2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

【考試要求】1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出

空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解

決問(wèn)題.

?落實(shí)主干知識(shí)）

【知識(shí)梳理］

1.平面

基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直

線.

基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

2.“三個(gè)”推論

推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.

推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

3.空間中直線與直線的位置關(guān)系

［相交直線,

共面直線j平行直線,

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有

公共點(diǎn).

4.空間中直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系有：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.

5.空間中平面與平面的位置關(guān)系

平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.

6.等角定理

如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

7.異面直線所成的角

（1）定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)。分別作直線a，〃a,b，〃b,把直線

a,與枚所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

（2）范圍：（o,—.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）

⑴兩個(gè)平面a,B有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說(shuō)a,8相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線.（X）

⑵兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面.（V）

⑶如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合.（X）

⑷沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.（X）

【教材改編題】

1.（多選）如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，如果將它還原為正方體，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.AB與CD是異面直線

B.GH與CD相交

C.EF〃CD

D.EF與AB異面

答案ABC

解析把展開(kāi)圖還原成正方體，如圖所示.

還原后點(diǎn)G與C重合，點(diǎn)B與F重合，由圖可知ABC正確，EF與AB相交，故D錯(cuò).

2.如果直線au平面a,直線bu平面8.且a〃B,則2與6（）

A.共面

B.平行

C.是異面直線

D.可能平行，也可能是異面直線

答案D

解析a〃B,說(shuō)明a與b無(wú)公共點(diǎn)，

；.a與b可能平行也可能是異面直線.

3.如圖，在三棱錐A—BCD中，E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，則

2

A

⑴當(dāng)AC,BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH為菱形；

⑵當(dāng)AC,BD滿足條件時(shí)，四邊形EFGH為正方形.

答案(1)AC=BD⑵AC=BD且AC_LBD

解析(1)；四邊形EFGH為菱形，

.-.EF=EH,

?；EF制AC,EH就BD,

AC=BD.

⑵???四邊形EFGH為正方形，

???EF=EH且EF_LEH,

???EF星AC,EH延BD,

???AC=BD且AC_LBD.

■探究核心題型

題型一基本事實(shí)應(yīng)用

例1如圖所示，在正方體ABCD—ARCR中，點(diǎn)E,F分別是AB,A4的中點(diǎn)，連接DF,CE.求

證：

(DE,C,D,F四點(diǎn)共面；

(2)CE,DF,DA三線共點(diǎn).

證明(1)如圖所示，連接CD「EF,AB,

VE,F分別是AB,人々的中點(diǎn)，

.?.EF〃AB,且EF=，AB.

又,.,AD〃BC,AD=BC,

iiii

四邊形々BCR是平行四邊形，

；.AB〃CD,；.EF〃CD,

111

3

EF與CD能夠確定一個(gè)平面ECDF,

11

即E,C,D,F四點(diǎn)共面.

⑵由（1）知EF〃Cq,且EF=；C）,

二四邊形C7FE是梯形，

.?.CE與［F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P,

則PeCE,且PeD1,

VCEc平面ABCD,DFc平面AADD,

111

平面ABCD,且Pe平面AADD.

11

又平面ABCDn平面AADD=AD,

11

APeAD,

ACE,DF,DA三線共點(diǎn).

【教師備選］

如圖所示，已知在正方體ABCD—ABCD中，E,F分另ij為DC,CB的中點(diǎn)，ACnBD=P,ACnEF

1111111111

=Q.求證：

（1）D,B,F,E四點(diǎn)共面；

⑵若Af交平面DBFE于R點(diǎn)，則P,Q,R三點(diǎn)共線.

證明（1）：EF是△DRQ的中位線，

；.EF〃BD.

11

在正方體ABCD—ABCD中，BD〃BD,

iiiiii

AEF/7BD.

.??EF,BD確定一個(gè)平面，即D,B,F,E四點(diǎn)共面.

⑵在正方體ABCD-ABCDi中，

設(shè)平面A1ACQ為a,

平面BDEF為B.

,/QeAC,.".Qea.

11

4

又QeEF,QeB,

則Q是a與B的公共點(diǎn)，同理，P是a與6的公共點(diǎn),

...anB=PQ.

