2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

§5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

【考試要求】1.了解平面向量基本定理及其意義2掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條

件.

■落實主干知識

【知識梳理

1.平面向量基本定理

如果e：是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量有且只有

一對實數(shù)4%使萬=4氣+丫2.

若不共線，我們把｛e『ej叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

2.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐標(biāo)運算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模

設(shè)a=(x/%),b=(x2,y2),貝

a-\-b=Vt+yJ,a-b=(x4—>相&J,\a\=^xi+yi.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)八),B(X2,y2),則x[，彩一'),\AB\—^(X2—xi)2+(y2—yi)2.

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示

b=x

設(shè)7j)>(2>y2),其中人力0，則?！▁j[=O.

【常用結(jié)論】

v：l+%2yi+y2J

已知尸為線段的中點，若則點P的坐標(biāo)為，-，已知△4SC

的頂點/(X],B(X2,%),C(x3,匕)，則4ABC的重心G的坐標(biāo)為

11+X2+X3y\~\

373

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“義”)

(1)平面內(nèi)的任意兩個向量都可以作為一個基底.(X)

(2)設(shè)｛。,處是平面內(nèi)的一個基底,若實數(shù)%,〃2滿足+〃2"則匕=%，

,,xiyi

(3)若a=(%,%),'=('為)，則?！ǖ某湟獥l件可以表示成1=『(X)

(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.(V)

【教材改編題】

1.(多選)下列各組向量中，可以作為基底的是()

A.4=(0,0),e2=(l,—2)

B.4=(—1,2),02=(5,7)

C.e.3,5),e2=(6,10)

(3)

D.廿2,3),

答案BD

2.若尸］(1,3),P2(4,0),且尸是線段尸乙的一個三等分點(靠近點尸J,則點尸的坐標(biāo)為()

A.(2,2)B.(3,-1)

(2.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

答案A

解析設(shè)尸(x,y),由題意知蘇=］尸區(qū)，

1

/.(X—1,y—3)=-(4—1,0—3)=(1,—1),

即Error!?.Error!

3.已知向量〃=(x,l),b=Q,x-1),若(2a—〃)〃用貝ljx為—

答案2或一1

角翠析2a——b—(2x——2,3——x),

???(2a—〃)〃〃，

.*.2x-2=x(3—x),

即x2—x—2=0,解得x=2或1=一1.

核心題型1

題型一平面向量基本定理的應(yīng)用

例1(1)在△/BC中，/。為2C邊上的中線，E為/。的中點,則法等于()

3—1—1—3—

A.-AB——ACB.-AB-AC

4444

3—1—1—3—

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

答案A

(2)如圖，已知平面內(nèi)有三個向量防，左，其中S與豆的夾角為120。，后與元的夾角

為30。，且用=1,QC|=2\13.若OC=〃)/+〃08(2,〃GR),貝iU+〃=.

則元=O京+oZ

因為己與法的夾角為120。，后與62的夾角為30。，

所以N31OC=90。.

在RtZ\02]C中，/OC3]=30。，|OC|=2<3,

所以|。而=2,出點=4,

所以Q疝=由山=4,

所以元=4(%+2防，

所以2=4,//—2,

所以％+〃=6.

方法二以。為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

由況=6+〃而,

得Error!解得Error!

所以2+〃=6.

【教師備選】

71

1.（2022?山東省實驗中學(xué)等四校聯(lián)考）如圖，在Rt△48C中，/ABC：,AC=2AB,ZBAC

的平分線交A45C的外接圓于點。，坳法=跖AC=b,則向量方）等于（）

1

A.a~\~bB.-a+A

2

12

C.a-\--bD.a~\--b

23

答案C

解析設(shè)圓的半徑為尸，

71

在中，NABC=—,AC=2AB,

2

7171

所以NB4C=-,ZACB=~,

36

又/氏4c的平分線交的外接圓于點。，

71

所以NACB=NBAD=ZCAD=-,

6

則根據(jù)圓的性質(zhì)得

又因為在RtZUBC中，AB=‘AC=r=OD,

2

所以四邊形NAD。為菱形，

———1

所以--b.

2

2.（2022?蘇州質(zhì)檢）如圖，在平行四邊形/5CZ）中，E,尸分別為邊45,5C的中點，連接CE,

>>>^

DF,交于點G.若員=2。。+〃。5（九〃金R）,貝『=.

1

答案5

解析由題圖可設(shè)CG=xCE（O<x<l）,

一一一（一1.）

則CG=x（CB+BE）=XGB+-CD7

x-*■—?

=-CD+xCB.

2

因為（卷=〃亦+〃&，db與西不共線，

xA1

所以％=；；,呼x,所以

2〃2

思維升華（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則

進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算.

