小學數(shù)學校本教材

目錄第一局部讀一讀第一講中國古代數(shù)學家徽 2第二講法國數(shù)學家勒．笛卡爾 5第二局部算一算第三講速算與巧算 8第三局部想一想第四講平面圖形的面積〔1〕 第五講平面圖形的面積〔2〕 第六講平面圖形的面積〔3〕 18第七講邏輯推理〔1〕 第八講邏輯問題〔2〕 第九講列方程解應用題 35第十講行程問題 41第一講中國古代數(shù)學家徽徽-簡介徽九章算術徽〔生于公元250年左右〕，是中國數(shù)學史上一個非常偉大的數(shù)和"海島算經"，是我國最珍貴的數(shù)學遺產。方面：如解聯(lián)立方程，分數(shù)四那么運算，正負數(shù)運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比擬原始，缺乏必要的證明，而徽那么對此均作了補充證明。在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的奉獻．他是世界上最早提出十進小數(shù)概念的人，并用十進小數(shù)來表示無理數(shù)的立方根。么；改良了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了割"圓術"，即將用割圓術科學地求出了圓周率π≈3.14的結果。他用割圓術，從直徑為2尺的圓接正六邊形開場割圓，依次得正12邊形、正24邊形……，割得越細，正多邊形面積和圓面積之差越小，用是割"之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，那么與圓周合體而無所失矣。〞他計算了3072邊形面積并驗證了這個值．徽提出的計算圓周率的科學方法，奠定了此后千余年中國圓周率計算在世界上的領先地位?；赵跀?shù)學上的貢獻極多，在開方不盡的問題中提出"求徽數(shù)〞的思想，這方法與后來求無理根的近似值的方法一致，它不僅是圓周率并在中國數(shù)學史上第一次提出了"不定方程問題〞；他還建立了等差級數(shù)前n項和公式；提出并定義了許多數(shù)學概念：如冪〔面積〕；方程〔線性方程組〕；正負數(shù)等等．徽還提出了許多公認正確的判斷作為證明的前提。他的大多數(shù)推理、證明都符合邏輯，十分嚴謹，從而把"九章算術"及他自己提出的解法、公式建立在必然性的根底之徽在割圓術中提出的割"之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，那么與圓合體而無所失矣"，這可視為中國古代極限觀念的佳作．"海島算經"一書中，徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創(chuàng)造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目．徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主直觀．他是我國最早明確主用邏輯推理的方式來論證數(shù)學命題的人．徽的一生是為數(shù)學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了珍貴的財富。第二講法國數(shù)學家勒．笛卡爾勒笛·卡爾勒笛·卡爾〔ReneDescartes，1596——1650〕，著名的法國哲學家、科學家和數(shù)學家。笛卡爾常作笛卡兒，1596年3月31日生于法德爾-盧瓦爾省笛卡爾-1650年2月11日逝于瑞典斯德哥爾摩〕。他對現(xiàn)代數(shù)學的開展做出了重要的奉獻因，將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。