初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-9年級(jí)專(zhuān)題29方程思想

專(zhuān)題29方程思想閱讀與思考 所謂方程思想就是從問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)或者構(gòu)造等量關(guān)系，恰當(dāng)引入未知量，尋找已知量與未知量的等量關(guān)系，列方程或方程組，通過(guò)解方程或方程組而使問(wèn)題獲解的解題方法.應(yīng)用方程思想解決問(wèn)題的常見(jiàn)途徑有：1．引入字母，把代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程或方程組問(wèn)題來(lái)解；2．突出主元，把等式看作是其中某個(gè)字母的方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程或方程組問(wèn)題來(lái)探討；3．構(gòu)造一元二次方程，利用求根公式、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，求解代數(shù)式的相關(guān)問(wèn)題；4．列方程、方程組解應(yīng)用題；5．通過(guò)列方程或方程組解幾何計(jì)算題，把幾何問(wèn)題代數(shù)化．17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾曾有過(guò)一個(gè)偉大的設(shè)想：把所有問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題方程問(wèn)題．雖然笛卡爾的理想在他的一生中未能實(shí)現(xiàn)，但隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，人們已經(jīng)越來(lái)越體驗(yàn)到方程思想的重要性．構(gòu)造一元二次方程是方程思想解題最重要的途徑，在代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、求字母取值范圍、探求最值等方面有廣泛的應(yīng)用．常用的構(gòu)造方法有：①用根的定義構(gòu)造；②用韋達(dá)定理的逆定理構(gòu)造；③對(duì)于含有多個(gè)字母的變?cè)仁絾?wèn)題，把等式整理為關(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程.例題與求解【例1】已知：，，，是四個(gè)不同的有理數(shù)，且（a＋c）(a＋d)＝1，(b＋c)(b＋d)＝1，那么(a十c)(b＋c)的值是_______________．（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：本例內(nèi)容新穎，構(gòu)思巧妙，解題思路寬廣，或用特殊值代入試算、或從變形已知等式入手.仔細(xì)觀察已知兩個(gè)等式特點(diǎn)，，可看作是方程(x＋c)(x＋d)＝1的兩根，利用方程思想揭示題設(shè)條件與結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律．【例2】化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A． B． C． D．2（武漢市選拔賽試題）解題思路：設(shè)＝，將二次根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程.【例3】已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的值為()A.7 B．C．D．5（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：本題可以構(gòu)造一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系——韋達(dá)定理解決.【例4】已知，，，求的值．（“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”天津競(jìng)賽試題）解題思路：要求的代數(shù)式中含三個(gè)字母，正好與已知的三個(gè)等式中含的三個(gè)字母相同，所以可以將已知的三個(gè)等式組成二元二次方程組，求出這些未知數(shù)的值．本例已知的三個(gè)等式中含的三個(gè)字母相同，結(jié)構(gòu)相同，排列位置循環(huán)轉(zhuǎn)，根據(jù)這些特點(diǎn)可構(gòu)造二次方程求解，這也是解決這類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)方法.【例5】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．點(diǎn)P，Q都是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從B向A運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)Q從A向B運(yùn)動(dòng)，BP＝AQ.點(diǎn)E，D分別是點(diǎn)A，B以Q，P為對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，HQ⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)頂點(diǎn)B時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)BP長(zhǎng)為何值時(shí)，△HDE為等腰三角形？（臺(tái)州市中考試題改編）解題思路：本題可結(jié)合圖形，從幾何知識(shí)中找等量關(guān)系列方程．利用方程思想解幾何題，通常是對(duì)某幾何量進(jìn)行合理設(shè)元，根據(jù)幾何性質(zhì)正確列出方程、方程組，然后化歸為解方程、方程組的有關(guān)問(wèn)題．著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)：“為了使問(wèn)題的概念完整，更富于啟發(fā)性，更為人所熟悉，我們可以引入輔助元素”通過(guò)引入輔助元素，有利于各知識(shí)領(lǐng)域之間的橫向過(guò)渡，有利于轉(zhuǎn)化問(wèn)題．