（2）用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)

論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

跟蹤訓(xùn)練1（1）如圖，矩形/BCD的對角線相交于點。，￡為/O的中點，若法=G+

HAD（X,〃為實數(shù)），則力+〃2等于（）

—1—1―

角星析DE=-DA+-DO

22

1一1一

=-DA+-DB

24

1-1——

=^DA+^DA+AB)

If3一

=-AB--AD,

44

135

所以2=一，〃=一一，故22+〃2=一.

448

-A-A-?]-A-?]-?-?

(2)如圖，以向量04=〃，08=〃為鄰邊作平行四邊形CMOSBM=-BC,CNqCD,則腦尸

.用a,b表示)

BD

答案

解析9：BA=OA-OB=a~b,

66

VOD=a+b,

——1—1—1―

ON=OC+-CD=-OD+-OD

326

2一22

=-OD=-a+-b.

333

一一一2215

MN=ON—OM--a+-b—-a--b

3366

題型二平面向量的坐標(biāo)運算

例2(1)、已知〃=(5,-2),6=(—4,-3),若〃二2〃+3c=0,則c等于()

答案D

角翠析?d—2〃+3c=0,

1

.?.c=_y_2〃).

(2)如圖，在直角梯形中，AB//DC,ADLDC,AD=DC=2AB,E為/。的中點，若8

=XCE+/LIDB^,//ER),則2+〃的值為()

688

A.-B.-C.2D.-

553

答案B

解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則￡>(0,0).

不妨設(shè)45=1,則CZ)=/Z)=2,

AC(2,0),力(0,2),5(1,2),￡(0,1),

.'.CA=(~2,2)fCE=(~2,l)fDB=(l,2)f

?；WCE+NDB,

???(-2,2)=4(—2,1)+〃(1,2),

,Error!解得Error!

8

故.

【教師備選】

已知四邊形/5CD的三個頂點4(0,2),5(—1,-2),C(3,l),且5C=24。，則頂點。的坐標(biāo)

C.(3,2)D.(1,3)

答案A

解析設(shè)。(工,歹)，

則石=(x,歹—2),萬2=(4,3),

又BC=2AD,

所以Error!解得Error!

所以頂點。的坐標(biāo)為

思維升華向量的坐標(biāo)表示把點與數(shù)聯(lián)系起來,引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運算代數(shù)化,

成為數(shù)與形結(jié)合的載體.

跟蹤訓(xùn)練2（1）向量防b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若。=筋+〃〃（九〃￡R）,貝（

等于（）

A.1

C.3D.4

答案D

解析以向量〃和A的交點。為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（設(shè)每個小正方形邊長

為1）,

則4(1,-1),8(6,2),C(5,-1),

.??〃=/O=(—1,1),b=OB=(6,2),

c=BC=(-l1-3),

*.*c=Xa~\~jub,

丁?(一1,—3)=2(—l,l)+^(6,2),

則Error!

解得Error!

A—2

〃-1

2

(2)在△ZBC中，點尸在5C上，且麗=2記，點。是ZC的中點，若晶=(4,3),拓=(1,5),

則彩=，ic=.

答案(—3,2)(—6,21)

解析/0=尸0—尸/=(1,5)—(4,3)

=(—3,2),

屬=拓+/=拓+2彩=(4,3)+2(—3,2)=(—2,7),

/=3正=3(—2,7)=(—6,21).

題型三向量共線的坐標(biāo)表示

例3(1)已知。=(l,2+sinx),b=(2,cosx),c=(—1,2),若(“一b)〃c,則銳角尤等于()

A.15°B.30°

C.45°D.60°

答案C

(2)已知在平面直角坐標(biāo)系。孫中，々(3,1),乙(一1,3),P,,馬三點共線且向量涼與向

量。=(1,—1)共線，若涼=/i涼+(1—4)3這，則;I等于()

A.-3B.3

C.1D.-1

答案D

解析設(shè)O@=(x,y),

則由O言〃“知x+y=0,

所以O(shè)席=(x,—x).

若0寓=/1漏+(1—儲0房，

則(x,-X)=2(3,1)+(1-2)-(-1,3)=(42-1,3-22),

即Error!

所以4%—1+3—2A=0,解得4=—1.

【教師備選】

1.已知向量。=(1,2),b=Q,-2),c=(l,/).若c〃(2a+6),貝i_U=.

宏享-

口2

解析由題意得2a+〃=(4,2),

因為c=(l,2),c//(2a+b)9

1

所以42—2=0,解得

2

2.已知。為坐標(biāo)原點，點N(6,3),若點P在直線上，且QP|=5『/|,P是。8的中點,

則點B的坐標(biāo)為.

答案(4,2)或(一12,-6)

解析：點P在直線CM上，

：.OP//PA,

—?］一

又???。尸|=5|以|,

f1—?