他還是西方現(xiàn)代哲學思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者提出了"普遍疑心〞的主。他的哲學思想深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂"歐陸理性主義〞哲學。笛卡爾出身于一個地位較低的貴族家庭，父親是布列塔尼議體弱多病。母親去世后，父親移居他鄉(xiāng)并再婚，而把笛卡爾留給了他的外祖母帶大，自此父子很少見面，但是父親一直提供金錢方面的幫助，使他能夠受到良好的教育。在他8歲時笛卡爾就進入拉夫賴士(LaFlèche)的耶穌英語會定，又決心游歷歐洲各地，專心尋求"世界這本大書〞中的智慧。因此他于1618年在荷蘭入伍，隨軍遠游。到軍營公告欄上用佛萊芒語寫的數(shù)學問題征答引起了興趣，并且讓一位他當兵的朋友，進展了翻譯。他的這位朋友在數(shù)學和物理己在數(shù)學上有了4個重大發(fā)現(xiàn)?？上У氖沁@些發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在已經無從知道了。的思想。他在荷蘭發(fā)表了多部重要的文集，包括了"方法論"、"形而上學的沉思"(Méditationsmétaphysiques)1649年笛卡爾受瑞典女王之邀來到斯德哥爾摩，但不幸在這解除了禁令，那是為了對當時在法國流行起來的牛頓世界體系提供一個替代的東西。第三講速算與巧算〔一〕四那么運算的定律、性質、法那么是進要依據(jù)。1、利用運算定律使計算簡便。2、利用運算順序的改變使計算簡便。3、利用運算法那么使計算巧妙?！捕侈D化是速算與巧算的主要技巧。1、當一個數(shù)接近整十、整百、整千……的十、整百、整千的數(shù)，計算比擬簡便。2、利用數(shù)的分解或拆數(shù)，轉化后巧算。3、改變計算方法〔變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘〕使計算簡便?！踩痴J真觀察算式及數(shù)的特征，剖析數(shù)于數(shù)之間的關系，是靈活的選擇和合理運用計算技巧的主要方法?！舅悸伏c撥】〔1〕5.8與4.2剛好湊成10，2.32與0.68剛好湊成3，這樣湊整可以使計算簡便。各加數(shù)看作與它接近的整數(shù)。再把多加的那局部減去。的局部。也可以運用湊整法?！?〕18×5.5〔2〕8.88×1.25〔3〕34.7×0.25〔4〕238÷1.25〔5〕0.25×12.5×3.2【思路點撥】律，把2×5.5結合積為11，最后求出9與11的積。例3：計算〔1〕124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68〔2〕5795.5795÷5.795×579.5數(shù)和一個小數(shù)的和，可以使計算簡便。的商得100，然后再求出5795.5795×100的積。例4：計算下面各題?！?〕1990×198.9－1989×198.8〔2〕2.25×0.16＋264×0.0225＋5.2×2.25＋0.225×20數(shù)擴大假設干倍，另一個因數(shù)縮小一樣的倍數(shù)，積不變的道理，可以把被減數(shù)寫成199×1989，然后利用乘法分配律巧算。〔2〕同樣利用擴縮法簡便計算，注意選擇最正確方案。例5：計算：〔1＋0.28＋0.84〕×〔0.28＋0.84＋0.66〕－〔1＋0.28＋0.84+0.66〕×〔0.28＋0.84〕兩個乘積斗的構成很有規(guī)律：如果把1＋0.28＋0.84用字母A表示，把0.28＋0.84用字母B表示，原式就可以變成A×〔B＋0.66〕－〔A+0.66〕×B。在運用乘法分配律使計算簡便。