2023年高中數(shù)學基礎知識及礎題型復習：立體幾何模塊之空間向量與立體幾何

第六節(jié)空間向量與立體幾何

一、空間向量的線性運算

【知識點1】空間向量的概念

（1）在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模.

空間向量也用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模,向量〃的起點是力，終點

是8,則向量。也可記作石，其模記為⑷或|的

（2）幾類特殊的空間向量

定義及表示

起點與終點重合的向量叫做零向量，記為0

模為1的向量稱為單位向量

aE度相等而方向相反的向量,稱為〃的相反向量，記為一4

同」L模相等的向量稱為相等向量,同向且等長的有向線段表

向E片或相等向量

段,f在的直線叫做向量的基線.如果空間中一些向量的基線

行51重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量

【例1】（有關空間向量的概念的理解）給出以下結論：

①兩個空間向量相等，則它們的起點和終點分別相同；②若空間向量。，b滿足|M=I外則。

=6；③在正方體/BCD—中，必有就=47；④若空間向量如n,p滿足加=

n,n=p,則/n=p.其中不正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【反思】在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，

兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同、模相等.兩向量互為相反向量的充要條件是

大小相等，方向相反.

【訓練1】在平行六面體中，下列四對向量:①就與不?；②否*與瓦彳;

③4D1與C0；④//與B[C.其中互為相反向量的有n對，則n等于（）

A.1B.2C.3

【訓I練2】如圖，在長方體/BCD—HB'CD'中，AB=3,AD=2,AA'=1,則分別

以長方體的頂點為起點和終點的向量中:

①單位向量共有多少個?

②試寫出模為木的所有向量.

③試寫出與向量感相等的所有向量.

④試寫出向量44'的所有相反向量.

【知識點2】空間向量的加減運算及運算律

(1)類似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運算.

(^=OA+AB=a+b,CA=O4-0C=a-b.

(2)空間向量加法交換律a+b=b+a,

空間向量加法結合律(a+b)+c=a+(6+c).

【例2】(空間向量的加減運算)如圖，已知長方體B'CD',化簡下列向量表

達式，并在圖中標出化簡結果的向量.

(l)AA'-CB-,

(2)AT+AB+B'C'

(3)化簡4r+A'B'+B'C'+C7*/.

［反思］空間向量加法、減法運算的兩個技巧

(1)巧用相反向量：向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運算的關鍵，靈活應

用相反向量可使向量間首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的加法運算時，務必要注意和向

量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得更準確的結果.

【訓練3】在如圖所示的平行六面體中，求證：AC+AB'+AD'=2AC'.

【知識點3】數(shù)乘向量運算

(1)實數(shù)與向量的積

與平面向量一樣，實數(shù)2與空間向量a的乘積Xa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運

算，記作癡，其長度和方向規(guī)定如下：

①|(zhì)阿=|即磯

②當A0時，癡與向量q方向相同；當時，(與向量a方向相反;當2=0時，Xa

=0.

(2)空間向量數(shù)乘運算滿足以下運算律

①從ua)=a〃)a;

②/(〃+〃)=加+勸.

【例3】如圖所示，在平行六面體/BCD—中，^AA=a,通=b,AD=c,M,N,

P分別是BC,CQ］的中點，試用a,b,c表示以下各向量：

B

(1源；(2)ypV；(3)加+說「

【反思】利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧

(1)數(shù)形結合：利用數(shù)乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，

將目標向量轉化為已知向量.

(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質(zhì).

【訓練4】如圖，在空間四邊形04BC中，M,N分別是對邊。4,3C的中點，點G在ACV

上，且MG=2GN,如圖所示，記。4=",OB=b,OC=c,試用向量。，b,c表示向量OG.

【思考1】如圖所示，已知空間四邊形/8Q),連接/C,BD,EF,點、E,F,G分別是8C,

CD,。臺的中點，請化簡

(i)iB+ic+cb；

(2)AB+GD+EC,并標出化簡得到的向量.

【思考2】如圖所示，在平行六面體力5C。一［中，。是耳。］的中點，若時=%小

+yOC1,則x,歹的值分別為多少？

二'空間向量的基本定理

【知識點4】共線向量定理

共線向量定理：

兩個空間向量a,b(bWO),Wb的充要條件是存在唯一的實數(shù)x,使a=M.

