2023年高考數(shù)學一輪復習講義-復數(shù)

§5.5復數(shù)

【考試要求】1.通過方程的解，認識復數(shù)2理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)

相等的含義.3.掌握復數(shù)的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.復數(shù)的有關概念

(1)復數(shù)的定義：形如。+歷(a,6GR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中二是實部，生是虛部，i為虛數(shù)單

位.

(2)復數(shù)的分類：

復數(shù)z=a+6i(a,6GR)

Error!

(3)復數(shù)相等：

abi~~c+且b='d(a，b,。，dGR).

(4)共輾復數(shù)：

a+bi與c+di互為共物復數(shù)Oq=c,b=—d(a,b,c,d￡R).

(5)復數(shù)的模：

向量OZ的模叫做復數(shù)z=q+bi的?；蚪^對值，記作回土包或囿，即匕|=|q+bi|=、/a2+b2(a,

b￡R).

2.復數(shù)的幾何意義

--對應

(1)復數(shù)2=〃+bi(a,---，復平面內(nèi)的點Z(a,b).

??咐應.―?

(2)復數(shù)Z=Q+M(Q,&eR).-------^平面向量OZ.

3.復數(shù)的四則運算

(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則:

設4=a+bi,22=c+di(。，b,c,d￡R),則

①加法：Z]+z?=(Q+bi)+(c+di)=Q+c)+(b+mi；

②減法：Z]-z?=(Q+歷)一(c+di)=(Q-c)+(b-(7)i；

zz

③乘法：x'2=(。+6i)?(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

zia+bi(a+bi)(c—di)ac+bdbc-ad

④除法:-=-1~；=-----------=-------1------i(c+diW0).

Z2c+di(c+di)(c—di)C2-\-diC2~\~d2

(2)幾何意義：復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.

如圖給出的平行四邊形OZ/Z?可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義，即OZ=OZi+

0Z2,Z1Z2=OZ2—0Z1.

【常用結(jié)論】

1+i1—i

I.(l±i)2=±2i；—=i；—=-i.

1-1l+i

2.—b+qi=i(Q+bi)(。，b￡R).

3.i4?=l,i4〃+i=i,i4〃+2=-l,i4〃+3=—i(〃￡N).

4.14n+i4?+1+i4?+2+i4w+3=O(72N).

5.復數(shù)z的方程在復平面上表示的圖形

(l)aW|z|〈b表示以原點O為圓心，以〃和力為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

(2)匕一(a+bi)|=r0>0)表示以(〃，6)為圓心，/為半徑的圓.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)復數(shù)Z=a-歷(a,bCR)中，虛部為6.(X)

(2)復數(shù)可以比較大小.(X)

⑶已知z=a+6i(a,66R),當。=0時，復數(shù)z為純虛數(shù).(X)

(4)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的

模.

(V)

【教材改編題

1.已知復數(shù)z滿足(2+i)z=l—i,其中i是虛數(shù)單位，貝必在復平面內(nèi)對應的點位子)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

2.復數(shù)z=(3+i)(l—4i),則復數(shù)z的實部與虛部之和是

答案一4

解析z=(3+i)(l—4i)=3—12i+i+4=7—11i,故實部和虛部之和為7—11=-4.

3.若z=(加2+加一6)+(m—2)i為純虛數(shù)，則實數(shù)w的值為L

答案一3

■探究核心題型

題型一復數(shù)的概念

例1(1)(2021?浙江)已知建R,(l+〃i)i=3+i(i為虛數(shù)單位)，則。等于(

A.-1B.1C.-3D.3

答案C

解析方法一因為(l+oi)i=—a+i=3+i,所以一。=3,解得。=—3.

3+i

方法二因為(1+〃i)i=3+i,所以1+山=—；—=1—3i,所以〃=—3.

i

(2)(2022?新余模擬)若復數(shù)z滿足蕓口白=l—i,則復數(shù)日的虛部為()

2~1

A.iB.-iC.1D.-1

答案C

解析???上蛆=1-i,

2—1

??.z(l+i)(-i)=(2-i)(l-i),

*'?z(l—i)=(2—i)(l—i),

**.z—2—i,

二曰=2+i,

的虛部為i.

