2024-2025學年高中數學第二章推理與證明課時作業(yè)172.2.2.2反證法含解析新人教A版選修2-2

PAGEPAGE1課時作業(yè)17反證法時間：45分鐘——基礎鞏固類——一、選擇題1．反證法的關鍵是在正確的推理下得出沖突．這個沖突可以是(D)①與已知條件沖突；②與假設沖突；③與定義、公理、定理沖突；④與事實沖突．A．①② B．①③C．①③④ D．①②③④2．否定：“自然數a，b，c中恰有一個偶數”時正確的反設為(D)A．a，b，c都是偶數B．a，b，c都是奇數C．a，b，c中至少有兩個偶數D．a，b，c中都是奇數或至少有兩個偶數解析：自然數a，b，c的奇偶性共有四種情形：3個都是奇數，1個偶數2個奇數，2個偶數1個奇數，3個都是偶數，所以否定“自然數a，b，c中恰有一個偶數”時正確的反設為“a，b，c中都是奇數或至少有兩個偶數”．3．用反證法證明命題“三角形的三個內角中至少有一個大于等于60°”時，反設正確的是(A)A．三個內角都小于60°B．三個內角都大于60°C．三個內角中至多有一個大于60°D．三個內角中至多有兩個大于60°解析：“至少有一個”的否定是“一個都沒有”，則反設為“三個內角都小于60°”．4．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反證法求證a>0，b>0，c>0時的反設為(C)A．a<0，b<0，c<0 B．a≤0，b>0，c>0C．a、b、c不全是正數 D．abc<05．用反證法證明命題：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設的內容應為(B)A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a，b都不能被5整除”．6．設a、b、c都是正數，則三個數a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)(D)A．都大于2B．至少有一個大于2C．至少有一個不大于2D．至少有一個不小于2解析：假設a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)都小于2，則(a＋eq\f(1,b))＋(b＋eq\f(1,c))＋(c＋eq\f(1,a))<6.又(a＋eq\f(1,b))＋(b＋eq\f(1,c))＋(c＋eq\f(1,a))＝(a＋eq\f(1,a))＋(b＋eq\f(1,b))＋(c＋eq\f(1,c))≥6，沖突．故三個數中至少有一個不小于2.7．設a、b均為正整數，且a＋b≤4，則下列各式中正確的是(C)A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1 B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤2 D.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2解析：假設A正確．依題意可取a＝1，b＝2，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)>1，與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<1沖突，故A不正確．同理可推出B、D不正確，故選C.二、填空題8．“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應是存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角．9．用反證法證明命題“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時，應假設x＝a或x＝b.10．若方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實根，則實數a的取值范圍是(－∞，－2]∪[－1，＋∞三、解答題11．已知x，y∈R，且x＋y>2，證明：x，y中至少有一個大于1.證明：假設x，y都不大于1，即x≤1，y≤1，則x＋y≤2，這與已知條件x＋y>2沖突，所以假設不成立，故x，y中至少有一個大于1.12．設a、b、c均為奇數，求證：方程ax2＋bx＋c＝0無整數根．證明：假設方程有整數根x＝x0，x0∈Z，則axeq\o\al(2,0)＋bx0＋c＝0，c＝－(axeq\o\al(2,0)＋bx0)．①若x0為偶數，則axeq\o\al(2,0)與bx0均為偶數，所以axeq\o\al(2,0)＋bx0為偶數，從而c為偶數，與題設沖突．②若x0為奇數，則axeq\o\al(2,0)與bx0均為奇數，所以axeq\o\al(2,0)＋bx0為偶數，從而c為偶數，與題設沖突．綜上所述，方程ax2＋bx＋c＝0沒有整數根．——實力提升類——13．某珠寶店丟了一件寶貴珠寶，以下四人中只有一人說真話，只有一人偷了珠寶．甲：我沒有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；?。何覜]有偷．依據以上條件，可以推斷偷珠寶的人是甲．解析：假如甲：我沒偷是真的，乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；?。何覜]有偷就是真的，與他們四人中有一人說真話沖突．假如甲：我沒有偷是假的，那么?。何覜]有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立．∴可以推斷偷珠寶的人是甲．14．設{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數列，cn＝an＋bn，證明：{cn}不是等比數列．證明：假設{cn}是等比數列，則當n≥2時，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1)．所以aeq\o\al(2,n)＋2anbn＋beq\o\al(2,n)＝an－1an＋1＋an－1·bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1.設{an}，{bn}的公比分別為p，q(p≠q)．因為aeq\o\al(2,n)＝an－1·an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1·bn＋1，所以2anbn＝an－1bn＋1＋bn－1an＋1＝eq\f(an,p)·bn·q＋eq\f(bn,q)·an·