2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2第1課時直線與平面垂直的判定課時作業(yè)含解析新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE7課時作業(yè)34直線與平面垂直的判定時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．假如一條直線垂直于一個平面內(nèi)的①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊，那么能保證該直線與平面垂直的是(A)A．①③ B．②C．②④ D．①②④解析：①③能保證這條直線垂直于該平面內(nèi)的兩條相交直線，②④中的兩條直線有可能是平行的．2.如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，則直線PB和平面ABC所成的角是(B)A．∠BPAB．∠PBAC．∠PBCD．對上都不對解析：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，得PA⊥平面ABC，所以∠PBA為BP與平面ABC所成的角．故選B.3.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)面AA1D1D為正方形，E為棱CD上隨意一點，則AD1與B1E的關(guān)系為(A)A．AD1⊥B1EB．AD1∥B1EC．AD1與B1E共面D．以上都不對解析：連接A1D，則由正方形的性質(zhì)，知AD1⊥A1D，又B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，所以AD1⊥平面A1B1ED，又B1E?平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故選A.4．(多選)如圖，在以下四個正方體中，直線AB與平面CDE垂直的有(BD)A．①B．②C．③D．④解析：在①中，AB與CE的夾角為45°，所以直線AB與平面CDE不垂直，故①不符合；在②中，AB⊥EC，AB⊥CD，所以AB⊥平面CDE，故②符合；在③中，AB與EC的夾角為60°，所以直線AB與平面CDE不垂直，故③不符合；在④中，連接AC，由ED⊥平面ABC，得AB⊥DE，同理可得AB⊥CE，所以AB⊥平面CDE，故④符合．5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是(C)A．30° B．45°C．60° D．90°解析：如圖，取BC的中點E，連接AE，ED，AD，則AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE為直線AD與平面BB1C1C所成的角．設(shè)各棱長為a，則AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(1,2)a.∴tan∠ADE＝eq\r(3).∴∠ADE＝60°.6．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為(D)A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)解析：如圖所示，連接BD交AC于點O，連接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即為所求．設(shè)正方體的棱長為1，則DD1＝1，DO＝eq\f(\r(2),2)，D1O＝eq\f(\r(6),2)，∴cos∠DD1O＝eq\f(DD1,D1O)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).∴BB1與平面ACD1所成的角的余弦值為eq\f(\r(6),3).二、填空題7．?ABCD的對角線交點為O，點P在?ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，則PO與平面ABCD的位置關(guān)系是垂直．解析：∵PA＝PC，O是AC的中點，∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.8．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則BD與平面PAC的位置關(guān)系是垂直，平行四邊形ABCD肯定是菱形．解析：由于PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又PC⊥BD，且PC?平面PAC，PA?平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC，所以BD⊥AC.又四邊形ABCD是平行四邊形，所以四邊形ABCD是菱形．9.如圖，∠ACB＝90°，平面ABC外有一點P，PC＝4cm，點P到角的兩邊AC，BC的距離都等于2eq\r(3)cm，則PC與平面ABC所成角的大小為45°.解析：如圖，過P作PO⊥平面ABC于點O，連接CO，則CO為∠ACB的平分線，且∠PCO為PC與平面ABC所成的角，設(shè)其為θ，連接OF，易知△CFO為直角三角形．又PC＝4，PF＝2eq\r(3)，∴CF＝2，∴CO＝2eq\r(2)，在Rt△PCO中，cosθ＝eq\f(CO,PC)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.三、解答題10.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，S是△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明：(1)因為SA＝SC，D是AC的中點，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD.又因為SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.11．如圖所示，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，BC＝BA＝eq\f(1,2)AD＝m，VA⊥平面ABCD.(1)求證：CD⊥平面VAC.(2)若VA＝eq\r(2)m，求CV與平面VAD所成角的大?。猓?1)證明：因為AB＝BC，∠ABC＝90°，所以∠CAB＝∠ACB＝45°，取AD中點G，連接CG，如圖，因為BC∥AD，所以四邊形ABCG為正方形．所以CG＝GD，∠CGD＝90°，所以∠DCG＝45°，所以∠DCA＝90°，所以CD⊥CA，又VA⊥平面ABCD，所以CD⊥VA，因為CA∩VA＝A，所以CD⊥平面VAC.(2)如圖，連接VG，由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(CG⊥AD,VA⊥CG))?CG⊥平面VAD，所以∠CVG是CV與平面VAD所成的角，VC＝eq\r(VA2＋AB2＋BC2)＝2m，CG＝m，所以∠CVG＝30°，所以CV與平面VAD所成角為30°.——實力提升類——12．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則直線AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于(A)A.eq\f(\r(6),4) B.eq\f(\r(10),4)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)解析：如圖所示，取A1C1的中點D，連接AD，B1D，則易證得B1D⊥平面ACC1A1，∴∠DAB1即為直線AB1與平面ACC1A1所成的角．不妨設(shè)正三棱柱的棱長為2，則在Rt△AB1D中，sin∠DAB1＝eq\f(B1D,AB1)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，故選A.13．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，正方形ABCD的面積為16，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為(B)A．64 B．64eq\r(2)C．48eq\r(2) D．64eq\r(3)解析：因為正方形ABCD的面積為16，所以AB＝CD＝4，因為AB⊥平面BB1C1C，故∠AC1B為AC1與平面BB1C1C所成的角，即∠AC1B＝30°，所以BC1＝4eq\r(3)，所以CC1＝eq\r(BC\o\al(2,1)－BC2)＝4eq\r(2)，所以長方體的體積V＝16×4eq\r(2)＝64eq\r(2).14.如圖，四棱錐S-ABCD的底面ABCD為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中正確的有4個．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角．解析：因為SD⊥平面ABCD，所以AC⊥SD.因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正確．因為AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正確．因為AD是SA在平面ABCD內(nèi)的射影，所以SA與平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正確．因為AB∥CD，所以AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角，故④正確．15.如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點．試確定點F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.解：如圖，當F為CD的中點時，D1E⊥平面AB1F.連