2024-2025學(xué)年吉林省遼源市高三年級上冊第三次（12月）數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年吉林省遼源市高三上學(xué)期第三次(12月)數(shù)學(xué)質(zhì)量

檢測試卷

一、單選題（共8小題）

1已知集合M={"I—3<”<1},N={x|—lWx<4},則=

A.|x|-l<x<l}B.{x|x〉-3}

C.{x|-3<x<4)D,{x|x<4}

【答案】C

【解析】

【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.

【詳解】由題意得MuN={x|—3<x<4}.

故選：C.

2.“/+>2=0,,是“孫=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【詳解】/+/=00x=y=0,中=0=x=0或y=0,

所以，“％2+y2=0"n“孫=0”，但“％2+y2=0,,y"肛=0,,,

所以，“f+/=0，，是“孫=0”的充分不必要條件.

故選：A.

3.已知復(fù)數(shù)z=(2+i)(l—i),則|z|=()

A.V2B.2C.V5D.V10

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)乘法法則得到z=3-i,利用模長公式求出答案.

【詳解】z=(2+i)(l—i)=2—2i+i—i2=3—i,

故歸=^32+(—1)"=VlO-

故選：D

4.已知向量1與B的夾角為60。，且1=網(wǎng)=1,則1I一2可=().

A.gB.V5C.4D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)N的坐標(biāo)求出它的模，利用數(shù)量積運算求出所求向量的模.

【詳解】由2=(1,得，同=2,

又=1,則歸—2'=62一4鼠3+4廬=V4-4x2xlxcos60°+4=2.

故選：D.

5.已知所=也,則tan(a+M=()

cosa-sinev4)

A.273+1B.273-1C.gD.1-V3

2

【答案】B

【解析】

COSCL

【分析】先將-------：—弦化切求得tana,再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

【詳解】因為———=V3,

cosa—sma

所以；-------=百，=>tana=l-Y^，

1-tana3

f兀)tana+1_/r

所以tan|a+—=-------=2V3-1,1

I4J1-tana

故選：B.

6.已知函數(shù)/(x)是定義在尺上的偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若對任意x>0都有

2/(x)+V'(x)>0成立,則().

A.4/(一2)<9八3)B.4/(—2)>9〃3)

C.2/(3)>3/(-2)D.3/(-3)<2/(-2)

【答案】A

【解析】

【詳解】iag(x)=x2/'(x)^>g'(x)=2V>(x)+x2/''(x)=x[2/'(x)+V'，(x)]>0=>g(x)在[0,+8)

上是增函數(shù)，易得g(x)是偶函數(shù)=4/(—2)=g(—2)=g⑵<g⑶=9/⑶，故選A.

【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)與方程思想、分類

討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較

強，屬于較難題型.首先(x)=x"(x)=>g'(x)=2V'(x)+x2/'(x)=x[2/(x)+V'，(x)]>0^>g(x)

在[0,+8)上是增函數(shù),易得g(x)是偶函數(shù)=>4/(-2)=g(-2)=g(2)<g⑶=9/⑶，故選A.

7.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減

一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健

步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地.”則該人第三天走的

路程為()

A.12里B.24里C.48里D.96里

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得，此人6天中每天走的路程是公比為1的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式

2

及通項公式求解即可.

【詳解】由題意可得，此人6天中每天走的路程是公比為工的等比數(shù)列，

2

設(shè)這個數(shù)列為{%},前〃項和為S“,

ax

則S6=—=-a,=378,解得q=192,

1-1321

2

所以生=192x于=48,

即該人第三天走的路程為48里.

故選：C.

c,-x?—2ax—G,x<0

8.已知函數(shù)/(x)=〈在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

eT+ln(x+l),x>0

A.(-a),0]B,[-1,0]C,[-1,1]D.[0,+a))

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因為/(x)在R上單調(diào)遞增，且x20時，/(》)=d+111(》+1)單調(diào)遞增，

—-

則需滿足｛2x(-1),解得—l<aV0,

-a<e°+In1

即a的范圍是[—1,0].

故選：B.

二、多選題(共3小題)

9.已知復(fù)數(shù)z滿足12=(1-。(2+?！粸樘摂?shù)單位，則下列說法正確的是()

A.z的虛部為-3iB.亍在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限

C.z-z=-8D.z是方程X2+2X+IO=O的一個根

【答案】BD

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的概念、運算法則、幾何意義一一判定選項即可.

【詳解】因為匕=(l—i)(2+i)=3—i,所以z=t2=UD=—l_3i,

ii~

則z的虛部為-3,故A錯誤；

由于5=-l+3i,則亍在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(-1,3)位于第二象限，故B正確；

由于z?亍=(—1—3i)(—l+3i)=10,故C錯誤；

方程/+2》+10=0可化為(x+l『=—9,方程的根為x=—l±3i,故D正確.

故選:BD.

