2023年江蘇中考數(shù)學(xué)大題專練：以三角形為載體的幾何壓軸問題（模擬30題）原卷版

專題21以三角形為載體的幾何壓軸問題（最新模擬30題）

一、解答題

1.（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）

（1）［基礎(chǔ)鞏固］如圖①，在三角形紙片ABC中，AACB=90°,將△4BC折疊，使點(diǎn)2與點(diǎn)C重合，折痕為

MN,則與的數(shù)量關(guān)系為；

（2）［思維提高］如圖②，在三角形紙片ABC中，AC=BC=6,AB=10,將△ABC折疊，使點(diǎn)2與點(diǎn)C重合,

折痕為九W,求需的值；

DM

（3）［拓展延伸］如圖③，在三角形紙片4BC中，AB=9,BC=6,N4CB=2乙4,將△4BC沿過頂點(diǎn)C的直

線折疊，使點(diǎn)8落在邊/C上的點(diǎn)/處，折痕為CM.求線段/C的長；

2.（2023春?江蘇蘇州?九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在RtAABC中，ABAC=90°

,AB=AC,M是/C邊上的一點(diǎn)，連接作APIBM于點(diǎn)尸，過點(diǎn)C作NC的垂線交4P的延長線于點(diǎn)

E.

圖1

(1)如圖1,求證：AM=CE-,

(2)如圖2,以AM,BM為鄰邊作UMMBG,連接G￡交8C于點(diǎn)N,連接NN,求黑的值;

（3）如圖3,若河是/C的中點(diǎn)，以為鄰邊作口力GMB,連接GE交BC于點(diǎn)連接NN,經(jīng)探究

發(fā)現(xiàn)辭請(qǐng)直接寫出器的值.

DCoAN

3.（2023?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在RtAASC中，zC=90°,BC=3,NC=4,點(diǎn)尸，。都是斜邊N8

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)。從/向2運(yùn)動(dòng)，BP=AQ.點(diǎn)、D,E分別是點(diǎn)/,B

以。，P為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)，于。，交/C于點(diǎn)〃，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)頂點(diǎn)/時(shí)，P,。同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),

設(shè)AP的長為x,的面積為八

（1）求證：LDHQs/^ABC；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，為等腰三角形?

備用圖

4.（2023春?江蘇南通?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,△力BC中，AB=AC,zXBC>45°,△BCD是以8c為

斜邊的等腰直角三角形.

⑴求乙4DB的度數(shù)；

⑵將繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到NG,連接8G,GD,GC.

①若4D=4,tan/CGD=，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，并求CD的長；

②過點(diǎn)C作CF1BG,垂足為R請(qǐng)寫出如，F(xiàn)B,R?之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

5.（2023?江蘇揚(yáng)州?校考一模）如圖1,R/448C中，4=90。，々=45。，NC的角平分線交邊N8于。點(diǎn),

BD=&,

(1)請(qǐng)求出NC的長；

(2)如圖2,E為CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AELEF,ACVCF,￡尸交/C于G點(diǎn)，連接NR當(dāng)E點(diǎn)在CD間運(yùn)動(dòng)時(shí),

請(qǐng)判斷案的值是否為一個(gè)定值，如果是請(qǐng)求出具體的值，不是，請(qǐng)說明理由；

(3)在(2)的條件下，若AE=EC,請(qǐng)求出aEGC的面積.

6.(2023春?江蘇南通?九年級(jí)專題練習(xí))旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，往往

可以通過旋轉(zhuǎn)解決問題.如圖①，在四邊形48CD中，AD=CD,zXBC=120°,zXDC=60°,AB=2,

BC=1.

【問題提出】

(1)如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上連接由于4D=CD,所以可將△DCB繞點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到

△DAB',則△的形狀是；

【嘗試解決】

⑵在(1)的條件下，求四邊形48CD的面積；

【類比應(yīng)用】

(3)如圖③，等邊△ABC的邊長為2,△8DC是頂角120。的等腰三角形，以。為頂點(diǎn)作一個(gè)60。的

角，角的兩邊分別交于點(diǎn)交NC于點(diǎn)N,連接MN,求△2MN的周長.