又AiCCB=R,ARieAC.

.?.Rea,且Re0,

則RePQ,故P,Q,R三點(diǎn)共線.

思維升華共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.

(3)證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)如圖是正方體或四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)

點(diǎn)共面的圖是()

答案ABC

解析對(duì)于A,PS〃QR,故P,Q,R,S四點(diǎn)共面；同理，B,C圖中四點(diǎn)也共面；D中四點(diǎn)不

共面.

⑵在三棱錐A—BCD的棱AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點(diǎn)，如果EFnHG=P,則

點(diǎn)P()

A.一定在直線BD上

B.一定在直線AC上

C.在直線AC或BD上

D.不在直線AC上，也不在直線BD上

答案B

解析如圖所示，

因?yàn)镋Fu平面ABC,HGu平面ACD,EFnHG=P,

所以Pe平面ABC,Pe平面ACD.

又因?yàn)槠矫鍭BCC平面ACD=AC,

5

所以PeAC.

題型二空間線面位置關(guān)系

命題點(diǎn)1空間位置關(guān)系的判斷

例2(1)下列推斷中，錯(cuò)誤的是()

A.若Mea,Me0,an0=1,貝

B.Aca,Ac8,Bea,Be8naa0=AB

C.ICa,AelnA在a

D.A,B,Cea,A,B,Ce0,且A,B,C不共線今a,B重合

答案C

解析對(duì)于A,因?yàn)镸ea,MeP,an0=1,由基本事實(shí)3可知Mel,A對(duì)；

對(duì)于B,Aea,AeB,Bea,Be0,故直線ABca,ABc0,即ac6=AB,B對(duì)；

對(duì)于C,若lna=A,則有Wa,Ael,但Aea,c錯(cuò)；

對(duì)于D,有三個(gè)不共線的點(diǎn)在平面a,B中，故a,B重合，D對(duì).

(2)已知在長(zhǎng)方體ABCD—ARCR中，M,N分別是長(zhǎng)方形ARCR與長(zhǎng)方形BCCR的中心，則

下列說(shuō)法正確的是()

A.直線MN與直線々B是異面直線

B.直線MN與直線D?相交

C.直線MN與直線AQ是異面直線

D.直線MN與直線4C平行

答案C

解析如圖，因?yàn)檠狽分別是長(zhǎng)方形ARCR與長(zhǎng)方形BCCR的中心，所以M,N分別是A￡,

的中點(diǎn)，所以直線MN與直線AR平行，所以A錯(cuò)誤；

因?yàn)橹本€MN經(jīng)過(guò)平面BBDD內(nèi)一點(diǎn)M,且點(diǎn)M不在直線DD±,

所以直線MN與直線D?是異面直線，所以B錯(cuò)誤；

因?yàn)橹本€MN經(jīng)過(guò)平面ABq內(nèi)一點(diǎn)N,且點(diǎn)N不在直線AQ上，

所以直線MN與直線AQ是異面直線，所以C正確；

因?yàn)橹本€MN經(jīng)過(guò)平面Afq內(nèi)一點(diǎn)M,且點(diǎn)M不在直線Af上，所以直線MN與直線Af是異

面直線，所以D錯(cuò)誤.

6

命題點(diǎn)2異面直線所成角

例3⑴（2021?全國(guó)乙卷）在正方體ABCD—ARC”中，P為耳]的中點(diǎn)，則直線PB與AR

所成的角為（）

答案D

解析方法一如圖，連接CP,因?yàn)锳BCD-ABCD是正方體，且P為BD的中點(diǎn)，所以

1111111

CP±BD,又CPLBB,所以CP_L平面BBP.又BPu平面BBP,所以CPLBP.連接BC,則

1111111111

AD^BC,所以/PBQ為直線PB與A\所成的角.設(shè)正方體ABCD—ARCR的棱長(zhǎng)為2,

則在RtACPB中，qp=*R=小,

pC

C1

叫=2轉(zhuǎn),sinZPBCB--2-

JI

所以NPBC

i6

方法二如圖所示，連接BC,AB,AP,PC,則易知AD〃BC,所以直線PB與AD所成的角

liiiiii

等于直線PB與Bq所成的角.根據(jù)P為正方形ARCR的對(duì)角線叩?的中點(diǎn)，易知AjP,C

三點(diǎn)共線，且P為A￡的中點(diǎn).易知A|B=Bq=A￡,所以△々BQ為等邊三角形，所以/々BQ

兀1JI

=丁，又P為AC的中點(diǎn)，所以可得/PBC=[/ABC=k.