10.已知函數(shù)/(X)=Zsin(0x+。)/〉0,0〉0,憫<]的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是

)

A.函數(shù)y=/(x)的最小正周期為2兀

57r

B.函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=-丘對稱

C.函數(shù)了=/(%)在一]二一看單調(diào)遞減

7T

D.該圖象向右平移一個單位可得y=2sin2x的圖象

6

【答案】BD

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.

rri

【詳解】由圖象得幺=2,解得7=兀，所以/(x)的最小正周期為兀，故A錯;

T=^=TI,則0=2,將『1,2]代入/(%)=25由(2%+e)中得2=25E[￡+°],

則—卜(p=—F2kli,左wZ,解得(P——H2析,kGZ,

623

因為|。|<]，所以"=f(x)-2sin[2x+§],=2sin(--^-+§]=-2,

5冗

所以％=—五是/(')的對稱軸，故B正確；

27TJTJT

當(dāng)工￡,時，2xH—E71,0],因為y=2sinx在[―兀,O]上不單調(diào)，

所以/(x)在-上不單調(diào)，故C錯;

36

jr/71?71

該圖象向右平移石個單位可得>=2sin2lx--l+j=2sin2x,故D正確.

故選：BD

(2023?廣州模擬)

11.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/0)=-/(4—x),且/(x+l)=/(l—x),則()

A./(%)為奇函數(shù)B./(%)的圖象關(guān)于x=2對稱

C./(x+2)為偶函數(shù)D./(x)是周期為4的函數(shù)

【答案】AD

【解析】

【分析】對于A：利用(0,0)為/(x)的對稱中心，利用奇函數(shù)的定義判斷出/(x)為奇函數(shù)；

對于B：判斷出/(x)的圖象不關(guān)于x=2對稱；

對于C：利用奇函數(shù)的定義判斷出/(x+2)為奇函數(shù)，即可判斷；

對于D：利用周期函數(shù)的定義即可判斷出/(%)是周期為4的函數(shù).

【詳解】因為/(x+l)=/(l—x),所以/(x)關(guān)于x=l對稱.

因為/(x)=—/(4—x),所以/(x+2)=-/(2-x),所以/(x)關(guān)于(2,0)對稱.

對于A：由點(2,0)關(guān)于x=l的對稱點為(0,0),(2,0)為/(x)的對稱中心，且/(x)關(guān)于x=l對稱，所以

(0,0)為/(X)的對稱中心，即/(-X)=-/(x),所以/(x)為奇函數(shù).故A正確；

對于B：因為/(x)=—/(4—x),所以〃x+2)=-/(2-x),所以/(x)的圖象不關(guān)于x=2對稱.故B錯

誤；

對于C：因為/(x)=—/(4—x),令x+2代換x,得到〃x+2)=-”2-x)①.

對于/(》+1)=/(1-工)，令x+1代換x,得到/(x+2)=/(—x)②.

由①②得：/(-x)=-/(2-x),令-x代換x,得到/(x)=-/(2+x),

與②結(jié)合得：/(x+2)=/(—x)=—/(x),

所以/(x+2)為奇函數(shù).故C錯誤；

對于D：對于/(x+1)=/(1),令x-1代換x,得到/(x)=/(2-x),

又因為/(X)=一/(4一X),所以/(2-x)=-/(4-X),

令2-x代換X,得到/(%)=-/(2+X),

令x-2代換x,得至!J/(X-2)=-/(%),

所以/(x-2)=/(x+2),

令x+2代換x,得到/(x)=/(x+4),即/(x)是周期為4的函數(shù).故D正確.

故選：AD

三、填空題(共3小題)

12.記S“為等差數(shù)列｛%｝的前n項和，若%+%=7，3a2+%=5,則Si()=.

【答案】95

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.

ciy+2d+a1+3d~7a1=—4

【詳解】因為數(shù)列%為等差數(shù)列，則由題意得+汗)+；+4d=5,解得］d-3，

10x9

則do=3+(-4=10x(—4)+45x3=95.

故答案為：95.

13.已知2=(-2,機)，3=(1,2),a//(2a+b^,則實數(shù)機的值為.

【答案】一4

【解析】

【分析】由題意利用兩個向量平行的坐標(biāo)運算，從而解得機的值.

【詳解】?.?向量1=(—2,機)，3=(1,2),

2a+b=(-3,2+2m).

,/Q//(2〃+B),

二.一2(2+2m)=-3m,解得加二一4,

故答案為：-4

14.若曲線y=e'+x在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+l)+。的切線，則。=.

【答案】ln2

【解析】

【分析】先求出曲線y=e*+x在(0」)的切線方程，再設(shè)曲線y=ln(x+l)+a的切點為

(x0,ln(x0+l)+a),求出利用公切線斜率相等求出與,表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可

求解.