【教師備選】

1.(2020?全國III)若g(l+i)=l—i,則z等于()

A.1-iB.1+iC.-iD.i

答案D

解析因為曰===—=—i,

i+i(i+i)(i-i)

所以z=i.

2.(2020?全國I)若z=1+i,則|Z2—2Z|等于()

A.0B.1C.\5D.2

答案D

解析方法一z2—2z=(l+i)2—2(l+i)=—2,

|z2—2z|=|—2|=2.

方法二|z2-2z|=|(l+i)2-2(l+i)|

=|(l+i)(-l+i)|=|l+i|-|-l+i|=2.

思維升華解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項

(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只

需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.

(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為。+歷(a,6GR)的形式，以確定實部和虛部.

X

跟蹤訓練1(1)(2022?衡水中學模擬)已知工=1—貞，其中x,y是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則

x+ji的共軌復數(shù)為(

A.2+iB.2-i

C.l+2iD.l-2i

答案B

由幣=L",得:

XX

即----

22

Error!

解得x=2,y—1,

x+yi—2+i,

???其共軻復數(shù)為2—i.

(2)已知z=l—3i,貝1口一耳=.

答案\"5

解析；Z=1—3i,.,忠=l+3i,

.,國一i=1+3i—i=l+2i,

/.i|="\/12+22=、+.

題型二復數(shù)的四則運算

例2(1)(2021?新高考全國I)已知z=2—i,則z田+i)等于()

A.6-2iB.4-2i

C.6+2iD.4+2i

答案C

解析因為z=2—i,

所以二(日+i)=(2—i)(2+2i)=6+2i.

(2)(多選)設z/z2,Z3為復數(shù)，Z]#0.下列命題中正確的是()

A.若匕2尸片|,

B-若2聲2=2昌，則4=Z3

C.若&=Z3，則區(qū)巳尸區(qū)內(nèi)

D.若Z[Z2=|zj2,則Z]=Z2

答案BC

解析由=知A錯誤；

2/2=2自，則z/z2—Z3)=0,又Z]WO,所以Z2=Z3,故B正確;

區(qū)匐=昆呵|,上色尸耳網(wǎng),

又a=Z3,所以局=園=引，故C正確,

令Z]=i,z2=—i,滿足2巳=區(qū)]|2,不滿足Z]=Z2,故D錯誤.

【教師備選】

2~i

1.(2020?新高考全國I)不；等于()

1十21

A.1B.-1C.iD.-i

答案D

解析

1+21(l+2i)(l-2i)5

2.在數(shù)學中，記表達式ad—6c為由匕)所確定的二階行列式.若在復數(shù)域內(nèi)，4=l+i,

2+i71721

ZZ=

2=-j->3B,'則當z3z：=,T時’的虛部為-

答案一2

解析依題意知，2:=Z1Z4-Z2Z3，

因為z3=^>

_2+i_(2+i)(l+i)_l+3i

_tLZc，

21-i22

5

所以Z2Z3=R2=￥

51

因此有(1+i)z4~-=--i9

即(1+%=3—i,

故立Z4=3—Ri(T3-Ti)(^l-i=)L2L

所以Z4的虛部是一2.

思維升華(1)復數(shù)的乘法：復數(shù)乘法類似于多項式的乘法運算.

(2)復數(shù)的除法：除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共輾復數(shù).

跟蹤訓練2(1)(2021?全國乙卷)設iz=4+3i,則z等于()

A.-3-4iB.-3+4iC.3—4iD.3+4i

答案C

4+3i(4+3i)(—i)

解析方法一(轉(zhuǎn)化為復數(shù)除法運算)因為iz=4+3i,所以z=^———"=

1O

-4i-3i2

------------=3-4i.

一i2

方法二(利用復數(shù)的代數(shù)形歿2=。+6即，b￡R),則由iz=4+3i,可得i(o+bi)=4+3i,

即一N+〃i=4+3i,所以Error!

即Error!所以z=3—4i.

方法三(巧用同乘技巧)因為訪=4+3i,所以iz?i=(4+3i)?i,所以一z=4i—3,

所以z=3—4.

i2023?

(2)若z=＞；~；,貝旭=_______;z+§=_________.

