2023年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)90條

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)90條

1.已知集合A、B,當(dāng)AcB=0時(shí)，你與否注意到“極端”狀況：4=0或3=0；求集

合的子集時(shí)與否忘掉0?

2.對(duì)于具有n個(gè)元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為

2",2"-1,2"-1,2"-2.

3.反演律：G(Au3)=GAcC/3，C;(AoB)=CJAVJCJB?

4."p且q"的否認(rèn)是''非p或非q"；"p或q”的否認(rèn)是“非p且非q”。

5.命題時(shí)否認(rèn)只否認(rèn)結(jié)論；否命題是條件和結(jié)論都否認(rèn)。

6.函數(shù)的幾種重要性質(zhì)：

①假如函數(shù)y=/(x)對(duì)于一切xeH,均有/(a+x)=/(a—x),那么函數(shù)y=/(x)的圖象

有關(guān)直線％=a對(duì)稱oy=/(x+a)是偶函數(shù)；

②若均有/(a-x)=/0+x),那么函數(shù)y=/(x)的圖象有關(guān)直線彳=審對(duì)稱；函數(shù)

y=/(a—x)與函數(shù)y=+x)日勺圖象有關(guān)直線x=甘對(duì)稱；

③函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(—x)的圖象有關(guān)直線尤=0對(duì)稱；函數(shù)y=/(x)與函數(shù)

y=一/⑴的圖象有關(guān)直線y=0對(duì)稱；函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-/(-x)的圖象有關(guān)坐標(biāo)原

點(diǎn)對(duì)稱；

④若奇函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,內(nèi))上是增函數(shù)，則y=/(x)在區(qū)間(-8,0)上也是增函數(shù)；若

偶函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,中?)上是增函數(shù)，則y=/(x)在區(qū)間(-8,0)上是減函數(shù)；

⑤函數(shù)丁=/(工+“)(。>0)的圖象是把丁=/(》)的圖象沿乂軸向左平移a個(gè)單位得到的；函

數(shù)y=/(x+a)((a<0)的圖象是把y=/(x)的圖象沿x軸向右平移同個(gè)單位得到孫

⑥函數(shù)y=/(x)+a(a>0)的圖象是把y=/(x)助圖象沿y軸向上平移a個(gè)單位得到的；函數(shù)

y=/(x)+a(a<0)的圖象是把y=/(x)助圖象沿y軸向下平移時(shí)個(gè)單位得到日勺。

7.求一種函數(shù)的解析式和一種函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，你標(biāo)注了該函數(shù)的定義域了嗎？

8.函數(shù)與其反函數(shù)之間的一種有用的結(jié)論：/T（a）=6of（b）=a.原函數(shù)與反函數(shù)圖象的交

點(diǎn)不全在y=x上（例如：y=—）；y=/T（x+a）只能理解為y=在x+a處的函

數(shù)值。

9.原函數(shù)y=/（x）在區(qū)間［-。,司上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)丁="1（6也

單調(diào)遞增；但一種函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào).判斷一種函數(shù)的奇偶性時(shí)，你注

意到函數(shù)的定義域與否有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱這個(gè)必要非充足條件了嗎？

10.一定要注意"/'（X）>0（或/'（%）<0）是該函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增（減）的必要條件。

11.你懂得函數(shù)y=ax+2（a>0乃>0）的單調(diào)區(qū)間嗎？（該函數(shù)在（―叫―八磯或

歷,+8）上單調(diào)遞增；在［-疝,0）或（0,J茄］上單調(diào)遞減）這可是一種應(yīng)用廣泛的函數(shù)!

12.牢記定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）必然過(guò)原點(diǎn)。

13.抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性一定要緊緊圍繞函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用單調(diào)性、奇偶性的定義求解。

同步，要領(lǐng)會(huì)借助函數(shù)單調(diào)性運(yùn)用不等關(guān)系證明等式的重要措施:f（a）》b且f（a）Wbof（a）=b。

14.對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？（真數(shù)不小于零，底數(shù)不小

于零且不等于1）字母底數(shù)還需討論。

15.數(shù)的換底公式及它的變形，你掌握了嗎？（log。6="皂上,10g.6"=log”6）

logj"

16.你還記得對(duì)數(shù)恒等式嗎？（ao&ab=b）

17.“實(shí)系數(shù)一元二次方程0?+/^+。=。有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“八=/—4ac20"，你

與否注意到必須。N0；若原題中沒(méi)有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你與否考慮

到二次項(xiàng)系數(shù)也許為零的情形？例如：（。―2）/+2（a—2）x<0對(duì)一切xwH恒成立，求

a的取值范圍，你討論了a=2的狀況了嗎？

18.等差數(shù)列中的（重要性質(zhì)：a“=am+（n-m）d；若m+n=p+q,則

a+a=a+aSSSS

mnpq<n^2n~n^3n—$2,成等差。

nm

19.等比數(shù)列中的I重要性質(zhì)：an-amq~；若加+〃=p+q,則=4?%；

SrfS2n—S,,S3,-S2,成等比。

20.你與否注意到在應(yīng)用等比數(shù)列求前n項(xiàng)和時(shí)，需要分類討論.（4=1時(shí)，S'=〃4；

叱1時(shí)，S”小5）

i-q

21.等差數(shù)列的一種性質(zhì)：設(shè)5“是數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)和，｛%｝為等差數(shù)列的充要條件是

