蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步講義 72 探索平行線的性質(zhì)

第7章平面圖形的認(rèn)識(shí)（二）

7.2探索平行線的性質(zhì)

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.掌握平行線的性質(zhì)定理：兩條平行直線

被第三條直線所載，同位角相等。了解平

行線性質(zhì)定理的證明。1.能夠證明平行線的性質(zhì)定理；

探索并證明平行線的性質(zhì)定理：兩條平行2.能夠利用平行線的性質(zhì)定理證明角相等。

直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等（或

同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。

鱉知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01兩直線平行，同位角相等

如圖，兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；即兩直線平行，同位角相等。

即：a//b=>Z1=Z5,Z2=Z6,Z3=Z7,Z4=Z8；

【即學(xué)即練1】（填寫(xiě)結(jié)果或理由）

如圖，己知直線a〃方，Z4=60°,求Nl,Z3的度數(shù).

ak

bA2

43

解：???a〃/，（已知）

???Z1=Z2（）

又?//2=/4（）

Z4=60°（已知）

AZ1=Z4=1（等量代換）

又1?N3+N4=180°

???Z3=°.

【答案】?jī)芍本€平行，同位角相等；對(duì)頂角相等；60；120.

【分析】讀懂每一步推理過(guò)程，即可完成.

【解析】9：a//b（已知）

AZ1=Z2（兩直線平行，同位角相等）

又*?N2=N4（對(duì)頂角相等）

Z4=60°（已知）

???/1=/4=60。（等量代換）

又,:Z3+Z4=180°（補(bǔ)角的定義）

???/3;1800-Z4=120

故答案為：兩直線平行，同位角相等；對(duì)頂角相等：60；120

知識(shí)點(diǎn)02兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

如圖:

性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；即兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

性質(zhì)3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

【微點(diǎn)撥】

性質(zhì)圖形幾何符號(hào)語(yǔ)言

'.'AB/7CD

兩直線平行，同位角相等A2B

.'.Z3=Z2

yr---------

?「AB〃CD

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

.'.Z1=Z2

ClD

?「AB〃CD

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

N4+N2=180°

【即學(xué)即練3】完成F面的證明如圖.

已知：AD"EF,N1=N2,求證：AD平分/BAC.

證明：?:AD"EF(),

??.N2=(),

Zl=().

VZ1=Z2(己知)，

:./BAD=NCAD().

即4〃平分/例C.

【答案】已知；/CA"兩直線平行，同位角相等；/BAD,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理即可解答.

【解析】解：???/〃〃斯（已知）,

???/2=/?！埃▋芍本€平行，同位角相等），

N1=N8仞（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

VZ1=Z2（己知），

???NCAD=/次〃（等量代換）,

即.4〃平分/創(chuàng)。（角平分線的定義）.

【即學(xué)即練4】完成推理填空.填寫(xiě)推理理由：

如圖："HAD,Zl=Z2,N8AC'=7（r,把求ZAG。的過(guò)程填寫(xiě)完整.

c

EF//AD（已知）

AZ2=,（）,

XVZI=Z2,（）.

AZ1=Z3,（等量代換）

AB//,（）.

A^BAC+____=180°,（）.

XVN曲C=70。，

:.ZAGD=.

【答案】Z3；兩直線平行，同位角相等；已知；GD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；NDGA；兩直線平行,

同旁內(nèi)角互補(bǔ)；110°.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得/2二/3,等量代換得N1=N3,所以A8〃GD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得

NBAC+NDGA=180。,又因?yàn)镹84C=70。，即可得N4G￡>=110°.

【解析】解：TE/WA。，

???/2=/3（兩直線平行，同位角相等），

又：N1=N2,（已知），

AZ1=Z3,（等量代換），

AAB//GD,（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），

???N84C+NZX7A=180。，（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)）,

又,:NBAC=70。，

ZAGD=110°,

[A能力拓展

考法01根據(jù)平行線的性質(zhì)求角

【典例1】如圖，ABA.MN,CD上MN,垂足分別是G,”，直線EQ分別交入4,CO于點(diǎn)G,F.

（1）和NHGE相等的角有；

(2)若NOE=120。，求NMGE的度數(shù).

【答案】(1)ZAGF,4GFD,乙CFQ：(2)30°

【分析】(1)先證明小〃機(jī)M即可得到//汨廬N/%4,4EFD=4AGF,4AG24CFQ,由此即可得到答案;

(2)先證明AB//MN,即可得到Z4GF=60°,則ZBGE=60"，ZMGE=90°-/BGE=30°.

【解析】解：(1)?:ABLMN,CD1MN,

???乙/儂/以上90°,

:?/EF人EGB,/EFD=4AGF,NAGQ4CFQ,

4EG1仁乙AGF=4GFIA4CFQ,

故答案為：ZAGF,NGFD,NCFQ；

(2)VAB1MN,CDA.MN,

???乙代斯/加上90°,

...AB//CD,

?'.ZCFE+Z^GF=180".

