備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第6節(jié)-離散型隨機變量的數(shù)字特征

第6節(jié)離散型隨機變量的數(shù)字特征1.了解離散型隨機變量的概念.2.理解離散型隨機變量的分布列及其均值、方差的概念.3.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決一些實際問題.1.離散型隨機變量一般地,對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω,都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應,我們稱X為隨機變量.可能取值為或可以的隨機變量,我們稱為離散型隨機變量.通常用大寫英文字母表示隨機變量,例如X,Y,Z;用小寫英文字母表示隨機變量的取值,例如x,y,z.2.離散型隨機變量的分布列(1)分布列的概念及表示①一般地,設離散型隨機變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個值xi的概率,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡稱分布列.

②與函數(shù)的表示法類似,離散型隨機變量的分布列也可以用表格表示,如表,Xx1x2…xnPp1p2…pn還可以用表示.

(2)分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì),離散型隨機變量分布列具有兩個性質(zhì):①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=.

3.離散型隨機變量的均值或數(shù)學期望(1)定義:一般地,若離散型隨機變量X的分布列如表所示,Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(X)==∑i=1nxi(2)統(tǒng)計意義:均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數(shù),它綜合了隨機變量的取值和取值的概率,反映了隨機變量取值的.(3)性質(zhì):若Y=aX+b,其中a,b是常數(shù),X是隨機變量,則E(aX+b)=.

4.離散型隨機變量的方差、標準差(1)定義:設離散型隨機變量X的分布列如表所示,Xx1x2…xnPp1p2…pn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因為X取每個值的概率不盡相同,所以我們用偏差平方關于取值概率的加權平均,來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度,我們稱D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=∑i=1n(xi-(2)統(tǒng)計意義:隨機變量的方差和標準差都可以度量隨機變量取值與其均值的偏離程度,反映了隨機變量取值的離散程度,方差或標準差越小,隨機變量的取值越;方差或標準差越大,隨機變量的取值越.

(3)性質(zhì):若Y=aX+b,其中a,b是常數(shù),X是隨機變量,則D(aX+b)=a2D(X).隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度,D(X)越大,表明平均偏離程度越大,X的取值越分散.反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近.1.若X是隨機變量,Y=aX+b,a,b是常數(shù),則Y也是隨機變量.2.方差與均值的關系:D(X)=E(X2)-(E(X))2.1.袋中有大小相同的5個球,分別標有1,2,3,4,5五個號碼,任意抽取2個球,設2個球號碼之和為X,則X的所有可能取值個數(shù)為()A.25 B.10 C.7 D.62.(選擇性必修第三冊P70練習T1改編)隨機變量ξ的分布列如表,且E(ξ)=1.1,則D(ξ)=()ξ01xP1p3A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.683.由以往的統(tǒng)計資料表明,甲、乙兩名運動員在比賽中得分情況如表所示,ξ1(甲得分)012P(ξ1=xi)0.20.50.3ξ2(乙得分)012P(ξ2=xi)0.30.30.4現(xiàn)有一場比賽,選哪名運動員參加較好()A.甲 B.乙C.甲、乙均可 D.無法確定4.設隨機變量X的概率分布列為X1234P1m11則P(|X-3|=1)=.

5.已知隨機變量ξ的分布列如表,則隨機變量ξ的方差D(ξ)的最大值為.

ξ012Py0.4x離散型隨機變量的分布列角度一離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)及應用(1)(多選題)設隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k5)=ak(k=1,2,3,4,5),則()A.15a=1B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2D.P(ξ=1)=0.3(2)隨機變量X的分布列如表:X-101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,則P(|X|=1)=,公差d的取值范圍是.

