2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)10月月考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的班級、姓名、考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡對應(yīng)題號的位置上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知直線過點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求出直線的斜率，由斜率與傾斜角關(guān)系即可求解.【詳解】由題可得：，所以直線的傾斜角為：；故選：C2.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用空間向量的加法及減法運(yùn)算法則進(jìn)行線性運(yùn)算，逐步表示即可得到結(jié)果.【詳解】∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴.故選：B.3.下列是古典概型的是（）A.任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)B.求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點(diǎn)C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任選一名志愿者去參加跳高項(xiàng)目，求甲被選中的概率D.拋擲一枚質(zhì)地均勻硬幣至首次出現(xiàn)正面為止，拋擲的次數(shù)作為樣本點(diǎn)【正確答案】C【分析】根據(jù)古典概型的定義，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是古典概型；B項(xiàng)中的樣本點(diǎn)的個數(shù)是無限的，故B不是古典概型；C項(xiàng)中滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D項(xiàng)中樣本點(diǎn)既不是有限個也不具有等可能性，故D不是．故選：C4.經(jīng)過點(diǎn)的直線在軸上的截距是（）A. B. C.10 D.2【正確答案】A【分析】先求得直線的方程，從而求得縱截距.【詳解】直線的斜率為，所以直線的方程為，縱截距為.故選：A5.已知點(diǎn)A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么過點(diǎn)P平行于平面ABC的平面與平面ABC的距離是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求得平面ABC的一個法向量，由求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），所以，設(shè)平面ABC的一個法向量為，則，即，令，得，則，所以，故選：C6.已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.【詳解】，而，故直線的取值范圍為，故選：A.7.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點(diǎn)數(shù)分別為），先后拋擲兩次，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為m，n，記向量，的夾角為，則為鈍角的概率是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先根據(jù)已知求出滿足條件的滿足的關(guān)系式，然后分別令，求得滿足條件的.然后即可根據(jù)古典概型概率公式，得出答案.【詳解】由可得，，所以.因?yàn)闉殁g角，所以，且不共線，所以，即，且.當(dāng)時，有且，所以可取1，3，4，5，6；當(dāng)時，有，可取3，4，5，6；當(dāng)時，有，可取5，6；當(dāng)，，時，，此時無解.綜上所述，滿足條件的有11種可能.又先后拋擲兩次，得到的樣本點(diǎn)數(shù)共36種，所以為鈍角的概率故選：D.8.如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，H為PC上的點(diǎn)，且，點(diǎn)G在AH上，且.若G，B，P，D四點(diǎn)共面，則m為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】以為基底，表示向量，由可求值.【詳解】因.由G，B，P，D四點(diǎn)共面，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.下列四個結(jié)論正確的是（）A.任意向量，，若，則或或B.若空間中點(diǎn)O，A，B，C滿足，則A，B，C三點(diǎn)共線C.空間中任意向量都滿足D.若，，則【正確答案】AB【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的概念判斷AC的真假；根據(jù)三點(diǎn)共線的有關(guān)結(jié)論判斷B的真假；舉特例說明D錯誤.【詳解】對A：因?yàn)?，若，則或或，即或或，故A正確；對B：因?yàn)?，時，三點(diǎn)共線，故B正確；對C：因?yàn)閮蓚€向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)，故是與共線的向量，是與共線的向量，所以未必成立，故C錯誤；對D：當(dāng)時，對任意向量，，都成立，但未必成立，故D錯誤.故選：AB10.已知某籃球運(yùn)動員共投籃兩次，記事件“第一次投籃投中”，事件“第二次投籃投中”，事件“兩次投籃均投中”，則下列說法正確的是（）A.，互為互斥事件 B.與互為互斥事件C. D.與互為對立事件【正確答案】BD【分析】由互斥事件和對立事件的性質(zhì)集合題意逐項(xiàng)分析即可；【詳解】對于A，，兩個事件可以同時發(fā)生，故A錯誤；對于B，與不可能同時發(fā)生，故B正確；對于C，為，的交事件，故C錯誤；對于D，對應(yīng)事件是第一次投籃未投中或第二次投籃未投中，故與互為對立事件，D正確.故選：BD.11.已知正方體棱長為2，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則（）A.直線與所成角的取值范圍是B.三棱錐的體積為定值C.D.的最小值為【正確答案】ACD【分析】由轉(zhuǎn)化異面直線所成的角，在等邊中分析可知選項(xiàng)A正確；利用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化可得選項(xiàng)B錯誤；由數(shù)量積的定義可判斷選項(xiàng)C正確；把和沿展開，即可計算的最小值，得到選項(xiàng)D正確.【詳解】A.如圖，連接，由題意得，，，直線AP與所成的角等于直線AP與所成的角，在等邊中，當(dāng)點(diǎn)與兩點(diǎn)重合時，直線AP與所成的角為，當(dāng)點(diǎn)與中點(diǎn)重合時，，此時直線AP與所成的角為，故直線AP與所成角的取值范圍是，選項(xiàng)A正確.B.如圖所示，∵，平面，平面，∴平面，∴直線上任意一點(diǎn)到平面的距離均相等，∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，∴，選項(xiàng)B錯誤.C.設(shè)，則，當(dāng)時，有最小值，當(dāng)或0時，有最大值0，∴，即，∴，∵，∴，選項(xiàng)C正確.D.