2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.2函數(shù)的單調(diào)性第1課時(shí)學(xué)案含解析新人教B版必修第一冊(cè)

3.1.2函數(shù)的單調(diào)性第1課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義.2.會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義推斷(或證明)一些函數(shù)的單調(diào)性.3.理解函數(shù)的最大值和最小值的概念,會(huì)求一些簡(jiǎn)潔函數(shù)的最值.自主預(yù)習(xí)閱讀課本第95頁~第97頁“1.單調(diào)性的定義與證明”并完成下列問題.(1)完成課本這一部分的填空題目.(2)函數(shù)單調(diào)性的定義.(3)思索課本第96頁想一想,并完成嘗試與發(fā)覺.(4)最大值、最小值.課堂探究問題探究任務(wù)一:閱讀課本第95頁~第97頁并完成下列問題1.“情境與問題”中的問題.2.單調(diào)性的定義.3.單調(diào)性定義中“隨意”二字能不能去掉.4.能否說y=1x在定義域內(nèi)是減函數(shù)?為什么5.最大值、最小值.6.最值點(diǎn)是不是點(diǎn)?任務(wù)二:函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)潔應(yīng)用一、利用圖像求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1如圖是定義在區(qū)間[-2,2]的函數(shù)y=f(x),則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

【拓展練習(xí)】函數(shù)f(x)=x|x|-2x的單調(diào)遞增區(qū)間為.

要點(diǎn)歸納圖像法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:二、利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例2下列函數(shù)中,在R上是增函數(shù)的是()A.y=|x| B.y=x C.y=x2 D.y=1【拓展練習(xí)】證明函數(shù)f(x)=x-1x在(0,+∞)上是增函數(shù)【小結(jié)】利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:三、單調(diào)性與最值例3推斷函數(shù)f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的單調(diào)性,并求這個(gè)函數(shù)的最值.評(píng)價(jià)反饋1.(多選題)下列函數(shù)中,在(0,2)上是減函數(shù)的是()A.y=1x B.y=2x-C.y=1-2x D.y=(2x-1)22.如圖是函數(shù)y=f(x)的圖像,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.(-1,0)B.(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-1,0),(1,+∞)課后作業(yè)課本第102頁第1,4,5題核心素養(yǎng)專練1.給定函數(shù)①y=x;②y=log12(x+1);③y=|x-1|;④y=2x.其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)的序號(hào)是(A.①② B.②③ C.③④ D.①④2.(多選題)下圖中是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖像,則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法正確的是()A.f(x)在區(qū)間[-5,-3]上單調(diào)遞增B.f(x)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增C.f(x)在區(qū)間[-3,1]∪[4,5]上單調(diào)遞減D.f(x)在區(qū)間[-5,5]上沒有單調(diào)性參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究問題探究任務(wù)一:略任務(wù)二:一、利用圖像求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1解析:由圖像可以看出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[-1,1].答案:[-1,1]【拓展練習(xí)】解析:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-2x,對(duì)稱軸為x=1,開口向上,在(1,+∞)單調(diào)遞增;當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-x2-2x,對(duì)稱軸為x=-1,開口向下,在(-∞,-1)單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1)和(1,+∞).答案:(-∞,-1)和(1,+∞)要點(diǎn)歸納1.作圖:作出函數(shù)的圖像;2.結(jié)論:上升圖像對(duì)應(yīng)單調(diào)遞增區(qū)間,下降圖像對(duì)應(yīng)單調(diào)遞減區(qū)間.二、利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例2B解析:依據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A選項(xiàng),y=|x|=x,x≥0,-對(duì)于B選項(xiàng),y=x,為正比例函數(shù),在R上是增函數(shù),符合題意;對(duì)于C選項(xiàng),y=x2,為二次函數(shù),在R上不是增函數(shù),不符合題意;對(duì)于D選項(xiàng),y=1x,為反比例函數(shù),在R上不是增函數(shù),不符合題意【拓展練習(xí)】證明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,則x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1+1因?yàn)閤1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0,所以1+1x1x又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.【小結(jié)】三、單調(diào)性與最值例3在[-1,6]上為增函數(shù)這個(gè)函數(shù)的最小值為f(-1)=2,最大值為f(6)=23.評(píng)價(jià)反饋1.AC2.D課后作業(yè)略核心素養(yǎng)專練1.B2.ABD學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例,經(jīng)驗(yàn)從詳細(xì)的直觀描述到形式的符號(hào)表達(dá)的抽象過程.2.在理解函數(shù)單調(diào)性定義的基礎(chǔ)上,會(huì)用單調(diào)性的定義證明簡(jiǎn)潔函數(shù)的單調(diào)性,能利用單調(diào)性求簡(jiǎn)潔函數(shù)的最值,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)學(xué)問點(diǎn)一增函數(shù)與減函數(shù)的定義一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,且I?D.(1)假如對(duì)x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時(shí),都有,則稱y=f(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞增).