3—1211b

⑵（2022?衡水檢測(cè)）如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,ABnCD=O,且AB±CD,

SO=OB=3,SE=；SB,則異面直線SC與OE所成角的正切值為（）

7

答案D

解析如圖，過(guò)點(diǎn)S作SF〃OE,交AB于點(diǎn)F,連接CF,則/CSF（或其補(bǔ)角）為異面直線SC

與0E所成的角.

VSE=isB,.-.SE=|BE.

又0B=3,/.OF=-OB=1.

VSO±OC,S0=0C=3,

SC=3小.

SOXOF,SF=^S&+OB=-*J10.

*.'OC±OF,/.CF=TJ7O.

在等腰ASCF中，

2

【教師備選］

1.（多選）設(shè)a,b,c是三條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論不正確的

是（）

A.若aua,buB,則a與b是異面直線

B.若a與b異面，b與c異面，則a與c異面

C.若a,b不同在平面a內(nèi)，則a與b異面

D.若a,b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面

答案ABC

2.在長(zhǎng)方體ABCDARCR中，AB=BC=1,鞏=鄧,則異面直線AR與DB抑成角的余弦值為

（）

答案C

8

解析如圖，連接BD,交DB于0,取AB的中點(diǎn)M,連接DM,0M.易知。為BD的中點(diǎn)，所

111

以AD40M,則/MOD為異面直線A1與DB1所成角或其補(bǔ)角.因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABOMRCR中，

AB=BC=1,AA—,^3,

AMB

AD]=、AD2+D"=2,

AD2+

DB=yAB2+AD2+BB2=^^.

所以O(shè)M=1AD=1,0D=%B=乎,

于是在△DMO中，由余弦定理,

得cosZM0D=----------產(chǎn)---=±,

5

2X1X-^-

即異面直線AD與DB所成角的余弦值為變.

思維升華（1）點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長(zhǎng)方體、正方體）模型來(lái)判

斷，常借助正方體為模型.

（2）求異面直線所成的角的三個(gè)步驟

一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角.

二證：證明作出的角是異面直線所成的角.

三求：解三角形，求出所作的角.

跟蹤訓(xùn)練2⑴如圖所示，G,N,M,H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線

GH與MN是異面直線的圖形有_______.（填序號(hào)）

答案②④

⑵若直線1,和12是異面直線，1聲平面a內(nèi)，1,在平面B內(nèi)，1是平面a與平面8的交

9

線，則下列結(jié)論正確的是（）

A.1與,，12都不相交

B.1與1,1都相交

12

C.1至多與1,1中的一條相交

12

D.1至少與1,1中的一條相交

12

答案D

解析如圖1,1與1是異面直線，1與1平行，1與1相交，故A,B不正確；如圖2,1

12121

與1是異面直線，I,I都與I相交，故C不正確.

212

圖1圖2

題型三空間幾何體的切割（截面）問(wèn)題

例4（1）在正方體ABCD-ABCD中，M,N分別是棱DD和BB上的點(diǎn)，MD=1DD,NB=|BB,

111111JIJl

那么正方體中過(guò)M,N,q的截面圖形是（）

A.三角形B.四邊形

C.五邊形D.六邊形

答案C

解析先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點(diǎn)，再確定截面與幾何體的棱的

交點(diǎn).

如圖，設(shè)直線QM,CD相交于點(diǎn)P,直線QN,CB相交于點(diǎn)Q,連接PQ交直線AD于點(diǎn)E,交

直線AB于點(diǎn)F,則五邊形QMEFN為所求截面圖形.

（2）已知正方體ABCD-ABCDi的棱長(zhǎng)為2.以7為球心，南為半徑的球面與側(cè)面BCCR的交

線長(zhǎng)為.

