2024-2025學(xué)年北師版八年級數(shù)學(xué)上冊期末沖刺復(fù)習(xí)：平行線的證明（十大題型）（原卷版）

第七章平行線的證明

內(nèi)容導(dǎo)航

??解題知識必備8

知識點..............................................................2

??壓軸題型講練”

類型一、真假命題的判定..........................................................4

類型二、邏輯與推理............................................................9

類型三、平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用..........................................14

類型四、平面直角坐標(biāo)系背景下的平行線性質(zhì)與判定................................39

類型五、動態(tài)背景下平行線性質(zhì)與判定............................................58

類型六、平行線性質(zhì)與判定的實際應(yīng)用............................................76

類型七、折疊背景下的平行線問題.................................................87

類型八、與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題.......................................94

類型九、折疊背景下的三角形內(nèi)角和問題..........................................115

類型十、與角平分線有關(guān)的平行線問題............................................136

“解題知識必備2

知識點1.推理證明的必要性

通過實驗、觀察、歸納得到的數(shù)學(xué)結(jié)論不一定都是正確的，要判斷一個數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠實驗、

觀察、歸納是不夠的，還必須進(jìn)行有根有據(jù)的證明

知識點2.檢驗數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法

常用方法：(1)試驗驗證(2)舉出反例(3)推理論證

知識點3.定義的概念

定義：一般地，用來說明一個名詞或者一個術(shù)語的意義的句子叫做定義.

知識點4.命題的概念

命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.

(1)每個命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是己知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項.

(2)正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.

(3)公認(rèn)的真命題叫做公理.

(4)經(jīng)過證明的真命題稱為定理.

知識點5.命題的結(jié)構(gòu)

1.命題的結(jié)構(gòu)：一般地，每個命題都由條件和結(jié)論兩部分組成.條件是已知的事項，結(jié)論是由己知事項推

斷出的事項。

知識點6.真命題、假命題、反例

1.命題分為真命題和假命題，正確的命題稱為真命題,不正確的命題稱為假命題。

2.反例

要說明一個命題是假命題，常?？梢耘e出一個例子，使它具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例

子稱為反例.

知識點7.公理、證明、定理

名稱概念作用

公理公認(rèn)的真命題

作為判斷其他命題真假的依據(jù)

定理經(jīng)過證明的真命題

證明演繹推理的過程判斷命題真假

知識點7.平行線的判定

基本事實：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.

兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行

知識點8.平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

定理：平行于同一條直線的兩條直線相等

知識點8.證明的一般步驟

(1)根據(jù)題意，畫出圖形。

(2)根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出己知、求證。

(3)經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。

知識點1.三角形內(nèi)角和定理(重點)

知識點9.三角形的內(nèi)角和定理

三角形的內(nèi)角和等于180°.

知識點10.三角形的內(nèi)角和定理的推論

推論：(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

(2)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

X壓軸題型講練2

類型一、真假命題的判定

1.定義:平面直角坐標(biāo)系中不重合兩點A（占,％）,3優(yōu),%），把1%-為1稱為A,B的“垂直距”，記為力B，

把回-三I稱為A,B的“水平距”,記為xAB,例如，A（l,2）,B（-2,6）,此時加="（-2）|=3,%=|2-6|=4.現(xiàn)

有兩個命題：①+②對于三角形ABC,若XAC+/C=x.，%C+%C=%B，則NACB不可能

是銳角；以上命題中（）

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

2.在多項式a-b+c-d-e中，任選兩個字母，在兩側(cè)加括號，稱為第一輪“加括號操作例如，選擇6,

d進(jìn)行“加括號操作”，得到〃-S+c--e=。-6-c+d-e.在第一輪“加括號操作”后的式子中進(jìn)行同樣的

操作，稱為第二輪“加括號操作”，按此方法，進(jìn)行第"521）輪“加括號操作，，.以下說法：

①存在某種第一輪“加括號操作”的結(jié)果與原多項式相等；

②總存在第七伏21）輪“加括號操作”，使得結(jié)果與原多項式的和為0；

③對原多項式進(jìn)行第一輪“加括號操作”后，共有4種不同結(jié)果.其中正確的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

3.在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點A（為%），規(guī)定運算：

（1）A十8=（芯+和%+%）；

（2）AQB=xlx2+yly2.

（3）當(dāng)玉=%且%=%時，A=B.

有下列四個命題：

①若有4（1,2）,8（2,-1）,則A十8=（3,1）,A?B=0；

②若有A十2=8十C,則4=（?；

③若有4。8=8。（?，則4=（7；

④（A十B）十C=A十（B十C）對任意點A、B、C均成立.

其中正確的命題為（只填序號）

4.定義：對于任意實數(shù)機，“，如果滿足根+〃=力如，那么稱機，〃互為“好友數(shù)”，點（加,"）為“好友點”.

