重慶市2024-2025學(xué)年高二上期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（含解析）

重慶市2024-2025學(xué)年高二上期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上2．回答選擇照時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選除其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（

）A. B. C.1 D.2.已知空間向量，且，則（）A.10 B.6 C.4 D.3.設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則（）A.或 B.或C. D.4.已知，，三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與，，三點共面，則的值為（）A. B. C. D.5.已知三點共線，則（）A. B.6 C. D.26.如圖，在平行六面體中，點E，F(xiàn)分別為AB，的中點，則（

）A. B.C. D.7.已知，，則的最小值為（）A. B. C. D.8.如圖所示，正方體的棱長為1，點分別為的中點，則下列說法正確的是（）A.直線與直線垂直 B.直線與平面平行C.三棱錐的體積為 D.直線BC與平面所成的角為二、多項選擇題，本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分部分選對的得2分有選錯的得0分．9.如圖，直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為，，，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.10.已知是空間的一組基底，則下列說法正確的是（）A. B.若，則C.在上的投影向量為 D.一定能構(gòu)成空間的一組基底11.如圖，邊長為1正方形所在平面與正方形在平面互相垂直，動點分別在正方形對角線和上移動，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A.，使B.線段存在最小值，最小值為C.直線與平面所成的角恒為45°D.，都存在過且與平面平行的平面三、填空題．本題共3小題．每小題5分，共15分12.點關(guān)于平面對稱點是___________.13.已知空間直角坐標系中的三點、、，則點A到直線BC的距離為______．14.在正三棱錐中，是的中心，，則______________．四、解答題本小題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知直線l經(jīng)過兩點，同當m取何值時；（1）直線l與x軸平行？（2）直線l斜率不存在；（3）直線傾斜角為銳角？16.如圖，在平行六面體中，，.（1）求體對角線的長度；（2）求證：四邊形正方形.17.如圖，在多面體中，，，.側(cè)面為矩形，平面，平面ABC，（1）求直線與平面所成角正弦值（2）求直線到平面的距離.18.如圖，在四棱錐中，，，，三棱錐的體積為.（1）求點到平面的距離；（2）若，平面平面，點在線段上，，求平面與平面夾角的余弦值.19.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，沿EF將四邊形EFCD折起，使二面角的大小為60°，點M在線段AB上.（1）若M為AB中點，且直線MF與直線EA的交點為O，求OA的長，并證明直線平面EMC；（2）是否存在點M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°；若存在，求此時二面角的余弦值，若不存在，說明理由.重慶市2024-2025學(xué)年高二上期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上2．回答選擇照時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選除其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為（

）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】利用直線的斜率和直線傾斜角的關(guān)系進行求解即可.【詳解】由直線的傾斜角為，則直線的斜率，故選：C.2.已知空間向量，且，則（）A.10 B.6 C.4 D.【正確答案】C【分析】運用空間向量平行的坐標結(jié)論計算.【詳解】因為，所以,即，則.故選：C.3.設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則（）A.或 B.或C. D.【正確答案】A【分析】依題意可得，即可，即可判斷.【詳解】因為是直線的方向向量，是平面的法向量，所以，所以，所以或.故選：A4.已知，，三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與，，三點共面，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)點與，，三點共面，可得，從而可得答案.【詳解】因為，，三點不共線，點與，，三點共面，又，所以，解得.故選：A.5.已知三點共線，則（）A. B.6 C. D.2【正確答案】B【分析】根據(jù)三點共線列方程，從而求得的值.【詳解】由題可得，即，解得．故選：B6.如圖，在平行六面體中，點E，F(xiàn)分別為AB，的中點，則（