答案T

解析以1為球心，擊為半徑的球面與側(cè)面BCCBI的交線是以q為圓心，1為半徑的圓與正

一1n

方形BCCg相交的一段?。▓A周的四分之一），其長(zhǎng)度為［X2兀><1=5.

10

延伸探究將本例⑵中正方體改為直四棱柱ABCD—ARCR的棱長(zhǎng)均為2,ZBAD=60°.以

Dt為球心，南為半徑的球面與側(cè)面BCCBi的交線長(zhǎng)為.

答案痔

解析如圖，設(shè)斗［的中點(diǎn)為E,球面與棱BBjCQ的交點(diǎn)分別為P,Q,

連接DB,DB,DP,DE,EP,EQ,

1111

由NBAD=60°,AB=AD,知4ABD為等邊三角形，

.*.DB=DB=2,

11

???△￥￡為等邊三角形，

則叩=/且［EL平面BCCBi；

???E為球面截側(cè)面BCCR所得截面圓的圓心，

設(shè)截面圓的半徑為r,

則r=yjR2—DE2=-\j5—3=5/2.

又由題意可得EP=EQ=#,

球面與側(cè)面BCCR的交線為以E為圓心的圓弧PQ.

XDP=^5,

BP—\lDP2—DB2=1,

1丫111

同理qQ=l,

???P,Q分別為BB「cq的中點(diǎn)，

JI

ZPEQ=—,

知PQ的長(zhǎng)為了x斕=當(dāng)一，即交線長(zhǎng)為當(dāng)一.

【教師備選］

如圖，在正方體ABCD—ARCR中，E是BC的中點(diǎn)，平面。經(jīng)過(guò)直線BD且與直線QE平行,

若正方體的棱長(zhǎng)為2,則平面a截正方體所得的多邊形的面積為.

11

9

答案i

解析如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM〃QE交耳q于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作BD的平行線，交CR于點(diǎn)N,連接

DN,則平面BDNM即為符合條件的平面a,

由圖可知M,N分別為耳Q,CR的中點(diǎn),

故BD=2小，MN=事，

且BM=DN=下,

.?.等腰梯形MNDB的高為

梯形MNDB的面積為

（X（斕+2嫄）義平=*

思維升華（1）作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直

線都要畫(huà)出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫(huà)出它們的交線.

（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

跟蹤訓(xùn)練3⑴（多選）正方體ABCD-ABCDi的棱長(zhǎng)為2,已知平面a±AC,則關(guān)于a截此

正方體所得截面的判斷正確的是（）

A.截面形狀可能為正三角形

B.截面形狀可能為正方形

C.截面形狀可能為正六邊形

D.截面面積最大值為3嫡

答案ACD

解析易知A,C正確，B不正確，下面說(shuō)明D正確，

如圖，截面為正六邊形，當(dāng)六邊形的頂點(diǎn)均為棱的中點(diǎn)時(shí)，其面積最大，MN=2A/2,GH=/，

12

0E=q00,葉0,E?=yj1+四）

2

所以S=2x|x（6+2?。孚=34,

故D正確.

⑵（2022?蘭州模擬）如圖，正方體AC的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M在棱AD上，AM=2MD,過(guò)M的平

11111

面a與平面ABC］平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為

答案3^/2

解析在平面ARDA中尋找與平面A,BQ平行的直線時(shí)，只需要ME〃Bq，如圖所示,

因?yàn)锳M=2MD,故該截面與正方體的交點(diǎn)位于靠近D,A,C的三等分點(diǎn)處，故可得截面為

MIHGFE,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3a,

則ME=2-\/2a,MI=$a,

IH=2>y2a,HG=1\^a,FG=24a,EF=-\j2a,

所以截面MIHGFE的周長(zhǎng)為ME+EF+FG+GH+HI+IM=9pa,

又因?yàn)檎襟wAf的棱長(zhǎng)為1,即3a=1,

故截面多邊形的周長(zhǎng)為3斕.

