四川省南充市閬中東風學校2024-2025學年高三上學期12月月考數學試題

東風中學校高2022級12月月考試題數學試卷一．單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1已知集合，，若，則實數（）A. B. C. D.或12.為虛數單位，復數，則的虛部為（）A. B. C. D.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分出不必要條件4.已知圓錐和圓柱底面半徑相等，若圓錐的母線長是底面半徑的倍，圓柱的高與底面半徑相等，則圓錐與圓柱的體積之比為（）A. B. C. D.5.若曲線在處的切線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.36.在中，邊上中線，則（）A.1 B.2 C.4 D.87.已知數列的首項，前n項和，滿足，則（）A. B. C. D.8.已知定義在[，]上的函數滿足，且當x[，1]時，，若方程有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍是（）A.(，] B.(，]C.(，] D.(，]二?多選題（本題共3個小題，每個小題6分，共計18分，在每小題給出的選項中，有多要符合題目要求，全部遠對的每6分，部分遠對的得部分分有選錯的得0分）9.已知拋物線的焦點為為坐標原點，點在拋物線上，若，則（）A.的坐標為 B.C. D.10.從中隨機取一個數記為，從中隨機取一個數記為，則下列說法正確的是（）A.事件“為偶數”的概率為B.事件“為偶數”的概率為C.設，則的數學期望為D.設，則在的所有可能的取值中最有可能取到的值是1211.在直棱柱中，底面為正方形，為線段上動點，分別為和的中點，則下列說法正確的是（）A.當，則三線交于一點B.三棱錐的體積為定值C.直線與所成角的余弦值為D.的最小值為三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分把答案填在題中的橫線上）12.的展開式中常數項是______．（用數字作答）13.若數列滿足，其前項和，若，則__________.14.設雙曲線（）的右頂點為F，且F是拋物線的焦點．過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，滿足，若點A也在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為__________．四?解答題（本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.如圖，正四棱柱中，為的中點，，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．16.已知函數的圖象關于點中心對稱.（1）求、的值；（2）若，當時，的最小值為，求的值.17.中，設角，，所對的邊分別為，，，.（1）求的大小；（2）若的周長等于3，求的面積的最大值.18.某工廠生產某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時間不低于10小時的為合格品，工程師選擇某臺生產電池的機器進行參數調試，在調試前后，分別在其產品中隨機抽取樣本數據進行統(tǒng)計，制作了如下的列聯(lián)表：產品合格不合格合計調試前451560調試后35540合計8020100（1）根據表中數據，依據的獨立性檢驗，能否認為參數調試與產品質量有關聯(lián)；（2）現(xiàn)從調試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機抽樣法抽取8件產品重新做參數調試，再從這8件產品中隨機抽取3件做對比分析，記抽取的3件中合格的件數為，求的分布列和數學期望；（3）用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機抽取調試后的產品1000件，記其中合格的件數為，求使事件“”的概率最大時的取值.參考公式及數據：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.82819.已知是首項為等差數列，其前項和為，，為等比數列，，．（1）求和通項公式；（2）求數列的前項和；（3）記，若對任意恒成立，求實數的取值范圍．東風中學校高2022級12月月考試題數學試卷一．單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.已知集合，，若，則實數（）A. B. C. D.或1【答案】C【解析】【分析】由集合間的關系建立等量關系，求得實數的值.【詳解】∵，∴，即.故選：C.2.為虛數單位，復數，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用復數的除法運算化簡復數，再根據虛部的定義即可求解.【詳解】，所以的虛部為，故選：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分出不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式，根據必要不充分條件的概念可判斷.