2023年高考數(shù)學一輪復習：空間點、直線、平面之間的位置關系

空間點、直線、平面之間的位置關系

【考試要求】1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出

空間點、直線、平面的位置關系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解

決問題.

?落實主干知識）

【知識梳理］

1.平面

基本事實1：過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.

基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內.

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直

線.

基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

2.“三個”推論

推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2：經過兩條相交直線,有且只有一個平面.

推論3：經過兩條平行直線,有且只有一個平面.

3.空間中直線與直線的位置關系

［相交直線,

共面直線j平行直線,

異面直線：不同在任何一個平面內,沒有

公共點.

4.空間中直線與平面的位置關系

直線與平面的位置關系有：直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.

5.空間中平面與平面的位置關系

平面與平面的位置關系有平行、相交兩種情況.

6.等角定理

如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

7.異面直線所成的角

（1）定義：已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點。分別作直線a，〃a,b，〃b,把直線

a,與枚所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

（2）范圍：（o,—.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

⑴兩個平面a,B有一個公共點A,就說a,8相交于過A點的任意一條直線.（X）

⑵兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.（V）

⑶如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合.（X）

⑷沒有公共點的兩條直線是異面直線.（X）

【教材改編題】

1.（多選）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法正確的是（）

A.AB與CD是異面直線

B.GH與CD相交

C.EF〃CD

D.EF與AB異面

答案ABC

解析把展開圖還原成正方體，如圖所示.

還原后點G與C重合，點B與F重合，由圖可知ABC正確，EF與AB相交，故D錯.

2.如果直線au平面a,直線bu平面8.且a〃B,則2與6（）

A.共面

B.平行

C.是異面直線

D.可能平行，也可能是異面直線

答案D

解析a〃B,說明a與b無公共點，

；.a與b可能平行也可能是異面直線.

3.如圖，在三棱錐A—BCD中，E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點，則

2

A

⑴當AC,BD滿足條件時，四邊形EFGH為菱形；

⑵當AC,BD滿足條件時，四邊形EFGH為正方形.

答案(1)AC=BD⑵AC=BD且AC_LBD

解析(1)；四邊形EFGH為菱形，

.-.EF=EH,

?；EF制AC,EH就BD,

AC=BD.

⑵???四邊形EFGH為正方形，

???EF=EH且EF_LEH,

???EF星AC,EH延BD,

???AC=BD且AC_LBD.

■探究核心題型

題型一基本事實應用

例1如圖所示，在正方體ABCD—ARCR中，點E,F分別是AB,A4的中點，連接DF,CE.求

證：

(DE,C,D,F四點共面；

(2)CE,DF,DA三線共點.

證明(1)如圖所示，連接CD「EF,AB,

VE,F分別是AB,人々的中點，

.?.EF〃AB,且EF=，AB.

又,.,AD〃BC,AD=BC,

iiii

四邊形々BCR是平行四邊形，

；.AB〃CD,；.EF〃CD,

111

3

EF與CD能夠確定一個平面ECDF,

11

即E,C,D,F四點共面.

⑵由（1）知EF〃Cq,且EF=；C）,

二四邊形C7FE是梯形，

.?.CE與［F必相交，設交點為P,

則PeCE,且PeD1,

VCEc平面ABCD,DFc平面AADD,

111

平面ABCD,且Pe平面AADD.

11

又平面ABCDn平面AADD=AD,

11

APeAD,

ACE,DF,DA三線共點.

【教師備選］

如圖所示，已知在正方體ABCD—ABCD中，E,F分另ij為DC,CB的中點，ACnBD=P,ACnEF

1111111111

=Q.求證：

（1）D,B,F,E四點共面；

⑵若Af交平面DBFE于R點，則P,Q,R三點共線.

證明（1）：EF是△DRQ的中位線，

；.EF〃BD.

11

在正方體ABCD—ABCD中，BD〃BD,

iiiiii

AEF/7BD.

.??EF,BD確定一個平面，即D,B,F,E四點共面.

⑵在正方體ABCD-ABCDi中，

設平面A1ACQ為a,

平面BDEF為B.

,/QeAC,.".Qea.

11

4

又QeEF,QeB,

則Q是a與B的公共點，同理，P是a與6的公共點,

...anB=PQ.

又AiCCB=R,ARieAC.

.?.Rea,且Re0,

則RePQ,故P,Q,R三點共線.

思維升華共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內.

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點.