(2)假如對(duì)x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時(shí),都有,則稱y=f(x)在I上是(也稱在I上單調(diào)遞減).

學(xué)問點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間假如函數(shù)y=f(x)在I上是增函數(shù)(或減函數(shù)),則稱函數(shù)在I上具有單調(diào)性,當(dāng)I為區(qū)間時(shí),稱I為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,也可分別稱為單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間.學(xué)問點(diǎn)三函數(shù)的最大值與最小值一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,且x0∈D:假如對(duì)x∈D,都有f(x)f(x0),則稱f(x)的最大值為f(x0),而x0稱為f(x)的最大值點(diǎn);假如對(duì)x∈D,都有f(x)f(x0),則稱f(x)的最小值為f(x0),而x0稱為f(x)的最小值點(diǎn).最大值和最小值統(tǒng)稱為,最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)統(tǒng)稱為.

課前自測(cè)推斷.1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,假如定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上存在兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),有f(x1)<f(x2),則f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).()2.若f(x)在區(qū)間D上為減函數(shù),則在此區(qū)間上函數(shù)值隨自變量的增大而減小.()3.函數(shù)f(x)=1x在(1,2]上無最大值,最小值為12,值域?yàn)?2,4.假如f(x)在區(qū)間[a,b]和(b,c]上都是增函數(shù),則f(x)在區(qū)間[a,c]上是增函數(shù).()課堂探究閱讀課本第95~96頁回答以下幾個(gè)問題(可小組探討).問題(1)當(dāng)時(shí)間間隔t漸漸增大你能看出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y有什么改變趨勢(shì)?通過這個(gè)試驗(yàn),你準(zhǔn)備以后如何對(duì)待剛學(xué)過的學(xué)問?(2)“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是漸漸下降的,對(duì)此,我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行說明?探究問題1:視察下列函數(shù)圖像,請(qǐng)你說說這些函數(shù)有什么改變趨勢(shì)?問題2:怎樣用不等式符號(hào)表示“y隨著x的增大而增大”“y隨著x的增大而減小”?問題3:如何用數(shù)學(xué)語言精確刻畫函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增呢?問題4:請(qǐng)你試著用數(shù)學(xué)語言定義函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞減的.題型一利用圖像推斷函數(shù)的單調(diào)性例1如圖是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x),依據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)?跟蹤訓(xùn)練1如圖,已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖像(包括端點(diǎn)),依據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一個(gè)區(qū)間上,函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).題型二利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例2求證:函數(shù)f(x)=-2x在R上是減函數(shù).跟蹤訓(xùn)練2求證:函數(shù)f(x)=x+4x在區(qū)間(2,+∞)內(nèi)為增函數(shù)題型三利用函數(shù)的單調(diào)性求最值例3推斷函數(shù)f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的單調(diào)性,并求出這個(gè)函數(shù)的最值.引申推斷函數(shù)f(x)=3x+5,x∈(-1,6]的單調(diào)性,并求出這個(gè)函數(shù)的最值.課堂練習(xí)1.函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示,其增區(qū)間是()A.[-4,4] B.[-4,-3],[1,4]C.[-3,1] D.[-3,4]2.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是()A.y=-1x B.y=x C.y=x2 D.y=13.推斷函數(shù)f(x)=5x+1,x∈[-2,7]的單調(diào)性,并求出這個(gè)函數(shù)的最值.核心素養(yǎng)專練A組1.函數(shù)y=(2k-1)x+b在(-∞,+∞)上是減函數(shù),則()A.k<12 B.k>12 C.k>-122.下列函數(shù)中,在(-∞,0)上為減函數(shù)的是()A.y=-x2+2 B.y=4x-1C.y=x2+4x D.y=13.f(x)對(duì)隨意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a,b,總有f(a)-f(b)A.函數(shù)f(x)先增后減B.函數(shù)f(x)先減后增C.函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)D.函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)4.(多項(xiàng)選擇)如圖所示的是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖像,則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說法正確的()A.函數(shù)在區(qū)間[-5,-3]上單調(diào)遞增B.函數(shù)在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞增C.函數(shù)在區(qū)間[-3,1]∪[4,5]上單調(diào)遞減D.函數(shù)在區(qū)間[-3,3]上不單調(diào)5.已知函數(shù)y=f(x)是定義在[-2,2]上的增函數(shù),且f(1-m)<f(m),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

