up6(→))|2)－\a\vs4\al(|\o(AM,\s\up6(→))·s0|)2)＝eq\r(5－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2).(2)設平面MA1C1的法向量為n＝(x，y，z)，則n·eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝0且n·eq\o(A1M,\s\up6(→))＝0，即(x，y，z)·(0，2，0)＝0且(x，y，z)·(2，0，－1)＝0，即y＝0且2x－z＝0，取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)為平面MA1C1的一個法向量，與n同向的單位向量為n0＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，0，\f(2\r(5),5))).因為N(1，1，0)，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－1，1，－1)，故點N到平面MA1C1的距離d＝|eq\o(MN,\s\up6(→))·n0|＝eq\f(3\r(5),5).[B實力提升]11．已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點，GC垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，則點B到平面EFG的距離為()A．3 B．eq\r(5)C．eq\f(\r(11),11) D．eq\f(2\r(11),11)解析：選D．如圖所示，建立空間直角坐標系，則B(0，4，0)，E(2，4，0)，F(xiàn)(4，2，0)，G(0，0，2)，所以eq\o(GE,\s\up6(→))＝(2，4，－2)，eq\o(GF,\s\up6(→))＝(4，2，－2)．設n＝(x，y，z)是平面EFG的一個法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(GE,\s\up6(→))＝2x＋4y－2z＝0，,n·\o(GF,\s\up6(→))＝4x＋2y－2z＝0，))令x＝1，則y＝1，z＝3，所以平面EFG的一個法向量為n＝(1，1，3)．而eq\o(EB,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，所以d＝eq\f(|n·\o(EB,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(|－2|,\r(11))＝eq\f(2\r(11),11).12．已知二面角α-l-β為45°，A∈α，點A到棱l的距離等于a，則點A到平面β的距離為________．解析：如圖，過A作AB⊥l，AC⊥β，垂足分別為B，C，則AB＝a.連接CB，則∠ABC＝45°，在Rt△ACB中，AC＝eq\f(\r(2),2)a.即點A到平面β的距離為eq\f(\r(2),2)a.答案：eq\f(\r(2),2)a13．正三棱柱ABC-A1B1C1中各棱長為1，D是AB的中點，求BC1到平面A1CD的距離．解：如圖，以D為原點，分別以DC、DB所在直線為x，y軸，建立空間直角坐標系，連接AC1與A1C交于E，則E為AC1中點．連接ED，又因為D為AB中點，所以ED∥C1B，所以BC1∥平面A1CD，所以BC1到平面A1CD的距離等于B到面A