2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營(yíng)-第8節(jié)-函數(shù)與方程

第8節(jié)函數(shù)與方程1．(2022?山東省日照市模擬)已知函數(shù)f(x)=2x＋x3－8的零點(diǎn)x0∈(m，m＋1)，則整數(shù)m的值為()A．－1 B．0C．1 D．2答案：C解析：因?yàn)閒(1)=2＋1－8=－5<0，f(2)=22＋23－8=4>0，且函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，則存在唯一的零點(diǎn)x0∈(1，2)，所以m=1.故選C.2．(2022?江蘇省南通模擬)函數(shù)f(x)=sin2x－cosx在[0，3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．5 B．6C．7 D．8答案：C解析：當(dāng)x∈[0，3π]時(shí)，由f(x)=sin2x－cosx=2sinxcosx－cosx=cosx(2sinx－1)=0.若cosx=0，可得x=eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)，eq\f(5π,2)；若sinx=eq\f(1,2)，可得x=eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)，eq\f(13π,6)，eq\f(17π,6).綜上所述，函數(shù)f(x)=sin2x－cosx在[0，3π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7.故選C.3．(2022?福建省模擬)若曲線y=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4，x>a,（x－1）（x－3），x≤a))與x軸有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．1≤a≤2 B．a(chǎn)≥3C．1≤a≤2或a≥3 D．1≤a<2或a≥3答案：D解析：作出函數(shù)y=2x－4與y=(x－1)(x－3)的圖象，當(dāng)a<1時(shí)，只有B一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)1≤a<2時(shí)，有A，B兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)2≤a<3時(shí)，有A一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a≥3時(shí)，有A，C兩個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1≤a<2或a≥3.故選D.4．(2022?成都診斷)已知函數(shù)f(x)=(eq\f(1,3))x－log2x，設(shè)0<a<b<c，且滿足f(a)?f(b)?f(c)<0，若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)=0的一個(gè)解，那么下列不等式中不可能成立的是()A．x0<a B．x0>cC．x0<c D．x0>b答案：B解析：f(x)=(eq\f(1,3))x－log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，由f(a)?f(b)?f(c)<0，得f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0或f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0，∴x0<a或b<x0<c，故x0>c不成立．5．(2022?河北省保定市模擬)已知函數(shù)f(x)=ex(x<1)，函數(shù)g(x)=k(x＋2)，若兩函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(eq\f(1,e)，eq\f(e,3)) B．(eq\f(1,e)，＋∞)C．(eq\f(1,e)，eq\f(e,3)] D．(－∞，e]答案：A解析：由題知f′(x)=ex，設(shè)切點(diǎn)為(x0，ex0)，則切線方程為y－ex0=ex0(x－x0)．將(－2，0)代入可得x0=－1，故當(dāng)g(x)=k(x＋2)與f(x)=ex(x<1)相切時(shí)，k=eq\f(1,e)，A(1，e)，C(－2，0)，故由兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)可得eq\f(1,e)<k<eq\f(e－0,1－（－2）)，即eq\f(1,e)<k<eq\f(e,3).故選A.6．(2022?河北省模擬)已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,3－f（－x），x<0，))若函數(shù)y=f(f(x))－a有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪[2，＋∞)B．(－∞，0)∪[4，＋∞)C．(－∞，1)∪[4，＋∞)D．(－∞，1)∪[2，＋∞)答案：C解析：已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0,3－f（－x），x<0))，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=3－f(－x)=3－(eq\f(1,2))x.作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：令f(x)=t，t∈R，因?yàn)閒(t)=a有且只有一個(gè)根，所以當(dāng)t≥2時(shí)，對(duì)應(yīng)的x只有一個(gè)解，此時(shí)f(t)≥4，即a≥4；當(dāng)t<－1時(shí)，對(duì)應(yīng)的x只有一個(gè)解，此時(shí)f(t)<1，即a<1.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1)∪[4，＋∞)．7．(2022?山東省煙臺(tái)市模擬)若函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（－x），x<0,2x＋21－x－a，x≥0))的所有零點(diǎn)之和為0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(2eq\r(2)，3] B．[2eq\r(2)，3]C．