⑴若（5,〃）為“好友點"，貝；

（2）判斷下列命題的真假，真命題在括號內(nèi)打7"，假命題在括號內(nèi)打“x”.

4

①W與4是互為“好友數(shù)”；（）

②若點（加川為“好友點"，則點（“〃）也一定為“好友點”；（）

③若俄與“互為相反數(shù)，則（%〃）一定不是“好友點”；（）

④存在與1互為“好友數(shù)”的實數(shù)；（）

（3）已知A（x,y）是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個點，且它的橫、縱坐標(biāo)是關(guān)于x,'的二元一次方程組

2a2

f%+2y=2+12/、

3x+y=a+31的解，請判斷點A（蒼，）是否能成為“好友點”？若能，請求出。的值和點A的坐標(biāo);若不能,

請說明理由.

類型二、邏輯與推理

5.某屆世界杯的小組賽積分規(guī)則為：四支球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽（每兩支球隊比賽一場），勝一場得3分，

平一場得1分，負(fù)一場得0分.已知某小組有甲、乙、丙、丁四支球隊參加比賽，下列對這個小組的積分

情況描述不正確的是（）

A.丙隊不可能獲得8個積分

B.四支球隊的積分不可能是四個連續(xù)的奇數(shù)

C.四支球隊的積分不可能是四個連續(xù)的偶數(shù)

D.若四支球隊的積分是四個連續(xù)的整數(shù)，則有兩支球隊沒有取得一場勝利

6.有人數(shù)不相等的A,8兩隊同學(xué)，A隊男生的人數(shù)與8隊女生的人數(shù)相等，若對兩隊同學(xué)進(jìn)行調(diào)換，規(guī)

則是調(diào)換的人數(shù)必須相等，則下列說法正確的是（）

A.可以調(diào)整至A隊全是男生而8隊全是女生

B.可以調(diào)整至A隊男生的人數(shù)比8隊女生的人數(shù)多1個

C.可以調(diào)整至A隊男生的人數(shù)比B隊女生的人數(shù)多1倍

D.無論怎么調(diào)整，A隊男生人數(shù)與8隊中女生人數(shù)始終相等

7.為了傳承中華文化，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，提高學(xué)生的文學(xué)素養(yǎng)，某學(xué)校初二（8）班舉辦了“樂知杯古

詩詞”大賽.現(xiàn)有小璟、小樺、小花三位同學(xué)進(jìn)入了最后冠軍的角逐.決賽共分為六輪，規(guī)定：每輪分別決

出第1,2,3名（不并列），對應(yīng)名次的得分都分別為a,b,c（a>b>c且a,b,c均為正整數(shù)）；選手最后得

分為各輪得分之和，得分最高者為冠軍.下表是三位選手在每輪比賽中的部分得分情況,

第一輪第二輪第三輪第四輪第五輪第六輪最后得分

小璟aa26

小樺abC11

小花bb11

根據(jù)題中所給信息，下列說法正確的是（）

A.小璟可能有一輪比賽獲得第二名B.小樺有三輪比賽獲得第三名

C.小花可能有一輪比賽獲得第一名D.每輪比賽第一名得分a為5

8.容器中有A,B,C3種粒子，若相同種類的兩顆粒子發(fā)生碰撞，則變成一顆B粒子；不同種類的兩顆

粒子發(fā)生碰撞，會變成另外一種粒子.例如，一顆A粒子和一顆B粒子發(fā)生碰撞則變成一顆C粒子.現(xiàn)有

A粒子10顆，B粒子8顆，C粒子9顆，如果經(jīng)過各種兩兩碰撞后，只剩1顆粒子.給出下列結(jié)論：

①最后一顆粒子可能是A粒子

②最后一顆粒子一定是C粒子

③最后一顆粒子一定不是B粒子

④以上都不正確

其中正確結(jié)論的序號是（）.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

A.①B.②③C.③D.①③

9.甲乙丙丁四人的車分別為白色、銀色、藍(lán)色和紅色.在問到他們各自車的顏色時，甲說：“乙的車不是

白色乙說：“丙的車是紅色的丙說：“丁的車不是藍(lán)色的丁說：”甲、乙、丙三人中有一個人的車

是紅色的，而且只有這個人說的是實話.”如果丁說的是實話，那么以下說法正確的是：（）

A.甲的車是白色的，乙的車是銀色的B.乙的車是藍(lán)色的，丙的車是紅色的

C.丙的車是白色的，丁的車是藍(lán)色的D.丁的車是銀色的，甲的車是紅色的

10.容器中有“。、P、。"三種顆粒，若相同種類的顆粒發(fā)生碰撞，則會變成1個“P顆粒；若不同種類的顆

粒發(fā)生碰撞，則會變成另一種顆粒，例如：一個顆粒和一個“尸”顆粒進(jìn)行碰撞，則會變成一個“?！鳖w粒.現(xiàn)

有“O”顆粒11個，“P”顆粒10個，顆粒12個，經(jīng)過兩兩碰撞后，最后一個顆粒一定不是顆粒.