例6：計算4.82×0.59＋0.41×1.59－0.323×5.9與0.323×5.9的差，可運用擴縮法把0.323×5.9寫成3.23×5.9,后運用乘法分配律計算，然后再加上0.41×1.59，再次運用乘法分配律巧算。例7：計算654321×123456－654322×123455.123455多1，可以利用乘法分配律簡算。解：654321×123456－654322×123455=654321×〔123455＋1〕=654321×123455＋654321－654321×1例8：計算1998×9－1999×8101,abcabc=abc×1001所,以9=1999×100010001,8=1998×100010001.這樣被減數(shù)和減數(shù)都有一樣因數(shù)100010001，就可以運用乘法分配律進展簡算了。解：1998×9－1999×8=1998×1999×100010001－1999×1998例9：計算〔1＋3＋5＋…＋1999〕－〔2＋4＋6＋…＋1998〕【思路點撥】根據(jù)減法的性質，將原式拆開后，在配對組合，進展例10：計算100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋…＋【思路點撥】此題按順序計算太繁，觀察算式的特點，發(fā)現(xiàn)每兩個數(shù)相加后，又會減去兩個數(shù)，我們可以考慮把它們四個數(shù)分為一組，〔1〕0.125×0.25×32〔2〕16×4.5〔3〕0.25×1.25×22.4〔4〕0.9＋0.99＋0.999＋0.9999＋0.99999〔6〕98989898×99999999÷1010101÷11111111〔7〕3.14×6.5＋4.5×3.14－3.14〔8〕1240×3.8＋124×51＋1.24×1400＋760×9.6＋0.76×700〔9〕1÷〔2÷3〕÷〔3÷4〕÷〔4÷5〕÷…÷〔1999÷2000〕20112012×20122011－2011〔11〕1＋2＋3＋4－5－6－7－8＋9＋10＋11＋12－13－第四講平面圖形的面積〔1〕例1平行四邊形的面積是28平方厘米，求陰影局部的面積。5厘米4厘米既是平行四邊形的高，也是陰影三角形的高，平行四邊形直接求出陰影局部的面積。積減去空白面積求得陰影局部面積。這兩種是最常用最簡便的方法。積。積。2．平行四邊形的面積是48平方厘米，求陰影局部的面積。6米99第五講平面圖形的面積〔2〕AA甲乙F道，三條邊上的高也不知道。所以，無法用公式計算出它的面積。仔細觀察此題的圖，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果延長GA和FC，它們會相交及△AHC〕的面積都能直接求出。44388585第六講平面圖形的面積〔3〕米，求CE的長度。DD甲FBCAE【思路點撥】題目中告訴我們，甲三角形的面積比乙三角形的面ABCF后相減的結果還是6平方厘米，即：甲-乙=6〔平方厘米〕即：正方形ABCD-△ABE=6〔平方厘米〕這就是說正方形ABCD的面積比三角形ABE的面積大6平方厘米。用正方形的面積減去6就得到三角形ABE的面積，再用三角形的面積乘以2再除以AB，就得到BE的長度，從而求出CE的長度。同步練習1、四邊形ABCD是一個長為10厘米，寬6厘米的長方形，三角形ADE的面積比三角形CEF的面積大10平方厘米。求CF的長是多少厘米？FFECBAD三角形DEF的面積。DAD〔2〕CF的長。E第七講：邏輯推理〔1〕EFBF上說，任何一道數(shù)學題，任何一個思維過程，都需要邏輯分析、判斷和推理。我們這里所說的邏輯問題，是指那些主要不是通過計算，而是通過邏輯分析、判斷和推理，得出正確結論的問題。