2024-2025學(xué)年新疆烏魯木齊市高二年級(jí)上冊(cè)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年烏魯木齊市高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.）

1.直線x—y=°的傾斜角為（）.

兀3兀

A.-1B.1C.4D.4

2.空間四邊形048C中，點(diǎn)M在。4上，且=N為8C中點(diǎn)，則等于（）

-OA--OB+-OC--OA+-OB+-OC

A.232B.322

1—■1—-2—■2—-2—?1—-

-OA+-OB——OC-OA+-OB——OC

C223D.332

—?I

3.設(shè)x、向量“=（'」」），。=（3，—6,3）且。_）_。，g//c,則

R+*（）

A.2垃B.2百C,4D,3

4.在正方體4sC。-44Goi中，2為片口的中點(diǎn)，則直線尸8與/2所成的角為（

兀717171

A2B.3C.4D,6

(x-iy+Q-2)2=4與圓,））的位置關(guān)系是（）

5.圓G：%G+2+3+2=49

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

2或

---------——1

6.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線62的漸近線的距離是（）

V33

百22

AB.2C.D,

7.已知雙曲線C：9,若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為I'人則這條弦所在直線

的斜率為（）

99

A.4B.-1C.1D.4

22

二+與=1（。〉6〉0）FFx=-—

8.已知橢圓a，b-的左、右焦點(diǎn)分別為直線2與橢圓交于點(diǎn)

M,耳鳥(niǎo)=120°,則橢圓的離心率為（）

V6V25-1庭-1

A4B.4C.3D,3

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，多選、錯(cuò)選得0分，不全得2分）

9,已知方3=（2,TO）,9（I,"）,則（）

A2”1（0,1,2）B.團(tuán)一柞3

1

一——X——

C.若b-LC,貝建=2D.若6〃己，貝U2,了=°

10.下列直線中，與圓/+/=4相切的有（）

Ax+y=2BV3x+y-4=0Qx+y-2&D

x—V3v+8=0

2

r.x2_1

r.------y—1

11.下列關(guān)于雙曲線4"的判斷，正確的是（）

A,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±2,。）B,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（土后°）

C.實(shí)軸長(zhǎng)為4D.漸近線方程為》±2了=°

12.為了迎接二十大的召開(kāi)，我國(guó)全體航空人以昂揚(yáng)的精神面貌、實(shí)際行動(dòng)，踐行“航空?qǐng)?bào)國(guó)、

航空強(qiáng)國(guó)”的初心使命.2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是

宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖,

在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的焦點(diǎn)'（O'2）,橢圓

的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點(diǎn)G.若過(guò)原點(diǎn)O的直線與上半橢圓交于點(diǎn)/,

A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4近

[4,2+2伺

B.線段長(zhǎng)度的取值范圍是

C.△/尸G的周長(zhǎng)為4+4J5

71

ZFAG=-

D.不算橢圓在x軸上的端點(diǎn)，x軸上方橢圓上存在2個(gè)點(diǎn)N,使得2

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.拋物線r=8x上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

14.求經(jīng)過(guò)0，2)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為.

22

C：上+匕=1——

15.已知々，月為橢圓,164的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸是橢圓°上的點(diǎn)，且尸耳,尸鳥(niǎo)=°,

則三角形尸片片的面積為.

16.己知四邊形/8C。為矩形，P4，平面/8。。，設(shè)P"=4B=a,AD=2a,則平面

BPC與平面DPC夾角的余弦值為.

四、解答題

17.已知點(diǎn)尸12),直線/：3x-4y-5=0.

(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸且與直線/平行的直線的方程；

(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線/垂直的直線的方程.

18.已知圓。的圓心坐標(biāo)為°,°),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。92).

(1)求圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/：3x-4y+2=°與圓。交于屈、N兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度.

19.在棱長(zhǎng)為2的正方體"88-481Goi中，點(diǎn)￡是的中點(diǎn)，點(diǎn)戶是CD中點(diǎn).

(2)求。到面△巧’的距離.

20.己知拋物線C的頂點(diǎn)為°(°，°),焦點(diǎn)為尸(°」).

(1)求拋物線C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸的直線，＞=x+l交拋物線C于4,3兩點(diǎn)，求A/OB的面積.

21.如圖，在四棱錐尸-4BCD中，底面48cD是矩形，W平面ABCD,AD=PD=4,

點(diǎn)。是尸C的中點(diǎn).