跟蹤訓練1(1)(多選)如圖是正方體或四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點，則這四個

點共面的圖是()

答案ABC

解析對于A,PS〃QR,故P,Q,R,S四點共面；同理，B,C圖中四點也共面；D中四點不

共面.

⑵在三棱錐A—BCD的棱AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點，如果EFnHG=P,則

點P()

A.一定在直線BD上

B.一定在直線AC上

C.在直線AC或BD上

D.不在直線AC上，也不在直線BD上

答案B

解析如圖所示，

因為EFu平面ABC,HGu平面ACD,EFnHG=P,

所以Pe平面ABC,Pe平面ACD.

又因為平面ABCC平面ACD=AC,

5

所以PeAC.

題型二空間線面位置關系

命題點1空間位置關系的判斷

例2(1)下列推斷中，錯誤的是()

A.若Mea,Me0,an0=1,貝

B.Aca,Ac8,Bea,Be8naa0=AB

C.ICa,AelnA在a

D.A,B,Cea,A,B,Ce0,且A,B,C不共線今a,B重合

答案C

解析對于A,因為Mea,MeP,an0=1,由基本事實3可知Mel,A對；

對于B,Aea,AeB,Bea,Be0,故直線ABca,ABc0,即ac6=AB,B對；

對于C,若lna=A,則有Wa,Ael,但Aea,c錯；

對于D,有三個不共線的點在平面a,B中，故a,B重合，D對.

(2)已知在長方體ABCD—ARCR中，M,N分別是長方形ARCR與長方形BCCR的中心，則

下列說法正確的是()

A.直線MN與直線々B是異面直線

B.直線MN與直線D?相交

C.直線MN與直線AQ是異面直線

D.直線MN與直線4C平行

答案C

解析如圖，因為血N分別是長方形ARCR與長方形BCCR的中心，所以M,N分別是A￡,

的中點，所以直線MN與直線AR平行，所以A錯誤；

因為直線MN經過平面BBDD內一點M,且點M不在直線DD±,

所以直線MN與直線D?是異面直線，所以B錯誤；

因為直線MN經過平面ABq內一點N,且點N不在直線AQ上，

所以直線MN與直線AQ是異面直線，所以C正確；

因為直線MN經過平面Afq內一點M,且點M不在直線Af上，所以直線MN與直線Af是異

面直線，所以D錯誤.

6

命題點2異面直線所成角

例3⑴（2021?全國乙卷）在正方體ABCD—ARC”中，P為耳]的中點，則直線PB與AR

所成的角為（）

答案D

解析方法一如圖，連接CP,因為ABCD-ABCD是正方體，且P為BD的中點，所以

1111111

CP±BD,又CPLBB,所以CP_L平面BBP.又BPu平面BBP,所以CPLBP.連接BC,則

1111111111

AD^BC,所以/PBQ為直線PB與A\所成的角.設正方體ABCD—ARCR的棱長為2,

則在RtACPB中，qp=*R=小,

pC

C1

叫=2轉,sinZPBCB--2-

JI

所以NPBC

i6

方法二如圖所示，連接BC,AB,AP,PC,則易知AD〃BC,所以直線PB與AD所成的角

liiiiii

等于直線PB與Bq所成的角.根據P為正方形ARCR的對角線叩?的中點，易知AjP,C

三點共線，且P為A￡的中點.易知A|B=Bq=A￡,所以△々BQ為等邊三角形，所以/々BQ

兀1JI

=丁，又P為AC的中點，所以可得/PBC=[/ABC=k.

3—1211b

⑵（2022?衡水檢測）如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,ABnCD=O,且AB±CD,

SO=OB=3,SE=；SB,則異面直線SC與OE所成角的正切值為（）

7

答案D

解析如圖，過點S作SF〃OE,交AB于點F,連接CF,則/CSF（或其補角）為異面直線SC

與0E所成的角.

VSE=isB,.-.SE=|BE.

又0B=3,/.OF=-OB=1.

VSO±OC,S0=0C=3,

SC=3小.

SOXOF,SF=^S&+OB=-*J10.

*.'OC±OF,/.CF=TJ7O.

