2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)4.2.3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像學(xué)案含解析新人教B版必修第二冊

4.2.3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像學(xué)習(xí)目標1.通過詳細實例,了解對數(shù)函數(shù)的概念.2.能用描點法或借助計算工具畫出詳細對數(shù)函數(shù)的圖像,探究并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特別點,發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).3.能初步運用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決諸如比較大小等簡潔問題,提升數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).4.類比指數(shù)函數(shù)的探討過程,經(jīng)驗設(shè)計對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和圖像的探討內(nèi)容和方法,再次提升和豐富函數(shù)性質(zhì)和圖像探討的基本思想和基本活動閱歷.自主預(yù)習(xí)1.我們之前是以怎樣的探討思路來學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的?指數(shù)函數(shù)都有哪些性質(zhì)?(1)由特別到

歸納得到一般函數(shù):(2)由“圖像的特征(形)”到“(數(shù))”

y=ax0<a<1a>1性質(zhì)定義域值域過定點奇偶性單調(diào)性范圍當x>0時,;

當x<0時,.

當x>0時,;

當x<0時,.

2.指數(shù)式ax=N化為對數(shù)式是什么?對數(shù)式中a的取值范圍是什么?N的取值范圍是什么?3.計算:log214=;log122log121=;log13log33=.

課堂探究1996年在青州龍興寺遺址出土400余尊佛像被列為當年中國十大考古發(fā)覺之首.先后在美、日、德、英、瑞等世界各國舉辦過多次展覽,轟動海內(nèi)外!其中一尊衣著雍容華貴的無臂菩薩像,被譽為“東方維納斯”.我們已經(jīng)知道,文物埋藏x年后體內(nèi)碳14的含量y滿意y=12x5730,也就是說問題1:(1)假如測得某文物中碳14的含量為0.5,那么文物的埋藏時間x應(yīng)等于多少?(2)給定一個y值有多少個x與之對應(yīng)?(3)這里的x能看成y的函數(shù)嗎?為什么?一般地,函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a>0且a≠1.

(一)回顧閱歷,明確思路問題2:類比指數(shù)函數(shù)的探討過程,對于對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和圖像,你能提出問題的探討思路嗎?(二)動手操作,形成感知問題3:請畫出函數(shù)y=log2x中的圖像,依據(jù)畫函數(shù)圖像的步驟,想一想列表時,自變量你會選取哪些有代表性的數(shù)值呢?xy=log2xy=log1問題4:我們體驗了y=log2x的作圖過程,視察其圖像的特點,你能得出對數(shù)函數(shù)y=log2x的哪些性質(zhì)?問題5:類比指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的探究過程,還須要畫出另一個特別函數(shù)y=log12x的圖像,請先用描點法畫出其圖像,然后思索如何由y=log2仔細視察上面兩個對數(shù)函數(shù)的圖像特征,它們有哪些異同點,填寫下面的表格.視察y=log2x的圖像視察y=log12圖像特征代數(shù)表述圖像特征代數(shù)表述圖像位于y軸的

定義域

圖像位于y軸的

定義域

圖像向上、向下

值域

圖像向上、向下

值域

自左向右看,圖像

單調(diào)性

自左向右看,圖像

單調(diào)性

(三)理性相識,概括性質(zhì)問題6:為了得到對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的性質(zhì),我們還須要畫出更多詳細的對數(shù)函數(shù)的圖像進行視察,底數(shù)如何選取?合作探究:借助于幾何畫板,選取底數(shù)a(a>0,且a≠1)的若干不同的值,在同始終角坐標系內(nèi)畫出相應(yīng)的對數(shù)函數(shù)圖像,視察這些函數(shù)圖像的位置、公共點和改變趨勢,它們有哪些共性?由此,你能概括出對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的值域和性質(zhì)嗎?0<a<1a>1圖像定義域值域性質(zhì)定點單調(diào)性(四)鞏固練習(xí),學(xué)以致用例1求下列函數(shù)的定義域.(1)y=lg(4-x);(2)y=lnx2.例2比較下列各題中兩個值的大小.(1)log0.33與log0.35;(2)ln3與ln3.001;(3)log70.5與0.變式訓(xùn)練比較下列兩個值的大小.loga3與loga5(a>0,且a≠1).方法提煉:拓展性問題:已知log0.72m<log0.7(m-1),求m的取值范圍.(五)課堂小結(jié),總結(jié)升華通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有什么收獲?(學(xué)問層面,思想方法層面)(六)當堂檢測1.設(shè)f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),f(x)的定義域是.

