2025年岳麓版高二數(shù)學下冊月考試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年岳麓版高二數(shù)學下冊月考試卷274考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、用數(shù)學歸納法證明不等式的過程中；由“k推導k+1”時，不等式的左邊增加了（）

A.

B.

C.

D.以上都不對。

2、已知函數(shù)若是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是（）A.B.C.D.3、從n(且n≥2)人中選兩人排A，B兩個位置，若其中A位置不排甲的排法數(shù)為25，則n=()A.3B.4C.5D.64、有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為()A.B.C.D.5、【題文】如圖：樣本A和B分別取自兩個不同的總體，他們的樣本平均數(shù)分別為和樣本標準差分別為和則（）

A.B.C.D.6、下面是一段演繹推理：

如果直線平行于平面；則這條直線平行于平面內的所有直線；

已知直線平面直線平面

所以直線直線在這個推理中（）A.大前提正確，結論錯誤B.小前提與結論都是錯誤的C.大、小前提正確，只有結論錯誤D.大前提錯誤，結論錯誤7、設i

是虛數(shù)單位，復數(shù)1+ai2鈭?i

為純虛數(shù)，則實數(shù)a

為(

)

A.2

B.鈭?2

C.鈭?12

D.12

評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)8、某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月2日9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時至12時的銷售額為___________萬元．9、經過橢圓的一個焦點作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于A、B兩點．設O為坐標原點，則等于____．10、【題文】在△ABC中,若a2+b22,且sinC=則∠C=____11、【題文】已知滿足則的最大值為____．12、【題文】已知則_____.來源：高考13、已知向量=（2，-1，1），=（t，1，-1），t∈R，若∥則t=______．14、某程序框圖如圖所示，該程序運行后，輸出的x值是______．

評卷人得分三、作圖題(共8題，共16分)15、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

16、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）17、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最小．（如圖所示）18、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

19、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）20、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）21、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共4題，共36分)22、(本小題滿分12分)設函數(shù)f（x）=（x＞0且x≠1）.（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；（2）已知2＞xa對任意x∈（0，1）成立，求實數(shù)a的取值范圍.23、【題文】（本小題滿分14分）函數(shù)

的圖象在y軸右側的第一個最高點（即函數(shù)取得最大值的點）為在原點右側與x軸的第一個交點為Q（）.求：（1）函數(shù)的表達式；（2）函數(shù)在區(qū)間上的對稱軸的方程.24、如圖，設△ABC的三個內角A，B，C對應的三條邊分別為a，b；c，且角A，B，C成等差數(shù)列，a=2，線段AC的垂直平分線分別交線段AB，AC于D，E兩點．

（1）若△BCD的面積為求線段CD的長；

（2）若求角A的值．25、如圖；一矩形鐵皮的長為8m

寬為3m

在四個角各截去一個大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一個無蓋的長方體容器，所得容器的容積V(

單位：m3)

是關于截去的小正方形的邊長x(

單位：m)

的函數(shù)．

(1)

寫出關于x(

單位：m)

的函數(shù)解析式；

(2)

截去的小正方形的邊長為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？評卷人得分五、計算題(共3題，共6分)26、如圖，正三角形ABC的邊長為2，M是BC邊上的中點，P是AC邊上的一個動點，求PB+PM的最小值．27、設L為曲線C：y＝在點(1,0)處的切線．求L的方程；28、解不等式組：．評卷人得分六、綜合題(共3題，共12分)29、如圖，在直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當AD+CD最小時點D的坐標；

（3）以點A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標：____．30、如圖，在直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當AD+CD最小時點D的坐標；

（3）以點A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標：____．31、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），設數(shù)列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、B【分析】

當n=k時，左邊的代數(shù)式為（共k項）

當n=k+1時，左邊的代數(shù)式為+（共k+1項）

故用n=k+1時左邊的代數(shù)式減去n=k時左邊的代數(shù)式的結果，即為不等式的左邊增加的項。

故選B

【解析】【答案】準確寫出當n=k時；左邊的代數(shù)式，當n=k+1時，左邊的代數(shù)式，相減可得結果．注意分母及項數(shù)的變化．

2、C【分析】試題分析：根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，所以的圖像的對稱中心是故有所以即所以有故所求的切線為過點且斜率是的直線，所以方程為故選C.考點：導數(shù)的幾何意義，曲線在某個點處的切線方程的求法，函數(shù)的性質的應用.【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】試題分析：從n(且n≥2)人中選兩人排A，B兩個位置，其中A位置不排甲的排法為分兩類，一是不排甲，有種方法，二是將甲排在位置B，再從其余n-1人中選一個排在位置A，有n-1種方法，所以，有+n-1=25，即解得，n=6，n=4（舍去），選D。考點：簡單的排列應用問題【解析】【答案】D4、A【分析】【解析】試題分析：由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件數(shù)是3×3=9種結果，滿足條件的事件是這兩位同學參加同一個興趣小組有3種結果，根據(jù)古典概型概率公式得到P=故選A．考點：古典概型概率的計算。【解析】【答案】A5、B【分析】【解析】