在等腰ASCF中，

2

【教師備選］

1.（多選）設a,b,c是三條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，則下列結論不正確的

是（）

A.若aua,buB,則a與b是異面直線

B.若a與b異面，b與c異面，則a與c異面

C.若a,b不同在平面a內，則a與b異面

D.若a,b不同在任何一個平面內，則a與b異面

答案ABC

2.在長方體ABCDARCR中，AB=BC=1,鞏=鄧,則異面直線AR與DB抑成角的余弦值為

（）

答案C

8

解析如圖，連接BD,交DB于0,取AB的中點M,連接DM,0M.易知。為BD的中點，所

111

以AD40M,則/MOD為異面直線A1與DB1所成角或其補角.因為在長方體ABOMRCR中，

AB=BC=1,AA—,^3,

AMB

AD]=、AD2+D"=2,

AD2+

DB=yAB2+AD2+BB2=^^.

所以OM=1AD=1,0D=%B=乎,

于是在△DMO中，由余弦定理,

得cosZM0D=----------產---=±,

5

2X1X-^-

即異面直線AD與DB所成角的余弦值為變.

思維升華（1）點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體（長方體、正方體）模型來判

斷，常借助正方體為模型.

（2）求異面直線所成的角的三個步驟

一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角.

二證：證明作出的角是異面直線所成的角.

三求：解三角形，求出所作的角.

跟蹤訓練2⑴如圖所示，G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線

GH與MN是異面直線的圖形有_______.（填序號）

答案②④

⑵若直線1,和12是異面直線，1聲平面a內，1,在平面B內，1是平面a與平面8的交

9

線，則下列結論正確的是（）

A.1與,，12都不相交

B.1與1,1都相交

12

C.1至多與1,1中的一條相交

12

D.1至少與1,1中的一條相交

12

答案D

解析如圖1,1與1是異面直線，1與1平行，1與1相交，故A,B不正確；如圖2,1

12121

與1是異面直線，I,I都與I相交，故C不正確.

212

圖1圖2

題型三空間幾何體的切割（截面）問題

例4（1）在正方體ABCD-ABCD中，M,N分別是棱DD和BB上的點，MD=1DD,NB=|BB,

111111JIJl

那么正方體中過M,N,q的截面圖形是（）

A.三角形B.四邊形

C.五邊形D.六邊形

答案C

解析先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何體的棱的

交點.

如圖，設直線QM,CD相交于點P,直線QN,CB相交于點Q,連接PQ交直線AD于點E,交

直線AB于點F,則五邊形QMEFN為所求截面圖形.

（2）已知正方體ABCD-ABCDi的棱長為2.以7為球心，南為半徑的球面與側面BCCR的交

線長為.

答案T

解析以1為球心，擊為半徑的球面與側面BCCBI的交線是以q為圓心，1為半徑的圓與正

一1n

方形BCCg相交的一段?。▓A周的四分之一），其長度為［X2兀><1=5.

10

延伸探究將本例⑵中正方體改為直四棱柱ABCD—ARCR的棱長均為2,ZBAD=60°.以

Dt為球心，南為半徑的球面與側面BCCBi的交線長為.

答案痔

解析如圖，設斗［的中點為E,球面與棱BBjCQ的交點分別為P,Q,

連接DB,DB,DP,DE,EP,EQ,

1111

由NBAD=60°,AB=AD,知4ABD為等邊三角形，

.*.DB=DB=2,

11

???△￥￡為等邊三角形，

則叩=/且［EL平面BCCBi；

???E為球面截側面BCCR所得截面圓的圓心，

設截面圓的半徑為r,

則r=yjR2—DE2=-\j5—3=5/2.

又由題意可得EP=EQ=#,

球面與側面BCCR的交線為以E為圓心的圓弧PQ.

XDP=^5,

BP—\lDP2—DB2=1,

1丫111

同理qQ=l,

???P,Q分別為BB「cq的中點，

JI

ZPEQ=—,

知PQ的長為了x斕=當一，即交線長為當一.

【教師備選］

如圖，在正方體ABCD—ARCR中，E是BC的中點，平面。經過直線BD且與直線QE平行,

若正方體的棱長為2,則平面a截正方體所得的多邊形的面積為.

11

9

答案i

解析如圖，過點B作BM〃QE交耳q于點M,過點M作BD的平行線，交CR于點N,連接

DN,則平面BDNM即為符合條件的平面a,

由圖可知M,N分別為耳Q,CR的中點,

故BD=2小，MN=事，

且BM=DN=下,

.?.等腰梯形MNDB的高為

梯形MNDB的面積為

（X（斕+2嫄）義平=*

思維升華（1）作截面應遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直

線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據性質作出交線.

