2023年高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及礎(chǔ)題型復(fù)習(xí)：立體幾何模塊之間幾何體的表面積和體積

第五節(jié)空間幾何體的表面積和體積

【知識(shí)點(diǎn)20】空間幾何體的表面積

一般地，我們可以把多面體展開(kāi)成平面圖形，求出展開(kāi)圖中各個(gè)小多邊形的面積，然后相加

即為多面體的表面積.

1.直棱柱和正棱錐的表面積

(1)直棱柱的側(cè)面積

①側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱.

②直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，這個(gè)矩形的長(zhǎng)等于直棱柱的底面周長(zhǎng)C,寬等于直棱柱的高

h,因此，直棱柱的側(cè)面積是S=ch.

直棱柱側(cè)

③底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.

(2)正棱錐的側(cè)面積

①如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心，那么稱(chēng)這樣的棱

錐為正棱錐.正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等.

②棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由各個(gè)側(cè)面組成的，展開(kāi)圖的面積就是棱錐的側(cè)面積,如果正棱錐的

底面周長(zhǎng)為c,斜高(即側(cè)面等腰三角形底邊上的高)為",它的側(cè)面積是S正叱曬=；兇’.

2.正棱臺(tái)的表面積

正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái).與正棱錐的側(cè)面積公

式類(lèi)似，若設(shè)正棱臺(tái)的上、下底面的周長(zhǎng)分別為c',C,斜高為人,，則其側(cè)面積是S

正棱臺(tái)

3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積

【推導(dǎo)圓柱側(cè)面積及表面積】S=2nrl,S=2nr(r+l).

惻表

【推導(dǎo)圓錐側(cè)面積及表面積】底面周長(zhǎng)是2〃，利用扇形面積公式得

S惻=；*2兀〃=?！?S;=7rr2+Ttrl=nr(r+1).

【推導(dǎo)圓臺(tái)側(cè)面積及表面積】由題圖知，圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周

長(zhǎng)，外弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng),則^^奈解得x=急/.

/><

S婀=$?3形-5，E=9+）2成—%><2口=兀[（/?—加+/?/]=兀&+尺）/,

所以,,惻=兀&+丑)/，$幅表=兀6+/+&+4)-

圖形表面積公式

底面積：S底.=2m,

圓柱側(cè)面積：S=2兀4

側(cè)

3■-

表面積：S=2jir(r+l)

底面積：S.=71F2,

底

圓錐側(cè)面積：S=Tirl,

歲,側(cè)

旋轉(zhuǎn)體表面積：S=7TF(r+/)

上底面面積：S=nr'2,

上底

下底面面積：S=Ttr2,

圓臺(tái)下底

噲側(cè)面積：S側(cè)=兀(尸,l+rl),

表面積：S=Ti(r'2+仁+/'l+rl)

【典型例題】

【類(lèi)型一】求多面體的側(cè)面積和表面積

［例1］正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為a和b(a<b).

(1)若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45。，求棱臺(tái)的側(cè)面積;

(2)若棱臺(tái)的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高.

【變式1】已知正四棱臺(tái)的鬲是12cm,兩底面邊長(zhǎng)之差為10cm,表面積為512cm2,求底

面的邊長(zhǎng).

【反思】(1)求棱錐、棱臺(tái)及棱柱的側(cè)面積和表面積的關(guān)鍵是求底面邊長(zhǎng)，高，斜高，側(cè)

棱.求解時(shí)要注意直角三角形和梯形的應(yīng)用.

(2)正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的所有側(cè)面都全等，因此求側(cè)面積時(shí)，可先求一個(gè)側(cè)面的面積，

然后乘以側(cè)面的個(gè)數(shù).

(3)棱臺(tái)是由棱錐所截得到的，因此棱臺(tái)的側(cè)面積也可由大小棱錐側(cè)面積作差得到.

【變式2】已知正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，高為3,求它的表面積.

【變式3】如圖，在正方體/BCD—//］。。］中，三棱錐5—AB。的表面積與正方體的表

面積的比為.