解決間題．引入輔助元素的常見(jiàn)形式有：①引入?yún)?shù)；②引入輔助方程；③引入輔助函數(shù)；④引入輔助配對(duì)代數(shù)式；⑤恰當(dāng)作輔助線；⑥引入輔助命題．【例6】周長(zhǎng)為6，面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，請(qǐng)給出證明；若存在，請(qǐng)證明有幾個(gè)．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：設(shè)直角三角形的斜邊為c，直角邊分別為a，b，面積為s．由題設(shè)條件及幾何知識(shí)可得到關(guān)于以a，b，c，s的方程組，這樣，符合條件的直角三角形是否存在的探討就轉(zhuǎn)化方程組是否有解的討論．能力訓(xùn)練1．設(shè)，則＝_____________.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）2．一個(gè)讀書(shū)小組有六位同學(xué)，分別姓趙、錢(qián)、孫、李、周、吳，這個(gè)讀書(shū)小組有六本書(shū)，書(shū)名分別是A，B，C，D，E，F(xiàn)．每人至少讀過(guò)其中的一本書(shū)，已知趙、錢(qián)、孫、李、周分別讀過(guò)其中的2，2，4，3，5本書(shū)，而書(shū)A，B，C，D，E分別被小組中的1，4，2，2，2位同學(xué)讀過(guò)，那么，吳姓同學(xué)讀過(guò)____本書(shū)，書(shū)F被小組中__________位同學(xué)讀過(guò)．3．設(shè)，，且，那么k＝__________.（河南省競(jìng)賽試題）4．x，y，z是實(shí)數(shù)，并且滿足，，則的最小值是________．（北京市競(jìng)賽試題）5．如圖，AA'，BB'分別是∠EAB，∠DBC的平分線，若AA'＝BB'＝AB，則∠BAC＝________．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）6．已知，則的值為()A．0 B．4 C．6 D.12某單位一次在快餐店訂了22盒盒飯，共花費(fèi)140元，盒飯共有甲、乙、丙三種，它們的單價(jià)分別為8元、5元、3元，那么可能的不同訂餐方案有()（山東省競(jìng)賽試題）A.1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．已知，都是負(fù)實(shí)數(shù)，且，那么的值為()（江蘇省競(jìng)賽試題）A．B．C.D．9．甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí)，甲25歲，那么()A．甲比乙大5歲B．甲比乙大10歲C．乙比甲大10歲D．乙比甲大5歲（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）10．已知，且，則的值是()（山東省競(jìng)賽試題）A．35 B．36 C．－35 D．－3611．已知，求的取值范圍．（黃岡市競(jìng)賽試題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一點(diǎn).以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，交AC于E、F，交AB于D.若E是的中點(diǎn)，且AE：EF＝3：1，F(xiàn)C＝4，求∠CBF的正弦值及BC的長(zhǎng)．（北京市海淀區(qū)中考試題）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝DC＝1，∠DAB＝∠DCB＝90°，BC，AD的延長(zhǎng)線交于P，求AB·S△ABP的最小值.（四川省競(jìng)賽試題）14.設(shè)a1，a2，b1，b2都為實(shí)數(shù)，a1≠a2，滿足（a1＋b1）（a1＋b2）＝（a2＋b1）(a2＋b2)＝1．求證：（a1＋b1）（a2＋b1）＝（a1＋b2）(a2＋b2)＝－1.（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）15.已知a，b，c都是正整數(shù)，且拋物線與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)A，B．若A，B到原點(diǎn)的距離都小于1，求的最小值．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫坐標(biāo)為整數(shù)，縱坐標(biāo)為完全平方數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為“好點(diǎn)”.求二次函數(shù)的圖象上所有“好點(diǎn)”的坐標(biāo)．（《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯全國(guó)競(jìng)賽試題）17．已知a，b，c為正數(shù)，滿足以①，②．證明：以，，為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形．（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）18.一個(gè)自行車(chē)輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車(chē)行駛5000km后報(bào)廢；若把它安裝在后輪，則自行車(chē)行駛3000km后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎，如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車(chē)的一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車(chē)將能行駛多少km?（全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）19.如圖，AB為半圓⊙O的直徑，動(dòng)點(diǎn)C在半圓上，CD⊥AB于D，⊙O1與內(nèi)切且與AB，CD相切，⊙O2與內(nèi)切且與AB，CD相切，E，F(xiàn)是AB上的兩個(gè)切點(diǎn)，求證：∠ECF＝45°.