跟蹤訓練3⑴（多選）正方體ABCD-ABCDi的棱長為2,已知平面a±AC,則關于a截此

正方體所得截面的判斷正確的是（）

A.截面形狀可能為正三角形

B.截面形狀可能為正方形

C.截面形狀可能為正六邊形

D.截面面積最大值為3嫡

答案ACD

解析易知A,C正確，B不正確，下面說明D正確，

如圖，截面為正六邊形，當六邊形的頂點均為棱的中點時，其面積最大，MN=2A/2,GH=/，

12

0E=q00,葉0,E?=yj1+四）

2

所以S=2x|x（6+2小）X孚=34,

故D正確.

⑵（2022?蘭州模擬）如圖，正方體AC的棱長為1,點M在棱AD上，AM=2MD,過M的平

11111

面a與平面ABC］平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為

答案3^/2

解析在平面ARDA中尋找與平面A,BQ平行的直線時，只需要ME〃Bq，如圖所示,

因為AM=2MD,故該截面與正方體的交點位于靠近D,A,C的三等分點處，故可得截面為

MIHGFE,

設正方體的棱長為3a,

則ME=2-\/2a,MI=$a,

IH=2>y2a,HG=1\^a,FG=24a,EF=-\j2a,

所以截面MIHGFE的周長為ME+EF+FG+GH+HI+IM=9pa,

又因為正方體Af的棱長為1,即3a=1,

故截面多邊形的周長為3斕.

課時精練

誨基礎保分練

1.下列敘述錯誤的是（）

A.若Peans,且anB=1,則Pel

13

B.若直線aClb=A,則直線a與b能確定一個平面

C.三點A,B,C確定一個平面

D.若Ael,Bel且Aea,Bea,則lua

答案C

解析選項A,點P是兩平面的公共點，當然在交線上，故正確；

選項B,由基本事實的推論可知，兩相交直線確定一個平面，故正確；

選項C,只有不共線的三點才能確定一個平面，故錯誤；

選項D,由基本事實2,直線上有兩點在一個平面內，則這條直線在平面內.

2.已知m,n是兩條不同的直線，a,B是兩個不同的平面，則下列判斷正確的是（）

A.若111_1a,n_LB,a_LB,則直線m與n可能相交或異面

B.若a_L6,mea,nu8,則直線m與n一定平行

C.若111_1（1,n〃B,aJ_0,則直線m與n一定垂直

D.若m〃a,n〃B,a〃B,則直線m與n一定平行

答案A

解析m,n是兩條不同的直線，a,B是兩個不同的平面，

對于A,若n_L8,a_L8,則直線m與n相交垂直或異面垂直，故A正確；

對于B,若amua,nuB,則直線m與n相交、平行或異面，故B錯誤；

對于C,若m_La,n〃B,a±,則直線m與n相交、平行或異面，故C錯誤；

對于D,若m〃a,n〃0,a〃S,則直線m與n平行或異面，故D錯誤.

3.（2022?營口模擬）已知空間中不過同一點的三條直線a,b,1,貝?！癮,b,1兩兩相交”

是“a,b,1共面”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析空間中不過同一點的三條直線a,b,1,若a,b,1在同一平面，則a,b,1相交或a,

b,1有兩個平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行.

所以a,b,1在同一平面，則a,b,1兩兩相交不一定成立；

而若a,b,1兩兩相交，則a,b,1在同一平面成立.

故“a,b,1兩兩相交”是“a,b,1共面”的充分不必要條件.

4.如圖所示，在正方體ABCD—ARCR中，E是平面ADD八的中心,M,N,F分別是耳q,CC,

AB的中點，則下列說法正確的是（）

14

A.MN=|EF,且MN與EF平行

B.MNW；EF,且MN與EF平行

C.MN=|EF,且MN與EF異面

D.MN#|EF,且MN與EF異面

答案D

解析設正方體ABCD—ARCR的棱長為2a,

作點E在平面ABCD內的射影點G,連接EG,GF,

所以EF=〈EG2+GF2

=yf^a,

所以砰扣,故選項A,C錯誤;

連接DE,因為E為平面ADD￡的中心,

所以DE=1p,

又因為M,N分別為B￡,C1的中點，所以MN〃4C,

又因為4C〃AJ,所以MN〃ED,

且DECEF=E,

所以MN與EF異面，故選項B錯誤.