又丁ZCFE=120°,

???ZAGF=60°,

XVNEGB=ZAGF

???N8G￡=60"

JNMGE=900-NBGE=30".

考法02根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明

【典例2】直線A8〃C。，直線EF分別交48、CD于點(diǎn)M、N,NP平分NMM）.

（1）如圖1,若MR平分/EMB,則MR與NP的位置關(guān)系是.

（2）如圖2,若MR平分/AMN,則MR與NP有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖3,若MR平分4兩，則砂與NP有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2圖3

【答案】（1）MR〃NP；⑵MR〃NP、理由見(jiàn)解析；（3）MR上NP,理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得NEMB=NEM）,根據(jù)角平分線的意義可得

/EMR=”MB,NENP=-END,進(jìn)而可得NEMR=NENQ,即可判斷MR〃NP：

22

（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，角平分線的意義可得N￡MR=N￡NP,即可判斷MR〃/VP；

（3）設(shè)MRdN交于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)。作QG/7AB根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，角平分線的意義，可得

N8MR+N/WO=90。，進(jìn)而可得/MQN=90。，進(jìn)而判斷MR_LNP.

【解析】（1）如題圖1,-AB//CD

;2EMB="ND

MR平分NEMB,NP平%4MND.

NEMR=-ZEMB/ENP=-Z.END

22

:"EMR=/ENP

??MR〃NP,

(2)如題圖2,vAB//CD

:.ZAMN=ZEND

平分/4MN,NP平分/MND.

：.NRMN=-乙AMN,ZENP=-ZEND

22

：.ZRMN=4ENP

二.MR〃NP；

（3）如圖，、設(shè)MR、PN文于點(diǎn)、Q,過(guò)點(diǎn)。作QG〃/W

AB//CD

:.NBMN+NEND=18。。,QG//CD

；.NMQG=/BMR,NGQN=ZPND

YMR平分"MN,NP平分乙MND.

/BMR=-NBMN/PND=-4END

22

：.NBMR+/PND=90。

NMQN=/MQG+NNQG=90°

???MR1NP；

羔務(wù)層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.如圖所示，直線點(diǎn)力、6在直線人上，點(diǎn)。、〃在直線，上，若△4陽(yáng)的面積為S,△力劭的面

積為S,則（）

A.S>SB.5=SD.不確定

【答案】B

【分析】由題意根據(jù)兩平行線間的距離處處相等，可知△4%和△川切等底等高，結(jié)合三角形的面積公式從

而進(jìn)行分析即可.

【脩析】解：因?yàn)樾　ㄒ?，所以。、〃兩點(diǎn)到心的距離相等，即△力第和△/1劭的高相等.同時(shí)△48。和

有共同的底月8所以它們的面積相等.故選：B.

2.如圖，將矩形紙條ABC'D折疊,折痕為EF,折疊后點(diǎn)C,〃分別落在點(diǎn)C,1）'處，〃'少與利交于點(diǎn)G.已

知N4G"=26°,則Na的度數(shù)是（）

A.77°B.64°C.26°D.87°

【答案】A

【分析】本題首先根據(jù)/笈沙=26°,可以得出N/!ERN而"=26°，由折疊可知/a=N⑸必，由此即可

求出Na=77°.

【解析】解：由圖可知：AD//BC

"AEG=NBGD'=26°,

即：Z6^154°,

由折疊可知：Na=//7：〃

AZa=lzG￡D=77°

2

故選：A.

3.如圖，直線如經(jīng)過(guò)點(diǎn)4DE//BC,N8=45°,Zl=65°,則N2=()

DE

A.65°B.70°

【答案】B

【分析】由/?〃比；可得：/D4B=/8=45。,再利用平角的含義可得答案.

【解析】解：TDE//BC,NQ45°,Zl=65°,

NOA8=N8=45。,

/.Z2=l80°-NDAB-Zl=70°,

故選：B.

4.如圖，一條型水管中月皮/①芳/后75°,則NC應(yīng)該等干（)

AB

D

A.75°B.95°C.105°I).125°

【答案】C

【分析】直接根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解析】解：:/步〃。?，/比75°,

AZ01800-ZB=180°-75°=105°.

故選:C.

5.如圖，/必和勿相交于點(diǎn)。，則下列結(jié)論正確的是（)

A.Z1=Z2B./2=/3C.Z3=Z4I).N4+Z5180°

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)頂角、平行線的性質(zhì)判斷即可.

【解析】解：爾???/】與N2是對(duì)頂角，

???/1=/2,故此選項(xiàng)符合題意；

樂(lè)???切與⑦不平行，

???N2WN3,故此選項(xiàng)不符合題意；

C、YAD與%不平行，

???/3#/4,故此選項(xiàng)不符合題意；

〃、??F。與〃。不平行，

???N4+N5#180°,故此選項(xiàng)不符合題意.