S”=即2+而（a,b為常數(shù)），其公差是2a。

22.你懂得怎樣的數(shù)列求和時(shí)要用“錯(cuò)位相減”法嗎？（若%=/2，其中｛%｝是等差

數(shù)列，也“｝是等比數(shù)列，求｛%｝的前n項(xiàng)的和）

23.用/=S“-S,_j求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，a。一般是分段形式對(duì)嗎？你注意到。1=$了

嗎？

24.你還記得裂項(xiàng)求和嗎？（如--------=--——）

〃（〃+1）n〃+1

疊加法：an=（an-an_x）+（anA-an_2）+

疊乘法：%=&.5.a「2....四_.&_

Q]an_23%

25.在解三角問(wèn)題時(shí)，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎？你注意到正弦函數(shù)、

余弦函數(shù)的I有界性了嗎？在△ABC中，sinA>sinBoA>B對(duì)嗎？

26.一般說(shuō)來(lái)，周期函數(shù)加絕對(duì)值或平方，其周期減半.（如丁=5批2%,3；=卜皿乂的|周期

都是乃，但丁=binR+|cosX及y=|tanX的周期為%,）

27.函數(shù)y=sin%2,y=sin|^,y=cosVx是周期函數(shù)嗎？（都不是）

28.正弦曲線、余弦曲線、正切曲線時(shí)對(duì)稱軸、對(duì)稱中心你懂得嗎？

29.在三角中，你懂得1等于什么嗎？（1=sin?x+cos?%=sec?tan?%

TT7T

=tanx-cotx=tan—=sin—=cosO=....這些統(tǒng)稱為1時(shí)代換），常數(shù)"1"的I種種代換有著

42

廣泛的I應(yīng)用.

30.在三角的恒等變形中，要尤其注意角的多種變換.（如尸=（a+P）-a/=（a-0+a,

31.你還記得三角化簡(jiǎn)題的規(guī)定是什么嗎？項(xiàng)數(shù)至少、函數(shù)種類至少、分母不含三角函數(shù)、

且能求出值的式子，一定要算出值來(lái)）

32.你還記得三角化簡(jiǎn)時(shí)通性通法嗎？（從函數(shù)名、角、運(yùn)算三方面進(jìn)行差異分析，常用

的技巧有：切割化弦、降幕公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角.異角化同角，異名化同名，

高次化低次）

33.你還記得某些特殊角的三角函數(shù)值嗎？

’.[<oo屈-6.?01<O屈+6.1Q075-1

（sin15=cos75=-------,sm75=cosl5=--------,sinl8=------）

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34.你還記得在弧度制下弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式嗎？（l=\a\r,Sm=hr）

35.輔助角公式：4Zsinx+Z?cosx=7^2+b2sin（x+6）（其中。角所在的I象限由a,b的I

符號(hào)確定，。角時(shí)值由tan。='b確定）在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用.

a

36.在用反三角函數(shù)表達(dá)直線的傾斜角、兩向量的夾角、兩條異面直線所成的角等時(shí)，你

與否注意到它們各自的取值范圍及意義？

①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次是（02][0芻[0R；

（，2」‘‘2''

②直線的傾斜角、4到4的角、/1與4時(shí)夾角的取值范圍依次是[0,乃）,[0,乃）,[0，^TT]；

③向量的夾角的取值范圍是[0,Ji]

37.若&=（x2,y2）,則?！˙,a_L〃的I充要條件是什么？

38.怎樣求向量的模？。在方方向上的投影為何？

39.若。與b時(shí)夾角。，且0為鈍角，則cos9<0對(duì)嗎？（必須去掉反向的狀況）

40.你還記得平移公式是什么？（這可是平移問(wèn)題最基本的措施）；還可以用結(jié)論：把y=f（x）

圖象向左移動(dòng)|h|個(gè)單位,向上移動(dòng)|k|個(gè)單位，則平移向量是。=（-|h|,|k|）。

41.不等式的解集的規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式是什么？（一般要寫(xiě)成集合的體現(xiàn)式）

分式不等式坐>a（a70）的一般解題思緒是什么?（移項(xiàng)通分）

42.

g⑴

43.具有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式怎樣去絕對(duì)值？（兩邊平方或分類討論）

44.運(yùn)用重要不等式a+622，石以及變式等求函數(shù)的最值時(shí)，你與否

注意到a,bwR+（或a,b非負(fù)），且“等號(hào)成立”時(shí)的條件？

45.在解具有參數(shù)的不等式時(shí)，怎樣進(jìn)行討論？（尤其是指數(shù)和對(duì)數(shù)的底0<。<1或

a>l）討論完之后，要寫(xiě)出：綜上所述，原不等式的解是…….

