2025年仁愛科普版高一數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年仁愛科普版高一數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、設(shè)若則實(shí)數(shù)的范圍是().A.B.C.D.2、【題文】當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象是。

Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.3、y=sinx﹣|sinx|的值域是（）A.[﹣1，0]B.[0，1]C.[﹣1，1]D.[﹣2，0]4、已知函數(shù)的部分圖像；則函數(shù)的解析式（）

A.B.C.D.5、在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax+1與y=a|x-1|（a＞0且a≠1）的圖象可能是（）A.B.C.D.6、已知向量=（1，3），=（3，x），若⊥則實(shí)數(shù)x的值為（）A.9B.-9C.1D.-1評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)7、黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案：

則第n個(gè)圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是____．8、函數(shù)的最大值為________.9、【題文】已知集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，6，8，10}，則M∩N＝____10、【題文】已知?jiǎng)t不等式的解集________________．11、與-2014°終邊相同的最小正角是______．12、已知角α終邊上一點(diǎn)P（-12，5），則cosα=______．13、已知=（a，-2），=（1，2-a），且∥則a=______．評卷人得分三、解答題(共8題，共16分)14、如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E,F，G分別是PC,PD,BC的中點(diǎn)．(1)求三棱錐E-CGF的體積；(2)求證：平面PAB//平面EFG；15、（本小題10分）已知方程的曲線是圓C（1）求的取值范圍;（2）當(dāng)時(shí),求圓C截直線所得弦長;16、某小區(qū)要建一個(gè)面積為500平方米的矩形綠地，四周有小路，綠地長邊外路寬5米，短邊外路寬9米，怎樣設(shè)計(jì)綠地的長與寬，使綠地和小路所占的總面積最小，并求出最小值。17、（本題10分）有甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是P和Q（萬元），它們與投入的資金（萬元）的關(guān)系滿足公式P=Q=現(xiàn)將3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，設(shè)投入乙的資金為x萬元，獲得的總利潤為y（萬元）（1）用x表示y,并指出函數(shù)的定義城（2）當(dāng)x為何值時(shí),y有最大值,并求出這個(gè)最大值18、（滿分15分）設(shè)函數(shù)（1）請畫出函數(shù)的大致圖像；（2）若不等式對于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19、【題文】如圖，平面平面四邊形為矩形，．為的中點(diǎn)，（1）求證：（2）若與平面所成的角為求二面角的余弦值.

20、已知點(diǎn)M（x0，y0）在圓C：x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N（4，0），點(diǎn)P（x，y）為線段MN的中點(diǎn)；

（Ⅰ）求點(diǎn)P（x；y）的軌跡方程；

（Ⅱ）求點(diǎn)P（x，y）到直線3x+4y-26=0的距離的最大值和最小值．21、設(shè)函數(shù)f(x)=2x2鈭?1x2

(I)

判斷函數(shù)f(x)

的奇偶性并證明；

(II)

用定義證明函數(shù)f(x)

在(0,+隆脼)

上為增函數(shù)．評卷人得分四、證明題(共4題，共16分)22、已知D是銳角△ABC外接圓劣弧的中點(diǎn)；弦AD與邊BC相交于點(diǎn)E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．23、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點(diǎn)，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．24、初中我們學(xué)過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時(shí)也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計(jì)一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．25、求證：（1）周長為21的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（2）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個(gè)半徑為的圓紙片所覆蓋．評卷人得分五、作圖題(共3題，共24分)26、作出函數(shù)y=的圖象．27、請畫出如圖幾何體的三視圖．

28、已知簡單組合體如圖；試畫出它的三視圖（尺寸不做嚴(yán)格要求）

評卷人得分六、綜合題(共1題，共2分)29、已知拋物線y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求證：拋物線的頂點(diǎn)必在x軸的下方；

（2）設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊），過A、B兩點(diǎn)的圓M與y軸相切，且點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為；求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點(diǎn)為P，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，求△CPA的面積．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、D【分析】試題分析：由令函數(shù)圖象開口向上.因?yàn)樗越獾霉蔬xD.考點(diǎn)：不等式，零點(diǎn)的概念.【解析】【答案】D2、D【分析】【解析】

試題分析：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)在定義域內(nèi)遞增；

與的在定義域內(nèi)遞減；可知其圖象是排除C,B,在選項(xiàng)A,D中，由于選項(xiàng)A中指數(shù)函數(shù)遞減，不符合題意，舍去，故選D.