課時(shí)精練

誨基礎(chǔ)保分練

1.下列敘述錯(cuò)誤的是（）

A.若Peans,且anB=1,則Pel

13

B.若直線aClb=A,則直線a與b能確定一個(gè)平面

C.三點(diǎn)A,B,C確定一個(gè)平面

D.若Ael,Bel且Aea,Bea,則lua

答案C

解析選項(xiàng)A,點(diǎn)P是兩平面的公共點(diǎn)，當(dāng)然在交線上，故正確；

選項(xiàng)B,由基本事實(shí)的推論可知，兩相交直線確定一個(gè)平面，故正確；

選項(xiàng)C,只有不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,由基本事實(shí)2,直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi).

2.已知m,n是兩條不同的直線，a,B是兩個(gè)不同的平面，則下列判斷正確的是（）

A.若111_1a,n_LB,a_LB,則直線m與n可能相交或異面

B.若a_L6,mea,nu8,則直線m與n一定平行

C.若111_1（1,n〃B,aJ_0,則直線m與n一定垂直

D.若m〃a,n〃B,a〃B,則直線m與n一定平行

答案A

解析m,n是兩條不同的直線，a,B是兩個(gè)不同的平面，

對(duì)于A,若n_L8,a_L8,則直線m與n相交垂直或異面垂直，故A正確；

對(duì)于B,若amua,nuB,則直線m與n相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若m_La,n〃B,a±,則直線m與n相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若m〃a,n〃0,a〃S,則直線m與n平行或異面，故D錯(cuò)誤.

3.（2022?營(yíng)口模擬）已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線a,b,1,貝。“a,b,1兩兩相交”

是“a,b,1共面”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線a,b,1,若a,b,1在同一平面，則a,b,1相交或a,

b,1有兩個(gè)平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行.

所以a,b,1在同一平面，則a,b,1兩兩相交不一定成立；

而若a,b,1兩兩相交，則a,b,1在同一平面成立.

故“a,b,1兩兩相交”是“a,b,1共面”的充分不必要條件.

4.如圖所示，在正方體ABCD—ARCR中，E是平面ADD八的中心,M,N,F分別是耳q,CC,

AB的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

14

A.MN=|EF,且MN與EF平行

B.MNW；EF,且MN與EF平行

C.MN=|EF,且MN與EF異面

D.MN#|EF,且MN與EF異面

答案D

解析設(shè)正方體ABCD—ARCR的棱長(zhǎng)為2a,

作點(diǎn)E在平面ABCD內(nèi)的射影點(diǎn)G,連接EG,GF,

所以EF=〈EG2+GF2

=yf^a,

所以砰扣,故選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤;

連接DE,因?yàn)镋為平面ADD￡的中心,

所以DE=1p,

又因?yàn)镸,N分別為B￡,C1的中點(diǎn)，所以MN〃4C,

又因?yàn)?C〃AJ,所以MN〃ED,

且DECEF=E,

所以MN與EF異面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

5.（多選）（2022?臨沂模擬）如圖，在正方體ABCD—ARCR中，。是DB的中點(diǎn)，直線Af交

平面QBD于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是（）

15

A.C,M,。三點(diǎn)共線

B.C,M,0,C四點(diǎn)共面

C.C,0,B,B四點(diǎn)共面

11

D.D,D,0,M四點(diǎn)共面

答案AB

解析VOeAC,ACU平面ACQAJ

.?.Oe平面ACCA.

0￡BD,BDc平面CBD,

i

Oe平面CBD,

i

0是平面ACCA］和平面CBD的公共點(diǎn)，同理可得，點(diǎn)M和Q都是平面ACC八和平面CBD的

公共點(diǎn)，

三點(diǎn)7M,0在平面QBD與平面ACCA的交線上，

即Q,M,。三點(diǎn)共線，故A,B正確；

根據(jù)異面直線的判定定理可得BB|與qo為異面直線，故q,0,BjB四點(diǎn)不共面，故C不正

確；

根據(jù)異面直線的判定定理可得D［與M0為異面直線，故D/D,0,M四點(diǎn)不共面，故D不正

確.