【例1】⑴已知向量a,b,且花=a+2。，BC=~5a+6b,CD=7a-2b,則一定共線的三

點是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

(2)設e2是空間兩個不共線的向量，已知凝=4+校2,iC=5^+4e2,DC=-e-2e2,

且/,B,。三點共線，實數(shù)％=.

【反思】(1)判斷向量共線的策略

①熟記共線向量的充要條件：(i)若a〃〃，bWO,則存在唯一實數(shù)力使a=勸；(ii)若存在

唯一實數(shù)人使。=幼，bWO,則。〃無

②判斷向量共線的關鍵：找到實數(shù)九

(2)證明空間三點共線的三種思路

對于空間三點尸，A,5可通過證明下列結論來證明三點共線.

①存在實數(shù)九使法=力兩成立.

②對空間任一點O,有。>=%+弟QGR).

③對空間任一點。，有法=x^l+y亦(x+y=l).

【練習1】如圖所示，在正方體48CD-44C］。］中，E在/々］上，且4為=2防］,尸在對

角線4c上，且4>=|反7.

求證：E,F,3三點共線.

【知識點5】共面向量定理

2.向量共面的條件

(1)向量a平行于平面a的定義

已知向量作晶=a,如果a的基線OA平行于平面a或在a內(nèi),則就說向量a平行于

平面a,記作a//a.

(2)共面向量的定義

平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

(3)共面向量定理

如果兩個向量。，6不共線,則向量c與向量”，共面的充要條件是存在唯一的一對實

數(shù)x,y,使c=xa+yb.

【例2】如圖所示，已知平行四邊形4BCZ),過平面/C外一點。作射線CM,OB,OC,

0D,在四條射線上分別取點E,F,G,H,并且使籌=您=察=累=左，求證：E,F,

UAUDC7CUL)

G,〃四點共面.

【反思】(1)利用四點共面求參數(shù)

向量共面的充要條件的實質(zhì)是共面的四點中所形成的兩個不共線的向量一定可以表示其他

向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值.

(2)證明空間向量共面或四點共面的方法

①向量表示：設法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合，即若夕=xa+功,

則向量p,a,b共面.

②若存在有序?qū)崝?shù)組(%,y,z)使得對于空間任一點O,有。昂+z02,且x+y+

z=l成立，則P,A,B,。四點共面.

③用平面：尋找一個平面，設法證明這些向量與該平面平行.

【練習2】已知4,B,C三點不共線，平面N8C外一點跖滿足血=g①+；協(xié)+1歷,

判斷疝，MB,慶三個向量是否共面.

【練習3】已知n,B,C三點不共線，對平面4BC外一點。，當5>=2為一無一災時,

點尸是否與/,B,C共面？并給出證明.

【知識點6】空間向量分解定理

1.空間向量分解定理

如果三個向量a,b,C不共面,那么對空間任一向量R,存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組X,

y,z,使p=xa+油+zc.

2.基底

如果三個向量〃，b,c是三個不共面的向量,則〃，b,c的線性組合x〃+y〃+zc能生成

所有的空間向量，這時小b,c叫做空間的一個基底,記作｛訪b,c｝,其中〃，4c都

叫做基向量.表達式功+zc,叫做向量〃，b,C的線性表示式或線性組合.

【例3】如圖所示，在平行六面體48co—卬B'CD'中，嘉=a,AD^b,AA'=c,

P是C⑷的中點，初是CD'的中點，N是C'。'的中點，點。在C4'上，且C0：。卬

=4：1,用基底｛〃，b,c｝表示以下向量.

(1)芥；(2)施；(3M7V；(4)AQ.

A'D'

【反思】用基底表示向量的步驟

(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底.

(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法

則，結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果.

(3)下結論：利用空間向量的一個基底｛a,b,c｝可以表示出空間所有向量.表示要徹底，結

果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.

【練習4】如圖所示，空間四邊形O/8C中，G,H分別是△4BC,△OBC的重心，設宓=

a,OB=b,OC=c.試用向量。，b,c表示向量G〃.