【思考1】如圖，已知正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO=3,

求此正三棱錐的表面積.

【類(lèi)型二】與三視圖結(jié)合綜合問(wèn)題

【例2】某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的表面積為

惻視圖

【變式1】一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）

俯視圖

A.2+串B.1+5/3C.1+272D,2顯

【變式2】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則此幾

何體各面中直角三角形的個(gè)數(shù)是

A.2B.3C.4D.5

【變式3】已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：加），其中俯視圖為正三角形,則該幾

何體的體積為mi

【思考2】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

10

【思考3】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

【變式1】如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，在該幾何體的各個(gè)面中，面積最小的面的面

積為（）

A.8B,4c,472D.4道

【類(lèi)型三】求旋轉(zhuǎn)體的表面積

[例3]圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)的圓心角為

180°,那么圓臺(tái)的表面積是cm2.(結(jié)果中保留兀)

【變式1】圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3,圓臺(tái)的側(cè)面積為84n,

求圓臺(tái)較小底面的半徑.

【反思】(1)求圓柱、圓錐和圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積，只需求出上、下底半徑和母線長(zhǎng)即可，

求半徑和母線長(zhǎng)時(shí)常借助軸截面.

(2)解答旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與表面積問(wèn)題可先把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，即在展開(kāi)圖內(nèi)求母

線的長(zhǎng)，再進(jìn)一步代入側(cè)面積公式求出側(cè)面積，進(jìn)而求出表面積.

(3)旋轉(zhuǎn)體的軸截面是化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題的重要工具，因?yàn)樵谳S截面中集中體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)

體的“關(guān)鍵量”之間的關(guān)系.在推導(dǎo)這些量之間的關(guān)系時(shí)要注意比例性質(zhì)的應(yīng)用.

【變式2】若圓錐的母線長(zhǎng)為2cm,底面圓的周長(zhǎng)為2兀cm,則圓錐的表面積為cm2.

【變式3】以圓柱的上底中心為頂點(diǎn)，下底為底作圓錐，假設(shè)圓柱的側(cè)面積為6,圓錐的側(cè)

面積為5,求圓柱的底面半徑.

【變式4】若一個(gè)圓臺(tái)的軸截面如圖所示，則其側(cè)面積等于.

1—2―4

【變式5].一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的軸截面分別是邊長(zhǎng)為〃的正方形和正三角形，則它們的

表面積之比為.

【類(lèi)型四】與三視圖結(jié)合的綜合問(wèn)題

【例4】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是斜邊長(zhǎng)為2的直角三角形,

俯視圖是半徑為1,圓心角為色的扇形，則該幾何體的表面積是（）

7

1E視圖初現(xiàn)圖

俯視圖

【變式1】如圖是一個(gè)封閉幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）

F2(:

俯視BB

A.7Tlem2B.8Kcm2c.9Kcm2D.11兀c機(jī)2

【類(lèi)型五】簡(jiǎn)單組合體的表面積

【例5】牧民居住的蒙古包的形狀是一個(gè)圓柱與圓錐的組合體，尺寸如圖所示（單位：m）,請(qǐng)

你幫助算出要搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要多少篷布？（精確到0.01m2）

【反思】（1）組合體的側(cè)面積和表面積問(wèn)題，首先要弄清楚它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成，然

后再根據(jù)條件求各個(gè)簡(jiǎn)單組合體的基本量，注意方程思想的應(yīng)用.

（2）在實(shí)際問(wèn)題中，常通過(guò)計(jì)算物體的表面積來(lái)研究如何合理地用料，如何節(jié)省原材料等，在

求解時(shí)應(yīng)結(jié)合實(shí)際，明確實(shí)際物體究竟是哪種幾何體，哪些面計(jì)算在內(nèi)，哪些面實(shí)際沒(méi)有.

2

【變式1】有兩個(gè)相同的直棱柱，高為Z，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為3a,4a,5a（a>0）.用它們

拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個(gè)四棱柱，求。的取值

范圍.