7.(2023春?江蘇南通?九年級(jí)專題練習(xí))(1)如圖1,在四邊形ZBCD中，NB=NC=90。，點(diǎn)￡是邊BC上

一點(diǎn)，AB=EC,BE=CD,連接2E、DE.判斷△4ED的形狀，并說明理由；

(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)2(0,1),點(diǎn)C是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段乙4繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)90。至線段CB,連接80、BA,

①求8點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡解析式

②80+B4的最小值是.

8.(2023?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在等腰直角△4BC中，乙4c2=90。，AC=BC,CD是中線，一個(gè)

以點(diǎn)。為頂點(diǎn)的45。角繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與NC、8c的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)￡、F,DF

與NC交于點(diǎn)M,DE與BC交于點(diǎn)、N.

圖1圖2

(1)如圖1,若CE=CF,求證：DE=DF.

(2)在乙ED尸繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)過程中：

①如圖2,求證：CD2=CE-CF-,

②若CE=6,CF=3,求DN的長.

9.(2023春?江蘇南京?九年級(jí)南京市竹山中學(xué)?？茧A段練習(xí))(1)［初步嘗試］如圖①，在三角形紙片4BC

中，A4C5=90°,將△/8C折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)C重合，折痕為則與2/的數(shù)量關(guān)系為；

(2)［思考說理］如圖②，在三角形紙片N8C中，AC=BC=6,AB=IO,將418。折疊，使點(diǎn)2與點(diǎn)C重

合，折痕為求等的值；

(3)［拓展延伸］如圖③，在三角形紙片48c中，AB=9,BC=6,UCB=2U,將A48C沿過頂點(diǎn)C的直

線折疊，使點(diǎn)8落在邊/C上的點(diǎn)方處，折痕為CM.

①求線段/C的長；

②若點(diǎn)。是邊NC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段。夕上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將“尸"沿尸加■折疊得到△4PM,點(diǎn)/的對(duì)應(yīng)

PP

點(diǎn)為點(diǎn)4,AM與CP交于點(diǎn)F,求研的取值范圍.

c

圖①圖②圖③

10.(2023秋?江蘇連云港?九年級(jí)統(tǒng)考期中)定義能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小

覆蓋圓.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，線段4B=3,則線段A8的最小覆蓋圓的半徑為；

(2)如圖②，RtZXABC中，Z/1=90°,AB=47,4C=3尤，請(qǐng)用尺規(guī)作圖，作出Rt△4BC的最小覆蓋圓(保

留作圖痕跡，不寫作法).此最小覆蓋圓的半徑為;

(3)如圖③，矩形4BCD中，AB=3,BC=5,則矩形ABC。的最小覆蓋圓的半徑為；若用兩個(gè)等

圓完全覆蓋該矩形4BCD,那么這兩個(gè)等圓的最小半徑為.

11.(2023秋?江蘇泰州?九年級(jí)校聯(lián)考期末)如圖1,在等邊△ABC中，點(diǎn)D,E分別在48,BC上，且

BD=CE,連接CD,AE交于點(diǎn)M,將4E繞著點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到力尸，連接EF.

AA

BECBEC

圖1圖2

⑴①乙4EF=_______°.

②求證：EFWCD.

(2)如圖2,連接DE,^DEWAC,求證：DE2=DM-DC.

12.(2023秋?江蘇泰州?九年級(jí)?？计谀?已知：在正方形力BCD中，點(diǎn)、E、F分別是CB、CD延長線上的點(diǎn),

且BE=DF,連接AF.DE、OE交2B于點(diǎn)M.

（1）如圖1,當(dāng)E、4、F在一直線上時(shí)，求證：點(diǎn)M為ED中點(diǎn)；

（2）如圖2,當(dāng)力FIIED,求證：AM2^AB-BM.

13.（2023春?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）【模型建立】（1）如圖1,在等邊△ABC中，點(diǎn)。、￡分別在BC、2C

邊上，^ADE=60°,求證：AB-CE=BD-DC；

【模型應(yīng)用】（2）如圖2,在Rt^ABC中，^BAC=90°,zB=60°,AD1BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AC邊上,

4E=AD,點(diǎn)尸在DC邊上，/.EFD=60°,則俞的值為；

【模型拓展】（3）如圖3,在鈍角△ABC中，乙4BC=60°,點(diǎn)、D、E分別在BC、4C邊上，

ADAE=AADE=60°,若AB=5,CE=6,求DC的長.