試題分析：由圖易知因為A中的數(shù)據(jù)較為分散，B中的數(shù)據(jù)較為集中，所以因此選B。

考點：平均數(shù)的概念；標準差的概念。

點評：標準差是用來衡量數(shù)據(jù)分散程度的量，數(shù)據(jù)越集中，標準差越小，數(shù)據(jù)越分散，標準差越大?！窘馕觥俊敬鸢浮緽6、D【分析】【分析】如果直線平行于平面，則這條直線只是與平面內的部分直線平行，而不是所有直線，所以大前提錯誤，當直線平面直線平面時，直線與直線可能平行，也可能異面，故結論錯誤，選D.7、A【分析】解：復數(shù)1+ai2鈭?i=(1+ai)(2+i)(2鈭?i)(2+i)=2鈭?a+2ai+i5

它是純虛數(shù)，所以a=2

故選A

復數(shù)的分子；分母同乘分母的共軛復數(shù)；化簡后它的實部為0

可求實數(shù)a

的值．

本題是基礎題，考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，考查計算能力，常考題型．【解析】A

二、填空題(共7題，共14分)8、略

【分析】試題分析：設總銷售額為萬元，則所以則11時至12時的銷售額為萬元。考點：頻率分布直方圖?！窘馕觥俊敬鸢浮?09、略

【分析】

∵橢圓中a=b=1

∴c=1

橢圓的焦點為F（±1；0）

不妨設所作傾斜角為45°的直線l過焦點（1；0），故直線L：y=x-1

聯(lián)立消去y可得，3x2-4x=0

解方程可得，

代入直線y=x-1可得，y1=-1，

=x1x2+y1y2=

故答案為：

【解析】【答案】由橢圓可求橢圓的焦點為F（±1，0），不妨設所作直線l過焦點（1，0），故可得直線L：y=x-1，聯(lián)立可求A，B．然后由=x1x2+y1y2；代入可求。

10、略

【分析】【解析】

試題分析：根據(jù)余弦定理可知那么當C為鈍角時，則有因此題目中給出的不等式說明了角C為鈍角，同時sinC=在三角形內，則角C為故答案為

考點：本題主要考查余弦定理和正弦定理的綜合解三角形的運用。

點評：解決該試題的關鍵是分析三邊的不等關系，得到角C為鈍角，進而得到角C的值，熟練的運用三邊的平方關系，確定角的范圍很重要。【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

試題分析：畫出可行域，找出滿足條件的點，利用的幾何意義，即可得的最大值為1.

考點：本題考查線性規(guī)劃的知識。

點評：對于解決線性規(guī)劃的問題我們的關鍵點在于分析目標函數(shù)。目標函數(shù)除了我們常見的這種形式外，還有常見的兩種：第一種的幾何意義為：過點與點(a,b)直線的斜率。第二種的幾何意義為：點與點(a,b)的距離?！窘馕觥俊敬鸢浮?12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】解：∵∥

∴

解得t=-2．

故答案為：-2．

利用向量共線定理即可得出．

本題考查了向量共線定理，屬于基礎題．【解析】-214、略

【分析】解：由圖知運算規(guī)則是對x=2x+1；故。

第一次進入循環(huán)體后x=2×1+1=3；n=2

第二次進入循環(huán)體后x=2×3+1=7；n=3

第三次進入循環(huán)體后x=2×7+1=15；n=4，不滿足循環(huán)條件，退出循環(huán)。

故答案為：15．

由圖知；每次進入循環(huán)體后，x的值被施加的運算是乘以2加上1，故由此運算規(guī)律進行計算，經過4次運算后輸出的結果．

本題主要考查了循環(huán)結構，根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結果，是算法這一模塊最重要的題型，屬于基礎題．【解析】15三、作圖題(共8題，共16分)15、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

16、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最小；

理由是兩點之間，線段最短．18、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

19、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最?。?/p>

理由是兩點之間，線段最短．21、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點﹣﹣在底面外任一點；

第三步：畫側棱﹣﹣連接頂點與底面三角形各頂點．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側棱上取一點；從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點連接這點與底面上的頂點，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共4題，共36分)22、略

【分析】

（1）f′(x)=-若f′(x)=0,則x=列表如下：所以f(x)的單調增區(qū)間為（0,），單調減區(qū)間為（1）和（1，+∞）.（2）在2＞xa兩邊取對數(shù)，得ln2＞alnx.由于x∈(0,1)，所以＞①由（1）的結果知，當x∈(0,1)時，f(x)≤f（）=-e.為使①式對所有x∈(0,1)成立，當且僅當＞-e,即a＞-eln2.【解析】略【解析】【答案】23、略