【詳解】由得，因為是的真子集，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知圓錐和圓柱底面半徑相等，若圓錐的母線長是底面半徑的倍，圓柱的高與底面半徑相等，則圓錐與圓柱的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設圓錐和圓柱底面半徑為，表示圓錐和圓柱的高，利用圓錐和圓柱的體積公式可得結果.【詳解】設圓錐和圓柱底面半徑為，則圓錐母線長，圓柱的高為，故圓錐高，圓錐體積，圓柱體積，所以.故選：C.5.若曲線在處的切線的傾斜角為，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】求出函數的導數，將2代入導數求出的值，根據同角三角函數的基本關系求出結果.【詳解】因為，所以，，則.故選：D.6.在中，邊上的中線，則（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】利用，由數量積定義計算即可．【詳解】因為，所以.故選：B.7.已知數列的首項，前n項和，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據得到，兩式相減得到，求出即可求解.【詳解】因為，所以，兩式相減得，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.8.已知定義在[，]上的函數滿足，且當x[，1]時，，若方程有三個不同的實數根，則實數a的取值范圍是（）A.(，] B.(，]C.(，] D.(，]【答案】B【解析】【分析】由題設，求分段函數的解析式并畫出圖像，將方程有三個不同實根轉化為和有三個不同的交點問題，由數形結合思想結合導數研究函數的交點情況，進而求參數的范圍.【詳解】∵當時，，∴當時，，綜上，，當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，∵有三個不同的實數根，∴的圖像和直線有三個不同的交點，作的大致圖像如圖所示，當直線和的圖像相切時，設切點為，∴，可得，，代入，可得，當過點時，，由圖知，實數的取值范圍為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：將方程有三個不同的實數根轉化為函數圖象有三個不同交點問題，應用數形結合思想及導數研究函數圖象的交點情況，求參數.二?多選題（本題共3個小題，每個小題6分，共計18分，在每小題給出的選項中，有多要符合題目要求，全部遠對的每6分，部分遠對的得部分分有選錯的得0分）9.已知拋物線的焦點為為坐標原點，點在拋物線上，若，則（）A.的坐標為 B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據拋物線的定義和標準方程，以及拋物線的幾何性質，逐項判定，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，且焦點在y軸正半軸上，則焦點，所以A錯誤；由拋物線定義,可得，解得，所以B正確；由，可得，所以，則，所以C不正確；由，所以D正確．故選：BD．10.從中隨機取一個數記為，從中隨機取一個數記為，則下列說法正確的是（）A.事件“為偶數”的概率為B.事件“為偶數”的概率為C.設，則的數學期望為D.設，則在的所有可能的取值中最有可能取到的值是12【答案】ACD【解析】【分析】由古典概型的概率模型求解概率即可判斷A，B選項；求出的分布情況，利用公式求解數學期望即可判斷C選項；求出的所有可能的取值的概率即可判斷D選項.【詳解】從中隨機取一個數記為，從中隨機取一個數記為，則樣本空間為：，對于A：所以為偶數有：四種，所以概率為，故A正確；對于B：為偶數的有：七種情況，所以概率為，故B錯誤；對于C：設，則，，，，，，所以，故C正確；對于D：設，則，,，所以在的所有可能的取值中最有可能取到的值是，故D正確；故選：ACD11.在直棱柱中，底面為正方形，為線段上動點，分別為和的中點，則下列說法正確的是（）A.當，則三線交于一點B.三棱錐的體積為定值C.直線與所成角的余弦值為D.最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據中點關系，可得三角形全等，即可判斷A，根據等體積法即可求解B，利用余弦定理即可求解CD.【詳解】由于分別為和的中點，延長,相交于，則,故,取中點,連接交于，則,故,又,是中點，，故在一條直線上，因此與重合，故三線交于一點,正確，由于平面,平面，故平面，又為線段上動點，因此到平面的距離與到平面的距離相等，故,故B正確，對于C，由于故即為直線與所成角或其補角，由于,故由余弦定理可得，故C錯誤，對于D，如圖，沿著將四邊形展開，得到平面圖，連接交于，則由余弦定理可得，故D正確，故選：ABD三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分把答案填在題中的橫線上）12.的展開式中常數項是______．（用數字作答）【答案】15【解析】【分析】寫出二項展開式的通項，由的指數為0求得值，則答案可求．【詳解】解：由．取，得．展開式中常數項為．故答案為：15．13.若數列滿足，其前項和為，若，則__________.