46.解含參數(shù)的不等式的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵

47.恒成立不等式問(wèn)題一般處理的措施：借助對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解，其重要技巧有數(shù)形

結(jié)合法，分離變量法，換元法。

48.教材中“直線和圓”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何時(shí)本質(zhì)是用代數(shù)的措施

研究圖形的幾何性質(zhì)。（04上海高考試題）

49.直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截矩式、一般式.以及多種形式的

局限性，（如點(diǎn)斜式不合用于斜率不存在的直線，因此設(shè)方程的點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)，就應(yīng)當(dāng)

先考慮斜率不存在的情形）。

50.設(shè)直線方程時(shí)，一般可設(shè)直線的斜率為k,你與否注意到直線垂直于x軸時(shí)，斜率k

不存在的狀況？（例如：一條直線通過(guò)點(diǎn)1-3,-1

，且被圓/+/=25截得的弦長(zhǎng)為8,

求此弦所在直線的方程。該題就要注意，不要遺漏x+3=0這一解.）

51.簡(jiǎn)樸線性規(guī)劃問(wèn)題的可行域求作時(shí)，要注意不等式表達(dá)的區(qū)域是對(duì)應(yīng)直線的上方、下

方,與否包括邊界上的點(diǎn)。運(yùn)用特殊點(diǎn)進(jìn)行判斷）。

52.對(duì)不重疊的?兩條直線4：A/+3]y+G=0，/2：A2x+B2y+C2=0,有

AB=

1?2一；Z.1ZoA4+30=0.

4〃，2Ov[w42G.........

53.直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正，可負(fù)，也可為0。

54.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，直線方程可以理解為二+2=1,但不要忘掉當(dāng)a=0

ab

時(shí)，直線y=kx在兩條坐標(biāo)軸上的截距都是0,也是截距相等。

55.處理直線與圓的位置關(guān)系有兩種措施：（1）點(diǎn)到直線的距離；（2）直線方程與圓的方

程聯(lián)立，鑒別式法。一般來(lái)說(shuō)，前者更簡(jiǎn)捷。

56.處理圓與圓時(shí)位置關(guān)系，可用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系。

57.在圓中，注意運(yùn)用半徑、半弦長(zhǎng)、及弦心距構(gòu)成的直角三角形。

58.定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式是什么？（起點(diǎn)，中點(diǎn)，分點(diǎn)以及4值可要弄清）在運(yùn)用定比分

點(diǎn)解題時(shí)，你注意到沈力一1了嗎？

59.曲線系方程你懂得嗎？直線系方程？圓系方程？共焦點(diǎn)的橢圓系，共漸近線的雙曲線

系？

2

60.兩圓相交所得公共弦方程是兩圓方程相減消去二次項(xiàng)所得。xox+yoy=r表達(dá)過(guò)圓

2

*2+丫2=於上一點(diǎn)（x0,y0）改|切線，若點(diǎn)（xo，yo）在已知圓外，x0x+y0y=r表達(dá)什么？（切

點(diǎn)弦）

61.橢圓方程中三參數(shù)a、b、c的滿足a?+b2=c2對(duì)嗎？雙曲線方程中三參數(shù)應(yīng)滿足什么關(guān)

系？

62.橢圓中，注意焦點(diǎn)、中心、短軸端點(diǎn)所構(gòu)成的直角三角形。

63,橢圓和雙曲線的焦半徑公式你記得嗎？

64.在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有也許這兩條直線重疊，而在立體幾何

中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重疊。

65.在運(yùn)用圓錐曲線統(tǒng)一定義解題時(shí)，你與否注意到定義中的定比的分子分母的次序？

66.在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí)，消元后得到的方程中要注意：二次項(xiàng)的系數(shù)與否為

零？鑒別式A20的限制.（求交點(diǎn)，弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，斜率，對(duì)稱，存在性問(wèn)題都在A>0下

進(jìn)行）。

67.通徑是拋物線的所有焦點(diǎn)弦中最短的弦。

68.過(guò)拋物線y2=2px（p>0）焦點(diǎn)的弦交拋物線于A（xi,yi）,B（x,y2），則%為=一

2P"

Xxx2=—,焦半徑公式|AB|=X1+X2+P。

69.若A(xi,y0,B(X2?2)是二次曲線C：F(x,y)=O時(shí)弦的兩個(gè)端點(diǎn),則F(Xi,y0=O且F(X2,y2)=0。

波及弦的中點(diǎn)和斜率時(shí)，常用點(diǎn)差法作F(Xi/yi)-F(x2,y2)=0求得弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦AB的

斜率的關(guān)系。

70.作出二面角的平面角重要措施是什么？(定義法、三垂線定理法、垂面法)

71.求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)措施是什么？(直接法、體積變換法、向量法)

72.求兩點(diǎn)間的球面距離關(guān)鍵是求出球心角。

73.立體幾何中常用某些結(jié)論：棱長(zhǎng)為。的正四面體的高為九，體積為v=42/。

312

74.面積射影定理cosS=—，其中S'表達(dá)射影面積，S表達(dá)原面積。

S

75.異面直線所成角運(yùn)用“平移法”求解時(shí)，一定要注意平移后所得角是所求角或其補(bǔ)角。

76.平面