考點(diǎn)：函數(shù)圖像。

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是利用解析式分析單調(diào)性以及函數(shù)過特殊點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題?！窘馕觥俊敬鸢浮緿3、D【分析】【解答】解：y=sinx+|sinx|

①當(dāng)x∈[2kπ；2kπ+π]（k∈Z）時(shí)，0≤sinx≤1

此時(shí)；y=sinx+|sinx|=sinx﹣sinx=0

②當(dāng)x∈（2kπ+π；2kπ+2π）（k∈Z）時(shí)，﹣1≤sinx＜0

此時(shí)；y=sinx﹣|sinx|=sinx+sinx=2sinx

此時(shí)y∈[﹣2；0）

綜上；y∈[﹣2，0]．

故選D．

【分析】根據(jù)x的取值范圍寫出分段函數(shù)，然后利用正弦函數(shù)的值域求解．4、B【分析】【解答】觀察圖像可知圖像過點(diǎn)代入選項(xiàng)驗(yàn)證可得B正確。

【分析】利用圖像中的特殊值帶入驗(yàn)證較簡單5、C【分析】解：當(dāng)a＞1時(shí)，直線y=ax+1的斜率大于1，函數(shù)y=a|x-1|（a＞0且a≠1）在（1；+∞）上是增函數(shù)，選項(xiàng)C滿足條件．

當(dāng)1＞a＞0時(shí)，直線y=ax+1的斜率大于0且小于1，函數(shù)y=a|x-1|（a＞0且a≠1）在（1；+∞）上是減函數(shù)，沒有選項(xiàng)滿足條件．

故選C．

當(dāng)a＞1時(shí)，直線y=ax+1的斜率大于1，函數(shù)y=a|x-1|（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)1＞a＞0時(shí)，直線y=ax+1的斜率大于0且小于1，函數(shù)y=a|x-1|（a＞0且a≠1）在。

（1；+∞）上是減函數(shù)，結(jié)合圖象得出結(jié)論．

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)圖象的特征，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．【解析】【答案】C6、D【分析】解：∵向量=（1，3），=（3，x），⊥

∴=1×3+3x=0；解得x=-1

故選：D

由斜率垂直可得數(shù)量積為0；解方程可得x值．

本題考查向量的數(shù)量積和垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．【解析】【答案】D二、填空題(共7題，共14分)7、略

【分析】

每增加1個(gè)圖形；就增加4塊白色地磚；

即：6；6+4，6+2×4，

是一個(gè)首項(xiàng)為6；公差為4的等差數(shù)列．

它們的第n項(xiàng)為：4n+2．

故答案為：4n+2．

【解析】【答案】通過觀察前幾個(gè)圖形中正六邊形地面磚的個(gè)數(shù)得；每一個(gè)圖形中的正六邊形地面磚個(gè)數(shù)都可以看成是一個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可解決問題．

8、略

【分析】試題分析：【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

試題分析：集合的交集是由兩個(gè)集合的公共元素組成的．

考點(diǎn)：集合的交集．【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】解：∵-2014°=-6×360°+146°；