故選:A.

6.N1和N2是同旁內(nèi)角，Zl=75°,那么N2等于().

A.75°B.105°C.75?；?05。D.大小不定

【答案】D

【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義：兩條直線被第三條直線所截，若兩個(gè)角都在兩直線之間，且在第三條直線

的同側(cè)，那么這一對(duì)角就是同旁內(nèi)角，進(jìn)行求解即可.

【解析】解：???題目并未告訴，/I和N2是屬于兩條平行線被載的同旁內(nèi)角，

???/2的度數(shù)大小不能確定，

故選D.

7.一副直角三角板如圖所示投放，它們的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O：CO//AB,則N3OD=()

A.30°B.45°

【答案】C

【分析】由力//C0得出/力3/仞a即可得出/伙

【解析】解：?.AB//CO,

：.ZOAB=ZAOC=(^°

.\ZBOC=600+90°=150°

?/ZAOC+Z.DOA=ZDOA+ZBOD=90°

...Z40C=407）=60。

故選：C.

8.如圖，已知ABUCD//PN,ZL4BC=50°,ZCP7V=150°,則/BCP的度數(shù)為（）

A.10°B.20°

【答案】B

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，匕得N8CZ）=NA8C=50。，NCPN+NPCD=180。，得到NPCD=30°,即

nJ得至I」ZBCP=/BCD-ZPCD.

【解析】解：VABHCD,ZABC=50°,

???ZBCD=ZABC=50°,

CD/IPN,

：.KPN+/PCD=180。，

NCPN=150。,

Z.ZPC￡>=30°,

???/BCP=/BCD-/PCD=50°-30°=20°.

故選:B.

9.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）

（1）過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線平行.

（2）在同一個(gè)平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

（3）內(nèi)錯(cuò)角相等

（4）平行于同一條直線的兩直線平行

（5）同位角相等，兩直線平行

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)平行公理的推論、垂線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和判定即可解答.

【解析】解：（1）過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，（1）正確;

（2）在同一個(gè)平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，（2）正確:

（3）兩直線平行時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角才相等，（3）錯(cuò)誤；

（4）平行于同一條直線的兩條直線平行，（4）正確；

（5）同位角相等，兩直線平行，（5）正確；

正確的有4個(gè),

故選：C.

10.如圖，點(diǎn)少在如的延長(zhǎng)線上，不能由力/，〃勿推導(dǎo)出的結(jié)論是（）

A.444BCE

C./.DAOZ.ACBI).N8+N及第=180°

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)定理求解判斷即可得解.

【解析】黑：?：ABHCD,

二/廬/及方，

ZBA（=ZACD,

NB+NB處180°,

故A,B,D不符合題意,

由仍〃必，不能推導(dǎo)出/力右N/I6故C符合題意,

故選：C.

題組B能力提升練

1.下列說(shuō)法中正確的有（）

①一條直線的平行線只有一條.

②過(guò)一點(diǎn)與已知直線平行的直線只有一條.

③因?yàn)閏//d,所以a〃4

④經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，平行線的判定判斷即可.

【解析】???一條直線的平行線有無(wú)數(shù)條，

???①的說(shuō)法不止確；

???經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，

???②的說(shuō)法不正確，④的說(shuō)法正確；

,:b,c//d,無(wú)法判定a〃d

???③的說(shuō)法不正確.

只有一個(gè)是正確的，

故選A,

2.如圖，點(diǎn)打在8c的延長(zhǎng)線匕下列條件中不能判斷A8〃CQ的是()

A.Z1=Z2B.Z3=Z4

C.Z5=ZABCI).ZA+ZADC=180°

【答案】B

【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等和同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出兩直線平行，對(duì)各小題進(jìn)行逐一判斷即可.

【解析】解：A、Z1=Z2,能判定A8//CD,不符合題意；B、Z3=Z4,不能判定A8//CO,符合題意;

C、Z5=ZABC,能判定A8〃CD,不符合題意：D、ZA+ZADC=180°,能判定A8//CO,不符合題意;

故選:B.

3.在同一平面內(nèi)，若與的兩邊分別平行，且N4比N〃的3倍少40。，則N4的度數(shù)為()

A.20°B.55°C.20°或125°I).20°或55°

【答案】C

【分析】根據(jù)N/1與N8的兩邊分別平行，可得兩個(gè)角大小相等或互補(bǔ)，因此分兩種情況，分別求/A得度

數(shù).

【解析】解：???兩個(gè)角的兩邊分別平行,

???這兩個(gè)角大小相等或互補(bǔ)，

①這兩個(gè)角大小相等，如下圖所示:

由題意得，/4=3/岳43°,

???//!=/廬20°,

②這兩個(gè)角互補(bǔ)，如下圖所示：

由題意得，Z4+ZB=I8O°,44=3/8-40°,

ZB=55°,NA=125。,

綜上所述，N/1的度數(shù)為20°或125°,

故選:C.