邏輯推理必須遵守四條根本規(guī)律：〔1〕同一律。在同一推理過程中，每個概念的含義，每個判斷都應從始至終保持一致，不能改變?！?〕矛盾律。在同一推理過程中，對同一對象的兩個互相矛盾的判斷，至少有一個是錯誤的。例如，"這個數(shù)大于8”和"這個數(shù)小是錯的?！?〕排中律。在同一推理過程中，對同一對象的兩個恰好相反的判斷必有一個是對的，它們不能同時都錯。例如"這個數(shù)大于8”和"這個數(shù)不大于8”是兩個恰好相反的判斷，其中必有一個是對的，一個是錯的?！?〕理由充足律。在一個推理過程中，要確認某一判斷是對的或不對的，必須有充足的理由。我們在日常生活和學習中，在思考、分析問題時，都自覺或不自覺地使用著上面的規(guī)那么，只是沒有加以總結。例如假設法，根據(jù)假對同一事件"√〞與"×〞只有一個成立，就是利用了排中律。例1聰、王仁、來三位教師擔任五〔2〕班的語文、數(shù)學、英語、音樂、美術、體育六門課的教學，每人教兩門?，F(xiàn)知道：〔1〕英語教師和數(shù)學教師是鄰居；〔2〕王仁年紀最小；〔3〕聰喜歡和體育教師、數(shù)學教師來往；〔4〕體育教師比語文教師年齡大；〔5〕王仁、語文教師、音樂教師三人經常一起做操。請判斷各人分別教的是哪兩門課程。由〔3〕知，聰不是體育、數(shù)學教師；由〕知，王仁不是語文、音樂教師；由〔2〕〔4〕知，王仁不是體育教師，推知來是體育教師。至此，得到左下表。由〔3〕知，體育教師與數(shù)學教師不是一個人，即來不是數(shù)學教師，推知王仁是數(shù)學教師；由〔1〕知，數(shù)推知王仁是美術教師。至此，得到右上表。由〔4〕知，體育教師來與語文教師不是一個人，即來不是語文教師，推知聰是語文教師；由〔5〕知，語文教師聰不是音樂教師，推知來是音樂教師；最后得到聰是英語教師，見下表。所以，聰教語文、英語，王仁教數(shù)學、美術，來教音樂、體育。結果作為后面推理的條件，充分加以利用。另外，還充分利用了表格中每行只有兩個"√〞，每列只有一個"√〞，其余都是"×〞這個隱含條件。例1的推理方法是不斷排斥不可能的情況，選取符合條件的結論，這種方法叫做排他法。例2小明、小芳、小花各愛好游泳、羽毛球、乒乓球中的一項，并分別在一小、二小、三小中的一所小學上學?，F(xiàn)知道：〔1〕小明不在一?。弧?〕小芳不在二?。弧?〕愛好乒乓球的不在三??；〔4〕愛好游泳的在一??；〔5〕愛好游泳的不是小芳。問：三人上各愛好什么運動？各上哪所小學？分析與解：這道題比例1復雜，因為要判斷人、學校和愛好三個容。與四年級第26講例4類似，先將題目條件中給出的關系用下面的表1、表2、表3表示：因為各表中，每行每列只能有一個"√〞，所以表3可補全為表4。由表4、表2知道，愛好游泳的在一小，小芳不愛游泳，所以小芳不在一小。于是可將表1補全為表5。對照表5和表4，得到：小明在二小上學，愛好打乒乓球；小芳在三小上學，愛好打羽毛球；小花在一小上學，愛好游泳。例1、例2用列表法求解。下面，我們用分析推理的方法解例3、例4。一天他們來到了"兩面國〞，卻忘記了這一在星期四、五、六、日說真話；馬面在星期四、五、六說假話，在星期一、二、三、日說真話。牛頭說：昨"天是我說假話的日子。〞馬請判斷這一天是星期幾。一個說真話，另一個說假話，所以這一天不是星期日，否那么星期六都說假話，與題意不符。前一天必說真話。推知這一天同時是牛頭、馬面說假話與說真話轉換所以這一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛頭由說真話變?yōu)檎f假話的日子，但不是馬面由說假話變?yōu)檎f真話的日子，所以這一天也不是星期一；星期四是牛頭由說假話變?yōu)檎f真話的日子，也是馬面由說真話變?yōu)檎f假話的日子，所以這天是星期四。