2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用二4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE1-第四章4.54.5.3A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為4000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.3元，一般車存車費(fèi)是每輛一次0.2元．若一般車存車數(shù)為x輛次，存車總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是(D)A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)[解析]據(jù)題意知：y＝0.2x＋0.3(4000－x)＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)．2．某企業(yè)生產(chǎn)的一種電子產(chǎn)品的成本是每件500元，安排在今后的3年內(nèi)，使成本降低到每件256元，則平均每年成本應(yīng)降低(C)A．10% B．15%C．20% D．35%[解析]設(shè)平均每年降低百分比為x，則500(1－x)3＝256，解得x＝20%，故選C．3．一輛汽車在某段路程中的行駛速度v與時(shí)間t的關(guān)系圖象如圖，則t＝2時(shí)，汽車已行駛的路程為(C)A．100km B．125kmC．150km D．225km[解析]t＝2時(shí)，汽車行駛的路程為：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150km，故選C．4．設(shè)某產(chǎn)品2024年12月底價(jià)格為a元(a>0)，在2024年的前6個(gè)月，價(jià)格平均每月比上個(gè)月上漲10%，后6個(gè)月，價(jià)格平均每月比上個(gè)月下降10%，經(jīng)過這12個(gè)月，2024年12月底該產(chǎn)品的價(jià)格為b元，則a，b的大小關(guān)系是(A)A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<bC．a(chǎn)＝b D．不能確定[解析]由題意，得b＝a·(1＋10%)6·(1－10%)6＝a·(1.1×0.9)6＝0.996a<a，故選A．5．(2024·濟(jì)南濟(jì)鋼中學(xué)高一期中測(cè)試)某種新藥服用xh后血液中殘留量為ymg，如圖所示為函數(shù)y＝f(x)的圖象，當(dāng)血液中藥物殘留量不小于240mg時(shí)，治療有效．設(shè)某人上午8∶00第一次服藥，為保證療效，則其次次服藥最遲的時(shí)間應(yīng)為(C)A．上午10∶00 B．中午12∶00C．下午4∶00 D．下午6∶00[解析]由圖象可知，當(dāng)x∈[0,4]時(shí)，設(shè)y＝kx，代入點(diǎn)(4,320)，得320＝4k，∴k＝80，∴y＝80x.當(dāng)x∈[4,20]時(shí)，設(shè)y＝kx＋b，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝320,20k＋b＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－20,b＝400)).∴y＝400－20x.當(dāng)x∈[0,4]時(shí)，由80x≥240，得3≤x≤4，當(dāng)x∈[4,20]時(shí)，由400－20x≥240，得4≤x≤8，∴3≤x≤8.∴其次次服藥應(yīng)在第一次服藥8小時(shí)后，即當(dāng)日16∶00時(shí)．6．某企業(yè)生產(chǎn)總值的月平均增長率為P，則年平均增長率為(C)A．(1＋P)11 B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1[解析]設(shè)年平均增長率為x，∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，∴x＝(1＋P)12－1，故選C．二、填空題7．某商人購貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%，他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)b，以便按新價(jià)讓利20%銷售后仍可獲得售價(jià)25%的純利，則此商人經(jīng)營這種貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式是__y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)__.[解析]依題意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化簡(jiǎn)得b＝eq\f(5,4)a，∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)．8．某農(nóng)場(chǎng)種植一種農(nóng)作物，為了解該農(nóng)作物的產(chǎn)量狀況，現(xiàn)將近四年的年產(chǎn)量f(x)(單位：萬斤)與年份x(記2024年為第1年)之間的關(guān)系統(tǒng)計(jì)如下：x1234f(x)4.005.627.008.86則f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：①f(x)＝ax＋b；②f(x)＝2x＋a；③f(x)＝x2＋b.你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型的序號(hào)是__①__.[解析]若模型為②，則f(1)＝2＋a＝4，解得a＝2，于是f(x)＝2x＋2，此時(shí)f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與表格中的數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為③，則f(1)＝1＋b＝4，解得b＝3，于是f(x)＝x2＋3，此時(shí)f(2)＝7，f(3)＝12，f(4)＝19，與表格中的數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為①，則依據(jù)表中數(shù)據(jù)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝4，,f3＝7，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝\f(5,2)，))經(jīng)檢驗(yàn)是最適合的函數(shù)模型．三、解答題9．某紀(jì)念章從2024年10月1日起起先上市，通過市場(chǎng)調(diào)查，得到該紀(jì)念章每1枚的市場(chǎng)價(jià)(單位：元)與上市時(shí)間(單位：天)的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間x天41036市場(chǎng)價(jià)y元905190(1)依據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的改變關(guān)系并說明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx.(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格．[解析](1)選?、趛＝ax2＋bx＋c.理由如下：∵隨著時(shí)間x的增加，y的值先減后增，而所給的三個(gè)函數(shù)中y＝ax＋b和y＝alogbx明顯都是單調(diào)函數(shù)，不滿意題意，∴選取y＝ax2＋bx＋c.(2)把點(diǎn)(4,90)，(10,51)，(36,90)代入y＝ax2＋bx＋c中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16a＋4b＋c＝90，,100a＋10b＋c＝51，,1296a＋36b＋c＝90，))解得a＝eq\f(1,4)，b＝－10，c＝126.∴y＝eq\f(1,4)x2－10x＋126＝eq\f(1,4)(x－20)2＋26，∴當(dāng)x＝20時(shí)，y有最小值ymin＝26.故當(dāng)紀(jì)念章上市20天時(shí)，該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為26元．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．一個(gè)人以6m/s的速度去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25m時(shí)，交通燈由紅變綠，汽車以1m/s2的加速度均加速開走，那么(D)A．人可在7s內(nèi)追上汽車B．人可在10s內(nèi)追上汽車C．人追不上汽車，其間距最少為5mD．人追不上汽車，其間距最少為7m[解析]設(shè)汽車經(jīng)過ts行駛的路程為sm，則s＝eq\f(1,2)t2，車與人的間距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7，當(dāng)t＝6時(shí)，d取得最小值為7，故選D．2．商店某種貨物的進(jìn)價(jià)下降了8%，但銷售價(jià)不變，于是這種貨物的銷售利潤率(eq\f(銷售價(jià)－進(jìn)價(jià),進(jìn)價(jià))×100%)由原來的r%增加到(r＋10)%，則r的值等于(B)A．12 B．15C．25 D．50[解析]設(shè)原來的進(jìn)貨價(jià)為m元，則由題意得m(1＋r%)＝m(1－8%)[1＋(r＋10)%]，解得r＝15，故選B．3．一個(gè)高為H，盛水量為V0的水瓶的軸截面如圖所示，現(xiàn)以勻稱速度往水瓶中灌水，直到灌滿為止，假如水深h時(shí)水的體積為V，則函數(shù)V＝f(h)的圖象大致是(D)[解析]水深h越大，水的體積V就越大，故函數(shù)V＝f(h)是遞增函數(shù)，一起先增長越來越快，后來增長越來越慢，圖象是先凹后凸的，曲線斜率是先增大后變小的，故選D．4．(多選題)下面是一幅統(tǒng)計(jì)圖，依據(jù)此圖得到的以下說法中正確的是(ABD)A．這幾年生活水平逐年得到提高B．生活費(fèi)收入指數(shù)增長最快的一年是2024年C．生活價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是2024年D．雖然2024年的生活費(fèi)收入增長緩慢，但生活價(jià)格指數(shù)略有降低，因而生活水平有較大的改善[解析]由題意知，“生活費(fèi)收入指數(shù)”減去“生活價(jià)格指數(shù)”的差是逐年增大的，故A正確；“生活費(fèi)收入指數(shù)”在2024～2024年最陡，故B正確；“生活價(jià)格指數(shù)”在2024～2024年比較平緩，故C錯(cuò)；2024年“生活價(jià)格指數(shù)”降低，而“收入指數(shù)”上升．因此生活水平有較大改善，故D正確，故選ABD．二、填空題5．一種特地侵占內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3min自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)后經(jīng)過__45__min，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存(1MB＝210KB)．[解析]設(shè)過n個(gè)3min后，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存，則2×2n＝64×210＝216?n＝15.故時(shí)間為15×3＝45(min)．6．(2024·濟(jì)南濟(jì)鋼中學(xué)高一期中測(cè)試)生物機(jī)體內(nèi)碳14的半衰期(剩留量為原來的一半所須要的時(shí)間)為5730年，某古墓一文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的77%，試推算該古墓距出土?xí)r約有__2161__年．(參考數(shù)據(jù)：lg0.77＝－0.1135，lg0.5＝－0.3010，結(jié)果精確到年)[解析]設(shè)生物死亡的年數(shù)為x年，由題意得(eq\f(1,2))eq\f(x,5730)＝77%，∴eq\f(x,5730)＝logeq\f(1,2)0.77＝eq\f(lg0.77,lg\f(1,2))＝eq\f(－0.1135,－0.3010)＝eq\f(1135,3010)，∴x＝5730×eq\f(1135,3010)≈2161.∴該古墓距出土?xí)r約有2161年．三、解答題7．某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，依據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)料，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2(注：利潤和投資單位：萬元)．(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)．①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤？②問：假如你是廠長，怎樣安排這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？[解析](1)設(shè)A，B兩種產(chǎn)品分別投資x萬元，x≥0，所獲利潤分別為f(x)萬元、g(x)萬元．由題意可設(shè)f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).依據(jù)圖象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．g(x)＝2eq\r(x)(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2eq\r(9)＝6.∴總利潤y＝8.25萬元．②設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元