【方法小結】

1.四點尸，A,B,C共面O對空間任意一點O,^OP=xQA^yOB+zOC,且x+y+z=

1.

2.。＞=晶+.匕而+)，病稱為空間平面ABC的向量表達式.由此可知空間中任意平面由空間

一點及兩個不共線向量唯一確定.

3.證明(或判斷)三點N,B,C共線時，只需證明存在實數(shù)九使養(yǎng)=施(或盛即可，

也可用“對空間任意一點。，有歷=1①+(1一伏克”來證明三點4,B,C共線.

4.空間一點P位于平面M45內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),]kMP=xMA+yMB,

滿足這個關系式的點都在平面M43內(nèi)；反之，平面M43內(nèi)的任一點都滿足這個關系式.這

個充要條件常用于證明四點共面.

【思考1】已知點E,F,G,〃分別是空間四邊形4BC￡＞的邊BC,CD,的中點.

⑴證明：E,F,G,〃四點共面；

（2）證明：平面EFG/A

【練習5］已知O,A,B,C,D,E,F,G,H為空間的9個點（如圖所示），并且應=比應,

OF=kOB,OH=kOD,AC=M)+mAB,EG=EH+mEF.

求證：（1）4,B,C,。四點共面，E,F,G,〃四點共面;

(2)AC//EG.

三'兩個向量的數(shù)量積

【知識點7】兩個向量的數(shù)量積

L兩個向量的夾角

(1)定義：已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作為=.,而=b,則NZO3叫

做向量。與b的夾角，記作〈°,加.

(2)范圍：〈a,b)e[0,7i].特別地：當〈eb〉=1時，a±b.

2.兩個向量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個非零向量a,b,則同步|cos〈a,b〉叫做小〃的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作

ab.

(2)數(shù)量積的運算律

數(shù)量積的結合律(Aa)b=M(rb)

換律ab=ba

配律(a+byc=ac-\-bc

(3)兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)

,5是非零向量，貝!J〃力=0

與〃同向，則與力=|葉例;若反向，則°6=—⑷?網(wǎng).

地，〃”=同2或同=班^

d'b

為a,6的夾角，則cosd=w

WQ卜網(wǎng)-------------

【類型一】空間向量的數(shù)量積運算

【例1】(1)下列命題是否正確？正確的請給出證明，不正確的給予說明.

?pi-qi=(pq)2-

②:+夕卜口一4|=底一①|(zhì)；

③若a與(。心)十一(。/)力均不為0,則它們垂直.

(2)設。={a,b)=120°,\a\=3,\b\=4,求：

?a-b；?(3?-2/>)-(a+2/l).

【反思】（1）已知a,力的模及。與6的夾角，直接代入數(shù)量積的公式計算.

（2）如果欲求的是關于a與5的多項式形式的數(shù)量積，可以先利用數(shù)量積的運算律將多項式

展開，再利用及數(shù)量積公式進行計算.

【練習1】已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60。，那么3bl等于（）

A.>/7B.^'TOC.gD.4

【例2】已知長方體/BCD—中,AB=AA=2,40=4,E為側面/罵的中心,F

為4與的中點.試計算：

WBC-EDl；Q）加福;^EFFCV

【反思】兩向量的數(shù)量積，其運算結果是數(shù)量，而不是向量.零向量與任意向量的數(shù)量積為

0.向量的數(shù)量積不滿足結合律.

【練習2】已知正四面體ON8C的棱長為1,求：

(1)(04+05)必+曲;

(2)|d^+OB+(9C|.

【類型二】利用數(shù)量積求夾角或模

【例3】已知班J平面/5C,且△42C是48=90。的等腰直角三角形，口4昉乩，口BB￡C

的對角線都分別相互垂直且相等，若4B=a,求異面直線A4,與/C所成的角.

【反思】利用向量求異面直線夾角的方法

【練習3】如圖，在空間四面體。一/5。中，0A=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45°,

ZOAB=60°,求CM與8C所成角的余弦值.

【例4】如圖所示，在平行六面體48cz)—4々C/］中，AB=1,AD=2,AA=3,ZBAD=

90°,ZBAA=ZDAA=60°,求的長.