(1)求證：PN〃平面

(2)在線段48上是否存在點(diǎn)尸，使直線PF與平面PAD所成的角為30。？若存在，求出/尸

的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？

C:j+」=l(a〉b〉O)—.

22.已知橢圓或b-,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率是2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）斜率為以后＞°）且不過(guò)原點(diǎn)的直線/交橢圓C于/,2兩點(diǎn)，線段N3的中點(diǎn)為￡,射

線交橢圓C于點(diǎn)G,交直線》=一4于點(diǎn)°若1°中=|皿°同，證明：直線/經(jīng)過(guò)定

點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

2024-2025學(xué)年烏魯木齊市高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.）

1.直線工一＞=°的傾斜角為（）.

兀3兀

A.-1B.1C.4D.4

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直線方程可得直線的斜率，進(jìn)而即得.

【詳解】設(shè)直線的傾斜角為將x—V=°化為＞=x,

則左=tana=1faw[0,兀），

a=—71

...4.

故選：C.

2.空間四邊形中，點(diǎn)M在。4上，且（W=2M4,N為BC中點(diǎn)，則MV等于（）

-OA--OB+-OC--OA+-OB+-OC

A.232B.322

1—.1—.2—?2—■2—?1—■

-OA+-OB——OC-OA+-OB——OC

C.223D.332

【正確答案】B

【分析】按照向量運(yùn)算律計(jì)算即可

-----?——?MO=--OA

【詳解】因?yàn)?M=2M4,所以3

—?1—?

BN=-BC

因?yàn)镹為5。中點(diǎn)，所以2

___kkk2__,__k

MN=MO+OB+BN=——OA+OB+-BC

所以32

2—-—.1—.—.2—?1—■1—-

=——OA+OB+-（BO+OC）=——OA+-OB+-OC

32322

故選：B

3,設(shè)x、＞eR,向量“=（x」」），坂=（1//），°=（3，—6,3）且。o,bl1c）則

”卜（）

A.20B.2GC.4D,3

【正確答案】D

【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出x、）的值，求出向量a+5的坐標(biāo)，利用

空間向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

［詳解］因?yàn)閍'c,則a-c=3x—6+3=0,解得x=l,則a=0」」），

1_J一

因?yàn)锽〃C,則3-6,解得了=-2,即3=（1,—2,1）,

a+b=（2,-12）=J4+1+4=3

所以，a+D—b",因此，II

故選：D.

4.在正方體4sCO一，4GA中，p為與'的中點(diǎn)，則直線尸2與所成的角為（

）

71717171

A.2B.3C,4D,6

【正確答案】D

【分析】平移直線2A至8G,將直線所與所成的角轉(zhuǎn)化為尸2與8G所成的角，解

三角形即可.

如圖，連接BG，PG,PB,因?yàn)?/p>

所以NMG或其補(bǔ)角為直線PB與/口所成的角，

因?yàn)?平面,所以"1，尸G,又PC、』BQ、,BB、cBQ1=B]

所以PG，平面P陰，所以尸G，尸巴

8G=2拒,尸。]二工已用=正

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則2,

sinZPBQ=^-=|ZPBQ=-

g2,所以6.

故選：D

5,圓G：(1)+d)=4與圓。2：(x+2)+。+2)=49的位置關(guān)系是()

A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切

【正確答案】D

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法求得正確答案.

【詳解】圓G的圓心坐標(biāo)為G(L2),半徑12,

圓G的圓心坐標(biāo)為。2(—2,—2),半徑2=7,

因?yàn)镼C=J(l+2)+(2+2)=5=r2-r^所以圓G與圓。2內(nèi)切.

故選：D

2—=1

=8x的焦點(diǎn)到雙曲線6

6.拋物線》2的漸近線的距離是（）

V33

A.由B.2C.VD.2

【正確答案】A

【分析】寫(xiě)出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程,由點(diǎn)到直線的距離計(jì)算.

—=1

【詳解】拋物線/=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（2,0）,雙曲線62的漸近線方程是

VJx+j=0

|2V3±0|「

d=1,'=V3

所求距離為V3+1

故選：A.

2

“一6一，若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為（—1'—4）,則這條弦所在直線

7.已知雙曲線C：

的斜率為（）

99

A."4

B.-1D.4

【正確答案】D

【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.