4.一副直角三角板疊放如圖所示，現(xiàn)將含45。角的三角板固定不動(dòng)，把含30°角的三角板繞直角頂點(diǎn)按每秒

15。的速度沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)一周，當(dāng)兩塊三角板的斜邊平行時(shí)，則三角板旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）

A.5秒或7秒B.5秒或19秒C.5秒或17秒D.7秒或19秒

【答案】I）

【分析】依據(jù)兩塊三角板的斜邊平行，即可得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，再依據(jù)旋轉(zhuǎn)的速度，即可得到三角板旋轉(zhuǎn)

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間.

【解析】解：如圖，

BD

當(dāng)斜邊HR/ZT時(shí)，4CFE=NB=6C0,

：,4BED=600-45°=15°,

，旋轉(zhuǎn)角為90°+15°=105°,

105°+15°=7；

如圖，將△4比'繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,可得斜邊力'夕//用

此時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為105°+180°=285°,

285°+15°=19；

綜上所述，當(dāng)兩塊三角板的斜邊平行時(shí)，則三角板旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為7秒或19秒,

故選D.

5.如圖，AB//CD,OE平分NBOC,OF1OE,OPLCD,ZABO=40°,有下列結(jié)論：①/AOE=70。；

②OF平分NBOD；?ZPOE=ZBOF；?ZPOB=2ZDOF.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

【答案】C

【分析】由于49〃⑶，則/月加=/拉笫=40°,利用平角等于得到/〃值=140。，再根據(jù)角平分線定義得

到N應(yīng)應(yīng)=70°；利用6FJ_/可計(jì)算出/久火=20°,則N88/枚M,即郎平分/久切；利用歡1

CD,可計(jì)算出N/Y應(yīng)=20°,\N"PO￡=NBOF；根據(jù)N/OT=70°-N/Y應(yīng)=50°,4DOF=20°,可知④不

正確.

【解析】解：???/坦〃5,

???//!仇/=/〃〃〃=40°,

：?4BOC=180°Y0°=140°,

,：QE平分4BOC,

???/伙應(yīng)=gxi40°=70°；所以①正確；

'：OFLOE,

???N砌'=90°,

:./BOF=9VTO°=20°,

:ZBOF=W/BOD,所以②正確；

???QPLCD,

???/。8=90°,

：?NPOE=900-NEOC=20°,

:"POE=4BOF;所以③正確；

???NW=70°YP()E=5G,

而/以尸=20°,所以④錯(cuò)誤.

故選C.

6.已知：如圖AB//EF,BCA.CD,則N。，4。，N7之間的關(guān)系是()

A.N/?=Na+NyB.Na+N〃+N7=18()

C.Na+N6一々=90D.Z/?+Z/-Za=90

【答案】C

【分析】分別過(guò)C、〃作4,的平行線CV和〃M由平行線的性質(zhì)可得到最終結(jié)果.

【解析】如圖，分別過(guò)。、〃作18的平行線◎/和〃V,

ABEF、

：.ABCM\DNEF,

:.乙a=NBCM,NMCD=4NDC,￡NDE=Z/,

BC1CD,

NBCD=NBCM+NMCD=Na+ZNDC

=Na+//?—NNDE=90°,

Na+/〃—//=90。，

故選：C.

7.如圖：AB//CI）,OE平?分乙BOC,OF1OE,OPLCD,/力/切=40°,則下列結(jié)論：①。'平分/的〃；②4POE

=4BOF；③/BOE=10°；④N,仍=2/仇歸其中結(jié)論正確的序號(hào)是（）

A.???B.①②④C.①③④I).①②③④

【答案】A

【分析】根據(jù)初〃⑦可得/加介N/仍340°,利用平角得到/他140°,再根據(jù)角平分線的定義得到N

陽(yáng)心70°,則③正確；利用OP1CD,AB//CD,/ABC40。，可得NA6比50°,/比后20°,/尸6氏20°，

進(jìn)而可得OF平分NB0D,則①正確；由NE如=70°,/PO氏50°,N產(chǎn)出20°,由/B0六NP0『/POB=20°,

進(jìn)而可得NA2伊NW冗則②正確；由②可知N/Y爐50°,ZFO滬20°,則④不正確.