類型三、平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

11.如圖，AB//CD.

圖3

NE,NC三個角之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

⑵已知NA=24。.

①如圖2,若NR=100。，求NC+NE的度數(shù);

②如圖3,若，AEF和—DCF的平分線交于點G,請直接寫出/EGC與的數(shù)量關(guān)系.

12.已知：P、。分別是線段AD、3c上的點，點E在線段。尸的延長線上，連接8E,且NE+N￡BQ=E尸。.

(1)探究發(fā)現(xiàn)：探究AD與2C的位置關(guān)系.

如圖1,過E作ENAD,

：.ZNEP=ZEPD(①)

?/NBEP+NEBQ=ZEPD(己知)

ZBEP+NEBQ=NEP

,：ZBEP+NEB=NEP

AZEBQ=ZNEB(②)

/.NE//BC(③)

又：NE//AD

：.AD//BC(@)

(2)解決問題：

①如圖2,連接3P,若且BE恰好平分/4B尸，/。尸3+/。已4=180。，試判斷㈤「與/。尸。

之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

4

②如圖3,在(2)的條件下，在射線BC上找一點尸，連接PF,使NBPF=2ZE,NBPQ-ZFPQ=—ZBPD.補

全圖形后，則NPFC的度數(shù)為(直接寫出結(jié)果).

13.已知，過/ECP內(nèi)一點A作AT?〃EC交C尸于點D,作交CE于點8.

⑴如圖1,求證：ZABE=ZADF；

(2)如圖2,射線射線ZW分別平分4BE和NAD產(chǎn)，求證：BM//DN■,

(3)如圖3,在(2)的條件下，點G,Q在線段DF上，連接AG,AQ,AC,AQ與DN交于點H,反向

延長AQ交于點P,如果？G4c1GCA,AQ平分NG4D,ZQAC=50°,求ZMPA+/PQ尸的度數(shù).

圖2

14.已知，AB〃CD,點。為A3上方一點，E、尸為CO上兩點，連接OE、OF,分別交A3于M、N兩

點，OELOF.

(1)如圖1,求證：NOFD—NOMN=90。；

(2)如圖2,點G為跖上一點，連接MG,作NH_LMG垂足為H,ZNMHZNFG,求證：OM//NH■,

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接GN并延長GN到點尸，連接￡P(guān),若ZNGF:NMGF=3:5,

NOEP:/OEG=2:5,求/尸的度數(shù).

15.如圖，點。是三角形A3C的邊8C上的一動點，0石〃4。交邊43于點￡.

(1)如圖1,點尸在邊AC上，連接。尸.若NFDE=/4求證：DFAB；

⑵在(1)的條件下，如圖2,G、H分別是B4和FD延長線上的點，若NGA歹與/CM的平分線所在直

線的交點尸在直線A3左側(cè)，請?zhí)骄縉APD與-ACB的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)論并說明理由；

(3)如圖3,過點B作3KLCB于點K,點M在直線2K上，射線KT在NMKC的內(nèi)部，滿足

NMKC=34KC.射線。N在ZEDC的內(nèi)部，滿足NCDN=2NEDN.且射線KT與直線DN交于點T.請

直接寫出/K7D的度數(shù).

16.已知，AB//CD,直線與直線AB、CD分別交于點E、F.

MMM

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若4=58。,求N2的度數(shù)；

⑵如圖2,ZB斯與二跖D的角平分線交于點P,與CD交于點G,且GHLEG.求證：PF//GH.

(3)如圖3,在(2)的條件下.連接PH,K是GH上一點使NPHK=ZHPK,作PQ平分NEPK,問/〃尸。

的大小是否發(fā)生變化，若不變，請求出其值；若變化，說明理由.

/.Z1=ZEFD,

,/ZEFD+Z2=180°,

：.Zl+Z2=180°,

VZ1=58°,

/2=122°.

17.如圖1,在VA3C中，點。是邊AB上一點，過點。作OE〃3C,連接8E,若ZACB=ZE.

圖I圖2瞽用圖

(1)求證：BE//CA；

⑵若NACB=50°,點G是邊A3上的一點，過點G作G打〃BE,點”在A3左側(cè)，連接

①如圖2,當(dāng)。時，與/ACB的角平分線交于點求/CW的度數(shù)；

②若Z.EDH=2Z.DHG,請直接寫出ZDHG=_.

18.已知：N1=N2,EG平分ZAEC.