(2eq\r(2)，＋∞) D．[2eq\r(2)，＋∞)答案：A解析：當(dāng)x<0時(shí)，易得f(x)的零點(diǎn)為x0=－1，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x＋21－x－a.因?yàn)楫?dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=f(1－x)，所以f(x)的圖象在[0，1]上關(guān)于直線x=eq\f(1,2)對(duì)稱．又x≥0時(shí)，f′(x)=ln2×eq\f(22x－2,2x)，當(dāng)x>eq\f(1,2)時(shí)，f′(x)>0，故f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0<x<eq\f(1,2)時(shí)，f′(x)<0，故f(x)單調(diào)遞減，且f(0)=1＋2－a，f(eq\f(1,2))=2eq\r(2)－a.因?yàn)閒(x)的所有零點(diǎn)之和為0，故f(x)在[0，1]內(nèi)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）≥0,f（\f(1,2)）<0))，解得2eq\r(2)<a≤3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2eq\r(2)，3]．故選A.8．(2022?濟(jì)南質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=ex－e－x＋4，若方程f(x)=kx＋4(k>0)有三個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3=________．答案：0解析：易知y=ex－e－x為奇函數(shù)，且其圖象向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=f(x)的圖象．所以y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，4)對(duì)稱．又y=kx＋4過(guò)點(diǎn)(0，4)且關(guān)于點(diǎn)(0，4)對(duì)稱，所以方程f(x)=kx＋4的三個(gè)根中有一個(gè)為0，且另兩根之和為0，因此x1＋x2＋x3=0.9．(2022?濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，0≤x≤1，,|ln(x－1)|，x>1，))若方程f(x)=kx－2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案：[3，＋∞)解析：由題意知函數(shù)f(x)的圖象與恒過(guò)定點(diǎn)(0，－2)的直線y=kx－2有兩個(gè)交點(diǎn)，作出y=f(x)與y=kx－2的圖象，如圖所示．當(dāng)直線y=kx－2過(guò)點(diǎn)(1，1)時(shí)，k=3.結(jié)合圖象知，當(dāng)k≥3時(shí)，直線y=kx－2與y=f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．10．(2022?福建省莆田市模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x＋2)=f(－x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)=log2(x＋1)，則函數(shù)y=f(x)－x3的零點(diǎn)有________個(gè)．答案：3解析：由f(x＋2)=f(－x)可得f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱，由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x＋2)=f(－x)=－f(x)=－[－f(x－2)]=f(x－2)，所以f(x)的周期為4.函數(shù)y=f(x)－x3的零點(diǎn)問(wèn)題即y=f(x)－x3=0的解，即函數(shù)y=f(x)和y=x3的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)f(x)的性質(zhì)可得如圖所示的圖形，結(jié)合y=x3的圖象，由圖象可得共有3個(gè)交點(diǎn)，故共有3個(gè)零點(diǎn)．B級(jí)(綜合創(chuàng)新練)11．(多選題)(2022?廣東省佛山市模擬)已知函數(shù)f(x)=xln(2x＋2－x)，則以下結(jié)論正確的是()A．f(x)為奇函數(shù)B．f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增C．曲線y=f(x)在(0，f(0))處的切線的斜率為ln2D．函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)答案：ABC解析：對(duì)A，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且有y=x為奇函數(shù)，y=2x＋2－x為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)=xln(2x＋2－x)為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)B，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，y=x為增函數(shù)，而y=2x＋2－x≥2，則ln(2x＋2－x)≥ln2>0，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，y=2x＋2－x為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)=xln(2x＋2－x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)C，設(shè)h(x)=ln(2x＋2－x)，于是f(x)=xh(x)，由f′(x)=x′h(x)＋xh′(x)得f′(0)=h(0)=ln2，故C正確；對(duì)D，函數(shù)f(x)=xln(2x＋2－x)在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(x)為奇函數(shù)，即函數(shù)f(x)=xln(2x＋2－x)在區(qū)間R上單調(diào)遞增，只有一個(gè)零點(diǎn)為x=0，故D錯(cuò)誤．