6.（多選）（2022?廈門(mén)模擬）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形確定一個(gè)平面

B.和同一條直線異面的兩直線一定共面

C.與兩異面直線分別相交的兩直線一定不平行

D.一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交

答案ABD

解析兩組對(duì)邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，故A錯(cuò)誤；

如圖1,直線DD|與4Q都是直線AB的異面直線，同樣D?與斗q也是異面直線，故B錯(cuò)誤；

如圖2,設(shè)直線AB與CD是異面直線，則直線AC與BD一定不平行，否則AC〃BD,有AC與

BD確定一個(gè)平面a,則ACca,H）ca,所以Aea,Bea,Cea,Dea,所以ABca,

CDca,這與假設(shè)矛盾，故C正確；

如圖1,AB〃CD,而直線AA|與AB相交，但與直線CD不相交，故D錯(cuò)誤.

16

7.（2022?哈爾濱模擬）已知在直三棱柱ABC—ABC中，ZABC=120°,AB=2,BC=CC=1,

111

則異面直線AB|與BQ所成角的余弦值為

答案平

解析如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱ABCD—ARCR,

則所求角為/BCJ或其補(bǔ)角，

VBC=^/2,BD=^22+1-2X2X1XCOS60°=事,CD=AB=>/5,

易得CD2=BD2+BC2,即BCXBD,

因此cosZBCD=^=^=^.

1CD小5

8.（2022?本溪模擬）在空間中，給出下面四個(gè)命題，其中假命題為.（填序號(hào)）

①過(guò)平面a外的兩點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與平面a垂直；

②若平面B內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面a的距離都相等，則a〃6；

③若直線1與平面a內(nèi)的任意一條直線垂直，則1，a；

④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線.

答案①②④

解析對(duì)于①，當(dāng)平面a外兩點(diǎn)的連線與平面a垂直時(shí)，此時(shí)過(guò)兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與平面

a垂直，所以①不正確；

對(duì)于②，若平面8內(nèi)有不共線三點(diǎn)到平面。的距離都相等，平面a與6可能平行，也可

能相交，所以②不正確；

對(duì)于③，直線1與平面內(nèi)的任意直線垂直時(shí)，得到所以③正確；

對(duì)于④，兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影可能是兩條相交直線或兩條平行直線或直線和直

線外的一點(diǎn)，所以④不正確.

9.（2022?上海市靜安區(qū)模擬）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—ARCR中，E,F分別

是AB,cq的中點(diǎn).

17

(1)求異面直線AE與DF所成的角的余弦值;

(2)求三棱錐A-DEF的體積.

解(1)如圖，設(shè)BB1的中點(diǎn)為H,連接HF,EH,AH,因?yàn)镕是C1的中點(diǎn),

所以AD〃CB〃HF,AD=CB=HF,

1111

因此四邊形ADFH是平行四邊形，

11

所以DF〃AH,DF=AH,

1111

因此/E'H是異面直線AE與DF所成的角或其補(bǔ)角,

正方體ABCD-ABCDi的棱長(zhǎng)為2,E是AB的中點(diǎn)，

所以人產(chǎn)=人4=虛耳吊=出，

EH=、12+12=木,

TAE2+AH2-EH25+5-24

由余弦定理可知CS==,

°''ZAE'.AH2XV5XV55

4

所以異面直線AE與叩所成的角的余弦值%

(2)因?yàn)锳D〃HF,11因平面八0￡,ADu平面ADE,

11111111

所以HF〃平面ADE,

11

因此點(diǎn)H,F到平面ARE的距離相等，

即V=V=V,

F-ADEH-ADxED-AEH

V=[DA?S

D~A}EH311

122-2X1X2-；XIX1)=1,

=-X2X

所以三棱錐A-DEF的體積為1.

10.如圖，四棱柱ABCD—ARCR的側(cè)棱AAJ底面ABCD,四邊形ABCD為菱形，E,F分別為

AA「Cq的中點(diǎn)，M為AB上一點(diǎn).

18

⑴若［E與CM相交于點(diǎn)K,求證DRCM,DA三條直線相交于同一點(diǎn);

JI

⑵若AB=2,AA=4,ZBAD=—,求點(diǎn)D到平面FBD的距離.

1J1

(1)證明???DF與CM相交于點(diǎn)K,

AKeDE,KeCM,

i

而?！?lt;=平面人口口人，CMu平面ABCD,

iii

且平面ADDAin平面ABCD=AD,

.,.KeAD,

ADE,CM,DA三條直線相交于同一點(diǎn)K.