【解析】③*：AB"CD,

%N/1給4()°,

AZ0^=180°-40°=140°,

又二?應(yīng)1平分N仇憶

A^BOE=-ZCOB=-X140°=70°,

22

故③正確;

&：OPLCD,

???N/W=90°,

又VAB〃CD,

:?/BPC9y,

又TNABO=40°,

.??/%9=90°-40°=50°,

"B0F=/P06/P0B=7y-50°=20°,

乙FOD=400-20°=20°,

:.QF平分/BOD,

故①正確；

②1?/￡妙70°,/尸吹90°-40°=50°,

:.乙POE=10°-50°=20°,

又,：4BOgZPO64POB^O。-50°=20°,

:?/PO打4BOF,

故②正確；

④由①可知/尸〃片90°-40°=50°,

NA6g0°-20°=20°,

故/夕紡壬2NDOF,

故④不正確.

故結(jié)論正確的是①

故選A.

8.一副直角三角板如圖放置，其中/尸=/力曲=90°,ZP=45°,NQ60°,AB//DC,則/C4E的度數(shù)

為（）

A.25°B.20°C.15°D.10°

【答案】C

【分析】利用平行線的性質(zhì)和給出的已知數(shù)據(jù)即可求出NC4E的度數(shù).

【解析】解：???/b=90。，ZD=45°,

二NDEF=45。,

?.-ZAC5=90°,4=60。，

ZBAC=30°,

AB//DC,

:./BAE=/DEF=45。,

二/CAE=NfiAE-ZR4C=45°-30°=15°,

故選:C.

9.如圖，ADUBC,延長(zhǎng)陰至點(diǎn)E,連接以NEW和2制9的角平分線交于點(diǎn)只下列三個(gè)結(jié)

論：

①/〃〃（刀；②/力3=g/仍少/應(yīng)力；③若NQ60°,NAPC=70°,則/P=80°.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)

有（）

A.0B.1C.2I）.3

【答案】D

【分析】①根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可判斷；

②/力%=/必4/￡,而/史W/川〃4E=4ECD,即可判斷；

③利用平行線的性質(zhì)和角平分線定義即可判斷.

【解析】解：,:AD"BC,

???/加分/8=180”，

■:4B=ND,

???/胡外Ni9=180',

:.ABHCD、故①正確；

,:ABHCD,

:.乙ECD=乙3

,:EP沖分乙EAD,

:.AEAP=3NEAD

■:4A0C=4EA也4E,

:.<A0C=^4EADy/ECD,故②正確;

???/偌9=/2=60",

,:CP平分/ECD,

???N￡gg/aZ=30°,

VZJ/^=70°,』AOE=/COP,

：,AEAP=W,

???加平分/分〃，

:./EAD=2/EAP=8Q°,

'：ABHCD,

：.ZD=ZEAD=SO°,故③正確；

故選：D.

10.如圖，直線杯〃MV,點(diǎn)A,8分別是EF,MN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G在MM上，ZACB=m°,ZAGB和NCBN

的角平分線交于點(diǎn)。，若/。=52。，則機(jī)的值為（）.

N

A.70B.74C.76D.80

【答案】C

【分析】先由平行線的性質(zhì)得到/月〃=/5+/1+/2,再由三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出加

即可.

【解析】解：過(guò)。作CH//MN,

A

E

???N6=N5,Z7=Z1+Z2,

VZJ6y7=Z6+Z7,

???/力歸N5+N1+N2,

VZZ>=520,

???/l+N5+N3=180°-52°=128°,

由題意可得以為乙4"的角平分線，劭為N血V的角平分線，

AZ1=Z2,N3=N4,

:.優(yōu)=Nl+N2+N5=2Nl+/5,N4=Nl+N1+52°,

/.Z3=Z4=Zl+52°,

???Nl+N5+N3=Nl+N5+Nl+52°=2Zl+Z5+52°=tn+52°,

：.a°+52°=128°,

:.優(yōu)=76°.

故選：C.

題組c培優(yōu)拔尖練

1.如圖，CDHAB,5C平分NAC￡>,C/平分NACG,ZBAC=50°,Z1=Z2,則下列結(jié)論：①CB上CF,

②Nl=65。，③ZACE=2N4,④N3=2N4.其中正確的是（）

A.???B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得NAC8=g/AC。，NAb=244CG,,再利用平角定義可得/比六90°,

22

進(jìn)而可得①正確；首先計(jì)算出/月⑦的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)可得N2的度數(shù)，從而可得/I的度數(shù);

利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出N3的度數(shù)，然后計(jì)算出的度數(shù)，可分析出③錯(cuò)誤；根據(jù)N3和N4的度數(shù)

可得④正確.

【解析】解:如圖,

AZACB=-Z.ACD,ZACF=-ZACG,

22

vZJ^+ZJ^ISO0,

AZJ6RZJ6i9=90°,

ACBLCF,故①正確，

'：CI)//AB,N/白50°,

AZJ^50°,

???/力叱/4=25°,

???/力吠90°-25°=65°,

???N8叱65°,

?；CD//AB,

???N2=N4償65°,

VZ1=Z2,

AZ1=65°,故②正確；

?:/BCA650,

???/力止65°,

VZ1=Z2=65°,

AZ3=50°,

???/月陽(yáng)5°,

???③N/1廬2N4錯(cuò)誤；

VZ4=25°,Z3=50°,

???N3=2N4,故④正確,

故選：B.