例4A，B，C，D四個同學中有兩個同學在假日為街道做好事，班主任把這四人找來了解情況，四人分別答復如下。B："C做了好事，我沒做。〞C："A，D中只有一人做了好事。〞D："B說的是事實。〞說的與事實有出入。到底是誰做了好事？實，另兩人說的與事實有出入。注意，此處的"與事實有出入〞表示或B做了好事而C沒做好事時，B說的話都與事實有出入。因為B與D說的是一樣的所，以只有兩種可能要，么B與D正確，A與C錯；要么B與D錯，A與C正確。〔1〕假設B與D說的話正確。這時C做了好事，A說C，D兩人中有人做了好事，A說的話也正確，這與題目條件只有"兩人說的是事實〞相矛盾。所以假設不對?！?〕假設A與C說的話正確。那么做好事的是A與C或，B與D，或C與D。假設做好事的是A與C，或C與D，那么B說的話也正確，與題意不符；假設做好事的是B與D，那么B說的話與事實不符，符合題意。綜上所述，做好事的是B與D。1.A，B，C，D，E五個好朋友曾在一圓桌上討論過一個復雜的問題。今天他們又聚在了一起，回憶當時的情景。A說："我坐在B的旁邊。〞B說："坐在我左邊的不是C就是D。〞D說："C坐在B的右邊。〞言的E的左邊是誰？2.從A，B，C，D，E，F(xiàn)六種產品中挑選出局部產品去參加博覽會。根據(jù)挑選規(guī)那么，參展產品滿足以下要求：〔3〕A，E，F(xiàn)三種產品中要選兩種；〔6〕假設D種產品不入選，那么E種也不能入選。問：哪幾種產品被選中參展？3.三戶人家每家有一個孩子，分別是小平〔女〕、小紅〔女〕和小虎〔男〕，孩子的爸爸是老王、老和老，媽媽是英、玲和方麗?！?〕老王和玲的孩子都參加了少年女子體操隊；〔2〕老的女兒不是小紅；〔3〕老和方麗不是一家人。請你將三戶人家區(qū)分開。師、工人、演員。：〔3〕乙不是工人。求這三人各自的籍貫和職業(yè)。〔1〕三人都說謊；〔2〕三人都不說謊；〔3〕三人中只有一人說謊；〔4〕三人中只有一人不說謊。6.五號樓住著四個女孩和兩個男孩，他們的年齡各不一樣，最大的第八講邏輯問題〔2〕乙、丙按甲、乙、丙的順序排成一路縱隊，并閉上眼睛，然后分別給他們各戴上一頂帽子，同時把余下的帽子藏起來。當他們睜開眼后，情況判斷出了自己所戴帽子的顏色。甲戴的帽子是什么顏色？他是怎樣判斷的？看不見任何一頂帽子，但他可以想到：如果我和乙戴的都是紅帽子，判斷不出自己戴的帽子的顏色，說明我和乙戴的帽子是兩白或一白一紅。色時，他也能判斷出我們兩人戴的帽子是兩白或一白一紅。此時，如果他看到我戴是紅帽子，那么他就會知道自己戴的是白帽子，只有我戴的是白帽子時，他才可能猜不出自己戴的帽子的顏色。所以，我戴的一定是白帽子。例1中，甲的分析非常精采，嚴密而無懈可擊。例2三個盒子各裝兩個球，分別是兩個黑球、兩個白球、一個黑球一個白球。封裝后，發(fā)現(xiàn)三個盒子的標簽全部貼錯。如果只允許翻以下圖〔○表示白球，●表示黑球〕:一個白球，此時無法判定是實際情況1，還是實際情況2，也就無法把標簽全部糾正過來；同理，從標簽是兩白的盒子中拿一個球，假設拿的是黑球，那么也無法把標簽全部糾正過來；么能確定出是實際情況1，假設拿出的是白球，那么情況2，因此能把標簽全部糾正過來。所以，只要從標簽是一黑一白的盒子中拿一個球，就能糾正全部標簽。例3A，B，C三名同學參加了一次標準化考試，試題共10道， "×〞。他們的答卷如下表：考試成績公布后，三人都得70分。請你給出各題的正確答案。分，所以每人都錯了3道題。比擬A，B的答卷發(fā)現(xiàn)，他們有6道題的答案不一樣，說明這6道題A，B兩人各錯3道，也就是說，A，B答案一樣的題都對了，因此找到了第1，3，4，10題的正確答案。同理，A，C的答卷也有6道題的答案不一樣，因此找到了第3，6，8，9題的正確答案；同理B，C的答卷也有6道題的答案不一樣，因此找到了第2，3，5，7題的正確答案。