【感悟】利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離，可以轉化為求向量的模的問題，其基本思路

是先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個已知向量的和的形式，求出這幾個已知

向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式固="一就解即可.

【練習5】如圖，已知線段平面a,BCUa,CDLBC,平面a,且/。CF=30。，

。與N在a的同側，若AB=BC=CD=2,求4,。兩點間的距離.

【類型三】利用空間向量的數(shù)量積解決垂直問題

【例5】如圖，在空間四邊形O/C8中，OB=OC,AB=AC,求證：OA±BC.

【反思】(1)證明線線垂直的方法

證明線線垂直的關鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線

是否垂直.

(2)證明與空間向量a,b,c有關的向量,"，〃垂直的方法

先用向量。，b,c表示向量〃?，n,再判斷向量〃?，”的數(shù)量積是否為0.

【練習6】已知向量a,5滿足：同=2,回=虛，且“與25一a互相垂直，則”與b的夾角

為.

【方法小結】

1.空間向量運算的兩種方法

(1)利用定義:利用.力=|。物cos〈。，b〉并結合運算律進行計算.

(2)利用圖形：計算兩個數(shù)量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點，利用圖形尋找夾角，再

代入數(shù)量積公式進行運算.

2.在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟

(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.

(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.

(3)代入“力=固網(wǎng)cos(a,b〉求解.

【思考】如圖，在正三棱柱N3C—中，底面邊長為虛.

⑴設側棱長為1，求證：4BJ2C］；

TT

(2)設4B］與Be1的夾角為彳求側棱的長.

四、空間向量的直角坐標運算

【知識點8】空間向量的坐標表示

空間直角坐標系及空間向量的坐標

(1)建立空間直角坐標系Oxyz,分別沿x軸，y軸，z軸的正方向引單位向量i,j,k,這

三個互相垂直的單位向量構成空間向量的一個基底億/,k｝,這個基底叫做單位正交基

底.單位向量i,j,4都叫做坐標向量.

(2)空間向量的坐標

在空間直角坐標系中，已知任一向量a,根據(jù)空間向量分解定理，存在唯一實數(shù)組(內(nèi),

4,Q3)，使〃=%?+。2/+。34，"J,Clj,Q3A分別為向量。在"/，4方向上的分向量，有

序?qū)崝?shù)組(Q],a2,%)叫做向量〃在此直角坐標系中的坐標.上式可簡記作4=(0，%,

%),

【例1】如圖，在棱長為1的正方體/BCD—HB'CD'中，E,F,G分別為棱。，

D'C,BC的中點，以｛/，AD,AA1｝為基底，求下列向量的坐標.

(1)AE,AG,AF；

(2)EF,EG,DG.

【反思】用坐標表示空間向量的步驟

【練習1】設正四棱錐S/2尸3尸4的所有棱長均為2,建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求豆1，

掙3的坐標.

【知識點9】空間向量的坐標運算

空間向量a,b,其坐標形式為“=(4,。2，%)，b=(byb2,bp.

向量運算向量表示坐標表示

加法a+b他+4，&+4,4+%）

減法a-b（Q]-4，%—%,%—b）

數(shù)乘XaG&,徑，陽)

數(shù)量積ab旦也+a2+%四

【例2】已知。=(1,-2,1),a—6=(—1,2,-1),則等于()

A.(2,-4,2)B.(-2,4.-2)

C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)

【反思】關于空間向量坐標運算的兩類問題

⑴直接計算問題

首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算.

(2)由條件求向量或點的坐標

首先把向量坐標形式設出來，然后通過建立方程組，解方程求出其坐標.

【練習2】若向量a=(l,l,x),6=(1,2,1),c=(l,l,l),且滿足條件(c—a>(2?=—2,則x=

【知識點10］空間向量的平行、垂直及模、夾角

設〃=(%,a?，%)，b=(b]，bj,則

滿足條件

名稱

向量表示形式坐標表示形式

a//bu=Xb(X￡R)

a-Lbab=0旬&_+-也+%%=0

模\tt\=y[aa同=4能+歿+毀

cos〈*b)=蓋“.A\—+%”+—儲

夾角cos\(tfb)I----------/

強+。利餌+%+"

【例3】已知空間三點4一2