⑵解?四邊形ABCD為菱形，AB=2,

；.BC=CD=2,

而四棱柱的側(cè)棱AAJ底面ABCD,

底面ABCD,

又；F是CC的中點(diǎn)，CC=4,；.CF=2,

11

BF=DF=2小，

JI

又???四邊形ABCD為菱形，ZBAD=y,

BD=AB=2,

JS=聶2><，222—1=

△FBD2YV

設(shè)點(diǎn)q到平面FBD的距離為h,點(diǎn)B到平面DDF的距離為d,

則d=2sing=/，

又?.?V=V

D-FBDB-DD}F

111G

.“xsn/xh=§xS△加產(chǎn)Xd,

解得h=#.

19

即點(diǎn)R到平面FBD的距離為羋.

C技能提升練

11.（多選）（2022?太原模擬）如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G,H,M,N分別為DE,BE,EF,

EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，下列結(jié)論正確的是（）

A.GH與EF平行

B.BD與MN為異面直線

C.GH與MN成60。角

D.DE與MN垂直

答案BCD

解析如圖，還原成正四面體A—DEF,其中H與N重合，A,B,C三點(diǎn)重合，連接GM,

D<

E

易知GH與EF異面，BD與MN異面.

又△GMH為等邊三角形，

；.GH與MN成60。角,

易證DEJ_AF,MN//AF,.-.MN±DE.

；.B,C,D正確.

12.（多選）（2022?廣州六校聯(lián)考）如圖,在正方體ABCD—AFFR中，M,N,P分別是CR,

BC,AR的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（)

O.MC.

1sB

A.AP與CM是異面直線

B.AP,CM,D?相交于一點(diǎn)

C.MN〃BD

1

D.MN〃平面BBDD

11

20

答案BD

解析如圖，連接MP,AC,

因?yàn)镸P〃AC,MP#AC,

所以AP與CM是相交直線，

又平面AADDn平面CCDD=DD,

所以AP,CM,DR相交于一點(diǎn)，則A不正確，B正確；

令A(yù)CCBD=O,連接0D「ON.

因?yàn)镸,N分別是CR,BC的中點(diǎn)，

所以O(shè)N〃D口〃CD,ON=DM=1CD,

則四邊形MNO2為平行四邊形，

所以MN〃OD「

因?yàn)镸W平面BBDD,

11

ODu平面BBDD,

111

所以MN〃平面BBRD,C不正確，D正確.

13.（2022?玉林模擬）在正方體ABCD—ARCR中，E,F,P,Q分別為々B,BD,AD,C?

的中點(diǎn)，則直線EF與PQ所成角的大小是.

答案4

解析如圖，連接AC,BC,則F是AC的中點(diǎn)，

11111

又E為々B的中點(diǎn)，所以EF〃BQ,連接DQ,則Q是DQ的中點(diǎn)，

又P為AJ的中點(diǎn)，所以PQ〃Ag,

于是/A￡B是直線EF與PQ所成的角或其補(bǔ)角.

JI

易知△A&B是正三角形，所以NA￡B=了.

14.（2022?鹽城模擬）在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD—ARCR中，P,Q分別為棱AD,CC的中

點(diǎn)，過(guò)P,Q,A作正方體的截面，則截面多邊形的周長(zhǎng)是.

21

25+嗦+2亞

答案

3

解析如圖所示,

過(guò)Q作QM〃AP交BC于M,

由AiP=CQ=2,tanZAiPA=2,

,CQ

貝UtanNCMQ=2,CM=---不而=1，

tanZCMy

延長(zhǎng)嫄交呼|的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，連接PE,交D￡于N點(diǎn),

則多邊形AMQNP即為截面，

根據(jù)平行線性質(zhì)有CE=CM=1,

CNCE1

TT4

NPD2-

-4—D.

48

則QN=『DN=-,

又AP=，42+22=2乖,AM=#42+32=5,

MQ=AJ12+22=4,

所以多邊形AMQNP的周長(zhǎng)為

AM+MQ+QN+NP+PA

=5+g鎏+學(xué)+2小

25+9-75+2^13

=3

。拓展沖刺練

15.（2022?大連模擬）如圖，直四棱柱ABCD—ARCR的底面是邊長(zhǎng)為