【變式2】如圖所示，AABC的三邊長(zhǎng)分別是/C=3,8C=4,4ff=5,作

垂足為點(diǎn)D以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面

積.

【方法小結(jié)】

1.多面體的表面積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之和.棱柱的表面積等于它的側(cè)面積加底

面積；棱錐的表面積等于它的側(cè)面積加底面積；棱臺(tái)的表面積等于它的側(cè)面積加兩個(gè)底的面

積.

2.有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計(jì)算要充分利用其軸截面，就是說(shuō)將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面

中求解.而對(duì)于圓臺(tái)有時(shí)需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識(shí)求解.

3.S=2口&+/);S=7tr(r+r);S=n(n+rl+Rl+R2).

【思考1］如圖(1)所示，已知正方體面對(duì)角線長(zhǎng)為內(nèi)沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如圖

(2)所示的幾何體，那么此幾何體的表面積為.

【思考2】一個(gè)圓錐的底面半徑為2cln,高為6cm,在其中有一個(gè)高為xcm的內(nèi)接圓柱.

⑴求圓錐的側(cè)面積；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？求出最大值.

【變式1】已知某圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3,圓臺(tái)的側(cè)面

積為84兀，則該圓臺(tái)較小底面的半徑為

【知識(shí)點(diǎn)21］空間幾何體的體積

一、柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

1.柱體的體積公式廠=口”為底面面積,〃為高）.

2.錐體的體積公式匕=；S〃（S為底面面積，h為高）.

3.臺(tái)體的體積公式憶=；（S'+小丁飛+?/7（S',S為上、下底面面積，人為高）.

4.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系

ma嘴匹群三

v=sh<^^+小y=；sh.

二、球的表面積和體積公式

1.球的表面積公式S=4nR2（R為球的半徑）.

4

2.球的體積公式/=尹&.

三、球體的截面的特點(diǎn)

1.球既是中心對(duì)稱(chēng)的幾何體，又是軸對(duì)稱(chēng)的幾何體，它的任何截面均為圓.

2.利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平

面問(wèn)題的主要途徑.

【類(lèi)型一】柱體、錐體、臺(tái)體的體積

【例1】⑴如圖所示，已知三棱柱NBC—4與C］的所有棱長(zhǎng)均為1,且44］,底面N3C,則

三棱錐B-ABC1的體積為.

（2）現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6

cm,高為20cm的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒(méi)在水中.當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下

降cm.

【反思】（1）常見(jiàn)的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等積法：如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可.

③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

(2)求幾何體體積時(shí)需注意的問(wèn)題

柱、錐、臺(tái)體的體積的計(jì)算，一般要找出相應(yīng)的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出

所需要的量，最后代入公式計(jì)算.

【變式1]如圖所示，在長(zhǎng)方體/BCD—HB'CD'中，用截面截下一個(gè)棱錐C—

A'DD',求棱錐C—HDD'的體積與剩余部分的體積之比.

【變式2】已知一個(gè)三棱臺(tái)上、下底面分別是邊長(zhǎng)為20cm和30cm的正三角形，側(cè)面是全

等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺(tái)的高和體積.

【變式3】已知正三棱錐S—NBC,D,￡分別為底面邊48,NC的中點(diǎn)，則四棱錐S—BCED

與三棱錐S—ABC的體積之比為.

【變式4】圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓柱的底

面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)最上面的球，如圖所示.則球的半徑是cm.

【變式5】如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個(gè)球放在容

器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如果不計(jì)容器的厚度，則

球的體積為cm3.

【類(lèi)型二】球的表面積與體積

【例2】（外接球）⑴設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬,高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則

該球的表面積為.

（2）求球與它的外切等邊圓錐（軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐）的體積之比.

【變式1】一倒置圓錐體的母線長(zhǎng)為10cm,底面半徑為6cm.