∴146°與-2014°終邊相同；又終邊相同的兩個(gè)角相差360°的整數(shù)倍；

∴在[0°；360°）上，只有146°與-2014°終邊相同；

∴與-2014°終邊相同的最小正角是146°；

故答案為：146°．

先化簡-2014°為360°的整數(shù)倍加上一個(gè)[0°；360°）的角，再說明在[0°，360°）上，只有146°與-2014°終邊相同．

本題考查終邊相同的角的概念，終邊相同的兩個(gè)角相差360°的整數(shù)倍．【解析】146°12、略

【分析】解：∵角α終邊上一點(diǎn)P（-12，5），∴x=-12，y=5，r=13；

∴cosα==-．

故答案為：-．

由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義；求得cosα的值．

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．【解析】-13、略

【分析】解：∵∥

∴-2-a（2-a）=0；

化為a2-2a-2=0；

解得=1

故答案為：．

利用向量共線定理即可得出．

本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【解析】三、解答題(共8題，共16分)14、略

【分析】【解析】試題分析：(1)【解析】

∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC.又∵ABCD為正方形，∴CD⊥BC,∴BC⊥平面PCD即GC⊥平面CEF.∴VE-CGF=VG-CEF=×S△CEF×GC=×(×1×1)×1=．3分(2)證明：E,F分別是線段PC,PD的中點(diǎn)，∴EF//CD.又ABCD為正方形，AB//CD，∴EF//AB.又EF平面PAB，∴EF//平面PAB．∵E,G分別是線段PC,BC的中點(diǎn)，∴EG//PB.又EG平面PAB，∴EG//平面PAB．∵EF∩EG=E,∴平面PAB//平面EFG．6分(3)Q為線段PB中點(diǎn)時(shí)，PC⊥平面ADQ．取PB中點(diǎn)Q，連接DE,EQ,AQ，∵EQ//BC//AD，∴ADEQ為平面四邊形，由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，又AD⊥CD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC，又三角形PDC為等腰直角三角形，E為斜邊中點(diǎn)，∴DE⊥PC.∵AD∩DE=D，∴PC⊥平面ADQ．10分考點(diǎn)：線面平行，體積【解析】【答案】（1）（2）對于面面平行的證明，一般要根據(jù)判定定理來得到，先證明EG//平面PAB．來說民結(jié)論。15、略

【分析】試題分析：（1）先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，要表示圓，所以（2）直線與圓轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，利用直角三角形求出弦長。試題解析：（1）所以

解得

（2）設(shè)時(shí)，圓心半徑

圓心到直線的距離為

圓C截直線所得弦長為

考點(diǎn)：圓的方程，與圓有關(guān)的弦長【解析】【答案】（1）或（2）16、略

【分析】當(dāng)用均值定理解題時(shí)一定注意等號取到的條件，當(dāng)且僅當(dāng)以及實(shí)際意義?！窘馕觥?/p>

設(shè)綠地長邊為米，寬為米。2分總面積8分當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，上式取等號。10分所以，綠地的長為30米，寬為米時(shí)，綠地和小路所占的總面積最小，最小值為1280平方米?！窘馕觥俊敬鸢浮烤G地的長為30米，寬為米時(shí)，綠地和小路所占的總面積最小，最小值為1280平方米。17、略

【分析】（1）（2）當(dāng)萬元時(shí)有最大利潤萬元?！窘馕觥俊敬鸢浮?8、略

【分析】（1）∵:][則函數(shù)的圖像如圖所示；5分（2）7分對于任意恒成立.令則（）9分對稱軸則當(dāng)時(shí)，13分所以即可.15分【解析】【答案】（1）（2）19、略

【分析】【解析】

試題分析：（1）本小題證明的是線線垂直，把問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直（線面垂直線線垂直），即證平面從而有（2）本小題可從傳統(tǒng)幾何方法及空間向量方法入手，法一：先證為等邊三角形，取的中點(diǎn)連結(jié)可證得為二面角的平面角，在三角形FMP中用余弦定理的推論完成求值；法二：利用空間向量解決面面角問題，只需找到這兩個(gè)面的法向量利用公式完成計(jì)算即可；但要注意本題面面角為鈍二面角.