故選ABC.12．(多選題)(2022?濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))若x1<x2<x3<x4，且f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=k，則下列結(jié)論正確的是()A．x1＋x2=－1 B．x3x4=1C．1<x4<2 D．0<k<1答案：BCD解析：由函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))作出其函數(shù)圖象如圖所示：由圖可知x1＋x2=－2，－2<x1<－1.當(dāng)y=1時(shí)，|log2x|=1，有x=eq\f(1,2)，2，所以eq\f(1,2)<x3<1<x4<2.由f(x3)=f(x4)，得|log2x3|=|log2x4|，即log2x3＋log2x4=0，所以x3x4=1，由圖可知0<k<1.故選BCD.13．(2021?天津卷)設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos(2πx－2πa)，x<a,x2－2(a＋1)x＋a2＋5，x≥a))，若f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．(2，eq\f(9,4)]∪(eq\f(5,2)，eq\f(11,4)] B．(eq\f(7,4)，2)∪(eq\f(5,2)，eq\f(11,4))C．(2，eq\f(9,4)]∪[eq\f(11,4)，3) D．(eq\f(7,4)，2)∪[eq\f(11,4)，3)答案：A解析：∵x2－2(a＋1)x＋a2＋5=0最多有2個(gè)根，所以cos(2πx－2πa)=0至少有4個(gè)根，由2πx－2πa=eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z可得x=eq\f(k,2)＋eq\f(1,4)＋a，k∈Z，由0<eq\f(k,2)＋eq\f(1,4)＋a<a(k∈Z)可得－2a－eq\f(1,2)<k<－eq\f(1,2)(k∈Z)．(1)當(dāng)x<a，即－5≤－2a－eq\f(1,2)<－4時(shí)，f(x)有4個(gè)零點(diǎn)，即eq\f(7,4)<a≤eq\f(9,4)；當(dāng)－6≤－2a－eq\f(1,2)<－5時(shí)，f(x)有5個(gè)零點(diǎn)，即eq\f(9,4)<a≤eq\f(11,4)；當(dāng)－7≤－2a－eq\f(1,2)<－6時(shí)，f(x)有6個(gè)零點(diǎn)，即eq\f(11,4)<a≤eq\f(13,4).(2)當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)=x2－2(a＋1)x＋a2＋5，Δ=4(a＋1)2－4(a2＋5)=8(a－2)．當(dāng)a<2時(shí)，Δ<0，f(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a=2時(shí)，Δ=0，f(x)有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>2時(shí)，令f(a)=a2－2a(a＋1)＋a2＋5=－2a＋5≥0，則2<a≤eq\f(5,2)，此時(shí)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)；所以若a>eq\f(5,2)，則f(x)有1個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，要使f(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)<a≤\f(9,4),2<a≤\f(5,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)<a≤\f(11,4),a＝2或a>\f(5,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)<a≤\f(13,4),a<2))，故可解得a的取值范圍是(2，eq\f(9,4)]∪(eq\f(5,2)，eq\f(11,4)]．14．已知λ∈R，函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ.))(1)當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是________．(2)若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是________．答案：(1)(1，4)(2)(1，3]∪(4，＋∞)解析：(1)若λ=2，當(dāng)x≥2時(shí)，令x－4<0，得2≤x<4；當(dāng)x<2時(shí)，令x2－4x＋3<0，解得1<x<2.綜上可知，1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集為(1，4)．(2)令f(x)=0，當(dāng)x≥λ時(shí)，x=4，當(dāng)x<λ時(shí)，x2－4x＋3=0，解得x=1或x=3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合如圖所示的函數(shù)的圖象知1<λ≤3或λ>4.15．(2021?北京卷)已知函數(shù)f(x)=|lgx|－kx－2，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若k=0，則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；②?k<0，使得f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；③?k<0，使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；④?k>0，使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)．以上正確結(jié)論的序號(hào)是________．答案：①②④解析：對(duì)于①，當(dāng)k=0時(shí)，由f(x)=|lgx|－2=0，可得x=eq\f(1,100)或x=100，①正確；對(duì)于②，設(shè)直線y=kx＋2與曲線y=－lgx(0<x<1)相切于點(diǎn)P(t，－lgt)，對(duì)函數(shù)y=－lgx求導(dǎo)得y′=－eq\f(1,xln10)，由題意可得eq\b\lc