【詳解】設(shè)該弦為45,設(shè)'（不見(jiàn)），'（“2/2）,

x

i-9

2

A=1（占+%）（西_%）=

則有9,兩式相減，得9

因?yàn)殡p曲線C的一條弦的中點(diǎn)為（—1'-4）,

所以西+x2=—2,%+v2=-8,

（弘+為）（乂-％）一%-9_9

9%!-x24

2v+4「（x+g/二

即這條弦所在直線的斜率為4,方程為"4'44

代入雙曲線方程中，得63必+126%-193=0,

因?yàn)?262-4x63（—193）＞0,

所以該弦存在，

故選：D

22

二+臺(tái)=1（?！担?）ppx=-—

8.已知橢圓。一b一的左、右焦點(diǎn)分別為名/2,直線2與橢圓交于點(diǎn)

M,乙*乙=120°,則橢圓的離心率為()

V6V2V7—1屈-1

A.4B,4C,3D.3

【正確答案】C

【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出橢圓的圖像，再求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)，進(jìn)而利用1"4|+性里卜2"得

到離心率.

x=~—N,:.\ON\=—

【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M為第二象限的點(diǎn)，直線2與x軸交于點(diǎn)2

Q4MFE=120。NMF\N=60°/NMF[=30°

曰\MFl\=2\NFi\^2(\ON\-\OFl\)=2x(--c)=c

于ZE，，

|小=><一防2=12苦)2=字:.M音洋)

，又片(一c,0),用(—c,0),則由|阿|+|MR|=2a,

+OF+（務(wù)+4+（爭(zhēng)=2a田

得v22V22,即C+J7c=2a,于是

c2V7-1

。-1+五-3

V7-1

e=---------

所以橢圓的離心率3.

故選:C.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，多選、錯(cuò)選得0分，不全得2分）

9.已知萬(wàn)=0,°』），B=（2，T0）,。=（1，2）,則（）

23-B=（0,1,2）\a-b|=3

A.D.

1

——■x——

C.若匕工盤(pán)則x=2D.若6〃盤(pán)則2,y=0

【正確答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可；B選項(xiàng)，根據(jù)模的公式計(jì)算；CD選項(xiàng)，根

據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算.

【詳解】2。=。,0,2）,所以2a4=（0,1,2）,故人正確；

1[II________

-]j=（-\11）a-b=V1+1+1=V3

a<Ui人所以，故B錯(cuò)；

一一II

因?yàn)閎,c,所以從。=2-*+0=0,解得X=2,故C正確;

4=2

2=4]

<-l=Ax<X=~2

因?yàn)樗裕?，T，°）=2（l，x，N）,即°=為，解得卜=°，故D正確.

故選：ACD.

10.下列直線中，與圓一+「=4相切的有（）

A.x+y=2BA/SX+y-4=0cx+jv-2^/2

x-6y+8=0

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.

【詳解】圓一+『=4的圓心為（0,。），半徑r=2.

J=-tl=V2<2

對(duì)于選項(xiàng)A,圓心到直線的距離J1+1.所以直線與圓相交;

~41

對(duì)于選項(xiàng)B,圓心到直線的距離81,所以直線與圓相切

…=2

對(duì)于選項(xiàng)c,圓心到直線的距離S+1,所以直線與圓相切;

,|8|

d—/=4>2

對(duì)于選項(xiàng)D,圓心到直線的距離J1+3,所以直線與圓相離.

故選：BC.

2

r廠.-n---y2=一1

11.下列關(guān)于雙曲線4的判斷，正確的是（）

A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±2,°）(±73,0)

B.焦點(diǎn)坐標(biāo)為

C.實(shí)軸長(zhǎng)為4D.漸近線方程為x±2）=°

【正確答案】ACD

【分析】確定。、6、C的值，利用雙曲線的幾何性質(zhì)可判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于雙曲線「，。=2,b=i,則°=J/+62=VZTT=后,

對(duì)于A選項(xiàng)，雙曲線「的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±2,°）,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，雙曲線「的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（士&）,B錯(cuò);

對(duì)于C選項(xiàng)，雙曲線「的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4,c對(duì)；

y=±-x

對(duì)于D選項(xiàng)，雙曲線「的漸近線方程為2,即x±2y=°,口對(duì).

故選：ACD.