各題的正確答案如下表：例4A，B，C，D，E五位選手進展乒乓球循環(huán)賽，每兩人都只賽一盤。規(guī)定勝者得2分，負者不得分?，F(xiàn)在知道的比賽結果是：A與 B并列第一名〔有兩個并列第一名，就不再設第二名，下一定為第三名〕，D比C的名次高，每個人都至少勝了一盤。試求每人的得分。一回事，勝的盤數(shù)乘以2就是得分。五人進展循環(huán)賽，共需賽10盤，總得分是2×10=20〔分〕。因為每人都賽4盤，所以第一名最多勝4盤，但因為A，B并列第一，A，B不可能都勝4盤，所以A，B最多各勝3盤。如果A，B沒有各勝3盤，而是各勝2盤，那么剩下的10-2者只會是C，D，E，根據(jù)抽屜原理，C，D，E三人中至少有1人勝了至少2盤，與第一名勝2盤矛盾。所以，A，B各勝3盤，各得6分。還有4盤，D比C名次高，每個人都至少勝一盤，只能是D勝2盤得4分，C，E各勝一盤，各得2分。注意：題目中"每個人都至少勝一盤〞是制約結果的重要條件，如果沒有這個條件，那么該題的結果就有兩種可能：一是A，B各勝分。紅的、兩頂藍的和一頂黃的。然后，讓四個兒子按大的在前小的在后的順序排成一路縱隊，并讓他們閉上眼睛。接著，給他們每人戴上一頂帽子，藏起其余兩頂。當他們睜開眼睛后，每個人都只能看見前邊人的帽子。這時，老漢依次問小兒子、三兒子和二兒子，"你戴的帽子是什么顏色？〞他們都答復"不知道〞。最后，老漢又問大兒子。大兒子想了一會兒，正確地說出了自己戴的帽子的顏色。問：大兒子戴的帽子是什么顏色？他是如何判斷的？時各班參加一名班長。參加第一次會議的是A，B，C，D，參加第二次會議的是E，B，F(xiàn)，D，參加第三次會議的是A，E，B，G。H三次會都沒參加，請問每個班各是哪兩位班長？3.甲、乙、丙、丁四個學生坐在同一排的相鄰座位上，座號是1號至4號。一個專說謊話的人說："乙坐在丙的旁邊，甲坐在乙和丙的中間，乙的座位不是3號。〞問：坐在2號座位上的是誰？4.大娘問三位青年人的年齡。這三位青年人愛開玩笑，每人講的三句話中，都有一句是錯的。大娘難辯真真假假，請你幫助大娘弄清這三人的年齡。面是記有詳細比賽情況的表。但后來發(fā)現(xiàn)表中有四個數(shù)是錯誤的。請按規(guī)定重制一正確的表格?！矂僖粓鲇?分，負一場記0分，平一場雙方各記1分?！潮⒍〉拇鸢讣扒叭说牡梅秩缦卤?，求丁得了多少分。第九講列方程解應用題時，如果能恰當?shù)丶僭O一個未知量為x〔或其它字母〕，并能用兩種方式表示同一個量，其中至少有一種方式含有未知數(shù)x，那么就得到一個含有未知數(shù)x的等式，即方程。利用列方程求解應用題，數(shù)量關系清晰、解法簡潔，應當熟練掌握。楚地把它們的關系表達出來。設膠鞋有x雙，那么布鞋有〔46-x〕雙。膠鞋銷售收入為7.5x元，布鞋銷售收入為5.9〔46-x〕元，根據(jù)膠鞋比布鞋多收入10元可列出方程。解：設有膠鞋x雙，那么有布鞋〔46-x〕雙。7.5x-5.9〔46-x〕=10，7.5x-271.4+5.9x=10，x=21。答：膠鞋有21雙。所以答：袋中共有74個球。在例1中，求膠鞋有多少雙，我們設膠鞋有x雙；在例2中，求袋中共有多少個球，我們設紅球有x個，求出紅球個數(shù)后，再求共有多少個球。像例1那樣，直接設題目所求的未知數(shù)為x，即求什么設什么，這種方法叫直接設元法；像例2那樣，為解題方便，不直接設題目所求的未知數(shù)，而間接設題目中另外一個未知數(shù)為x，這種方法大多數(shù)題目可以使用直接設元法。 列出方程80x-40=〔30x+40〕×2，80x-40=60x+80，20x=120，x=6〔座〕?！