2024滬科版七年級數(shù)學(xué)上冊 第3章《一次方程與方程組》單元測試卷（含答案解析）

滬科版（2024新版）七年級數(shù)學(xué)上冊第3章一次方程與方程組單元測試卷

一'單選題供10題；共40分）

1.（4分）我國民間流傳著這樣一道題：只聞隔壁人分銀，不知多少銀和人；每人6兩多6兩，每人半斤

少半斤.試問各位善算者，多少人分多少銀？（注：在古代，1斤=16兩）設(shè)有x人，分銀y兩，則根

據(jù)題意可列方程組為（)

(y—6x=6=6

A.B.

1y—8%=8=8

(6x—y=6=6

C.D.

(8%—y=8=8

2.（4分）下列各式中,屬于方程的是（)

B2x2

A.6+(-2)=4C.7x>5D.21=5

5

3.（4分）下列方程為一元一次方程的是（)

1

A.-x-3=4B.x2+3=x+2C.----1=2D.2y-3x=2

x

%=-2

4.（4分）下列二元一次方程中，有一個解是《”的方程是()

y=4

B.；x+y=0

A.x+y=6C.2x+y=lD.3x-y=-10

5.（4分）媽媽帶著小明觀看了亞運(yùn)會游泳比賽共消費(fèi)了410元，表中記錄了他們一天所有的消費(fèi)項目以

及部分支出，如果每包餅干13元，每瓶礦泉水2元，那么他們買了.包餅干、瓶礦

泉水.（）

項目早餐午餐游泳門票餅干礦泉水

支出金額（單位：元）40100240

A.1,2B.2,2C.2,3D.3,3

6.（4分）如圖，兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根鐵棒露出水面的長度是這根

鐵棒長度的工，另一根鐵棒露出水面的長度是這根鐵棒的‘，若兩根鐵棒長度差為30cm,則兩根鐵棒

36

的長度分別為（)

A.110cm,140cmB.120cm,150cmC.130cm,160cmD.140cm,170cm

7.(4分)“踐行垃圾分類?助力雙碳目標(biāo)”主題班會結(jié)束后，米樂和琪琪一起收集了一些廢電池，米樂

說：“我比你多收集了7節(jié)廢電池”琪琪說：“如果你給我9節(jié)廢電池，我的廢電池數(shù)量就是你的2倍.”如

果他們說的都是真的，設(shè)米樂收集了x節(jié)廢電池，琪琪收集了y節(jié)廢電池，根據(jù)題意可列方程組為

()

(X-y=7,(X_y=7,

(2(%-9)=y+9U-9=2(y+9)

rx-y=7(y-x=7

l2(x-9)=ybc+9=2(y-9)

8.(4分)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載:“粟米之法：粟率五十，粕米三十.今有米在十斗

桶中，不知其數(shù).滿中添粟而春之，得米七斗.問故米幾何？”意思為：50斗谷子能出30斗米，

3

即出米率為j.今有米在容量為10斗的桶中，但不知道數(shù)量是多少.向桶中加滿谷子，再春成

米，共得米7斗.問原來有米多少斗？如果設(shè)原來有米x斗，向桶中加谷子丁斗，那么方程組

可列為()

x+y=10,x+y=10,

A.?gB.?g

x+r-y=7-rX+y—1

I3lb

X+y=7/(x+y=7/

5D.

{x+|y=10l|5x+y=10

9.(4分)我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》有“多人共車”問題：”今有三人共車，二車空；二人共車，九

人步.問：人與車各幾何?”其大意如下：有若干人要坐車，如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車；如果

每2人坐一輛車，那么有9人需要步行，問人與車各多少?設(shè)共有了人，V輛車，則可列方程組為

)

A.’3(—

2y-9-x2y+9=%

C]3(—Xy-2)=x

?[2y+9=x2y+x=9

x+2y=5-2a

10.(4分)已知關(guān)于X,y的方程組給出下列結(jié)論:

x-y=4a-l

①當(dāng)a=1時，方程組的解也是x+y=2a+l的解;

②無論。取何值x,y的值不可能是互為相反數(shù)；

③x,y都為自然數(shù)的解有4對；

④若2x+y=8,則a=2.

正確的有幾個（）

A.1B.2C.3D.4

二'填空題（共4題；共20分）

11.（5分）方程十3y27=7是關(guān)于犬，V的二元一次方程，則m—2〃的值為.

12.（5分）已知萬程組的解是，則萬程組《；（的解

-1=4c

a2x+b2y=c2（y=2[3a2（x+l）+2h2（7）2

是.

13.（5分）如果p,q是非零實數(shù)，關(guān)于x的方程||2023x-2024|”|=-q始終存在四個不同的實數(shù)解,

則盧V—+晉+出+看的值為________-

\p+q\Ip-q\Ipq\\p\\q\

14.（5分）某采摘園計劃拿出一筆固定的資金分兩天購進(jìn)甲、乙、丙三種水果樹苗，且購買甲、乙、丙

三種樹苗的總價之比為3：4：6.第一天，采購員用于購買甲、乙、丙三種樹苗的資金之比為2：3：1,

第二天，采購員將用余下的資金繼續(xù)購買這三種樹苗，經(jīng)預(yù)算需將余下資金的、購買甲樹苗，則采購員

還需購買的乙、丙樹苗的資金之比為.