:.OP=±-PA

29

設(shè)點尸(加，H),

則。尸=(冽，〃)，PA=(6—m,3—n).

—1—*

①若。尸=一尸4,

2

貝！1(加，幾)=^(6一機,3—〃)，

/.Error!

解得Error!

工尸(2,1),

是。8的中點，2(4,2).

—?1—

②若OP=一—PA,

2

貝1(冽，n)=--(6—m,3—

Error!

解得Error!

???P(—6,-3),

???尸是03的中點,

.*.5(-12,-6).

綜上所述，點2的坐標(biāo)為(4,2)或(一12,-6).

思維升華平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略

⑴若。二(%,%),b=(x2,y2),其中貝1］“〃/＞的充要條件是4為=星］.

(2)在求與一個已知向量”共線的向量時，可設(shè)所求向量為相。CR).

跟蹤訓(xùn)練3平面內(nèi)給定三個向量。=(3,2),6=(-1,2),c=(4,l).

(1)若(〃+品)〃(28—〃)，求實數(shù)k：

(2)若"滿足("一c)〃(a+〃)，且c|=?5,求d的坐標(biāo).

解(1)〃+左c=(3+4左,2+左)，

2b―4=(一5,2),

由題意得2X(3+41)一(一5)義(2+左)=0,

」16

解得k=——

13

(2)設(shè)d=(x,y),

則d—c=(x—4,y-1),

又a+〃=(2,4),\d—c\=\5,

Error!

解得Error!或Error!

???d的坐標(biāo)為(3,—1)或(5,3).

課時精練

基礎(chǔ)保分練

1.(2022?泉州模擬)若向量石=(2,3),就=(4,7),則病等于()

A.(-2,-4)B.(2,4)

C.(6,10)D.(-6,-10)

答案B

2.(2022-TOP300尖子生聯(lián)考)已知/(—1,2),2(2,-1),若點C滿足於+易=0,則點C

的坐標(biāo)為()

A.(10/B.(-3,3)

C.(3,-3)D.(-4,5)

答案D

3.下列向量組中，能表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一個基底是)

A.〃=(1,2),6=(0,0)

B.〃=(1,-2),*=(3,5)

C.〃=(3,2),6=(9,6)

(31)

D.a——,,力=(3,—2)

42

答案B

4.在△N8C中，角aB,。所對的邊分別為a,b,c,m=（a,b）,〃=（cos8,cosA）,則

lim//nn是“△/2C是等腰三角形”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案D

解析由tn//n,

得bcosB-acosA=0,

即sinBcos3=sin/cos/,

所以sin25=sin2A,

所以2A=2B或2/+28=兀，

,71

即A—B或

2

所以△NBC為等腰三角形或直角三角形；

反之，ZX/BC是等腰三角形，若a=c￥b,

則不能得到m//n,

所以“加〃/'是“△/BC是等腰三角形”的既不充分也不必要條件.

5.（多選）（2022?聊城一中模擬）在梯形/BCD中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分別是48,CD

的中點，AC與BD交于點M,設(shè)法=a,AD^b,則下列結(jié)論正確的是（）

一1一1

A.AC=-a+bB.BC=—a+b

22

一12一1

C.BM——D.EF=~-a+b

334

答案ABD

-?-*--?-*-1-*■1

解析AC=AD-\-DC=AD+-AB—-a+b,

22

故A正確;

―?―?―?―?-?―?]-?

BC=BA+AD+DC=-AB+AD+-AB

2

=-a+b,故B正確；

2

————2f22

BM=BA+AM=-AB-\--AC=--a+-b,

333

故C錯誤;

EF=EA+AD+DF=—AB-\~AD~\"-AB=--a~\-b,故D正確.

244

6.(多選)已知向量S=(l,-3),03=(2,-1),0C=(m+l,m~2),若點/,B,C能構(gòu)

成三角形，則實數(shù)機可以是()

1

A.-2B.-C.1D.-1

2

答案ABD

解析各選項代入驗證，若4,B,C三點不共線即可構(gòu)成三角形.因為熊=位一5=

(2,-1)-(1,—3)=(1,2),AC=OC~OA=(m+\,m-2)-(l,—3)=(相，m+1).假設(shè)4

B,C三點共線，則1X(加+1)—2根=0,即加=1.所以只要加Wl,A,B,C三點就可構(gòu)成三

角形.

7.在梯形4SCD中，AB//CD,S.DC=2AB,若點41,2),8(2,1),C(4,2),則點。的坐標(biāo)

為.

答案(2,4)

解析：在梯形中，DC=2/8,

AB//CD,

C.DC^IAB,

設(shè)點。的坐標(biāo)為(x,y),則

元=(4—x,2—y),又蒜=(1,-1),

.,.(4—x,2—y)=2(l,—1),

即Error!

/.Error!

.?.點。的坐標(biāo)為(2,4).