14.（2023秋?江蘇泰州?九年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中?？计谀?）如圖1,。、E為等邊△4BC中8C

邊所在直線上兩點(diǎn)，ACME=120。，求證：

（2）△ADE中，ND4E=120。，請(qǐng)用不含刻度的直尺和圓規(guī)在DE上求作兩點(diǎn)B、C,點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，使

得△ABC為等邊三角形；

（3）在（1）的條件下，”為BC邊上一點(diǎn)，過H作HFII4D交2B延長線于點(diǎn)F,HGII4E交2C延長線于點(diǎn)G,若

AB=6,BD=a,^HAE=60°,求裝的值.（用含有a的代數(shù)式表示）

15.（2023?江蘇泰州?九年級(jí)?？计谀┤鐖D1,在等邊△ABC中，點(diǎn)D,E分別在ZB,BC上,且

BD=CE,連接CD,2E交于點(diǎn)跖將/￡繞著點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到4/，連接EF.

圖1圖2

⑴①N4EF=°；

②求證：EF||CD.

（2）如圖2,連接。E,^DE||AC,求證：DE2DM-DC.

16.（2023?安徽阜陽?一模）如圖，在RtaABC中，N4BC=90。，AB=BC,0是線段4B上的一點(diǎn)，連接

CD,過點(diǎn)B作BG1CD,分別交CD,C4于點(diǎn)E,F,與過點(diǎn)/且垂直于力B的直線相交于點(diǎn)G,連接DF

⑵若。是力B的中點(diǎn)，求箸的值.

⑶若登=3求瓷的值。

17.（2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1,在△4BC中，AB^AC,。為2c邊上一點(diǎn)，BD=2DC,E為線

段4D上一點(diǎn)，/.BED=ABAC.

(1)求證：Z-ABE=Z.CAD；

⑵過點(diǎn)C作CFIIBE交AD的延長線于點(diǎn)F,試探索力E與CF的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖2,若AD=BD,AB=6,求CE的長.

18.(2023?全國?九年級(jí)專題練習(xí))已知：在△ABC中，乙DBC=4ACB,BC=2AC,BD=BC,CD交線段

AB于點(diǎn)E.

D

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)乙4cB=90。時(shí)，求證：DE=2CE；

(2)當(dāng)NACB=120。時(shí)，

①如圖2,猜想線段。E、CE之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想；

②如圖3,點(diǎn)尸是BC邊的中點(diǎn)，連接DF,DF與交于G,求票的值.

19.(2023?浙江?模擬預(yù)測(cè))【閱讀材料】如圖①，四邊形/BCD中，AB=AD,NB+4。=180。，點(diǎn)￡,

廠分別在BC,CD上，若=求證：EF=BE+DF.

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形力BCD.己知CD=CB=100m,

ND=60。，=120°,Z.BCD=150°,道路AD,48上分別有景點(diǎn)M,N,且。M=100m,BN=50

(V3-l)m,若在M,N之間修一條直路，則路線M—N的長比路線N—N的長少幾m?(結(jié)果取整數(shù),

參考數(shù)據(jù)：V3?1.7)

圖①圖②

20.(2023春?吉林長春?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))如圖，在RtAABC中，NC=90。，4B=8,4C=6,D是邊AB

的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ14C于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P

不與點(diǎn)4D、B重合時(shí)，以PD、PQ為鄰邊作CJPDEQ,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

0E

(1)用含有t的代數(shù)式表示線段DE的長.

(2)當(dāng)點(diǎn)E到點(diǎn)4、D的距離相等時(shí)，求DE的長.

⑶當(dāng)口PDEQ的某條對(duì)角線與邊力8垂直時(shí)，求f的值.

(4)作點(diǎn)P關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)P,連結(jié)PQ,當(dāng)NPQP=N4時(shí)，直接寫出t的值.

21.(2023?河南駐馬店?統(tǒng)考一模)已知：△ABC和△4DE是兩個(gè)不全等的等腰直角三角形，其中

BA=BC,DA-DE,連接EC,取EC的中點(diǎn)連接BM和DM.

⑴如圖1,分別取AC和4E的中點(diǎn)G、H,連接8G、MG、MH、DH,那么B。和BM的數(shù)量關(guān)系是.

(2)將圖1中的△ABC繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.