2.如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶折疊.設(shè)N1為x度，用關(guān)于工的代數(shù)式表示。，則表示正確的是（)

A.?=120°--.rB.a=90°--x

22

C.a-60°+—xD.a=45°+—x

22

【答案】B

【分析】利用平行線的性質(zhì)以及翻折不變性解決問(wèn)題即可.

【解析】

解：如圖，QAB//CD,

???將一條上下兩邊互相平行的紙帶折疊

Z3=Z4=-(1800-Z5)=90°-\,

22

：.Za=Z3=900--x,

2

故選：B.

3.如圖，￡在線段的的延長(zhǎng)線上，AEAD=AD,4B=4D,EF"HC,連/交4〃于G,的余角比/

DGH大,16°,4為線段回上一點(diǎn)，連Q7,使NO傷/，在//1G4內(nèi)部有射線GMGV平分/凡K,則下

列結(jié)論：①47〃6G②G4平分N47Q⑤NC十/及1G十NA0r=18?！?；④/機(jī)冰的角度為定值且定值為16°,

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的判定定理得到川9〃比，故①正確；由平行線的性質(zhì)得到N/R祚NXG,等量代換得到

乙AG爛乙CGK,求得酸平分N/1GG故②正確；延長(zhǎng)〃交力〃于R延長(zhǎng)加交力〃于0,根據(jù)平行線的性質(zhì)

和三角形外角的性質(zhì)得到■/曲仆N戊於180°；故③正確：根據(jù)題意列方程得到NR冰/免年37°,設(shè)

4AG由a,/MGK=B,得到乙4%=。+￡,根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論.

【解析】解：TN加介N〃，N比N〃，

：.4EAD=4B,

???/〃〃"￡故①正確；

???/AG器/CKG,

,:乙CKG-4CGK,

；?ZAGK=ZCGK,

???％平分N/1GG故②正確：

延長(zhǎng)"交/切于化延長(zhǎng)。/交〃于0,

'：EF"CH,

:"EPT/CQP、

???/西/研N必G,

:"CQG-/E+/EAG,

?：ED”BC,

:?/HCK+NCQG=\8G,

???/￡+/口制//180°；故③正確；

???//胡的余角比/%?/大16°,

/.900-4FGA-4DGt^\60,

?：/FG花/DGH,

/.9O0-2Z/^=16°,

:.乙FGA=4DGH=37",

設(shè)/力6生。，NM#?，

:.Z.AGK=a”,

YGK平令/AGC,

:ZCG器2AGQ。+￡,

■:GM平分乙卜GC,

???/FGAf=/CGM,

???/FGA+/AG用/MGK,/CGK,

A37°+”￡+a+￡,

:.8=18.5°,

???/林訃=18.5°,故④錯(cuò)誤，

故選：B.

4.如圖，為等腰直角三角形(/力=N4=45°,20490°),△?為等邊三角形(NO=NP=

/6勿=60°),滿足優(yōu)>如，△況〃繞點(diǎn)。從射線比,與射線3重合的位置開(kāi)始，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角

度為a(00<a<360°),下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)a=15°時(shí)，DC//AB

B.當(dāng)紇￡[8時(shí)，a=450

C.當(dāng)邊如馬邊劃在同一直線上時(shí)，直線ZT與直線力?相交形成的銳角為15°

D.整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程，共有10個(gè)位置使得△勿夕與△龍》有一條邊平行

【答案】A

【分析】設(shè)/與/切交點(diǎn)為MOD與AB交點(diǎn)為N,當(dāng)a=15°時(shí)，可得/。網(wǎng)上a+/力=60°,可證〃。〃

ABx當(dāng)％J_/由時(shí)，a+Z/l=90°,可得a=30°；當(dāng)邊切與邊切在同一直線上時(shí)，應(yīng)分兩種情況，則直

線%與直線18相交形成的銳角也有兩種情況：整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程，因3、OB、OD、都有交點(diǎn)，只有/伊和

切存在平行，根據(jù)圖形的對(duì)稱性可判斷有兩個(gè)位置使得△勿6與△打刀有一條邊平行.

【解析】解：設(shè)%與月8交點(diǎn)為M勿與4?交點(diǎn)為A；

當(dāng)a=15。時(shí)，/〃MV=a+/力=50。,

Azm-zc

C.DC//AB,

故A正確：

當(dāng)笫_L四時(shí)，a+Z/f=90°或a-180°=90°-N力,

???a=45°或225°,

故B錯(cuò)誤；

當(dāng)邊必與邊切在同一直線上時(shí)，應(yīng)分兩種情況，

則直線用與直線/由相交形成的銳角也有兩種情況，

故C錯(cuò)誤；

整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程，因冗、OB、0D、物都有交點(diǎn)，只有18和切存在平行,

根據(jù)圖形的對(duì)■稱性可判斷有兩個(gè)位置使得△由8與△口刀有一條邊平行,

故D錯(cuò)誤；

故選A.