(1)如圖①，NM4E=44。，ZFEG=16°,NNCE=76。.試判斷砂與CO的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)如圖②，ZM4E=138°,/汽￡6=28。,當(dāng)45〃。。時，求/NCE的度數(shù)；

(3)如圖②，請你直接寫出/M4E、NFEG、/NCE之間滿足什么關(guān)系時，AB//CD.

19.如圖1,MN//PQ,直線AD與MMPQ分別交于點A、D,點B在直線尸2上，過點8作BGLAD,

垂足為點G.

(1)求證：ZMAG+ZPBG=90°；

(2)如圖2,若點C在線段0G上(不與￡＞、G重合)，連接3C,NM4D和NPBC的平分線交于點打，若

ZCBG=20°,求出一的度數(shù)；

⑶若直線AD的位置如圖3所示，點C在線段AD上(不與4D、G重合)，連接BC,NM4D和NP3c的

平分線交于點若？CBGa,則加8=_(用含a的代數(shù)式表示)

20.經(jīng)過平行線中的拐點作平行線是解決與平行線有關(guān)問題的常用思路.

⑴如圖1,ABCD,ZBEP=25°,ZPFC=150°,則N￡P(guān)A=:

⑵如圖2,AB〃C￡>,點P在直線力B上方(NA￡P(guān)>NCFP),探究NAEP、NCFP、NEP廠之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明:

(3)如圖3,AB//CD,點P在直線AB上方，的角平分線加0所在的直線和“EP的角平分線FN所

在的直線交于點G(點G在直線CD的下方)，請寫出NEPb和/EGr之間的數(shù)量關(guān)系，并證明：

(4)如圖4,AS〃CD,點尸在直線A5上方，EG、ES、FM、FT分別是NAEP、NBEP、NCFP、NDFP的三

口NAEGZPES/MFP/DFT2

等分線,目一=直線ES與直線門"交于點直線EG與直線尸7交于

ZAEPZPEBNCFPZDFP3

點N(點N在直線C。的下方).請直接寫出NEMF、NENF與-P之間的數(shù)量關(guān)系.(請自行畫圖分析)

類型四、平面直角坐標(biāo)系背景下的平行線性質(zhì)與判定

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點4(a,0),B(-c,c),C(0,c),且滿足(l)?+Ja+6=0,點尸從

點A出發(fā)，沿X軸的正方向以每秒2個單位長度的速度勻速運動，點。從點O出發(fā)，沿y軸的正方向以每秒

1個單位長度的速度勻速運動.

備用圖

；AO和BC的位置關(guān)系是

⑵當(dāng)點P,。分別在線段AO,OC上時，連接尸若$三角形皿=25三角形°C，求點尸的坐標(biāo).

(3)在點P,。的運動過程中，當(dāng)NCBQ=40。時，請直接寫出/O尸。和NPQB的數(shù)量關(guān)系.

22.如圖，直線〃尸Q,一副直角三角板(NAC?=NCOD=90。，Z(MB=45°,Z<9CE>=60°)如圖1

所示放置.

(1)ZA<9C=_°；

(2)將三角板。CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)。。(0<°<180)得△O'C。，探究當(dāng)。為多少度時，△O'CD'的一條邊與

8。平行，請畫出簡單的示意圖，并直接寫出答案；

(3)如圖2,將三角板OCD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)々。(0<.<180)得△O'CD,若△O'CD的邊C。'所在的直線交

直線A0于點E,探究-AEC與NEC。的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案.

23.在平面直角坐標(biāo)系中，點A?！?。)、8(0,"),且加、九滿足|加+/+”+>/和一"+3=0

(1)直接寫出A、3兩點坐標(biāo)；

7

(2)如圖1,直線軸，垂足為點Q。,。).點尸為/上一點，且點尸在第四象限，若一的的面積為：，求點

■P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點。為y軸負(fù)半軸上一點，過點。作CD//A8,E為線段力B上任意一點，以。為頂點作/E0/，

使/EC不=90。，。尸交CD于冗點G為線段4B與線段CD之間一點，連接GE,GF,且NAEG=gNAEO.當(dāng)點

E在線段上運動時，EG始終垂直于GP,試寫出NC/G與NGPO之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

24.如圖，以直角三角形AOC的直角頂點。為原點，以O(shè)C、所在直線為x軸和V軸建立平面直角坐標(biāo)

系，點A（0,a）,C（b,0）滿足。°-2/>+弧-2]=0.

(1)C點的坐標(biāo)為；A點的坐標(biāo)為.

(2)如圖1,已知坐標(biāo)軸上有兩動點尸、。同時出發(fā)，尸點從C點出發(fā)沿x軸負(fù)方向以1.5個單位長度每秒的速

度勻速移動，。點從。點出發(fā)以2個單位長度每秒的速度沿'軸正方向移動，點。到達(dá)A點時整個運動隨之

結(jié)束.AC的中點。的坐標(biāo)是。,2),設(shè)運動時間為々＞0).問：是否存在這樣的f,使So〃=S82?若存

在，請求出r的值；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,過。作OG〃AC,作NAOF=NAOG交AC于點F,點E是線段Q4上一動點，連CE交OP于

點、H,當(dāng)點E在線段Q4上運動的過程中，型二父笠的值是否會發(fā)生變化？若不變，請求出它的值;

ZOEC

若變化，請說明理由.

