2024-2025學年高中數學同步備課試題 選擇性必修二（人教A版2019）第五章 5-1 第1課時 變化率問題、導數的概念 含解析

第五章一元函數的導數及其應用5.1導數的概念及其意義第1課時變化率問題、導數的概念課后訓練鞏固提升A組1.已知函數f(x)的圖象如圖所示,則當自變量x從1變到3時,f(x)的平均變化率是()A.1 B.-1 C.2 D.-2解析:f(3)-f(答案:B2.如果質點A運動的位移s(單位:m)與時間t(單位:s)之間的函數關系是y=s(t)=-2t,那么該質點在t=3s時的瞬時速度為(A.-23 B.2C.-29 D.解析:Δy=s(3+Δt)-s(3)=-23+Δt+23=2Δt9+3Δ答案:D3.設函數f(x)在點x0附近有定義,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b為常數),則()A.f'(x)=a B.f'(x)=bC.f'(x0)=a D.f'(x0)=b解析:f(x0+f'(x0)=limΔx→0(a+b·Δx)=a答案:C4.若可導函數f(x)的圖象過原點,且滿足limΔx→0f(Δx)A.-2 B.-1 C.1 D.2解析:∵f(x)的圖象過原點,∴f(0)=0.∴f'(0)=limΔx→0f(答案:B5.已知點P(x0,y0)是拋物線y=3x2+6x+1上的一點,且y'|x=x0=0,則點PA.(1,10) B.(-1,-2)C.(1,-2) D.(-1,10)解析:∵Δy=3(x0+Δx)2+6(x0+Δx)+1-3x02-6x0-1=6x0·Δx+3(Δx)2+6Δx,y'|∴l(xiāng)imΔx→0ΔyΔx=6x0+3Δx+6∴x0=-1,于是y0=-2.故選B.答案:B6.設函數f(x)=x2+2x在x=x0處的導數等于0,則x0=.

解析:該函數在x=x0處的導數是f'(x0)=limΔx→0(x0+Δx)2+2(x0+Δx)-答案:-17.過曲線y=f(x)=x2+1上兩點P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲線的割線,當Δx=0.1時,割線的斜率k=.

解析:∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,∴ΔyΔx=2+∴割線PQ的斜率為2+Δx.當Δx=0.1時,割線PQ的斜率k=2+0.1=2.1.答案:2.18.已知f(x)=(x-1)2,求f'(x0),f'(0).解:令y=f(x).∵Δy=(x0+Δx-1)2-(x0-1)2=2x0·Δx-2Δx+(Δx)2,∴ΔyΔx=2x0·Δx∴f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(2x把x0=0代入上式,得f'(0)=2×0-2=-2.9.已知f(x)=x2,g(x)=x3,求滿足f'(x0)+2=g'(x0)的x0的值.解:由導數的定義知,f'(x0)=limΔx→0(x0+Δx)2-x02因為f'(x0)+2=g'(x0),所以2x0+2=3x02,即3x02-2x0-解得x0=1-73或x0B組1.已知函數f(x)=x2,當自變量x從x0變到x0+Δx時,函數的平均變化率為k1,當自變量x從x0-Δx變到x0時,函數的平均變化率為k2,則k1,k2的大小關系是()A.k1<k2 B.k1>k2C.k1=k2 D.無法確定解析:由已知得k1=f(x0+Δx)-f(x0)Δx=2x0+Δ∵Δx可正可負且不為零,∴k1,k2的大小關系不確定.答案:D2.設f(x)在x=x0處可導,且limΔx→0f(x0+3Δx)-A.1 B.3 C.13 D.解析:∵limΔx→0f(x0+3Δx)-∴f'(x0)=13.故選C答案:C3.已知f(x)=2x,且f'(m)=-12,則m的值為(A.-4 B.2 C.-2 D.±2解析:f'(x)=limΔx→于是有-2m2=-12,解得m=答案:D4.若函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)內可導,且x0∈(a,b),若f'(x0)=4,則limh→0f解析:lim=2lim=2lim=2f'(x0)=8.答案:85.設函數y=f(x)=mx3+2,若f'(-1)=3,則m=.

解析:∵Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=m(-1+Δx)3+m=3m·Δx-3m(Δx)2+m(Δx)3,∴ΔyΔx=3m-3m·Δx+m(Δx∴f'(-1)=limΔx→0[3m-3mΔx+m(Δx)2]由f'(-1)=3,即3m=3,得m=1.答案:16.已知函數y=f(x)=x+kx,f'(1)=-2,則k=.解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)+k1+Δx-1-k=Δx-kΔx1+Δx∵f'(1)=-2,∴l(xiāng)imΔx→0ΔyΔx=答案:37.建造一棟面積為x(單位:m2)的房屋需要成本y(單位:萬元),且y是x的函數,y=f(x)=x10+x10+0.3.求解:根據導數的定義,得f'(100)=lim=lim=lim=limΔx→=limΔx→0110+110(f'(100)=0.105表示當房屋的面積為100m2時,成本增加的速度為1050元/m2,也就是說當房屋的面積為100m2時,面積每增加1m2,成本就要增加1050元.8.柏油路是用瀝青混合其他材料鋪成的,鋪路工人鋪路時需要對瀝青加熱使之由固體變成黏稠的液體.如果開始加熱后第xh時,瀝青的溫度(單位:℃)為y=f(x)=80x2+20(0≤x解:∵15min=0.25h,且當0≤x≤1時,f(x)=80x2+20,∴Δ=80=80=40+80