2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.1.2四種命題1.1.3四種命題間的相互關(guān)系課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版選修2-1

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(二)四種命題四種命題間的相互關(guān)系(建議用時(shí)：60分鐘)一、選擇題1．命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是()A．若x＋y是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B．若x＋y是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D．若x＋y不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C[若命題為“若p，則q”，命題的逆否命題為“若q，則p”，所以原命題的逆否命題是“若x＋y不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)”．故選C．]2．命題“已知a，b都是實(shí)數(shù)，若a＋b＞0，則a，b不全為0”A．0B．1C．2 D．3C[逆命題“已知a，b都是實(shí)數(shù)，若a，b不全為0，則a＋b＞0”為假命題，其否命題與逆命題等價(jià)，所以否命題為假命題．逆否命題“已知a，b都是實(shí)數(shù)，若a，b全為0，則a＋b≤0”3．下列推斷中不正確的是()A．命題“若A∩B＝B，則A∪B＝A”的逆否命題為真命題B．“矩形的兩條對(duì)角線相等”的否命題為假命題C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，則a<b”的逆命題是真命題D．“若x∈N*，則(x－1)2>0”C[A中，逆否命題“若A∪B≠A，則A∩B≠B”是真命題，正確；B中，否命題“不是矩形的四邊形的兩條對(duì)角線不相等”是假命題，正確；C中，逆命題“已知a，b，m∈R，若a<b，則am2<bm2”是假命題，∴C錯(cuò)誤；D中，∵x＝1時(shí)，(1－1)24．命題“若△ABC有一內(nèi)角為eq\f(π,3)，則△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列”的逆命題()A．與原命題同為假命題B．與原命題的否命題同為假命題C．與原命題的逆否命題同為假命題D．與原命題同為真命題D[原命題明顯為真，原命題的逆命題為“若△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列，則△ABC有一內(nèi)角為eq\f(π,3)”，它是真命題．故選D．]5．某食品的廣告詞為“華蜜的人們都擁有”，這句話的等價(jià)命題是()A．不擁有的人們會(huì)華蜜B．華蜜的人們不都擁有C．擁有的人們不華蜜D．不擁有的人們不華蜜D[“華蜜的人們都擁有”我們可將其化為：假如人是華蜜的，則這個(gè)人擁有某種食品，它的逆否命題為：假如這個(gè)人沒(méi)有擁有某種食品，則這個(gè)人是不華蜜的，即“不擁有的人們就不華蜜”，故選D．]二、填空題6．命題“若x2<4，則－2<x<2”若x≤－2或x≥2，則x2≥4[命題“若x2<4，則－2<x<2的逆否命題為“若x≤－2，或x≥2，則x2≥4”．7．已知命題“若m－1<x<m＋1，則1<x<2”的逆命題為真命題，則m[1,2][逆命題為“若1<x<2，則m－1<x<m＋1”則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤1，,m＋1≥2，))解得1≤m≤2．]8．下列命題：①“等邊三角形三內(nèi)角都為60°”的逆命題；②“若k>0，則x2＋2x－k＝0有實(shí)根”的逆否命題；③“全等三角形的面積相等”的否命題；④“若ab≠0，則a≠0”其中真命題的序號(hào)為________．①②[①逆命題“三內(nèi)角都為60°的三角形為等邊三角形”，真命題；②逆否命題“若x2＋2x－k＝0沒(méi)有實(shí)根，則k≤0”，令Δ＝4＋4k<0，得k<－1，滿意k≤0，∴是真命題；③否命題“不全等的三角形的面積不相等”，是假命題；④否命題“若ab＝0，則a＝0”是假命題，故只有三、解答題9．寫出命題“若直線l的斜率為－1，則直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等”的逆命題、否命題與逆否命題，并推斷這三個(gè)命題的真假．[解]逆命題：若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的斜率為－1．明顯該命題是假命題．否命題：若直線l的斜率不為－1，則直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距不相等．明顯該命題是假命題．逆否命題：若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距不相等，則直線l的斜率不為－1．明顯原命題為真命題，故其逆否命題也是真命題．10．證明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠[證明]若a－b＝1，則a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝(a－b∴依據(jù)逆否命題的等價(jià)性可知：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1．對(duì)于原命題“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)”，下列陳述正確的是()A．逆命題為“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)”B．否命題為“單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)”C．逆否命題為“周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)”D．以上三者都不正確D[原命題的逆命題是“非周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)”，故A不正確；原命題的否命題是“非單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)”，故B不正確；原命題的逆否命題是“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)”，故C不正確．]2．若命題“若x<m－1或x>m＋1，則x2－2x－3>0”的逆命題為真、逆否命題為假，則實(shí)數(shù)mA．(－1,2) B．(0,2]C．[－1,1) D．[0,2]D[由已知，易得{x|x2－2x－3>0}{x|x<m－1或x>m＋1}．又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m－1，,m＋1<3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<m－1，,m＋1≤3，))∴0≤m≤2．]3．已知原命題“菱形的對(duì)角線相互垂直”，則它的逆命題、否命題和逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為________．1[易推斷原命題為真命題，故其逆否命題也是真命題．逆命題：若一個(gè)四邊形對(duì)角線相互垂直，則該四邊形為菱形，為假命題．故原命題的否命題也是假命題．]4．下列四個(gè)命題：①一個(gè)命題的逆命題為真，則它的否命題肯定為真；②等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a1，a3，a4成等比數(shù)列，則公差為－eq\f(1,2)；③已知a>0，b>0，a＋b＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值為5＋2eq\r(6)；④在△ABC中，若sin2A<sin2B＋sin2C，則△其中正確命題的序號(hào)是________．(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)①③[①一個(gè)命題的逆命題與其否命題為等價(jià)命題，故正確；②等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a1，a3，a4成等比數(shù)列，則公差為－eq\f(1,2)或0，故錯(cuò)誤；③已知a>0，b>0，a＋b＝1，則eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝eq\f(2a＋b,a)＋eq\f(3a＋b,b)＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(3a,b)≥5＋2eq\r(6)，故正確；④在△ABC中，若sin2A<sin2B＋sin2C，可推出a2<b2＋c2，A為銳角，但不能得出是銳角三角形，故錯(cuò)誤．故答案為①③．]5．求證：若a2＋2ab＋b2＋2a＋2b－3≠0，則a＋