5.為了亮化某景點(diǎn)，石家莊市在兩條筆直且互相平行的景觀道業(yè)V、Q〃上分別放置力、6兩盞激光燈，如圖

所示.月燈發(fā)出的光束自加逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至朋，便立即回轉(zhuǎn)，〃燈發(fā)出的光束自除逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至偌便立即回

轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，力燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)30°,8燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)10°,笈燈先轉(zhuǎn)動(dòng)2秒，力燈才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)8燈

光束第一次到達(dá)刈之前，兩燈的光束互相平行時(shí)力燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是（）

A.1或6秒13.8.5秒C.1或&5秒D.2或6秒

【答案】C

【分析】設(shè)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為/秒，求出/的取值范圍為0<Y16,再分①0VY6,②6<Y12和③12<Y16

三種情況，先分別求出NM4M'和/P4P'的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NMWNP8/L由此建立方

程，解方程即可得.

【解析】解：設(shè)A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為/秒，

A燈光束第一次到達(dá)4N所需時(shí)間為第=6秒，8燈光束第一次到達(dá)8Q所需時(shí)間為帶=18秒，

B燈先轉(zhuǎn)動(dòng)2秒，A燈才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，

.\0</<18-2,BP0<r<16,

由握意，分以下三種情況：

①如圖，當(dāng)0</<6時(shí)，AM7/BP,

NMAM'=30。，,NPBP'=10°(r+2),

.MN!/PQ,AM,1/BP,,

/MAM'=Nl,4PBP=Zl,

/./M4M'=NPBP,即30。"10?！?2),

解得f=1,符合題設(shè)；

NM4M'=180。-30°(r-6)=360°-30%NPBP=10°(Z+2),

cMN!/PQ,AM'//BP,,

/./MAM'+N2=180°,NP8P'+Z2=18O°,

/.ZMW=/PBP,即360°-30c7=io<>(r+2),

解得r=8.5符合題設(shè)：

③如圖，當(dāng)12<YI6時(shí)，AM'HBP',

AMAM'=30°a-12）=30°r-360°,NPBP=10°（r+2）,

同理可得：NMAM，=NPBP,即30°"360。=10。（，+2）,

解得/=19>16,不符題設(shè)，舍去；

綜上，A燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為1秒或8.5秒，

故選：C.

6.如圖，AB//CD,點(diǎn)反尸在直線加上（夕在￡的右側(cè)），點(diǎn)。在直線切上，EFLFG,垂足為E必為線段

仔、上的一動(dòng)點(diǎn)，連接0，GM,乙%/與/力/仁的角平分線交與點(diǎn)Q,且點(diǎn)。在直線月H⑦之間的區(qū)域，下

列結(jié)論：①/力冊(cè)NCg90°；②N/1小2N/W=270°；③若NJ%產(chǎn)=2/。％則3N/I所/機(jī)K=270°；

④若/MGF=nZCGF,則/力哥'+」-NMK=90°.正確的個(gè)數(shù)是（）

〃+1

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】①過(guò)點(diǎn)〃作及/〃的利用平行線的性質(zhì)以及已知即可證明；

②利用角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得到N3=2N2,NC尸2/1+/3=180。，結(jié)合①的結(jié)論即可證明;

③由已知得到乙盼6-3/。6人結(jié)合①的結(jié)論即可證明；

④由已知得到乙盼O=（"D/Q不，結(jié)合①的結(jié)論即可證明.

【解析】解：①過(guò)點(diǎn)尸作"〃/區(qū)如圖：

*：AB//CD,：,AB//FH//CD,

:./AE片/EFH,4CGF=/GFH,

VEFLFG,段/EFG=/EF小/GFIU900,

???/力麗/呼=90°,故①正確；

②?：AB〃CD,PQ平?分乙APG,GQ平分4FGP,

4FGQ=A,

AZ3=Z/1^Z2=2Z2,

Z6Z；aZWZl+Z3=Z6^2Zl+Z3=180o,

即2N1=18(T-2/2-/g

A2Z2+2Z1=18O°-4CGF,

???N〃g80°YN2+N1),

.??2N於360°-2(Z2+Z1)=363°-(180°-/謝=180°+ZCGF,

:?/AEF+2NPQG=NAEF28G0+/CG戶180°+90°=270°,故②正確；

@：4VGF=2/CGF,

???2VGC=34CGF,

A^AAEPrAMGC=3Z/l^-3ZCGF=3(ZAEF+ZCGP)=3x90°=270°；

3/AER/MGC=270。,故③正確；

?V4MGF=n/CGF,

???AMGC=("DZCGF,即ZCGF=~/MGC,

〃+l

?：/AEF+/CG六9。0,

???/力身乙盼。=90°,故④正確.