25.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別為4凡0),8(6,0),且。，6滿足^/^萬+卜+2|=0,

現(xiàn)同時將點A,B分別先向右平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，分別得到A,8的對應(yīng)點C,

D,連接AC,3D,CD.此時S四邊形ABCD=I。.

(D〃=,b=.

(2)在光軸上有一動點P,使S=(S四邊形的8，求點夕的坐標(biāo);

（3）點。分別是四邊形ABDC的邊AC上的一個動點，如圖2,連接。aQD,當(dāng)點。在線段AC上移動（不

與A、C重合）的兇與髯些值是否發(fā)生改變？若改變，請說明理由；若不變，請說明理由并求出其

乙DqH

值.

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a,O）,B（b,O）,且滿足（a+2）?+揚方=0，過點B作直線軸,

點尸是直線加上一點（點尸不與點B重合），連接AP,過點B作3c〃"交y軸于C點，AD,C。分別

備用圖

（1）填空：?=,b=.（直接寫出答案）

（2）若點E是無軸上的一點且AB=3,則點E的坐標(biāo)為.（直填寫出答案）

（3）若點P的縱坐標(biāo)為-4,

①線段"的中點的坐標(biāo)為.（直域?qū)懗龃鸢福?/p>

②在直線m上是否存在點Q,使得△AP。的面積等于16?若存在，求出。點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（4）在點P的運動過程中，且與軍竺的值是不變的，則這個值是.（直接寫出答案）

27.如圖，以直角三角形AOC的直角頂點。為原點，以所在直線為x軸和V軸建立平面直角坐標(biāo)系，點

A（0,a）、C（Z>,0）滿足Ja-2浦+也一2|=0.

圖1圖2圖3

（1）點C的坐標(biāo)為；點A的坐標(biāo)為；

(2)已知坐標(biāo)軸上有兩動點尸、。同時出發(fā)，P點從C點出發(fā)向左以1個單位長度每秒的速度勻速移動，。點

從。點出發(fā)以2個單位長度每秒的速度向上移動，AC的中點。的坐標(biāo)是2).

①設(shè)運動時間為/(。＞。)秒，問：當(dāng)1=時，ODQ=,ODP；

②在滿足①的前提下，當(dāng)點尸位于CO的延長線上，此時在第二象限內(nèi)是否存在點加(加，6),使得

SODM=3SODQ,若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)點尸是線段AC上一點，滿足ZFOC=ZFCO,點G是第二象限中一點，連接OG,使得NAOG=NAOF,

點E是線段Q4上一動點，連接CE交OF于點H,當(dāng)點E在線段Q4上運動的過程中，是否有這樣的實數(shù)左

使彳導(dǎo)NOHC+ZACE=k/OEC總、成立,若存在請求出k的值，若不存在請說明理由.

類型五、動態(tài)背景下平行線性質(zhì)與判定

28.已知：直線A3與直線CD平行，點N、點E在直線CD上，點H、點M在直線A3上，ZDNH=2ZAME,

直線E"交直線NH于點P.

(1)如圖1,求證：ZMPH=ZAME.

(2)如圖2,以點N為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)直線NH交直線AB于點G,以點M為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)直線ME

交直線CD于點/，NEMF=NHNG+40。,當(dāng)NG〃血/時，求ZAAffiT的度數(shù).

(3)在(2)的條件下，如圖3,直線ME交直線NG于點R,直線N"交直線于點S,的平分線所

在直線與版的平分線所在直線交于點K,若NHNG=50。,當(dāng)點N在線段所上移動時，求/踞的度

數(shù).

29.在平面直角坐標(biāo)系中，。(0，a),M(b,a),滿足Ja+3+忸-4|=0,VABC中NACB=90。，VABC的

邊與x軸分別交于。、G兩點，與直線。0分別交于￡、尸兩點.

(2)將直角三角形ABC如圖1位置擺放，求證：ZKOC+ZCED=90°；

(3)將直角三角形ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點，ZNEF+ZCEF=180°,請寫NNEF與/AOG之

間的等量關(guān)系，并說明理由.

30.已知，如圖1,射線PE分別與直線AB,CZ)相交于E,F兩點，NPED的平分線與直線A3相交于點

M,射線交C。于點N,設(shè)//也0=a,NEMF=/3,且j60-2a+值-30|=0.