6.已知函數(shù)f(x)=x-bx+a,且f(2)=14,f(1)求f(x)的函數(shù)解析式;(2)求證:f(x)在[3,5]上為增函數(shù);(3)求函數(shù)f(x)的值域.B組1.已知函數(shù)f(x)=x2-kx-6在[2,8]上是單調(diào)函數(shù),則k的取值范圍是()A.(4,16) B.[4,16]C.[16,+∞) D.(-∞,4]∪[16,+∞)2.已知函數(shù)f(x)=1x,x≥10,kx+1,x<10,若3.已知函數(shù)f(x)=x2-4|x|+3,x∈R.(1)將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式;(2)畫出函數(shù)的圖像;(3)依據(jù)圖像寫出它的單調(diào)區(qū)間.參考答案自主預(yù)習(xí)略課堂探究問題:略探究:略題型一利用圖像推斷函數(shù)的單調(diào)性例1解:y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2],[1,3]上是減函數(shù),在區(qū)間[-2,1],[3,5]上是增函數(shù).跟蹤訓(xùn)練1解:y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2].其中y=f(x)在區(qū)間[-2,-1],[0,1]上是減函數(shù),在區(qū)間[-1,0],[1,2]上是增函數(shù).y=g(x)的單調(diào)區(qū)間有[-3,-1.5],[-1.5,1.5],[1.5,3],其中y=g(x)在區(qū)間[-3,-1.5],[1.5,3]上是減函數(shù),在區(qū)間[-1.5,1.5]上是增函數(shù).題型二利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例2證明:任取x1,x2∈R且x1<x2,則x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)>0,從而f(x1)>f(x2).因此函數(shù)f(x)=-2x在R上是減函數(shù).跟蹤訓(xùn)練2證明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2-4x2=(x1-x2)+由x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2.所以x1x2>4,x1x2-4>0,又由x1<x2,得x1-x2<0.于是(x1-x2)(x1x2-4)x1所以函數(shù)f(x)=x+4x在(2,+∞)上是增函數(shù)題型三利用函數(shù)的單調(diào)性求最值例3解:任取x1,x2∈[-1,6]且x1<x2,則x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(3x1+5)-(3x2+5)=3(x1-x2)<0,所以這個(gè)函數(shù)是增函數(shù).因此,當(dāng)-1≤x≤6時(shí),有f(-1)≤f(x)≤f(6).從而這個(gè)函數(shù)的最小值為f(-1)=2,最大值為f(6)=23.引申f(x)無最小值,最大值為f(6)=23.課堂練習(xí)1.C2.D3.解:任取x1,x2∈[-2,7],且x1<x2,則x1-x2<0.那么f(x1)-f(x2)=5x1+1-(5x2+1)=5(x1-x2)<0.所以這個(gè)函數(shù)是增函數(shù).因此當(dāng)-2≤x≤7時(shí),有f(-2)≤f(x)≤f(7),從而這個(gè)函數(shù)的最小值為f(-2)=-9,最大值為f(7)=36.核心素養(yǎng)專練1.A2.D3.C4.ABD5.12<m≤6.解:(1)函數(shù)f(x)=x-由f(2)=14,得a+4b=6,由f(3)=25,得2a+5b=9,聯(lián)立①②解得a=2,b=1,則函數(shù)解析式為f((2)任取x1,x