2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1.2等差數(shù)列1.2.1第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修5

PAGEPAGE4課時(shí)作業(yè)4等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，則a，b的等差中項(xiàng)為(A)A.eq\r(3) B.eq\r(2)C.eq\f(1,\r(3)) D.eq\f(1,\r(2))解析：設(shè)等差中項(xiàng)為x，由等差中項(xiàng)的定義知，2x＝a＋b＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq\f(1,\r(3)－\r(2))＝(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(3)＋eq\r(2))＝2eq\r(3)，∴x＝eq\r(3)，故選A.2．若等差數(shù)列{an}的公差為d，則{3an}是(B)A．公差為d的等差數(shù)列B．公差為3d的等差數(shù)列C．非等差數(shù)列D．無法確定解析：設(shè)bn＝3an，則bn＋1－bn＝3an＋1－3an＝3(an＋1－an)＝3d.3．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為(A)A．5 B．6C．8 D．10解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)等差中項(xiàng)．由等差中項(xiàng)知2a5＝a1＋a9＝10，所以a5＝5，故選A.4．?dāng)?shù)列{an}中，a3＝2，a5＝1，假如數(shù)列{eq\f(1,an＋1)}是等差數(shù)列，則a11＝(B)A.eq\f(1,11) B．0C．－eq\f(1,13) D．－eq\f(1,7)解析：∵{eq\f(1,an＋1)}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則eq\f(1,a5＋1)－eq\f(1,a3＋1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)＝2d，∴d＝eq\f(1,12)，∴eq\f(1,a11＋1)＝eq\f(1,a5＋1)＋6d＝eq\f(1,2)＋6×eq\f(1,12)＝1，∴a11＝0.5．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，則a20等于(B)A．－1 B．1C．3 D．7解析：設(shè)數(shù)列{an}公差為d，∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105.∴a3＝35.同理，由a2＋a4＋a6＝99得a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.6．下列命題中正確的是(C)A．若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c成等差數(shù)列解析：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，∴2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，∴a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列．7．若{an}是等差數(shù)列，則下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的有(D)(1){an＋3}；(2){aeq\o\al(2,n)}；(3){an＋1－an}；(4){2an}；(5){2an＋n}．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：依據(jù)等差數(shù)列的定義推斷，若{an}是等差數(shù)列，則{an＋3}，{an＋1－an}，{2an}，{2an＋n}均為等差數(shù)列，而{aeq\o\al(2,n)}不肯定是等差數(shù)列．8．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，若an＋1－aeq\o\al(2,n)＋an－1＝0(n≥2)，則a3n等于(D)A．－2 B．0C．1 D．2解析：由等差中項(xiàng)的定義知an＋1＋an－1＝2an，結(jié)合條件得aeq\o\al(2,n)＝2an，又an>0，所以an＝2，即數(shù)列{an}為常數(shù)列，故a3n＝an＝2，選D.二、填空題9．在等差數(shù)列{an}中，a3＋a11＝40，則a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10的值為60.解析：視察下標(biāo)，利用性質(zhì)即可．利用性質(zhì)可得a4＋a10＝a5＋a9＝a6＋a8＝2a7＝a3＋a11＝40?a7＝20，從而a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10＝3a7＝60.10．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為eq\f(67,66)升．解析：設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66).))∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).11．已知數(shù)列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝－eq\f(1,n).解析：eq\f(1,an)－eq\f(1,an＋1)＝1，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝－1，eq\f(1,a1)＝－1，{eq\f(1,an)}是以－1為首項(xiàng)，以－1為公差的等差數(shù)列，eq\f(1,an)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，an＝－eq\f(1,n).三、解答題12．已知5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為25，它們的平方和為165，求這5個(gè)數(shù)．解：解法一：設(shè)5個(gè)數(shù)依次為a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋a＋d＋a＋2d＋a＋3d＋,a＋4d＝25，,a2＋(a＋d)2＋(a＋2d)2＋(a＋3d)2,＋(a＋4d)2＝165，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2d＝5，,a2＋6d2＋4ad＝33，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝2，,a＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝－2，,a＝9.))∴5個(gè)數(shù)依次為1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.解法二：設(shè)這5個(gè)數(shù)依次為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝25，,(a－2d)2＋(a－d)2＋a2＋(a＋d)2,＋(a＋2d)2＝165，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,5a2＋10d2＝165，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,d＝±2.))故這5個(gè)數(shù)依次為1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.13．一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是8，公差是3；另一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是12，公差是4，這兩個(gè)數(shù)列有公共項(xiàng)嗎？假如有，求出最小的公共項(xiàng)，并指出它分別是兩個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)．解：首項(xiàng)是8，公差是3的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝3n＋5；首項(xiàng)是12，公差是4的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為bm＝4m＋8.依據(jù)公共項(xiàng)的意義，就是兩項(xiàng)相等，令an＝bm，即n＝eq\f(4m,3)＋1，該方程有正整數(shù)解時(shí)，m＝3k，k為正整數(shù)，令k＝1，得m＝3，則n＝5，因此這兩個(gè)數(shù)列有最小的公共項(xiàng)為20，分別是第一個(gè)數(shù)列的第5項(xiàng)，其次個(gè)數(shù)列的第3項(xiàng)．——實(shí)力提升類——14．假如有窮數(shù)列a1，a2，…，am(m為正整數(shù))滿意條件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么稱其為“對稱”數(shù)列．例如數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,4,8都是“對稱”數(shù)列．已知在21項(xiàng)的“對稱”數(shù)列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則c2＝19.解析：因?yàn)閏11，c12，…，c21是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19.又{cn}為21項(xiàng)的“對稱”數(shù)列，所以c2＝c20＝19.15．已知f(x)是定義在非零自然數(shù)集上的函數(shù)，當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，有f(x＋1)－f(x)＝1，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，有f(x＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5.(1)求證：f(1)，f(3)，…，f(2n－1)(n∈N＋)成等差數(shù)列；(2)求f(n)的解析式．解：(1)證明：當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，x＋1為偶數(shù)，代入已知等式有f(x＋1)－f(x)＝1，①f(x＋2)－f(x＋1)＝3.②①＋②得f(x＋2)－f(x)＝4為常數(shù)．又因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(1＋1)－f(1)＝1，,f(1)＋f(2)＝5，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(1)＝2，,f(2)＝3.))所以f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)(n∈N＋)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列．(2)由(1)知，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f(n＋2)－f(n)＝4，f(1)＝2，所以當(dāng)n＝2k－1時(shí)，f(n)＝f(2k－1)＝2＋(k－1)×4＝2n.