圖1圖2圖3

⑴求a,￡；

⑵如圖2,若點G,反分別在射線和線段Mr上，旦NMGH=ZPNF,試找出/R0N與NG”「之間存在

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)若將圖中的射線尸M繞著端點尸逆時針方向旋轉(zhuǎn)(如圖3),分別與AB,。相交于點和點M時，作

/PM田的角平分線M?與射線相交于點Q,問在旋轉(zhuǎn)的過程中二等的值是否改變？若不變，請求

出其值；若變化，請說明理由.

31.如圖1,AB//CD,G為AB、CD之間任意一點.

⑴若GE平分ZAEF,G/平分/EFC.求證：ZGEF+ZGFE=90°；

22

(2)如圖2,若NAEP=《NAEF,ZCFP^-ZEFC,且EP的延長線交Z4EP的角平分線于點M,EP的延長

線交NCFP的角平分線于點N,猜想/M+NN的運算結(jié)果并且證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,若點H是射線之間一動點，F(xiàn)G平分NEFH,MF平分NEFC,過點G作G。，F(xiàn)M于點Q,

請猜想NE"「與/RG。的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖2

32.已知，如圖1,射線PE分別與直線AB,CD相交于E,尸兩點，NPRD的平分線與直線相交于點

M,射線交8于點N,設(shè)N/￥70=a。，NEMF=0°,且胸』+|6-40卜0.

(1)?=B=直線A3與CD的位置關(guān)系是

(2)如圖2,若點G,H分別在射線M4和線段板上，豆ZMGH=NPNF,試找出/R0V與NGH「之間存

(3)若將圖中的射線尸M繞著端點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)(如圖3),分別與AB,C。相交于點和點州時，

作/尸河田的角平分線加笈與射線萬加相交于點Q,問在旋轉(zhuǎn)的過程中萋匕的值是否改變？若不變，請

求出其值；若變化，請說明理由.

33.如圖1,直線AB〃CD,直線跖與48,CD分別交于點G,H,ZEHD=a.將一個直角三角板加

按如圖1所示放置，使點N,/分別在直線AB,CO上，且在點G,H的右側(cè)，已知/RWN=60°.

(1)若/AW=100。，則的度數(shù)為」

(2)^ZANM=ZEHM+ZPMN,對尸河〃跖說明理由;

(3)如圖2,已知/MNG的平分線NO交直線C。于點O.

①當(dāng)NO〃EF,尸M〃跖時，求a的值;

②現(xiàn)將三角板PW保持加〃/，并沿直線CD向左平移，在平移的過程中，直接寫出/MON的度數(shù)(用

含a的代數(shù)式表示).

34.如圖甲所示，已知點E在直線4B上，點RG在直線C。上，且/EFG=/FEG,跖平分/AEG.

(D判斷直線AB與直線C。是否平行，并說明理由.

(2)如圖2所示,8是AB上點E右側(cè)一動點，NEG8的平分線GQ交FE的延長線于點。，設(shè)/?！?，/EHG印

①若NH￡G=40。，ZQGH=20°,求/。的度數(shù).

②判斷：點”在運動過程中，a和￡的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變，求出a和￡的數(shù)量關(guān)系；若變化,

請說明理由.

35.如圖，已知AO〃5C,ZA=ZC

圖1圖2圖3

⑴如圖1,試說明：AB//CD；

(2)如圖2,連接若點E,P在線段A3上，且滿足￡)3平分/FDC,DE平分NADb,ZA=ZC=110°,

求NEZ后的度數(shù)；

(3)下列①-③的問題，對應(yīng)分值分別為4分、5分、6分，請根據(jù)你的認(rèn)知水平，選擇其中一個問題作答，

解答對多個問題，按分值最高的一個問題記分.

①如圖2,在(2)的條件下，若NA=NC=x。，求/￡Z汨的度數(shù)；(用含尤的代數(shù)式表示).

②如圖3,在(2)的條件下,將線段BC沿著射線AB的方向向右平移，當(dāng)DF平分ZEDB時，若ZA=NC=X。,

求的度數(shù)；(用含尤的代數(shù)式表示)

③如圖3,在(2)的條件下,將線段BC沿著射線AB的方向向右平移，當(dāng)ZAED=ZCBD時，若NA=NC=X。,

求一ABD的度數(shù).（用含尤的代數(shù)式表示）.

類型六、平行線性質(zhì)與判定的實際應(yīng)用

36.光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，當(dāng)光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線與鏡面的夾角、反

射光線與鏡面的夾角對應(yīng)相等（如圖1,4=N2）,小明同學(xué)用了兩塊鏡子AB和8c形成一個鏡子組合體

（如圖2）,鏡子A8與8C之間的角度為NABC,他發(fā)現(xiàn)改變的大小，入射光線和反射光線位置關(guān)

系會發(fā)生改變.