⑴求圓錐體的高；

（2）一球剛好放進(jìn)該圓錐體中，求這個(gè)球的半徑以及此時(shí)圓錐體剩余的空間.

【反思】(1)正方體的內(nèi)切球

球與正方體的六個(gè)面都相切，稱(chēng)球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為尸1=/過(guò)在一個(gè)平

面上的四個(gè)切點(diǎn)作截面如圖①.

(2)球與正方體的各條棱相切

球與正方體的各條棱相切于各棱的中點(diǎn)，過(guò)球心作正方體的對(duì)角面有廠2=坐凡如圖②.

(3)長(zhǎng)方體的外接球

長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱(chēng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長(zhǎng)方體的體對(duì)

角線是球的直徑，若長(zhǎng)方體過(guò)同一^頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為a,b,c,則過(guò)球心作長(zhǎng)方體的對(duì)角面

有球的半徑為々=Sa2+b2+c2,如圖③.

①②

(4)正方體的外接球

正方體棱長(zhǎng)。與外接球半徑H的關(guān)系為2尺=讓a.

(5)正四面體的外接球

正四面體的棱長(zhǎng)a與外接球半徑尺的關(guān)系為2H=乎Q.

【練習(xí)1】長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為切，巾，仃，則它的外接球表面積為

【練習(xí)2】將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為.

【練習(xí)3】設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為a,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球

的表面積為.

【練習(xí)4】三棱錐尸-A5C中，民夕?；ハ啻怪?，PA二PB=1,M是線段5C

上一動(dòng)點(diǎn)，若直線A"與平面P5C所成角的正切的最大值是半，則三棱錐P-A5C的

外接球的表面積是()

A.2兀B,4兀C,8兀D.16兀

【例3】在正三棱錐S-28C中，SA=2位,AB=6,則該三棱錐外接球的直徑為()

A.7B.8C.9D.10

【反思】在一個(gè)多面體的面找外接圓的圓心，過(guò)該圓的圓心，作垂直于該面的垂線，球心O

在垂線上，構(gòu)造三角形，解三角形。

【練習(xí)1]一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個(gè)正三角形,則這個(gè)幾何體的外接

球的表面積為（）

A./B.gC.SD,臥

【練習(xí)2】三棱錐P-A5C中,PCJ_平面ABC,且AB=BC=CA=PC=2,則該

三棱錐的外接球的表面積是（)

7T.16K28K

A.-B.4Kc.——D.——

333

【例4】（球的截面問(wèn)題）已知過(guò)球面上三點(diǎn)4B,C的截面到球心的距離等于球半徑的一

半，且4C=8C=6,AB=4,求球的表面積與球的體積.

【反思】設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)),球心為O,截面圓心為O］,則△NO［。是以。］為直角

頂點(diǎn)的直角三角形，在解答球心的截面問(wèn)題時(shí)，常用該直角三角形求解，并常用過(guò)球心和截

面圓心的軸截面.

【練習(xí)3】用過(guò)球心的平面將一個(gè)球分成兩個(gè)半球，則兩個(gè)半球的表面積之和是原來(lái)整球

表面積的倍.

【類(lèi)型三】組合體的體積

【例4】如圖，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會(huì)

溢出杯子嗎？請(qǐng)用你的計(jì)算數(shù)據(jù)說(shuō)明理由.

反思與感悟代公式計(jì)算幾何體的體積時(shí)，注意柱體與錐體的體積公式的區(qū)別.

【練習(xí)11如圖(1)所示，一只裝了水的密封瓶子可以看成是由底面半徑為1cm和底面半徑

為3cm的兩個(gè)圓柱組成的簡(jiǎn)單幾何體.當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(2)水平放置時(shí)，液面高度為20

cm,當(dāng)這個(gè)幾何體如圖(3)水平放置時(shí)，液面高度為28cm,則這個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的總高度為

________cm.

【練習(xí)2】如圖，在四邊形/BCD中，ZDAB=90°,ZADC=135°,4B=5,CD=2AD

=2,求四邊形/BCD繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得的