12.為了迎接二十大的召開(kāi)，我國(guó)全體航空人以昂揚(yáng)的精神面貌、實(shí)際行動(dòng)，踐行“航空?qǐng)?bào)國(guó)、

航空強(qiáng)國(guó)”的初心使命.2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是

宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖,

在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的焦點(diǎn)/。乂），橢圓

的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與了軸交于點(diǎn)G.若過(guò)原點(diǎn)。的直線與上半橢圓交于點(diǎn)力,

與下半圓交于點(diǎn)8,則（

橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4J5

A.

「4,2+2行］

B.線段長(zhǎng)度的取值范圍是L」

△4FG的周長(zhǎng)為4+4J5

71

ZFAG=-

D.不算橢圓在x軸上的端點(diǎn)，x軸上方橢圓上存在2個(gè)點(diǎn)兒使得2

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓短半軸長(zhǎng)、半焦距，求出長(zhǎng)軸長(zhǎng)判斷A；求出0/長(zhǎng)范圍

判斷B；利用橢圓定義求出焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)判斷C；計(jì)算COSNE4G判斷D作答.

【詳解】依題意，半橢圓所在橢圓的半焦距C=2,短半軸長(zhǎng)6=2,得長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=2j5,

則長(zhǎng)軸長(zhǎng)2。=40,A正確；

2<\OA\<242,\OB\=2t因此|2刃=|。8|+|。4怕［4,2+2行］,B正確；

因點(diǎn)RG是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則A/FG的周長(zhǎng)"1+1S+1/G|=4+2a=4+40,

C正確；

顯然尸|<|ZG|,在AaFG中,

|[(|JF|+MG|)2+(|JF|-|JG|)2]-|FG|2

\AF\2+\AG\2-|FG|2

cosZFAG=

2\AF^AG\2\AF^AG\

-(4A/2)2-42

>---------=0

2\AF^AG\

因此/E4G不可能為直角，除橢圓在x軸上的端點(diǎn)外，x軸上方橢圓上不存在點(diǎn)，，使

-71

/FAG=—

2,D不正確.

故選：ABC

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.拋物線r=8x上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

【正確答案】（44①或（4,-40）.

【分析】設(shè)點(diǎn)0（%，必），根據(jù)拋物線的定義，得到項(xiàng)+2=6,求得再=4,代入拋物線方

程，求得歹=±40，即可求解.

【詳解】設(shè)拋物線上與焦點(diǎn)尸的距離等于6的點(diǎn)為尸（21）,即附=6,

由拋物線可得焦點(diǎn)尸（2,0）,準(zhǔn)線方程為》=-2,

根據(jù)拋物線的定義，可得此=為+2,即/+2=6,解得/=4,

將為=4代入拋物線方程，可得/=32,解得y=±40,

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,4揚(yáng)或（4,-4揚(yáng).

故（4,4揚(yáng)或（4-4物.

14.求經(jīng)過(guò)°，2）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為.

［正確答案］>=》或》+>=4

【分析】注意直線過(guò)原點(diǎn)的情況，直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)用截距式結(jié)合題意列方程即可求解

【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為了=”，

-=1

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為a。，

22,

------1------=1

則有。。，解得。=4,

*=1,

故直線方程為44,即x+V=4,

綜上所述，所求直線方程為>='或x+>=4.

故或x+>=4.

22

C:土+匕=1一——

15.已知《，月為橢圓164的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸是橢圓°上的點(diǎn)，且尸不尸耳=°,

則三角形尸片8的面積為.

【正確答案】4

即求三形鳥(niǎo)面積

【分析】由橢圓定義以及勾股定理即可求得可得角尸耳的

為4.

=2。=8

【詳解】根據(jù)橢圓定義可知回|+四

4c2=48

由勾股定理可得

所以可得2西慳|=(RH/A颯“珂＞64—48=16

因此可得三角形尸￡鳥(niǎo)的面積為s=4

故4

16,已知四邊形NBC。為矩形，。/，平面458,設(shè)PA=AB=a,AD=2a,則平面

BPC與平面。尸。夾角的余弦值為.

Vw

【正確答案】5

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.

【詳解】由題意，尸44民40兩兩垂直，

分別以"S/P為x,%z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(a,0,0),C(a,2a90),尸(0,0,a),D(0,2a,0)

訴”BC=(Q,2a,0),麗=(—a,0,a)CD=(-(/,0,0),PD=(0,2a,-a)

r)\kA，.