⑴小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)/ABC=90。，入射光線DE與反射光線FG的是平行的,

（2）小明繼續(xù)改變，/ABC的大小，當(dāng)NABC=100。，求此時入射光線。E與反射光線尸G形成的夾角，ZEHF

大小;

（3）小明拿來了一塊新的鏡子CM和前面兩塊鏡子A3和BC組成一個新的鏡子組合體（如圖4）,其中

ZABC=135。，入射光線DE從鏡面AB開始反射，經(jīng)過3次反射后，反射光線為NG,小穎發(fā)現(xiàn)當(dāng)入射光

線和鏡面的夾角和鏡子2c和CM形成的角，/3CN滿足一定數(shù)量關(guān)系時，入射光線和反射光線始

終平行（即E>E〃NG）,^：ZAED=x,ZBCM=y,請你直接寫出此時x和y之間滿足的關(guān)系式.

G

QED//NG,

圖4

FH//NG//ED,

ZDEF+ZEFH=180°,NHFN+ZFNG=180°,

ZDEF+NEFN+NFNG=360°,

180°-2%+90°+2x+2y-2%-90°=360°,

37.（1）光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1,

光線。從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線6,根據(jù)光學(xué)知識有/1=/2,-3=/4,請判

斷光線。與光線6是否平行，并說明理由.

(2)光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，

如圖2有一口井，已知入射光線。與水平線OC的夾角為40。，現(xiàn)放置平面鏡可使反射光線6正好垂

直照射到井底，則與水平線的夾角的度數(shù)=_。.

(3)如圖3,直線上有兩點A、C,分別引兩條射線48、CD.ZBAF=110°,ZDCF=80°,射線A8

繞A點以2度/秒順時針轉(zhuǎn)動，同時射線CO繞C點以3度/秒的速度逆時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為f,在射線A3轉(zhuǎn)

動一周的時間內(nèi)，是否存在某時刻，使得與平行?若存在，求出所有滿足條件的時間"

38.某市為了亮化某景點，在兩條筆直的景觀道MN、QP上，分別放置了A、B兩盞激光燈，如圖所示.A

燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉(zhuǎn)至AN便立刻回轉(zhuǎn)，8燈發(fā)出的光束自3P逆時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立刻回轉(zhuǎn)，兩

燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動4。，2燈每秒轉(zhuǎn)動1。，若這兩條筆直的景觀道是平行的.

____a______N

備用圖

WB燈先轉(zhuǎn)動15秒,A燈才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)A燈轉(zhuǎn)動5秒時，兩燈的光束加T和到達(dá)如圖①所示的位置，

W和3戶是否互相平行？請說明理由；

(2)在(1)的情況下，當(dāng)8燈的光束第一次到達(dá)B。之前，兩燈的光束是否還能互相平行？如果還能互相平

行，那么此時A燈旋轉(zhuǎn)的時間為多少秒？

39.(1)光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1,

光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線6,根據(jù)光學(xué)知識有N1=N2,Z3=Z4,請判斷

光線a與光線6是否平行，并說明理由.

(2)光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，

如圖2有一口井，已知入射光線。與水平線0C的夾角為42。，問如何放置平面鏡MN,可使反射光線6正

好垂直照射到井底？(即求與水平線的夾角)

(3)如圖3,直線所上有兩點4、C,分別引兩條射線A3、CD.ZBAF=110°,ZDCF=6Q°,射線A3、

C。分別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為f,在射線CD轉(zhuǎn)動一周的時間

內(nèi)，是否存在某時刻，使得C。與平行？若存在，求出所有滿足條件的時間九

類型七、折疊背景下的平行線問題

40.如圖，已知四邊形紙片ABCD的邊E是邊CD上任意一點，-3CE沿BE折疊，點C落在點尸

的位置.

圖①圖②圖③

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：ZC=60°,/FED=45。,則.

(2)拓展探究：如圖②，點P落在四邊形ABCD的內(nèi)部，探究/FED,ZABF,—C之間的數(shù)量關(guān)系，并證

明；

(3)遷移應(yīng)用：如圖③，點尸落在邊CO的上方，則(2)中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，

請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明.

41.如圖1,現(xiàn)有一張紙條ABCD,AD//BC,將紙條沿族折疊，點C落在C'處，點。落在)處，D'E

交BC于點、G.

圖1圖2圖3

⑴①若ZDEF=55°,則NBGD=；

②若ZDEF=x°,則ZBGD1=；

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上將紙條沿繼續(xù)折疊，點A落在A處，點2落在3,處，已知/D砂=60。,

EF//MA1,求證：MN〃D'E；

⑶如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上將紙條沿3C繼續(xù)折疊，點C'落在C"處，點8落在。"處，設(shè)N4ED=x。,

求NC5E的度數(shù).(用含x的式子表示)

42.(1)學(xué)習(xí)了平行線以后，香橙同學(xué)想出了過一點畫一條直線的平行線的新方法，她是通過折紙做的,

過程如(圖1).