111

?1111

z+^=-----i+—I—i=1.

2222

題型三復數(shù)的幾何意義

例3(1)(2021?新高考全國II)復數(shù)二在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為()

1-31

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A/、

2—i(2—i)(l+3i)5+5i1+i\1/

解析-L—2==所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為,該點

1—311010222

在第一象限.

(2)(2020?全國H)設復數(shù)Zjz2滿足肉|=同=2,Z]+z2=、/3+i,則肉-22|=.

；

答案2V3

解析方法一設Z]—Z2=a+bi,a,Z?￡R,

因為z1+z2=-\/3+b

所以2Z]=(、Q+a)+(l+b)i,

2z1—(\/3—?)+(1—b)L

因為網(wǎng)|=同=2,所以|2Z]|=|2zJ=4,

所以、^\/3+。)2+(1+6)2=4,①

一。)2+(1—6)2=4,②

①2+②2,得02+62=12.

所以|z「Z2尸，。2+歷=2/.

方法二設復數(shù)Z],Z2在復平面內(nèi)分別對應向量己，而，

則Zi+z2對應向量&+6k

由題意知QN|=Q2|=|。/+。8|=2,

如圖所示，以。4,。2為鄰邊作平行四邊形O4C3,

OA

則Z]—Z2對應向量易，

S-\OA\=\AC\=\OC\=2,

可得應(|=2|S|sin60°=2\/3.

故無一Z2l=|A4|=2、/3.

【教師備選】

1.(2020?北京)在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是(1,2),貝！]i-z等于()

A.l+2iB.-2+iC.l-2iD.-2-i

答案B

解析由題意知，z=l+2i,

.,.i?z=i(l+2i)=-2+i.

2.(2019?全國I)設復數(shù)z滿足|z—i|=l,z在復平面內(nèi)對應的點為(x,y),貝l]()

A.(x+l)2+y2=lB.(x~l)2+j/2=1

C.%2+(y—1)2=1D.%2+(y+l)2=l

答案C

解析Tz在復平面內(nèi)對應的點為(x,y),

.\z=x-\-yi(x,y￡R).

??,|z—i|=l,：.\x+(y~l)i\=l,

.*.x2+(y—1)2=1.

思維升華由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾

何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.

―?葉

跟蹤訓練3(1)如圖，若向量OZ對應的復數(shù)為z,貝帖+-表示的復數(shù)為()

C.3-iD.3+i

答案D

444(1+i)

解析由題圖可得Z(l,—1),即z=l—i,所以zH■-=1—i+-—；=1—i+--------------=1—i

zl-i(l-i)(l+i)

4+4i

~\--------=1—i+2+2i=3+i.

2

(2)設復數(shù)z滿足條件團=1,那么匕+2、,2+i|的最大值是()

A.3B.2-^3

C.l+2、5D.4

答案D

解析|z|=l表示單位圓上的點,那么|z+27'2+i|表示單位圓上的點至U點(一2、/2,—1)的距

離，求最大值轉(zhuǎn)化為點(一2、萬，一1)到原點的距離加上圓的半徑.因為點(一2、方，—1)到原

點的距離為3,所以所求最大值為4.

拓展視野

復數(shù)的三角形式

b

在如圖的復平面中,r-、/抽+上,”-(aWO).

a

任何一個復數(shù)z=a+歷都可以表示成z=r(cos0+isin①的形式.其中，r是復數(shù)z的模；6是

以x軸的非負半軸為始邊，向量0Z所在射線(射線。2)為終邊的角，叫做復數(shù)z=a+6i的輻

角.

我們把《cose+isin。)叫做復數(shù)的三角形式.

對應于復數(shù)的三角形式，把z=q+6i叫做復數(shù)的代數(shù)形式.

復數(shù)乘、除運算的三角表示：

已知復數(shù)4=々(cos+isin耳)，

z?=r2(cos%+isin%)，貝U

2產(chǎn)2=r1r2[cos(01+3)+isin(4+%)].

zin

—二一[cos(。-8)+isin(。-6>)].

i(\兀兀/)(\兀71)/

例1(1)cos-+isin-X3cos7+isin7等于()

2266

答案C

\

兀

X3-71-

解析cos-+isin-co6+ri6

i-/2\2/兀

k-

I

=3cos--1--+isin6

262兀）

2兀

—3cos---bisin-

33

-A―?715兀一?