〃+1

綜上，①②③④都正確，共4個(gè),

故選：A.

7.如圖，AB〃CD,RE平分乙REB、月月平分NAW,若設(shè)NA浙x°,4P、FD=y°則NA=度（用

x,y的代數(shù)式表示），若月￡平分/月曲，PF平分/PFD,可得NA,PE平分/REB,P、F平分/PFD,可得

NA…，依次平分下去，則/只=________度.

【答案】（x+y）

【分析】過(guò)點(diǎn)A、作直線如〃力8可得ZP\EB=/MP\E=x0,搬〃CD,利用平行線的性質(zhì)可求得N"Q

4EPd"4FP\\i=x0+y°；然后過(guò)點(diǎn)月作直線GH〃AB,同理可得

+y°），以此類推：/4=［（*。+T。）,

y。），即可求解.

又,：AB〃CD,

:?CD.

:./P\FD=/FP\M=y°.

:/ERF=NEPMNFP\M=x"+/；

過(guò)點(diǎn)月作直線。/〃力8

,：P#平■分4BEP\,PF平分乙DFP、,

：,N娛=-4BER=-x°,￡DFP*=-/*=-y'

22122212

同理：/EP,『=4BEP?+4DFP?=-x0+-yQ=-(x°+y°),

222

i11

以此類推：Z/^=-(x°+y°),Z/^=-(x°+y°),.......,ZJ：=-(x。+y。1

0t41

/］、，1

故答案為：-（犬+p。）.

J）

8.將一副三角板如圖1所示擺放，直線GHMMN,現(xiàn)將三角板打饗繞點(diǎn)力以每秒1°的速度順時(shí)斜旋轉(zhuǎn)，

同時(shí)三角板叱繞點(diǎn)〃以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)時(shí)間為［秒，如圖2,ABAH=e,^FDM=2e,

且0W/W150,若邊形與三角板的一條直角邊（邊/DF）平行時(shí)，則所有滿足條件的1的值為一.

【答案】30或120

【分析】根據(jù)題意得/切。=/為機(jī)/刈。=￡°+30°,ZFDM=2e,（1）如圖1,當(dāng)"7/86'時(shí)，延長(zhǎng)力。

交兒V于點(diǎn)只分兩種情況討論：①如在」加上方時(shí)，②應(yīng)在業(yè)V下方時(shí)，4FDP=2t。-180°,列式求解即

可；（2）當(dāng)比、//〃時(shí)，延長(zhǎng)然交楸'于點(diǎn)/,①加'在拗上方時(shí)，180°-2r0,②航在網(wǎng)，下方時(shí),

4FDN=180°-2t°,列式求解即可.

【解析】解：由題意得，^HAC=ABAf^ABAC=t°+30°,/FD\f=2t：

（1）如圖1,當(dāng)班7/陽(yáng)時(shí)，延長(zhǎng)”交拗,于點(diǎn)R

①DE在..晚上方時(shí),

?：DEHBC,DELDF,ACLBC,

：.APHDF,

???/FDM=/MPA,

'：MNHGH,

乙MFA=/HAC,

:./FDM=/HAC,

即2〃=t0+30°,

???z=30,

②朦在樹(shù)，下方時(shí)，^FDP=2t°-180°,

?：DEMBC,DEVDF,ACLBC,

：,APIIDF,

；?AFDP=/MPA,

二帆7/G〃，

???2MPA=Z//4C

：.^FDP=^HAa

即2￡°-180°=t°+30°,

???t=210(不符合題意，舍去)，

(2)當(dāng)比7/小時(shí)，延長(zhǎng)力。交楸于點(diǎn)/,

■:DFHBCACLBC,

:?A1HDF,

AZ/-WZJ//J=90°,

???拗7/G”,

???/HAC,

:?/FD2/HAC=9Q0,

即180°-2t°+/+30°=90°,

；?1=120,

②所在秘'下方時(shí)，/FDN=180°-2t°,

?：DFHBC,ACLBQDELDF,

：.ACHDE,

:?/A/M=4MDE,

VW/67/,

???/收A=ZHAC,

:.AEDM=ZHAC,

即2￡°-180°=f+30°,

A?=210(不符合題意,舍去)，

綜上所述：所有滿足條件的t的值為30或120.

故答案為：30或120.

9.如圖，已知N1+N7I叱180°,4=N2,求證：Z:\FC

證明：???/1+4依180°

:.CD//EF(,)

VZA=Z2???()

(,)

:.AB//CD//EF(,)

力=,NC=,

(,)

'：NAFE:NEFO/AFC,工=

【答案】同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行；/出〃切；同位角相等，兩直線平行；兩條直線都與笫三