圖1

圖2圖3

①請你仿照以上過程，在圖2中畫出一條直線6,使直線方經(jīng)過點P,且6//“，要求保留折紙痕跡，畫出所

用到的直線，指明結(jié)果.無需寫畫法:

②在(1)中的步驟(b)中，折紙實際上是在尋找過點尸的直線a的_線.

(2)已知，如圖3,AB//CD,8E平分NABC,CF平分NBCD.求證：BE//CF(寫出每步的依據(jù)).

43.已知直線N分別為直線A3,CD上的兩點且4CVE>=70。，尸為直線。上的一個動點.類

似于平面鏡成像，點N關(guān)于鏡面MP所成的鏡像為點Q,此時

NNMP=ZQMP,NNPM=NQPM/MNP=NMQP.

（1）當(dāng)點尸在N右側(cè)時：

①若鏡像。點剛好落在直線A3上（如圖1）,判斷直線與直線尸。的位置關(guān)系，并說明理由;

②若鏡像。點落在直線與CD之間（如圖2）,直接寫出與/。尸。之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）若鏡像PQ_LC。，求/BM。的度數(shù).

類型八、與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題

44.將長方形紙帶先沿族折疊成圖1,再沿尸。折疊成圖2,此時恰好經(jīng)過點尸，若

ZAFE=ZFQP=ZA"MF=a,則a的度數(shù)為度.

45.如圖1,將一條兩邊互相平行的長方形紙帶沿所折疊，設(shè)ZAED，=x度.

圖1圖2

（1）若x=110。，則/砂8=度.

（2）將圖1紙帶繼續(xù)沿3尸折疊成圖2,則NEFC=度.（用含x的代數(shù)式表示）

46.如圖，AM//BN,BC平分/ABN交A"于點C,。在射線CM上，DE平分ZBDM交BN于點、E.

B/)

⑵如圖2,H在線段OE上，使得BD平分NCBH.

①當(dāng)"3N<60。時，比較/ACB與的大小關(guān)系，并說明理由；

②過。作于點尸，若3ZB￡>E+NASC=270。，且BE=7,DE=6,DF=5,求9的長.

47.在數(shù)學(xué)探究活動課中，老師要求同學(xué)們把一塊直角三角板(圖中的VABC,ZB=30°)擺放在畫有兩

條平行直線產(chǎn)。、"N的紙面上進(jìn)行操作探究.

(2)小明移動三角板按如圖2擺放，當(dāng)。。平分/ADE時，發(fā)現(xiàn)/MEC和NCDE存在特殊的數(shù)量關(guān)系，請寫

出這個數(shù)量關(guān)系并說明理由；

(3)小明繼續(xù)移動三角板，使頂點A落在直線尸。上，如圖3,分別畫出/QAC和NCBE的平分線相交于點E,

多次移動三角板位置(保持頂點A在直線PQ上)，經(jīng)度量并計算發(fā)現(xiàn)2NAE3+N3WV都等于270。，請問這

個等式是否一定成立？如果成立，請你說明理由；如果不成立，請你畫出一個符合條件且2NAEB+/班N又

不等于270。的圖形.

48.如圖，AB//CD,E是直線AB上一點，尸是直線CO上一點.

問題提出

(1)如圖1,G是直線上一點，尸是線段砂上一點，連接GP,若？EGP60?,/EFD=50。，則/GPF=

問題探究

⑵如圖2,ZEQF=120°,PE平分NBEQ,P歹平分NDEQ,請計算產(chǎn)的度數(shù).

問題解決

(3)如圖3,FG平分4CFP,延長PE到點且E"平分NAEG,若？EGFa-?P,請你探究NG￡A

與NGFC之間的關(guān)系，并說明理由(用含。的式子表示).

圖1圖2圖3

49.已知：AB//CD,E、G是4B上的點，F(xiàn)、”是CD上的點，Z1=Z2.

(1)如圖1,求證：EF//GH；

(2)如圖2,點M在GH的延長線上，作ZBEF、"司欣的角平分線交于點N,EN交GH于點、P,設(shè)NN=a.

①若a=45。，試判斷直線G”上是否存在一點K使得用＜口0,并說明理由；

②如圖3,作ZAG"的角平分線交CD于點Q,若=請直接回答/GQD與NN的數(shù)量關(guān)系:

50.綜合探究：如圖1,已知兩條直線AB,CD被直線EF所截，分別交于點E,點F,EM平分/AEF交CD

(2)點G是射線V。上一動點(不與點尸重合)，EH平分/FEG交CD于點、H,過點X作于

點N,設(shè)NEHN=a,NEGF=/3.

①當(dāng)點G在點尸的右側(cè)時，請根據(jù)題意，在