(2)(多選)把復數(shù)Z]與z2對應的向量CM,分別按逆時針方向旋轉(zhuǎn)]和了后，重合于向量0M

且模相等，已知z2=—1—、/名，則復數(shù)Z1的代數(shù)式和它的輻角分別是()

Ll3兀f-l3TL

A.一\/2—、/2i,—B.-\./2+v2i,—

C.一—一6，:D.-y/2+y/2i,當

答案BD/、

\兀R)

解析由題意可知zcos7+isin-

<44

15兀5TI/

—cos---Fisin-，

\57i5兀.

cos-y+isin于

則Z[=

7171

cos-r+isin7

4、4

1+i(l+i)(l—i)

22

cos——Fisin-，

44

可知Z1對應的坐標為（一-\/2）,則它的輻角主值為I，

l-3兀3K1IK

故可以作為復數(shù)一\，2+、/2i的輻角的是---\~2kn,kGZ,當左=1時，---\-2TI-----.

444

兀71

（3）復數(shù)z=cos—+isin丁是方程X5—。=0的一個根，那么a的值等于（）

答案B/、

\7171/

解析由題意得，a=cos—+isin—5

71711

—cos—+isin—=—\~----i.

3322

例2(多選)已知i為虛數(shù)單位，Z1=v2(cos60°+isin60°),z2=2x2(sin300-icos30°),則

AN的三角形式不為下列選項的有()

A.4(cos90°+isin90°)

B.4(cos30°+isin30°)

C.4(cos300-isin30°)

D.4(cos0°+isin0°)

答案ABC

解析,??z2=2\/2(sin30°-icos30°)

=2、2(cos300°+isin300°),

；.Z/Z2=、/2(COS60°+isin60°)-2x/2(cos300°+isin300°)=4(cos360°+isin360°).

課時精練

C基礎保分練

L（2022?福州模擬）已知i是虛數(shù)單位,則％=i”是％=—1"的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析i是虛數(shù)單位，則i2=—1,%=i"是％2=—1”的充分條件;

由Q2=—1,得Q=±i,

故“Q=i”是“Q2=—1"的不必要條件；

故“Q=i”是“〃2=—1”的充分不必要條件.

2.設復數(shù)Z],Z?在復平面內(nèi)的對應點關于虛軸對稱，Z]=3—i,則2產(chǎn)2等于（）

A.-10B.10C.-8D.8

答案A

解析??2]=3—i,Z],z2在復平面內(nèi)所對應的點關于虛軸對稱，

?,?2產(chǎn)2=—9—l=T0.

3.(2022?長春實驗中學模擬)若復數(shù)z的共鈍復數(shù)為阻滿足g?(l+2i)=l—i,則復數(shù)z的虛部

為()

33

A-B.—i

55

33

C.-iD.—

55

答案A

解析3(l+2i)=l—i,

l-i_(l-i)(l-2i)

“l(fā)+2i(l+2i)(l-2i)

-l-3i13

=----=——i,

555

13

/.z=-----1i,

55

3

???復數(shù)z的虛部為

4.已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z=i2023+i(i—1)在復平面內(nèi)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析因為z=i2023+i(i—1)=-i—1—i=-1—2i,所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點是(一1,

-2),位于第三象限.

5.(2022?濰坊模擬)在復數(shù)范圍內(nèi)，已知0,q為實數(shù)，1—i是關于龍的方程X2+px+q=0的

一個根，則p+q等于()

A.2B.1C.0D.-1

答案C

解析因為1—i是關于x的方程x2+px+g=0的一個根，則1+i是方程X2+川+?=0的另

一根，由根與系數(shù)的關系可得Error!

解得〃=-2,q—2,

所以p+q=0.