2.下列關(guān)系式中,成立的是()A.log34>0>log1310 B.log1310>0C.log34>log1310>0 D.log1310>log核心素養(yǎng)專練閱讀課本,結(jié)合學(xué)案,進行學(xué)問整理,形成系統(tǒng).必做題A組,選做題B組.A組:課本27頁練習(xí)A第1,3,4,5題,28頁練習(xí)B第1,2題.B組1.函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值比最小值大1,求a的值.2.已知loga34<1(a>0且a≠1),求a的取值范圍3.溶液酸堿度是通過pH計量的.pH的計算公式為pH=-lg[H+],其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度,單位是摩爾/升.(1)依據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH的計算公式,說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的改變關(guān)系;(2)已知純凈水中氫離子的濃度為[H+]=10-7摩爾/升,計算純凈水的pH.4.查閱資料,了解更多對數(shù)函數(shù)的相關(guān)學(xué)問和對數(shù)函數(shù)在考古、人口增長率、種群繁殖等方面的應(yīng)用.參考答案自主預(yù)習(xí)1.(1)一般(2)圖像的性質(zhì)y=ax0<a<1a>1性質(zhì)定義域R值域(0,+∞)過定點(0,1)奇偶性非奇非偶單調(diào)性減函數(shù)增函數(shù)范圍當x>0時,0<y<1;當x<0時,y>1.當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<12.x=logaN;a>0,a≠1;N>03.-2-10-21課堂探究問題1:(1)x=5730;(2)一個y值只有一個x與它對應(yīng);(3)能,依據(jù)函數(shù)的定義.y=logax問題2:通過畫特別函數(shù)的圖像,由圖像探討其性質(zhì),探討其定義域、值域、單調(diào)性等.問題3:依據(jù)自主預(yù)習(xí),對數(shù)值有正有負,所以x除了取整數(shù)1,2,4,8之外,還要取一些分數(shù):12,14,18問題4:見表格左側(cè)部分視察y=log2x的圖像視察y=log12圖像特征代數(shù)表述圖像特征代數(shù)表述圖像位于y軸的右側(cè)定義域(0,+∞)圖像位于y軸的右側(cè)定義域(0,+∞)圖像向上、向下無限延長值域R圖像向上、向下無限延長值域R自左向右看,圖像漸漸上升單調(diào)性增函數(shù)自左向右看,圖像漸漸降低單調(diào)性減函數(shù)問題5:列表、描點、連線;或是利用與y=log2x的圖像關(guān)于x軸對稱,來畫出.表格見上表.問題6:底數(shù)分別取幾個大于1和大于0小于1的數(shù).填表略例1:(1)(-∞,4)(2)(-∞,0)∪(0,+∞)例2:(1)log0.33>log0.35(2)ln3<ln3.001(3)log70.5<0變式訓(xùn)練當a>1時,loga3<loga5;當0<a<1時,loga3>loga5.拓展性問題:m>1課堂小結(jié)略當堂推想略核心素養(yǎng)專練B組1.a=2或a=122.(0,34)∪(1,3.(1)y=-lgx是減函數(shù),所以當溶液中氫離子的濃度增加時,溶液的pH減小,當溶液中氫離子的濃度減小時,溶液的pH增大.(2)pH=74.略學(xué)習(xí)目標1.能建立函數(shù)關(guān)系,找出底數(shù).2.能畫出函數(shù)的圖像,能比較底數(shù)的大小3.能比較函數(shù)值的大小,能求定義域和解對數(shù)不等式.自主預(yù)習(xí)對數(shù)函數(shù)一般地,函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù),其中a是常數(shù),a>0且a≠1.

對數(shù)函數(shù)y=logax的性質(zhì):(1)定義域是,因此函數(shù)圖像肯定在y軸的右邊.

(2)值域是實數(shù)集.

(3)函數(shù)圖像肯定過點.

(4)當a>1時,y=logax是;當0<a<1時,y=logax是.

(5)對數(shù)函數(shù)的圖像(6)對數(shù)函數(shù)y=logax和y=log1ax的圖像關(guān)于課堂探究例1比較下列各題中兩個值的大小.(1)log0.33與log0.35;(2)ln3與ln3.001;(3)log70.5與0.例2已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),求m的取值范圍.例3求下列函數(shù)的定義域.(1)y=lg(4-x);(2)y=lnx2.核心素養(yǎng)專練1.下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A.y=loga(2x) B.y=log22xC.y=log2(x+1) D.y=lgx2.函數(shù)f(x)=11-x+lg(3x+A.-13C.-133.函數(shù)y=ax與y=-logax(a>0,且a≠1)在同一坐標系中的圖像形態(tài)可能是()參考答案自主預(yù)習(xí)y=logax(1)(0,+∞)(2)R(3)(1,0)(4)增函數(shù)減函數(shù)(6)x軸課堂探究例1解:(1)因為0<0.3<1,所以y=log0.3x是減函數(shù),又因為3<5,所以log0.33>log0.35.(2)因為e>1,所以y=lnx是增函數(shù),又因為3.001>3,所以ln3<ln3.001.(3)因為7>1,所以y=log7x是增函數(shù),又因為log71=0,而且0.5<1,所以log70.