瞲-40〕×80=〔2x+40〕×30，80x-3200=60x+1200，20x=4400，由灰磚有220米3，推知修建住宅〔220-40〕÷30=6〔座〕。同理，也可設有紅磚x米3。留給同學們做練習。例4教室里有假設干學生，走了10個女生后，男生是女生人數(shù)的2倍，又走了9個男生后，女生是男生人數(shù)的5倍。問：最初有多少個女生？分析與解：設最初有x個女生，那么男生最初有〔x-10〕×2個。根據(jù)走了10個女生、9個男生后，女生是男生人數(shù)的5倍，可列方程x-10=[〔x-10〕×2-9]×5，x-10=〔2x-29〕×5，x-10=10x-145，9x=135，x=15〔個〕。例5一群學生進展籃球投籃測驗，每人投10次，按每人進球數(shù)進球數(shù)，也等于進球數(shù)不到8個的人的進球數(shù)加上至少投進8個球的人的進球數(shù)，3×〔x-3-4-1〕+8×3+9×4+10×1，=3x+46。由此可得方程6x-83=3x+46，x=43〔人〕。例6甲、乙、丙三人同乘汽車到外地旅行，三人所帶行的重量都超過了可免費攜帶行的重量，需另付行費，三人共付4元，而三人行共重150千克。如果一個人帶150千克的行，除免費局部外，應另付行費8元。求每人可免費攜帶的行重量。帶3x千克行，三人攜帶150千克行超重〔150-3x〕千克，超重行每千克，超重行每千克應付8÷〔150-x〕元。根據(jù)超重行每千克應錢數(shù)，可列方程4÷〔150-3x〕=8÷〔150-x〕，4×〔150-x〕=8×〔150-3x〕，600-4x=1200-24x，20x=600，x=30〔千克〕。2、大、小兩個水池都未注滿水。假設從小池抽水將大池注滿，那么小池還剩5噸水；假設從大池抽水將小池注滿，那么大池還剩30噸水。大池容積是小池的1.5倍，問：兩池中共有多少噸水？3、一群小朋友去春游，男孩每人戴一頂黃帽，女孩每人戴一頂紅帽。在每個男孩看來，黃帽子比紅帽子多5頂；在每個女孩看來，黃帽子是紅帽子的2倍。問：男孩、女孩各有多少人？1.5倍，又走了10個女生后，男生人數(shù)是女生的4倍。問：教室里原有多少個學生？5、一位牧羊人趕著一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他數(shù)了數(shù)第十講行程問題的問題。按運動物體的路線：可分為直線運動和曲線運動兩大類；按運動物體的方向可分為：相向、反向、同向。行程問題的根本數(shù)量關系：速度×時間路=程路程÷時間=速度路程÷速度時=間相遇問題：速度和×相遇時間路=程路程÷相遇時間=速度和路程÷速度和=相遇時間追擊問題：速度差×追擊時間=追及距離追及距離÷速度差=追擊時間追及距離÷追擊時間=速度差二、例題精講【例1】甲、乙兩人同時從兩地騎自行車相向而行，甲的速度是每小時20千米，乙每小時行18千米，兩人相遇時距中點3千米。甲、乙兩地相距多少千米？【分析】甲的速度快，所以甲行了全程的一半多3千米，乙行了全程的一半少3千米，甲比乙多行了〔3×2=6〕千米。又因為乙每小速度差=相遇時間〕解：〔20＋18〕×[3×2÷〔20－8〕]=114〔千米〕【例2】甲乙兩地相距100千米，兩人同時從兩地出發(fā)，相向而行，甲每小時行6千米，乙每小時行4千米。甲帶著一只狗，狗每小時行10千米。這只狗同甲一道出發(fā)，碰到乙的時候，它就掉頭向甲這邊走，碰到甲時又往乙那邊走，直到兩人相遇，這只狗一共走了多難的。要求狗跑的路程，就要求出狗跑的時間，而狗跑的時間正好就是甲乙兩人的相遇時間，所以用狗的速度乘相遇時間就可以了?！餐ㄟ^找不變量解題，既有情趣，又可以開闊思路〕解：100÷〔6＋4〕=10〔小時〕10×10=100〔千米〕【例3】兩列火車相向而行，甲車每小時行36千米，乙車每小時行54千米，兩車錯車時，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經過他的車窗時開場，到乙車車尾經過他的車窗共用了14秒。