⑶已知正方形2BCP的邊長為2,正方形4DEQ的邊長為10,現(xiàn)將正方形4BCP繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在整個(gè)旋

轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出BD的長.

22.(2023?山東泰安?寧陽二中校考一模)己知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)。在邊BC上.

圖1圖2圖3

【基本圖形】如圖1,以4D為一邊作等邊三角形△4DE,連結(jié)CE.可得CE+CD=4C(不需證明).

【遷移運(yùn)用】如圖2,點(diǎn)尸是4C邊上一點(diǎn)，以DF為一邊作等邊三角△DEF.求證：CE+CD=CF.

【類比探究】如圖3,點(diǎn)F是4C邊的延長線上一點(diǎn)，以DF為一邊作等邊三角△DEF.試探究線段CE,CD,

CF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說明理由.

23.(2023?浙江金華?統(tǒng)考一模)如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)尸是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，連

結(jié)AP,在4P的右邊作交射線BC于點(diǎn)0.

(1)當(dāng)BP=1時(shí)，求點(diǎn)尸至必B的距離.

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記BP=x,CQ=y,求＞關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍.

(3)在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，不再連結(jié)其他線段，當(dāng)圖中存在某個(gè)角為45。時(shí)，求BQ的長，并指出相應(yīng)的45。

角.

24.(2023?黑龍江綏化?校聯(lián)考一模)已知菱形中，^BAD=120°,點(diǎn)、E、尸分別在AB,8c上，

BE=CF,”與CE交于點(diǎn)P.

(1)求證：NAPE=60。；

(2)當(dāng)PC=1,P4=5時(shí)，求PD的長？

(3)當(dāng)4B=2值時(shí)，求PD的最大值？

25.(2023春?江蘇南京?九年級(jí)南京外國語學(xué)校仙林分校校考階段練習(xí))(1)如圖1,將直角的頂點(diǎn)E放

在正方形4BCD的對(duì)角線2C上，使角的一邊交CD于點(diǎn)凡另一邊交CB或其延長線于點(diǎn)G,求證：EF=EG；

⑵如圖2,將(1)中的“正方形力BCD”改成“矩形4BCD”，其他條件不變.若AB=m,BC=n,試求等

的值;

(3)如圖3,將直角頂點(diǎn)￡放在矩形力BCD的對(duì)角線交點(diǎn)，EF、EG分另lj交與CB于點(diǎn)F、G,且EC平分

乙FEG.若力B=2,BC=4,求EG、EF的長.

26.(2023?河南安陽?統(tǒng)考一模)九年級(jí)一班同學(xué)在數(shù)學(xué)老師的指導(dǎo)下，以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開

展數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

圖1圖2圖3

⑴操作探究：如圖1,△O4B為等腰三角形，。4=。8,乙4OB=6。。，將△CMB繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。，得到

△ODE,連接2E,尸是/￡的中點(diǎn)，連接。F,則NB4E=°,OF與DE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)遷移探究：如圖2,(1)中的其他條件不變，當(dāng)△OAB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)。正好落在N40B的角平

分線上，得到△ODE,求出此時(shí)NB4E的度數(shù)及。F與DE的數(shù)量關(guān)系；

(3)拓展應(yīng)用：如圖3,在等腰三角形△04B中，04=0B=4,zXOB=90°.將△。力B繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，得到

△ODE,連接4E,尸是4E的中點(diǎn)，連接OF.當(dāng)NR48=15。時(shí)，請(qǐng)直接寫出。F的長.

27.(2023?北京海淀?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在△4BC中，乙4cB=90。，AC=BC=4,將線段C4繞點(diǎn)C逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)a角得到線段CD,連接4D,過點(diǎn)C作CE14D于點(diǎn)E,連接BD交C4CE于點(diǎn)F,G.

(1)當(dāng)a=60。時(shí)，如圖1,依題意補(bǔ)全圖形，直接寫出NBGC的大??；

(2)當(dāng)aK60。時(shí)，如圖2,試判斷線段BG與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)若尸為4C的中點(diǎn)，直接寫出4D的長.

28.(2023?福建福州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖甲，在△4BC中.AACB=90°.AC=4.BC=3.如果點(diǎn)尸由

點(diǎn)2出發(fā)沿B4方向向點(diǎn)