設(shè)平面BPC、平面QPC的法向量分別為〃1=(占，必，Zl)，〃2=(工2，%/2),

2ayx=0[-ax2=0

<<

則有[-ax,+叼=°和[2ay2-az2=0

取X]=1,%=1,可得〃i=(1,0,1),々=(0」,2),

即平面第C與平面QPC的夾角的余弦值為5

VTo

故5

四、解答題

17.已知點(diǎn)尸（—42）,直線/:3x2-5=0.

（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸且與直線/平行的直線的方程;

（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸且與直線/垂直的直線的方程.

【正確答案】⑴3x-町+20=0

⑵4x+3y+10=0

【分析】（1）設(shè)出所求平行直線的方程，利用P點(diǎn)坐標(biāo)求得正確答案.

（2）利用點(diǎn)斜式求得所求直線的方程.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線/平行的直線的方程為3x-4y+C=°,

所以所求直線方程為3X-4J+20=0

【小問(wèn)2詳解】

3

直線/:3x_4y_5=0的斜率為W,

_4

與直線/垂直的直線的斜率為3,

j-2=（x+4）

所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線/垂直的直線的方程為"3、7,

即4x+3y+10—0

18.已知圓。的圓心坐標(biāo)為（L°）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（L2）.

（1）求圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線乙3X-4）+2=°與圓。交于屈、N兩點(diǎn)，求線段"N的長(zhǎng)度.

2

【正確答案】（1）(X-1)+/=4

2G

(2)

【分析】（1）求出圓。的半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）利用圓的弦長(zhǎng)公式即可得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可得：圓D的半徑0=2,

所以圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-I）?+/=4；

【小問(wèn)2詳解】

由⑴可知圓心。半徑廠=2,

d—"-。+斐1

則圓心‘°,°）到直線/：3x-4歹+2=0的距離V9+16

所以即N|=2廣廬=2百

19.在棱長(zhǎng)為2的正方體/'S—44GA中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是8中點(diǎn).

⑴證明：平面期J

（2）求。到面"8尸的距離.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

2

（2）3

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直時(shí)，直線的方向向量與平面的法向量共線

證明即可；

（2）利用空間向量，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

以A為原點(diǎn)，直線AD,"4所在直線分別為x軸、＞軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示:

則4（0,0,0）,4（2,0,2）,R（0,2,2）,一（1,2,0）,E（2,l,0）,Z＞（0,2,0）

則簫=0,2,0）,福=（2,0,2）,印=（2,—1,—2）,

設(shè)平面叫廠的一個(gè)法向量為加=（"*）,

+UUULI

mxAF=x+2y=0

ITULU

則Wx典=2X+2Z=0,取X=_2,則k1,Z=2,

所以加=（一2/,2）,

又因?yàn)?=°，T，—2）,所以加=-*,

所以平，平面明E.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知平面明“的法向量為加=（一212）,

又因?yàn)榉?（°,一2，。），

DA-m\2

3

所以。到面”8尸的距離為ml

20.已知拋物線C的頂點(diǎn)為°（°，°）,焦點(diǎn)為二（°」）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)P的直線，：V=x+l交拋物線C于4,8兩點(diǎn)，求的面積.

【正確答案】（1）*=4y；

（2）2G

【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線c的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式求出H'L即可求出A/。的面積.

【小問(wèn)1詳解】

拋物線C的頂點(diǎn)為。?°）,焦點(diǎn)為尸（°』）,

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.-=4y

【小問(wèn)2詳解】

=4y

<

由[>=x+l消去y得X2_4X_4=0,設(shè)幺（西，必），8（X2,必），

則X1+%=4/科2=-4,A=32>0,

所以|AB|=J1+1~|X]-%|=A/2?1（X]+%）~-4西%2=8

,1V2

點(diǎn)0（0,0）到直線y=x+l的距離V22,

11B

S=—xM@><d=_x8xJ=20.

所以A/OB的面積222

21.如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面ABC。是矩形，W平面4BCD,AD=PD=4,

點(diǎn)。是尸C的中點(diǎn).

（1）求證：PN〃平面

（2）在線段48上是否存在點(diǎn)尸，使直線P尸與平面尸4D所成的角為30。？若存在，求出工尸

的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

ABN巫A

Q<AB<

（2）當(dāng)3時(shí)存在，；當(dāng)3時(shí)不存在.

【分析】（1）連接NC,利用三角形中位線可證；

（2）先證明481平面力。，然后根據(jù)已知可得/F的長(zhǎng)，根據(jù)線段長(zhǎng)分情況可知.

【小問(wèn)1詳解】

連接NC，交BD于O