8.(2022?開封模擬)已知向量加+n=(2+2,2).若(2?i+〃)〃0一2”),則2=

答案0

解析由題意得，

2,"+“=(37+4,4》

m-2/1=(-4-3,-3),

(2m+n)/7(m-2n),

-3(31+4)—4(—A—3)=0,

解得力=0.

9.已知4(—2,4),5(3,-1),C(-3,-4).^AB=a,BC=b,CA=c,且H/=3c,CN

2b.

⑴求3a+b~3c；

(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n；

(3)求N的坐標(biāo)及向量JW的坐標(biāo).

解由已知得4=(5,—5),b=(-6,—3),c—(1,8).

(1)3。+〃―3c=3(5,—5)+(一6,一3)一3(1,8)

=(15—6—3,—15—3—24)=(6,—42).

=

(2)方法—*?mb~\-nc(<-6m~\~n,—3m+8?),

二?Error!解得Error!

方法二*：a+b+c=0,

a——b—c,

又a=mb+nc,

/.mb-\-nc=-b~c9

Error!

(3)設(shè)。為坐標(biāo)原點，:昂=蘇一5Z=3C,

???蘇=3c+文=(3,24)+(—3,-4)

=(0,20).

."0,20).

又CN=ON-OC=~2b,

???蘇=-2〃+左=(12,6)+(—3,—4)=(9,2),

???N(9,2),：.MN=(9,-18).

10.已知〃=(1,0),*=(2,1).

⑴當(dāng)上為何值時，而一〃與〃+2力共線；

(2)若罰=2〃+3"詼=a+機〃且4B,。三點共線，求加的值.

解(1)左口一〃=4(1,0)—(2,1)=(左一2,—1),

〃+2力=(1,0)+2(2,1)=(5,2).

*：ka—b與a+2b共線，

???2(左一2)一(-1)*5=0,

即2左一4+5=0,解得左=一1

2

(2)方法一-：A,B,。三點共線，

：.AB=ABC,

即2a3b=X(amb),

43

,Error!解得m=-.

2

方法二弱=2〃+3〃=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),

5C=a+mA=(l,0)+m(2,l)=(2m+1,m),

9：A,B,。三點共線，：.AB//BC,

3

/.8m—3(2加+1)=0,即2加一3—0,

應(yīng)技能提升練

11.(2022?金華模擬)已知△NBC的三邊分別是a,b,c,設(shè)向量》/=(sin8—sin/,島+c),

n=(sinC,a-\-b),且機〃小則5的大小是()

715兀

A-B—

66

712兀

C.-D.—

33

答案B

解析因為相〃孫

所以(q+b)(sinB—sinA)=sinC(y3a+c).

由正弦定理得(a+b)(b—Q)=C(\；3Q+C),

整理得a2-\~c2—b2=—^3ac,

由余弦定理得

a2+c2~b2—\^3ac\*5

cosB-------------=--------=——.

lac2ac2

1,5兀

又0<5<7i,所以B——.

6

12.(多選)如圖，B是4c的中點，RE=2OB,P是平行四邊形BCDE內(nèi)(含邊界)的一點，且有5

=xOA+yOB(xfyeR),則下列結(jié)論中正確的是()

D

A.當(dāng)x=0時，ye[2,3]

15

B.當(dāng)尸是線段C￡的中點時，x=-y=-

22

C.若x+y為定值1,則在平面直角坐標(biāo)系中，點尸的軌跡是一條線段

D.當(dāng)P在C點時，x=l,y=2

答案BC

解析當(dāng)d=y屆時，點P在線段5E上，故lWyW3,故A中結(jié)論錯誤；

當(dāng)尸是線段CE的中點時，

―?-?->―?I—>―?

OP=OE+EP=3OB+^EB+BC)

-1——

=3OB+^~2OB+AB)

->]—>—?―>

=3OB+^-WB+OB-OA)

1—5一

=一一OA+-OB,故B中結(jié)論正確；

22

當(dāng)x+y為定值1時，/,2,尸三點共線，又P是平行四邊形2CDE內(nèi)(含邊界)的一點，故尸

的軌跡是一條線段，故C中結(jié)論正確；

-1——

因為。8=,OC+CM),

所以左=2而一力，

則方咤一a+2防，

所以x=—1,y=2,D錯誤.

13.已知|扇|=1,|法|=4，a?防=0,點C在N/O8內(nèi)，且文與方的夾角為30。，設(shè)立

=mOA+nOBQn,〃￡R),則一的值為.

n

答案3

解析,?,扇?法=0,

.9.OA-LOB,以。為原點，04所在直線為x軸，05所在直線為歹軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖

略)，則a=(1,0),08=(0,我,

OC—mOA+nOB=(m,班m).

m3

???加=3%即一=3.

n

一3一