【答案】17【解析】【分析】由已知可得數列為等差數列，設數列的公差為，根據已知條件求出的值，可得出的值，利用等差數列的求和公式可求得的值.【詳解】因為數列滿足，則數列為等差數列，設數列的公差為，則，可得，所以，所以.故答案為：.14.設雙曲線（）的右頂點為F，且F是拋物線的焦點．過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，滿足，若點A也在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為__________．【答案】##【解析】【分析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點坐標，再結合已知求出雙曲線的離心率.【詳解】拋物線的焦點，直線不垂直于軸，設其方程為，由消去得：，設，則，由，得，由對稱性不妨令點在第一象限，解得，，由點在雙曲線上得，，又，解得，所以雙曲線C的離心率.故答案為：四?解答題（本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）15.如圖，正四棱柱中，為的中點，，.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出平面、平面的法向量，利用空間向量法證明即可；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】如圖建立空間直角坐標系，則A1,0,0，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，??；設平面的法向量為，則，取；因為，即，所以平面平面；【小問2詳解】設平面的法向量為，則，取，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.16.已知函數的圖象關于點中心對稱.（1）求、的值；（2）若，當時，的最小值為，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知可得出，可得出關于、的方程組，即可解得這兩個未知數的值；（2）利用導數分析函數的單調性，分、兩種情況討論，結合函數在上的最小值為，可求得實數的值.【小問1詳解】依題意，，即，所以，，所以，.【小問2詳解】由（1）可知，，則，所以當時，f′x<0，當x∈1,+∞時，f′若，則在區(qū)間內的最小值為，即，解得或，均不符題意；若，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，則在區(qū)間內的最小值為，解得，符合題意..17.中，設角，，所對的邊分別為，，，.（1）求的大?。唬?）若的周長等于3，求的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角函數恒等變換公式對原式變形化簡可得，再結合角的范圍，可求出角的值，（2）由余弦定理結合基本不等式可得，然后利用三角形的面積公式可求出面積的最大值.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得，又，所以，所以，即.因為，，所以，即.【小問2詳解】解：在中，由余弦定理得，即①，又，所以，代入①得，整理得，又因為，當且僅當時取等號，因為，所以，所以，解得或（舍去），故，故的面積，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.18.某工廠生產某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時間不低于10小時的為合格品，工程師選擇某臺生產電池的機器進行參數調試，在調試前后，分別在其產品中隨機抽取樣本數據進行統(tǒng)計，制作了如下的列聯(lián)表：產品合格不合格合計調試前451560調試后35540合計8020100（1）根據表中數據，依據的獨立性檢驗，能否認為參數調試與產品質量有關聯(lián)；（2）現(xiàn)從調試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機抽樣法抽取8件產品重新做參數調試，再從這8件產品中隨機抽取3件做對比分析，記抽取的3件中合格的件數為，求的分布列和數學期望；（3）用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機抽取調試后的產品1000件，記其中合格的件數為，求使事件“”的概率最大時的取值.參考公式及數據：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）依據的獨立性檢驗，可認為參數調試與產品質量無關聯(lián)（2）分布列見解析，數學期望為（3）875【解析】【分析】（1）計算的值，將其與對應的小概率值比較即得；（2）先算出抽取的8件產品中的合格品與不合格品的數目，再從中抽取3件，根據合格品件數的可能值運用超幾何分布概率計算出概率，列出分布列計算數學期望即得；（3）分析得出，利用二項分布概率公式得出再利用作商法分析得時，事件“”的概率最大.【小問1詳解】零假設為：假設依據的獨立性檢驗，認為參數調試與產品質量無關聯(lián)；則，故依據的獨立性檢驗，沒有充分證據說明零假設不成立，因此可認為成立，即認為參數調試與產品質