）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用空間向量的基底表示向量.【詳解】在平行六面體中，點E，F(xiàn)分別為AB，的中點，則.故選：A7.已知，，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用向量模的計算公式即可得出．【詳解】，∴，當且僅當時取等號．∴的最小值為．故選：D.8.如圖所示，正方體的棱長為1，點分別為的中點，則下列說法正確的是（）A.直線與直線垂直 B.直線與平面平行C.三棱錐的體積為 D.直線BC與平面所成的角為【正確答案】B【分析】A選項根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷；對于B，D利用空間向量判斷，對于C，利用體積公式求解即可.【詳解】A選項：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯誤；如圖建立空間直角坐標系，則，對于B，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為，所以，所以，因為在平面外，所以直線與平面平行，所以B正確，對于C，，所以三棱錐的體積為，所以C錯誤，對于D，，直線BC與平面所成角為，，所以D錯誤，故選：B.二、多項選擇題，本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分部分選對的得2分有選錯的得0分．9.如圖，直線，，的斜率分別為，，，傾斜角分別為，，，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】AD【分析】利用斜率與傾斜角的定義，結(jié)合圖象判斷即可得.【詳解】由圖可得，，故A、D正確.故選：AD.10.已知是空間的一組基底，則下列說法正確的是（）A. B.若，則C.在上的投影向量為 D.一定能構(gòu)成空間的一組基底【正確答案】BCD【分析】A選項，與共線，與共線，根據(jù)基底概念得到不共線，故A錯誤；B選項，假設(shè)x，y，z不全為0，推出矛盾，故假設(shè)不成立，B正確；C選項，根據(jù)投影向量的公式得到C正確；D選項，設(shè)，得到方程組，無解，故不共面，一定能構(gòu)成基底.【詳解】A選項，與共線，與共線，為一組基底，故不共線，故不可能成立，故A不正確；B選項，是空間的一組基底，故三個向量不共面且兩兩共面不共線，假設(shè)x，y，z不全為0，不妨設(shè)，，此時有，故，矛盾；不妨設(shè)，此時，故共線，矛盾；若三者均不為0，即，此時共面，矛盾，綜上，假設(shè)不成立，故，B正確．C選項，在上的投影向量為，C正確．D選項，設(shè)，則，即，無解，故不共面，一定能構(gòu)成空間的一組基底，D正確．故選：BCD．11.如圖，邊長為1的正方形所在平面與正方形在平面互相垂直，動點分別在正方形對角線和上移動，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A.，使B.線段存在最小值，最小值C.直線與平面所成的角恒為45°D.，都存在過且與平面平行的平面【正確答案】AD【分析】利用向量的線性運算可得，結(jié)合向量的模的計算可判斷B的正誤，結(jié)合向量夾角的計算可判斷C的正誤，結(jié)合共面向量可判斷D的正誤.【詳解】因為四邊形正方形，故，而平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故.設(shè)，則，其中，由題設(shè)可得，，對于A，當即時，，故A正確；對于B，，故，當且僅當即時等號成立，故，故B錯誤；對于C，由B的分析可得，而平面的法向量為且，故，此值不是常數(shù)，故直線與平面所成的角不恒為定值，故C錯誤；對于D，由B的分析可得，故為共面向量，而平面，故平面，故D正確；故選：AD三、填空題．本題共3小題．每小題5分，共15分12.點關(guān)于平面對稱點是___________.【正確答案】【分析】根據(jù)關(guān)于什么對稱什么不變來得答案.【詳解】點關(guān)于平面對稱點是故13.已知空間直角坐標系中的三點、、，則點A到直線BC的距離為______．【正確答案】##【分析】求出直線的方向向量，再利用點到直線距離公式計算即得.【詳解】依題意，，所以點A到直線BC的距離.故答案：14.在正三棱錐中，是的中心，，則______________．【正確答案】16【分析】選擇為空間向量的基底，表示向量，再計算數(shù)量積即可.【詳解】如圖：首先：，.又.所以.故16四、解答題本小題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知直線l經(jīng)過兩點，同當m取何值時；（1）直線l與x軸平行？（2）直線l斜率不存在；（3）直線的傾斜角為銳角？【正確答案】（1）（2）（3）【分析】根據(jù)直線斜率的定義以及公式，解得直線位置關(guān)系，可得答案.【小問1詳解】若直線l與x軸平行，則直線l的斜率，所以．【小問2詳解】若直線l與y軸平行，則直線l的斜率不存在，所以.【小問3詳解】由題意可知，直線l的斜率，即，解得．16.如圖，在平行六面體中，，.（1）求體對角線的長度；（2）求證：四邊形為正方形.【正確答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積的運算律求出.（2）利用平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合已知及正方形的判斷推理即得.【小問1詳解】在平行六面體中，，由，，得，所以.【小問2詳解】在平行六面體中，，則四邊形為平行四邊形，由，，得是等邊三角形，即，則為菱形；又，則，即，所以四邊形為正方形.17.如圖，在多面體中，，，.側(cè)面為矩形，平面，平面ABC，（1）求直線與平面所成角的正弦值（2）求直線到平面的距離.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；（2）利用空間向量點到面距離公式進行求解即可【小問1詳解】因為側(cè)面為矩形，所以，因為平面，平面，所以，于是建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，設(shè)平面的法向量為，，直線與平面所成角的正弦值為；【小問2詳解】因為側(cè)面為矩形，所以，而平面，平面，所以平面，因此直線到平面的距離就是點到平面的距離，設(shè)為，即.18.如圖，在四棱錐中，，，，三棱錐的體積為.（1）求點到平面的距離；（2）若，平面平面，點在線段上，，求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)等體積法求得點到平面的距離；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】設(shè)點到平面距離為，則，由題可知，所以，所以點到平面的距離為.【小問2詳解】取的中點，連接，因為，又平面平面且交線為，平面，，所以平面，由（1）知.由題意可得，所以，所以.以點為坐標原點，為軸，為軸，過點作的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，依題意，所以.設(shè)平面的法向量為n1=則，故可設(shè)，平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，沿EF將四邊形EFCD折起，使二面角的大小為60°，點M在線段AB上.（1）若M為AB的中點，且直線MF與直線EA的交點為O，求OA的長，并證明直線平面EMC；（2）是否存在點M，使得直線DE與平面EMC所成的角為60°；若存在，求此時二面角的余弦值，若不存在，說明理由.【正確答案】（1）；證明見解析；（2）存在點，使得直線與平面所成的角為；此時二面角的余弦值為.【分析】（1）根據(jù)中位線性質(zhì)可求得，由，結(jié)合線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）由二面角平面角定義可知，取中點，由線面垂直的判定和勾股定理可知兩兩互相垂直，則以為坐標原點建立空間直角坐標系；設(shè)，利用線面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】分別為中點，，且，又為中點，且，易得，連接，交于點，連接，由題設(shè)，易知四邊形為平行四邊形，為中點，是的中點，為中點