求乙車的長度?！痉治觥繌囊臆囓囶^經過甲車乘客的車窗這一刻起，乙車車頭和甲車乘客開場作反向運動。經過1秒鐘，他們之間的距離就等于乙車車頭和甲乘客1秒鐘所行的路程之和。經過14秒，他們之間的距離就等于乙車車頭和甲乘客1秒鐘所行路程之和的14倍。因為甲乘客在14秒鐘完畢時看到乙車車尾，所以乙車車頭與甲乘客在這段時間所走路程之和恰好等于乙車車身的長度即。乙車車長等于甲乙兩車14秒所行路程之和。的速度爬行，兔每分鐘跑330米。兔跑了10分鐘就停下來睡了200分鐘，醒來后立即以原速度向前奔跑。當兔子追上龜時，離終點的距跑了〔330×10=3300米〕，他們的路程差為6300－3300=3000米，兔醒來后追上龜需用時間為3000÷〔330－30〕=10分鐘，這樣兔一共用了20分鐘，行了330×20=6600米。用總路程減去已行的路程，就求出了距離終點的路程。前端的聯(lián)絡員用12分鐘的時間跑到隊伍末尾傳達命令。聯(lián)絡員每分鐘跑多少米？【分析】隊伍在向前行進，聯(lián)絡員從排頭跑到排尾，因此，這是聯(lián)絡員和排尾隊員的相遇問題，當兩人合走完這支隊伍的總長度后，度和，也就能算出聯(lián)絡員的速度。解：2400÷12－90=110米【例6】客車與貨車同時從甲城開往乙城，客車每小時行46千米，貨車每小時行32千米?？蛙嚨竭_乙城時，因上下旅客停留了30分鐘后，立即返回甲城，在返回途中與貨車相遇。兩車從出發(fā)倒相遇的2倍。有知道共用了5小時30分相遇，因為客車在乙城停留了30解：從出發(fā)到相遇客車行駛了：46×〔5.5－0.5〕=230〔千米〕【例7】兄妹兩人同時離家去上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹回去取，行到離學校180米處與妹妹相遇。他們家離學校有多遠？解：180×3÷30×60＋180=900〔米〕80千米處相遇。相遇后兩車繼續(xù)前進，到達目的地后又立即返回，第二次相遇離B點60千米。求A、B兩地間的距離?！痉治觥看祟}既沒有給出甲的速度，也沒有給出乙的速度，給解題增加了難度，可以借助線段圖來分析。第一次相遇時，甲乙合走了一個全程，甲行了80千米。從第一次相遇到第二次相遇，甲乙又合走了兩個全程。合走一個全程，甲行了80千米，所以到第二次相遇時，甲共行了80×3=240千米?！惨簿褪且粋€全程多60千米〕。解：80×3－60=180〔千米〕在距甲站32千米處相遇。相遇后兩車繼續(xù)行駛，各自到達乙、甲兩站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64千米處相遇。甲乙兩站次相遇合走了一個全程，這時A車走了32千米。從第一次相遇到第二次相遇，兩車又合走了2個全程。A車又應該行了32×2=64千米。所以從出發(fā)到第二次相遇，A車行了96千米。A車如果再走64千米就會回到甲站，剛好是兩個全程。解：〔32×3＋64〕÷2=80〔千米〕行90千米，慢車每小時行40千米。兩車不斷往返于甲乙兩地，當?shù)谌蜗嘤龊?，快車又行?60千米與慢車相遇。甲乙兩地相距多少千程。這時快車行了360千米，因此合行一個全程快車應該走了360÷2=180千米。所用時間為180÷90=2小時。知道了行一個全程的相遇時間，就可以求出甲、乙兩地之間的路程了。解：360÷2÷90=2〔小時〕〔90＋40〕×2=260〔千米〕點為C。由題意可知從A到D用6分鐘。從A到C用26分鐘，因此，甲走D到C之間的路程時，所用的時間為20分鐘。乙在26分鐘和6解：50