5.（多選）（2022?臨沂模擬）如圖，在正方體ABCD—ARCR中，。是DB的中點，直線Af交

平面QBD于點M,則下列結論正確的是（）

15

A.C,M,。三點共線

B.C,M,0,C四點共面

C.C,0,B,B四點共面

11

D.D,D,0,M四點共面

答案AB

解析VOeAC,ACU平面ACQAJ

.?.Oe平面ACCA.

0￡BD,BDc平面CBD,

i

Oe平面CBD,

i

0是平面ACCA］和平面CBD的公共點，同理可得，點M和Q都是平面ACC八和平面CBD的

公共點，

三點7M,0在平面QBD與平面ACCA的交線上，

即Q,M,。三點共線，故A,B正確；

根據異面直線的判定定理可得BB|與qo為異面直線，故q,0,BjB四點不共面，故C不正

確；

根據異面直線的判定定理可得D［與M0為異面直線，故D/D,0,M四點不共面，故D不正

確.

6.（多選）（2022?廈門模擬）下列說法不正確的是（）

A.兩組對邊分別相等的四邊形確定一個平面

B.和同一條直線異面的兩直線一定共面

C.與兩異面直線分別相交的兩直線一定不平行

D.一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交

答案ABD

解析兩組對邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，故A錯誤；

如圖1,直線DD|與4Q都是直線AB的異面直線，同樣D?與斗q也是異面直線，故B錯誤；

如圖2,設直線AB與CD是異面直線，則直線AC與BD一定不平行，否則AC〃BD,有AC與

BD確定一個平面a,則ACca,H）ca,所以Aea,Bea,Cea,Dea,所以ABca,

CDca,這與假設矛盾，故C正確；

如圖1,AB〃CD,而直線AA|與AB相交，但與直線CD不相交，故D錯誤.

16

7.（2022?哈爾濱模擬）已知在直三棱柱ABC—ABC中，ZABC=120°,AB=2,BC=CC=1,

111

則異面直線AB|與BQ所成角的余弦值為

答案平

解析如圖所示，補成直四棱柱ABCD—ARCR,

則所求角為/BCJ或其補角，

VBC=^/2,BD=^22+1-2X2X1XCOS60°=事,CD=AB=>/5,

易得CD2=BD2+BC2,即BCXBD,

因此cosZBCD=^=^=^.

1CD小5

8.（2022?本溪模擬）在空間中，給出下面四個命題，其中假命題為.（填序號）

①過平面a外的兩點，有且只有一個平面與平面a垂直；

②若平面B內有不共線三點到平面a的距離都相等，則a〃6；

③若直線1與平面a內的任意一條直線垂直，則1，a；

④兩條異面直線在同一平面內的射影一定是兩條相交直線.

答案①②④

解析對于①，當平面a外兩點的連線與平面a垂直時，此時過兩點有無數(shù)個平面與平面

a垂直，所以①不正確；

對于②，若平面8內有不共線三點到平面。的距離都相等，平面a與6可能平行，也可

能相交，所以②不正確；

對于③，直線1與平面內的任意直線垂直時，得到所以③正確；

對于④，兩條異面直線在同一平面內的射影可能是兩條相交直線或兩條平行直線或直線和直

線外的一點，所以④不正確.

9.（2022?上海市靜安區(qū)模擬）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD—ARCR中，E,F分別

是AB,cq的中點.

17

(1)求異面直線AE與DF所成的角的余弦值;

(2)求三棱錐A-DEF的體積.

解(1)如圖，設BB1的中點為H,連接HF,EH,AH,因為F是C1的中點,

所以AD〃CB〃HF,AD=CB=HF,

1111

因此四邊形ADFH是平行四邊形，

11

所以DF〃AH,DF=AH,

1111

因此/E'H是異面直線AE與DF所成的角或其補角,

正方體ABCD-ABCDi的棱長為2,E是AB的中點，

所以人產=人4=虛耳吊=出，

EH=、12+12=木,

TAE2+AH2-EH25+5-24

由余弦定理可知CS==,

°''ZAE'.AH2XV5XV55

4

所以異面直線AE與叩所成的角的余弦值%

(2)因為AD〃HF,11因平面八0￡,ADu平面ADE,

11111111

所以HF〃平面ADE,

11

因此點H,F到平面ARE的距離相等，

即V=V=V,

F-ADEH-ADxED-AEH

V=[DA?S

D~A}EH311

122-2X1X2-；XIX1)=1,

=-X2X

所以三棱錐A-DEF的體積為1.

10.如圖，四棱柱ABCD—ARCR的側棱AAJ底面ABCD,四邊形ABCD為菱形，E,F分別為

AA「Cq的中點，M為AB上一點.