把和沿展開，如圖所示當(dāng)三點(diǎn)共線時，有最小值，最小值為，由題意得，，，∴，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線的方向向量為，點(diǎn)在上，則點(diǎn)到的距離為_______.【正確答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的空間向量坐標(biāo)公式求解即可【詳解】根據(jù)題意，得，，，；又點(diǎn)到直線l的距離為．故13.在某項(xiàng)體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下：90899095939493去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為________．【正確答案】2.8##【分析】根據(jù)方差的概念計算【詳解】去掉一個最高分95和一個最低分89后，所剩數(shù)據(jù)90，90，93，94，93的平均數(shù)為（90+90+93+94+93）=92；方差為[（90-92）2+（90-92）2+（93-92）2+（94-92）2+（93-92）2]=2.8故2.814.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣，芻，草也，甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．芻甍是茅草屋頂．”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，其中四邊形為矩形，，若，和都是正三角形，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為______.【正確答案】【分析】取中點(diǎn)，連接，，易證平面，再由等邊三角形可知四邊形為等腰梯形，高為，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可得異面直線夾角余弦值.【詳解】如圖所示，設(shè)，取中點(diǎn)，連接，，則，又，，四邊形為矩形，，又為正三角形，為的中點(diǎn)，，，且，平面，平面，易知，則，四邊形為等腰梯形，高為，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的垂線，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，即，，，即異面直線與的夾角余弦值為，故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在長方體中，，，分別的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）判斷與平面是否垂直，并說明理由．【正確答案】（1）證明見解析；（2）不垂直，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由（1）中空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積計算判斷即得.【小問1詳解】在長方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，，分別的中點(diǎn)，得，，顯然平面的一個法向量，則，于是，有平面，而平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，，則有，而，于是向量與向量不垂直，即直線與不垂直，而平面，所以與平面不垂直.16.已知直線，直線.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行公式計算即可求參，再檢驗(yàn)是否重合；（2）根據(jù)兩條直線垂直公式計算即可求參.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，整理得解得?當(dāng)時，重合；當(dāng)時，，符合題意.故.【小問2詳解】因?yàn)?，所以解得?17.新冠肺炎疫情在我國爆發(fā)以來，我國舉國上下眾志成城、團(tuán)結(jié)一致抗擊新冠肺炎疫情，經(jīng)過幾個月的努力，我國的疫情已經(jīng)得到有效控制．為了解大眾對新冠肺炎相關(guān)知識的掌握情況，某網(wǎng)站舉行“新冠肺炎”防控知識競賽網(wǎng)上答題，共有人通過該網(wǎng)站參加了這次競賽，為了解競賽成績情況，從中隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖；（1）試估計這名學(xué)生成績的第百分位數(shù)；（2）若采用分層抽樣的方法從成績在，80,90，90,100的學(xué)生中共抽取人參加志愿者活動．現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人分享活動經(jīng)驗(yàn)，求抽取的人成績都在的概率．【正確答案】（1）（2）1【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的求法求得正確答案.（2）根據(jù)分層抽樣、列舉法以及古典概型概率計算公式求得正確答案.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得成績小于的頻率為，成績在80,90的頻率為，因?yàn)?，所以這名學(xué)生成績的第百分位數(shù)在80,90內(nèi)，所以隨機(jī)抽取的名學(xué)生成績的第百分位數(shù)為【小問2詳解】因?yàn)槌煽冊冢?0,90，90,100的學(xué)生人數(shù)所占比例為,所以從成績在，80,90，90,100所抽取人數(shù)分別應(yīng)抽取人，人，人．記抽取成績在的人為，成績在為，，．從這人中隨機(jī)抽取人的所有可能為：，，共種，抽取的人成績都在的是，共種，抽取的人成績都在的概率為·18.如圖，小軍與小玲共同發(fā)明了一種“字母棋”，進(jìn)行比勝負(fù)的游戲她們用四種字母做成10個棋子，其中A棋1個，B棋2個，C棋3個，D棋4個，“字母棋”的游戲規(guī)則為：①游戲時兩人各摸一個棋子進(jìn)行比賽稱一輪比賽，先摸者摸出的棋子不放回；②A棋勝B棋，C棋；B棋勝C棋，D棋；C棋勝D棋；D棋勝A棋；③相同棋子不分勝負(fù)，（1）若小玲先摸，問小玲摸到C棋的概率是多少？（2）已知小玲先摸到了C棋，小軍在剩余的9個棋中隨機(jī)摸一個，問這一輪中小玲勝小軍的概率是多少？（3）已知小玲先摸一個棋，小軍在剩余的9個棋中隨機(jī)摸一個，問這一輪中小玲希望摸到哪種棋勝小軍的概率最大？【正確答案】（1）（2）（3）小玲希望摸到棋，小玲勝小軍的概率最大【分析】（1）（2）利用古典概型的概率公式即可得解；（3）分別分析小玲摸到不同棋子勝小軍的概率，從而得解.【小問1詳解】依題意，一共有10個棋子，其中C棋3個，所以小玲摸到棋的概率等于；【小問2詳解】因?yàn)镃棋勝D棋，D棋4個，所以小玲在這一輪中勝小軍的概率是；【小問3詳解】若小玲摸到棋，小玲勝小軍的概率是；若小玲摸到棋，小玲勝小軍概率是；若小玲摸到棋，小玲勝小軍的概率是；若小玲摸到棋，小玲勝小軍的概率是；由此可見，小玲希望摸到棋，小玲勝小軍的概率最大.19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，是的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出求線段的長；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）（2）（3）存在，或【分析】（1）由題意可得，進(jìn)而計算可得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量數(shù)量積公式求解二面角的余弦