6.(多選)(2022?蘇州模擬)若復數(shù)z滿足(l+i>z=5+3i(其中i是虛數(shù)單位)，則()

A.z的虛部為一i

B.z的模為、/17

C.z的共朝復數(shù)為4-i

D.z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限

答案BD

解析由(l+i>z=5+3i得

5+3i(5+3i)(l—i)8—2i.

z--------=------------------=-------=4——i,

l+i(l+i)(l-i)2，

所以z的虛部為一1,A錯誤；

z的模為、/42+(—1)2=、/17,B正確；

z的共軻復數(shù)為4+i,C錯誤；z在復平面內(nèi)對應的點為(4,—1),位于第四象限，D正確.

la+i7

7.若z=(a—7'2)+出為純虛數(shù)，其中aGR,則^―=

1+ai

答案一i

解析Yz為純虛數(shù)，，Error!

=、/'，，

a+ii\/2—i(\,2—i)(l—\/2i)

1+ai1+、2(1+v12i)(l—\/2i)

-3i

=-----=—i.

3

8.(2022?溫州模擬)已知復數(shù)z=a+bi(〃,b￡R,i為虛數(shù)單位),且±=3+2i,則a=

1-i

b=.

答案51

解析由z=a+Z?i(a,b￡R,i為虛數(shù)單位),

則曰=a—bi,

01+i

所以"；~

1112

a~\~ba-b

——i=3+2i,

2

a~\~ba~b

故----=3,------=2,所以q=5,b=l.

22

—6

9.當實數(shù)加為何值時，復數(shù)z=----------+(加2—2加)i為①實數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù).

m

解①當Error!

即加=2時，復數(shù)z是實數(shù).

②當加2—2加中0,且加#0,

即mW。且加W2時，復數(shù)2是虛數(shù).

③當Error!

即加=—3時，復數(shù)z是純虛數(shù).

10.如圖所示，在平行四邊形Q/5C中，頂點O,A,。分別表示0,3+2i,-2+4i,試求:

(1)40,5C所表示的復數(shù);

(2)對角線8所表示的復數(shù);

(3)8點對應的復數(shù).

解(i)???/3=-3Z

?'?/O所表不的復數(shù)為一3一2i,

"：BC=AO,

所表不的復數(shù)為-3—2i.

⑵?.,8=a一62,.?.海所表示的復數(shù)為

(3+2i)-(—2+4i)=5—2i.

⑶d=S+元，

08所表示的復數(shù)為

(3+2i)+(-2+4i)=l+6i,

.?.8所對應的復數(shù)為l+6i.

C技能提升練

11.(多選)歐拉公式exi=cosx+isinx是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定

義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，在復變函數(shù)論里面占有非常重要的地

位，被譽為數(shù)學中的天橋，依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是()

A.復數(shù)e2i對應的點位于第二象限

B.e》為純虛數(shù)

exi1

C.復數(shù)「一的模長等于-

V3+i2

D.e》的共輾復數(shù)為；一

22

答案ABC

解析對于A,e2i=cos2+isin2,

71

因為一<2<R,

2

即cos2<0,sin2>0,復數(shù)e2i對應的點位于第二象限，A正確;

%兀兀號為純虛數(shù)，正確;

對于B,^2=cos-+isin-=i,eB

22

exicosx+isinx

對于C,一丁=——.

、/3+i-\/3+i

(cosx+isinx)(-\/3—i)

(S+i)(S—i)

3cosx+sinx、/3sincosx.

~4~~1

工m陽e-Ti3cosx+sinx)(，?sinx-cosx)_1

于7E仔\(zhòng)-/=3+-i=J------4------葉------4-------2~~2>

C正確；

,%兀兀\/31

對于D,86=cos--Hisin-=——-H--i,

6622

51

其共扼復數(shù)為二一-i,D不正確.

22

12.(多選)(2022?武漢模擬)下列說法正確的是()

A.若閡=2,則z-日=4

B.若復數(shù)ZjZ2滿足|Z]+z2尸匕]—z2],則濘2=0

C.若復數(shù)z的平方是純虛數(shù)，則復數(shù)z的實部和虛部相等

D.ZWl”是“復數(shù)z=(a—1)+(°2—l)i(aGR)是虛數(shù)”的必要不充分條件

答案AD

解析若閭=2,貝1]Z0=|Z|2=4,故A正確；

設2]=%+”(4，々eR),

Z=fl+a

22M2-%噸

由匕心尸匕―Z2I，

可得月