離散型隨機變量的分布列性質(zhì)的應用(1)利用“總概率之和為1”,可以求相關參數(shù)的取值范圍或值.(2)利用“離散型隨機變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”,求某些特定事件的概率.(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結果是不是正確.角度二求離散型隨機變量的分布列在一次購物抽獎活動中,假設某10張獎券中有一等獎券1張,可獲價值50元的獎品;有二等獎券3張,每張可獲價值10元的獎品;其余6張沒有獎.某顧客從此10張獎券中任抽2張,求:(1)該顧客中獎的概率;(2)該顧客獲得的獎品總價值X元的分布列.求離散型隨機變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能取的全部值.(2)求X取每個值的概率.(3)寫出X的分布列.提醒:求離散型隨機變量的分布列的關鍵是求隨機變量所取值對應的概率,在求解時,要注意應用計數(shù)原理、古典概型等知識.[針對訓練]1.設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求η=|X-1|的分布列.2.已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機檢測一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率;(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元,設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位:元),求X的分布列.離散型隨機變量的均值與方差角度一求離散型隨機變量的均值與方差為迎接2022年北京冬奧會,推廣滑雪運動,某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標準:滑雪時間不超過1h免費,超過1h的部分每小時收費標準為40元(不足1h的部分按1h計算).有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動,設甲、乙不超過1h離開的概率分別為14,16;1h以上且不超過2h離開的概率分別為12,(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率;(2)設甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ(單位:元),求ξ的分布列與數(shù)學期望E(ξ),方差D(ξ).求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X的全部可能取值.(2)求X取每個值的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).提醒:注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的應用.角度二均值與方差在決策中的應用(2021·浙江溫州一模)某投資公司在今年年初準備將1000萬元投資到“低碳”項目上,現(xiàn)有兩個項目可供選擇:項目一為新能源汽車,根據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和29項目二為通信設備,根據(jù)市場調(diào)研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,可能虧損30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為35,13和利用均值、方差進行決策的方法均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”,因此,當均值不同時,兩個隨機變量取值的水平可見分曉,由此可對實際問題作出決策判斷;若兩個隨機變量均值相同或相差不大,則可通過分析兩個變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,方差或標準差越小,則偏離均值的平均程度越小,從而進行決策.[針對訓練](2021·廣東惠州高三調(diào)研)某種大型醫(yī)療檢查機器生產(chǎn)商,對一次性購買2臺機器的客戶,推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案.方案一:交納延保金7000元,在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次,超過2次每次收取維修費2000元;方案二:交納延保金10000元,在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次,超過4次每次收取維修費1000元.某醫(yī)院準備一次性購買2臺這種機器.現(xiàn)需決策在購買機器時應購買哪種延保方案,為此搜集并整理了50臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù),如表所示,維修次數(shù)0123臺數(shù)5102015以這50臺機器維修次數(shù)的頻率代替1臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率.記X表示這2臺機器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù).(1)求X的分布列;(2)以所需延保金與維修費用的和的數(shù)學期望為決策依據(jù),醫(yī)院選擇哪種延保方案更劃算?離散型隨機變量的分布列、均值與方差的創(chuàng)新應用某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場以來,生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量,決定邀請第三方檢測機構對該產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測,并依據(jù)質(zhì)量指標Z來衡量產(chǎn)品的質(zhì)量.當Z≥8時,產(chǎn)品為優(yōu)等品;當6≤Z<8時,產(chǎn)品為一等品;當2≤Z<6時,產(chǎn)品為二等品.第三方檢測機構在該產(chǎn)品中隨機抽取500件,繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標Z的條形圖.用隨機抽取的500件產(chǎn)品作為樣本,估計該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況,并用頻率估計概率.(1)從該企業(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機抽取1件,求該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率;(2)現(xiàn)某人決定購買80件該產(chǎn)品,已知每件成本1000元,購買前,邀請第三方檢測機構對要購買的這80件產(chǎn)品進行抽樣檢測.買家、企業(yè)及第三方檢測機構就檢測方案達成以下協(xié)議:從80件產(chǎn)品中隨機抽出4件產(chǎn)品進行檢測,若檢測出3件或4件為優(yōu)等品,則按每件1600元購買,否則按每件1500元購買,每件產(chǎn)品的檢測費用250元由企業(yè)承擔.記企業(yè)的收益為X元,求X的分布列與數(shù)學期望;(3)商場為推廣此款產(chǎn)品,現(xiàn)面向客戶推出“玩游戲,送大獎”活動,客戶可根據(jù)拋硬幣的結果,操控機器人在方格上行進,已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是12.方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第50格.機器人開始在第0格,客戶每擲一次硬幣,機器人向前移動一次.若擲出正面,機器人向前移動一格(從k到k+1);若擲出反面,機器人向前移動兩格(從k到k+2),直到機器人移到第49格(勝利大本營)或第50格(失敗大本營)時,游戲結束.若機器人停在“勝利大本營”,則可獲得優(yōu)惠券.設機器人移到第n格的概率為Pn(0≤n≤50,n∈N*),試證明{Pn-Pn-1}(1≤n≤49,n∈N*將概率、統(tǒng)計及分布列、期望、方差等知識與數(shù)列綜合在一起命題,是近兩年高考的一大趨向和亮點.該類問題以實際應用為手段,背景新穎,思維含量高,能夠增強數(shù)學應用意識及閱讀理解能力、化歸轉化能力與運算求解能力的培養(yǎng)和數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的提升.[針對訓練]甲、乙兩位同學參加某個知識答題游戲節(jié)目,答題分兩輪,第一輪為“選題答題環(huán)節(jié)”,第二輪為“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”.首先進行第一輪“選題答題環(huán)節(jié)”,答題規(guī)則:每位同學各自從備選的5道不同題中隨機抽出3道題進行答題,答對一題加10分,答錯一題(不答視為答錯)減5分,已知甲能答對備選5道題中的每道題的概率都是23,乙恰能答對備選5道題中的其中3道題;第一輪答題完畢后進行第二輪“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”,答題規(guī)則:先確定一人坐莊答題,若答對,繼續(xù)答下一題…,直到答錯,則換人(換莊)答下一題…,以此類推.例如若甲首先坐莊,則他答第1題,若答對繼續(xù)答第2題,如果第2題也答對,繼續(xù)答第3題,直到他答