【詳解】由1=4+%得了=0工+1,yu=e°+l=2,

故曲線y=e'+x在(0,1)處的切線方程為y=2x+l；

由y=ln(x+l)+a得y'=」一，

x+1

設(shè)切線與曲線V=ln(x+l)+a相切的切點為(xo/n(xo+l)+a),

由兩曲線有公切線得了=」7=2,解得/=—工，則切點為(一],4+1111],

0

x0+l2I22)

切線方程為y=21x+5]+tz+In—=2x+1+a—In2,

根據(jù)兩切線重合，所以a-ln2=0,解得。=ln2.

故答案為：In2

四、解答題(共5小題)

12

15.已知函數(shù)/卜)=§/+辦2+仇見北氏/(力在》=2處取到極小值§.

(1)求16的值;

(2)求曲線y=/(x)在點(1,/。))處的切線方程.

【答案】(1)a=-l,b=2

(2)3x+3y—7=0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)極小值列出方程組即可得解；

(2)求出切點處導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，據(jù)此寫出切線方程即可.

【小問1詳解】

因為/'(X)=x2+2ax,

/(2)=0[4+4a=0r=-1

則｛2n《8.,20%c，

f(2\=--+4a+b=—b=2

〔八，3〔331

即a=—i,b=2,

當(dāng)。=一1/=2時，f\x)=x2-2x,0<x<2時，f\x)<0,

2<x時，/'(x)〉0,故/(x)在x=2處取到極小值,

所以。=-1/=2滿足題意.

【小問2詳解】

由（1）知，/（X）=gx3—x+2,/'（x）=x?—2x,

4

則/⑴=§，/'⑴=-1，

4

故切線方程為：j=/,（l）（x-l）+/（l）=-（x-l）+-,

即3x+3y—7—0

16.己知公差不為。的等差數(shù)列｛%｝滿足q=1,且％,。2，生成等比數(shù)列.

（I）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（II）若a=2"，求數(shù)列｛4也｝的前”項和小

【答案】（I）a“=2〃—1；（n）Tn=3+（2"—3）x2".

【解析】

【分析】（D設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為根據(jù)題設(shè)條件，列出方程求得d,即可求得數(shù)列的通項

公式；

（II）由⑴得%也=（2〃-1）X2"T,結(jié)合"乘公比錯位相減法”，即可求解.

【詳解】（I）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為以4r0）,

由％,a2,%成等比數(shù)列，可得或=4「。5，即（l+d）2=lx（l+4d）,

解得d=2或d=0（舍），所以數(shù)列｛%｝的通項公式%=2〃-1.

（II）由（D得a“也=（2/-1）X2"T

所以7；=1X2°+3X21+5X22+3+（2”—1）X2"T,

可得27；=1x21+3x2?+…+（2〃一3）x2"T+（2〃-l）x2",

兩式相減得一（=2。+2*21+2*22+.-+2*2”—1-（2〃-1）義2"

2x（1-2"叫

=l+2x—~^—（2〃-1）x2"=1-4+2x2"-（2〃-1）x2"=-3+（3-2〃）x2"

所以北=3+（2〃-3）義2".

【點睛】錯位相減法求解數(shù)列的前"項和的分法：

⑴適用條件：若數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，求解數(shù)列｛%〃｝的前〃項和s.；

（2）注意事項:

①在寫出S,和協(xié)臬的表達(dá)式時，應(yīng)注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出S“-qS”；

②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號；

③作差后，作差部分應(yīng)用為〃-1的等比數(shù)列求和.

17.已知a,b,c分別為V45c內(nèi)角4瓦。的對邊，Masin5->/3bcosA=0-

（l）求角A；

（2）若b=3,求V48c的面積.

【答案】（1）/=?；（2）3A/3

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合sinB/O,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tan/=百，

結(jié)合范圍0</〈萬，可求A的值.

2

（2）由已知利用余弦定理可得：C-3C-4=0（解方程可得。的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求

解.

【詳解】解：（1）,/asin5->f3bcosA=0-

，由正弦定理可得：sin/sinB=gsin8cosZ，

,/sin8工0,

sin4=GcosA，即tanA=也，

'：0<A<7T,

,n

A——.

3

（2）Qfl=V13>b=3,A*，

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA>

可得：13=9+c2-2x3xcx—,可得：c2-3c-4=0，

2

解得：。=4或。=—1（負(fù)值舍去）,

「?S&ABC=mbcsin/=3x4x-^-=3c.

18.已知數(shù)列｛%｝滿足4=Q,%=3a.—l(〃eN)

⑴若數(shù)列抄/滿足4=%-g,求證：｛4｝是等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列｛%｝的前n項和J.

【答案】(1)證明見解析

3"+〃一1

(2)

-2-

【解析】

【分析】(1)由遞推公式可得4+「：=3,“—即"+1=3”,即可得證；

(2)由(1)可得%=3小+工，再利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式計算可得；

2

【小問1詳解】

解：因為%+i=3a4_l(〃eN*),所以4+i=3%,又“=%—；,%=；,所以

bn+l=3bn,即空=3(〃eN*),bx=1,所以｛4｝是以1為首項,3為公比的等比數(shù)歹!］；

【小問2詳解】

解：由(1)可得"=3"T,即%—；=3”T