專(zhuān)題29方程思想例1.-1提示：a、b是方程的兩個(gè)根，由根的性質(zhì)得，將x=-c代入上式得－1=(－c－a)(－c－b)，即(a+c)(b+c)=－1．例2B例3A提示：解法一：∵，．又y4+y2=3，即（y2)2+y2=3，且，y2≥0，∴，y2是一元二次方程t2+t－3=0的兩個(gè)不等實(shí)根．由韋達(dá)定理，=－1，=－3，=1+6=7．解法二：∵x2>0，y2≥0，由已知條件得，y2=，∴．例4，①，②③．①+②－③得，解得x=;①+③－②得，解得；②+③－①得，解得z=24．∴7x+5y－2z=0．例5分當(dāng)BP≤，<BP<，BP=三種情況討論．當(dāng)BP=時(shí)，HDE為等腰三角形．例6由題意得由①②得2c<a+b+c=6<3c，∴2<c<3⑤．由②有（a+b)2=(6－c)2，將③④代入得3C=9－s，∴有6<3c<9，從而3C=7或3c=8．若3c=7，則s=2，代入②④得a+b=，ab=4，由于此時(shí)方程組無(wú)解，故此情形不可能；若3c=8，則s=1，此時(shí)a+b=，ab=2．解得，而c=，以這三個(gè)數(shù)為邊長(zhǎng)構(gòu)成唯一的直角三角形．能力訓(xùn)練1．－2提示：，∴a2+a=1，=．2．16提示：六位同學(xué)讀過(guò)的書(shū)的總本數(shù)等于六本書(shū)被讀過(guò)的人次總數(shù)．3．∵x－y=2，即x≠y，∴x，y是方程2z2－2z+k=0的兩根，x+y=1，xy=，又x－y=2，∴k=2xy=－．4．4由x+y=－z，xy=知，x，y是方程t2+zt+=0的兩根，由Δ≥0得z≥2，又|x|+|y|=－(x+y)=z≥2．5．設(shè)∠BAC=x，則，，∴+4x+4x=1800，解得x=120．6．B7．C提示：設(shè)該單位訂甲、乙、丙三種盒飯分別有x，y，z盒，則①×8－②得3y+5z=36，5z=36－3y≤36．由此可知z≤7，且3y，36均是3的倍數(shù)知z是3的倍數(shù)．∴z的可能值為0，3，6，相應(yīng)的y的值為12，7，2．∴共有3組解：，，，8．C9．A提示：設(shè)甲現(xiàn)在x歲，乙現(xiàn)在y歲，x>y，則有，10．D提示：由已知得a4+3a2－1=0，，∴a2，是方程x2+3x－1=0的根．又由a2b≠1得a2≠，由根與系數(shù)關(guān)系得a2+=－3，=－1，∴．11．提示：設(shè)，則，(x+y)=，∴x，y是方程的兩個(gè)實(shí)根．由Δ≥0得m，又，．12．sinCBF=，BC=提示：；連結(jié)OE，DF，則OE∥BF，∴AE：EF=AO：OB=3：1，OE：BF=3：4，∴AE=3EF，AO：AB=3：4．設(shè)OB=r，則AO=3r，BF=r，AD=2r．由AE·AF=AD·AB得EF=r．在RtΔABC中，BC2=CF·CE=4（4+EF）=AC2－AB2，解得r=，sin∠CBF=sin∠BDF=．13．設(shè)DP=x，則PC=，AB=．又設(shè)y=AB·SΔABP=，即x2+2(1－y)x+1+2y=0．由Δ≥0得y≥4，故AB·SΔABP的最小值為4．14．由題設(shè)知x1=a1，x2=a2是一元二次方程（x+b1）(x+b2)－1=0的兩根，∴（x+b1）(x+b2)－1=（x1－a1）(x2－a2)．令x=－b1，得（a1+b1）(a2+b1)=－1；令x=－b2，得（a1+b2）(a2+b2)=－1．15．設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，且x1<x2，則x1，x2是方程ax2+bx+c的兩根，∴x1+x2=＜0，x1x2=＞0，則x1＜0，x2＜0.∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴△=b2-4ac＞0，得b＞①.∵，，即-1＜x1＜0，-1＜x2＜0，∴，得c<a②．從而a≥1，故拋物線開(kāi)口向上．旦當(dāng)x=-1時(shí)，y>0．∴，得b<a+c．∵b，a+c是整數(shù)，∴a+c≥b+l③．由①得a+c>+1→>1．由②得>1∵>+1，即a>（+1）2≥（+1）2=4，∴a≥5．又b>2≥2>4，∴b≥5．取a=5，b=5，c=1時(shí)．拋物線y=5x2+5x+l滿足題設(shè)條件，故a+b+c的最小值為5+5+l=ll.16.設(shè)y=m2