18

⑴若［E與CM相交于點K,求證DRCM,DA三條直線相交于同一點;

JI

⑵若AB=2,AA=4,ZBAD=—,求點D到平面FBD的距離.

1J1

(1)證明???DF與CM相交于點K,

AKeDE,KeCM,

i

而?！?lt;=平面人口口人，CMu平面ABCD,

iii

且平面ADDAin平面ABCD=AD,

.,.KeAD,

ADE,CM,DA三條直線相交于同一點K.

⑵解?四邊形ABCD為菱形，AB=2,

；.BC=CD=2,

而四棱柱的側棱AAJ底面ABCD,

底面ABCD,

又；F是CC的中點，CC=4,；.CF=2,

11

BF=DF=2小，

JI

又???四邊形ABCD為菱形，ZBAD=y,

BD=AB=2,

JS=聶2><，222—1=

△FBD2YV

設點q到平面FBD的距離為h,點B到平面DDF的距離為d,

則d=2sing=/，

又?.?V=V

D-FBDB-DD}F

111G

.“xsn/xh=§xS△加產Xd,

解得h=#.

19

即點R到平面FBD的距離為羋.

C技能提升練

11.（多選）（2022?太原模擬）如圖是正四面體的平面展開圖，G,H,M,N分別為DE,BE,EF,

EC的中點，在這個正四面體中，下列結論正確的是（）

A.GH與EF平行

B.BD與MN為異面直線

C.GH與MN成60。角

D.DE與MN垂直

答案BCD

解析如圖，還原成正四面體A—DEF,其中H與N重合，A,B,C三點重合，連接GM,

D<

E

易知GH與EF異面，BD與MN異面.

又△GMH為等邊三角形，

；.GH與MN成60。角,

易證DEJ_AF,MN//AF,.-.MN±DE.

；.B,C,D正確.

12.（多選）（2022?廣州六校聯(lián)考）如圖,在正方體ABCD—AFFR中，M,N,P分別是CR,

BC,AR的中點，下列結論正確的是（)

O.MC.

1sB

A.AP與CM是異面直線

B.AP,CM,D?相交于一點

C.MN〃BD

1

D.MN〃平面BBDD

11

20

答案BD

解析如圖，連接MP,AC,

因為MP〃AC,MP#AC,

所以AP與CM是相交直線，

又平面AADDn平面CCDD=DD,

所以AP,CM,DR相交于一點，則A不正確，B正確；

令ACCBD=O,連接0D「ON.

因為M,N分別是CR,BC的中點，

所以ON〃D口〃CD,ON=DM=1CD,

則四邊形MNO2為平行四邊形，

所以MN〃OD「

因為MW平面BBDD,

11

ODu平面BBDD,

111

所以MN〃平面BBRD,C不正確，D正確.

13.（2022?玉林模擬）在正方體ABCD—ARCR中，E,F,P,Q分別為々B,BD,AD,C?

的中點，則直線EF與PQ所成角的大小是.

答案4

解析如圖，連接AC,BC,則F是AC的中點，

11111

又E為々B的中點，所以EF〃BQ,連接DQ,則Q是DQ的中點，

又P為AJ的中點，所以PQ〃Ag,

于是/A￡B是直線EF與PQ所成的角或其補角.

JI

易知△A&B是正三角形，所以NA￡B=了.

14.（2022?鹽城模擬）在棱長為4的正方體ABCD—ARCR中，P,Q分別為棱AD,CC的中

點，過P,Q,A作正方體的截面，則截面多邊形的周長是.

21

25+嗦+2亞

答案

3

解析如圖所示,

過Q作QM〃AP交BC于M,

由AiP=CQ=2,tanZAiPA=2,

,CQ

貝UtanNCMQ=2,CM=---不而=1，

tanZCMy

延長嫄交呼|的延長線于E點，連接PE,交D￡于N點,

則多邊形AMQNP即為截面，

根據平行線性質有CE=CM=1,

CNCE1

TT4

NPD2-

-4—D.

48

則QN=『DN=-,

又AP=，42+22=2乖,AM=#42+32=5,

MQ=AJ12+22=4,

所以多邊形AMQNP的周長為

AM+MQ+QN+NP+PA

=5+g鎏+學+2小

25+9-75+2^13

=3

。拓展沖刺練

15.（2022?大連模擬）如圖，直四棱柱ABCD—ARCR的底面是邊長為