【分析】【解析】：（1）由題意可知

將點代入得：因為所以

即函數(shù)的表達式為

（2）由解得：令

由于所以函數(shù)上的對稱軸的方程為

點評：本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質等基本知識，以及推理和運算能力。三角函數(shù)的化簡通常用到降冪、切化弦、和角差角公式的逆運算?！窘馕觥俊敬鸢浮浚海?）（2）24、略

【分析】

（1）先根據(jù)三角形的內角A；B，C成等差數(shù)列，求出B的度數(shù)，再根據(jù)三角的面積公式求出BD，再根據(jù)余弦定理即可求出；

（2）若求出∠BDC，即可求角A的值．

本題主要考查余弦定理三角形的面積公式以及等差數(shù)列的性質，屬于中檔題．【解析】解：（1）三角形的內角A；B，C成等差數(shù)列；

則有2B=A+C．又A+B+C=180°；

∴B=60°；

∵△BCD的面積為a=2

∴BD?BC?sin60°=

∴BD=

由余弦定理，CD2=BD2+BC2+2BD?BC?cos60°=

∴CD=

（2）△BCD中，∴sin∠BDC=1；

∴∠BDC=90°；∴CD⊥AB；

∵∠A=∠B=．25、略

【分析】

(1)

設小正方形的邊長為xcm

則盒子容積為：y=(8鈭?2x)?(3鈭?2x)?x

為三次函數(shù)；

(2)

用求導法；可得x=1

時，函數(shù)y

取得最大值，此時盒子容積最大．

本題考查了簡單的三次函數(shù)模型的應用，利用求導法求得三次函數(shù)在其定義域上的最值問題，是中檔題．【解析】解：(1)

設小正方形的邊長為xcm

則x隆脢(0,1.5)

盒子容積為：y=(8鈭?2x)?(3鈭?2x)?x=4x3鈭?22x2+24x

(2)

對y

求導，得y隆盲=12x2鈭?44x+24

令y隆盲=0

得12x2鈭?44x+24=0

解得：x=1x=83(

舍去)

所以，當0<x<1

時，y隆盲>0

函數(shù)y

單調遞增；當1<x<1.5

時，y隆盲<0

函數(shù)y

單調遞減；

所以；當x=1

時，函數(shù)y

取得最大值6

所以，小正方形的邊長為1cm

盒子容積最大，最大值為6cm3

．五、計算題(共3題，共6分)26、略

【分析】【分析】作點B關于AC的對稱點E，連接EP、EB、EM、EC，則PB+PM=PE+PM，因此EM的長就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如圖；作點B關于AC的對稱點E，連接EP；EB、EM、EC；

則PB+PM=PE+PM；

因此EM的長就是PB+PM的最小值．

從點M作MF⊥BE；垂足為F；

因為BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因為∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．27、解：所以當x=1時，k=點斜式得直線方程為y＝x－1【分析】【分析】函數(shù)的導數(shù)這是導函數(shù)的除法運算法則28、解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4；

由＞1得﹣1=＞0；

解得3＜x＜5；

所以，不等式解集為（3，4）．【分析】【分析】根據(jù)不等式的解法即可得到結論．六、綜合題(共3題，共12分)29、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質，點B與點A關于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點；

設出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點D的坐標．

（3）由（2）可知，當AD+CD最短時，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點坐標，根據(jù)線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長定理知，另一點D與現(xiàn)在的點D關于x軸對稱，所以另一點D的坐標為（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）

將（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）連接BC；交直線l于點D．

∵點B與點A關于直線l對稱；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“兩點之間；線段最短”的原理可知：

此時AD+CD最??；點D的位置即為所求．（5分）

設直線BC的解析式為y=kx+b；

由直線BC過點（3；0），（0，3）；

得

解這個方程組，得

∴直線BC的解析式為y=-x+3．（6分）

由（1）知：對稱軸l為；即x=1．

將x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴點D的坐標為（1；2）．（7分）

說明：用相似三角形或三角函數(shù)求點D的坐標也可；答案正確給（2分）．

（3）①連接AD．設直線l與x軸的交點記為點E．

由（2）知：當AD+CD最小時；點D的坐標為（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD與⊙A相切．（9分）

②∵另一點D與D（1；2）關于x軸對稱；

∴D（1，-2）．（11分）30、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質，點B與點A關于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點；

設出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點D的坐標．

（3）由（2）可知，當AD+CD最短時，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點坐標，根據(jù)線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長定理知，另一點D與現(xiàn)在的點D關于x軸對稱，所以另一點D的坐標為（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）

將（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）連接BC；交直線l于點D．

∵點B與點A關于直線l對稱；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=