試題解析：（1）證明：連結(jié)因是的中點(diǎn)，故．又因平面平面故平面于是．又所以平面所以又因故平面所以．

（2）解法一：由（1），得．不妨設(shè)．因?yàn)橹本€與平面所成的角，故所以為等邊三角形．設(shè)則分別為的中點(diǎn)，也是等邊三角形．取的中點(diǎn)連結(jié)則所以為二面角的平面角．在中，故即二面角的余弦值為．

解法二：取的中點(diǎn)以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)則從而

設(shè)平面的法向量為由得可取．同理，可取平面的一個(gè)法向量為．于是易見二面角的平面角與互補(bǔ)，所以二面角的余弦值為．

考點(diǎn)：證明線線垂直問題（線面垂直線線垂直），求二面角的余弦值（可用尋找其二面角的平面角，也可用空間向量知識完成）.【解析】【答案】（1）證明見解析；（2）20、略

【分析】

（Ⅰ）用x和y表示出M的坐標(biāo)代入圓的方程即可求得P的軌跡方程．

（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線的距離求得圓心到直線的距離；進(jìn)而利用圓心到直線的距離加或減半徑即可求得最大和最小值．

本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用．解決直線與圓的方程問題，一般是看圓心到直線的距離，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決．【解析】解：（Ⅰ）∵點(diǎn)P（x；y）是MN的中點(diǎn)；

∴x0=2x-4，y0=2y；

將用x，y表示的x0，y0代入到x02+y02=4中得（x-2）2+y2=1．

此式即為所求軌跡方程．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知點(diǎn)P的軌跡是以Q（2；0）為圓心，以1為半徑的圓．

點(diǎn)Q到直線3x+4y-26=0的距離d==4．

故點(diǎn)P到直線3x+4y-26=0的距離的最大值為4+1=5，最小值為4-1=3．21、略

【分析】

(

Ⅰ)

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明即可．

(

Ⅱ)

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．【解析】解：(

Ⅰ)

函數(shù)f(x)=2x2鈭?1x2

是偶函數(shù)．

證明如下：函數(shù)定義域?yàn)?鈭?隆脼,0)隆脠(0,+隆脼)

定義域關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；

隆脽f(鈭?x)=2(鈭?x)2鈭?1(鈭?x)2=2x2鈭?1x2=f(x)隆脿

函數(shù)f(x)

為偶函數(shù)．

(

Ⅱ)

設(shè)x1x2

為(0,+隆脼)

上任意兩個(gè)自變量，且x1<x2

f(x1)鈭?f(x2)=(2x12鈭?1x12)鈭?(2x22鈭?1x22)

=2(x12鈭?x22)+x12鈭?x22x12x22=(x12鈭?x22)(2+1x12x22)=(x1鈭?x2)(x1+x2)(2+1x12x22)

隆脽x1x2

為(0,+隆脼)

上任意兩個(gè)自變量，且x1<x2

隆脿x1+x2>0x1鈭?x2<0

隆脿(x1鈭?x2)(x1+x2)(2+1x12x22)<0

隆脿f(x1)鈭?f(x2)<0

即f(x1)<f(x2)

隆脿

函數(shù)f(x)

在(0,+隆脼)

上為增函數(shù)．四、證明題(共4題，共16分)22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AF=CF，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出即可；

（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F為AC中點(diǎn)；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF過圓心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．23、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據(jù)三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結(jié)論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．24、略

【分析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．25、略

【分析】【分析】（1）關(guān)鍵在于圓心位置；考慮到平行四邊形是中心對稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對角線交點(diǎn)疊合．

（2）“曲“化“直“．對比（1），應(yīng)取均分線圈的二點(diǎn)連線段中點(diǎn)作為覆蓋圓圓心．【解析】【解答】

證明：（1）如圖1；設(shè)ABCD的周長為2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P為周界上任意一點(diǎn)，不妨設(shè)在AB上；

則∠1≤∠2≤∠3，有OP≤O