三'解答題（共4題；共32分）

15.（8分）解方程組

16.（8分）老王有一批貨物要從A地運(yùn)往B地，準(zhǔn)備租用某汽車運(yùn)輸公司的甲、乙兩種貨車若干

輛.經(jīng)了解，這兩種貨車兩次運(yùn)載貨物的情況如右表（每次都是滿載）.

第一次第二次

甲2輛5輛

乙3輛6輛

累計運(yùn)貨量15.5噸35噸

（1）（4分）甲、乙兩種貨車每輛各可運(yùn)貨物多少噸？

（2）（4分）現(xiàn)老王租用該公司甲貨車3輛，乙貨車5輛，剛好將這批貨物運(yùn)完（滿載）.若每噸

貨物的運(yùn)費(fèi)為30元，則老王應(yīng)付運(yùn)輸費(fèi)多少元？

17.（8分）老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個多項式，形式如下：

（1）（2分）求所捂的多項式；

（2）（3分）若x是^x=—工工+3的解，求所捂多項式的值；

42

（3）（3分）若所捂多項式的值為144,請求寫出x的取值.

18.（8分）把一批圖書分給七年級某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，

則差25本.

（1）（4分）這個班有多少名學(xué)生？

（2）（4分）讀書周，這個班級的學(xué)生去圖書館整理圖書，由一個人做要40〃完成，現(xiàn)計劃由一部分

人先做4〃，然后增加2人與他們一起做8〃，正好完成這項工作?假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先

安排多少人工作？

四'綜合題供5題；共58分）

19.（10分）用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個盒子由3個矩形側(cè)面和2個正三角形底面組成。硬紙板

以如圖兩種方式裁剪（裁剪后邊角料不再利用）

A方法：剪6個側(cè)面；B方法：剪4個側(cè)面和5個底面。

A方法B方法

現(xiàn)有19張硬紙板，裁剪時張用A方法，其余用B方法。

（1）（5分）用的代數(shù)式分別表示裁剪出的側(cè)面和底面的個數(shù)；

（2）（5分）若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，問能做多少個盒子？

20.（10分）杭州亞運(yùn)會的吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”“宸宸”分別代表了良渚古城遺址、西湖、世界遺產(chǎn)京杭

大運(yùn)河，以它們的形象制作的紀(jì)念品種類很多.麗才紀(jì)念品店恰好用3850元購進(jìn)甲、乙兩種帶有這三個

吉祥物圖案的掛件，其中甲種掛件30個，乙種掛件20個，甲種掛件每個進(jìn)價比乙種掛件每個進(jìn)價少5

元，且兩種掛件每個售價均為120元.

（1）（5分）求購進(jìn)甲、乙兩種掛件每個進(jìn)價分別是多少元？

（2）（5分）由于這兩種掛件十分暢銷，麗才紀(jì)念品店按原進(jìn)價再次購進(jìn)甲、乙兩種掛件，其中甲種

掛件的個數(shù)是乙種掛件個數(shù)的2倍.若兩次購進(jìn)的掛件全部售出共獲利4750元，求麗才紀(jì)念品店第二次

購進(jìn)甲種掛件多少個？

21.（12分）列方程（組）解應(yīng)用題:

學(xué)校為了支持體育活動，鼓勵同學(xué)們加強(qiáng)燃煉，準(zhǔn)備購買一些羽毛球拍和乒乓球拍作為運(yùn)動會獎品.

共220元占,

（1）（6分）根據(jù)圖中信息,求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的價格;

（2）（6分）學(xué)校準(zhǔn)備用2400元購買羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的數(shù)量多于羽毛球拍的數(shù)量,

若2400元恰好用完，寫出所有的購買方案.

22.（12分）列方程解應(yīng)用題：

某市在11月組織了機(jī)器人編程比賽，比賽當(dāng)天某中學(xué)參賽學(xué)生統(tǒng)一坐校車前往國博中心參賽，由于需

要帶上相應(yīng)裝備，楊老師自行駕車前往.兩車同時出發(fā)，楊老師的平均車速比校車的平均車速快

10km/h,已知楊老師到國博中心需要48min,校車到國博中心需要lh（兩車線路一致）.

（1）（6分）求楊老師的平均車速；

（2）（6分）楊老師出發(fā)27min后發(fā)現(xiàn)還有裝備忘記帶走，于是立刻掉頭按原路原速返回學(xué)校（掉頭

時間忽略不計），當(dāng)楊老師與校車相遇時，校車距離國博中心還有多遠(yuǎn).

23.（14分）如圖，A,B（A在B的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為-4,且AB=10,動點(diǎn)P從點(diǎn)

A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒5個單位長度的

速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，在點(diǎn)P,Q的運(yùn)動過程中，M,N始終為AP,BQ的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為t（t>0）

秒.

----------1--------1----------------1-------------->

A0B

（1）（4分）當(dāng)P,Q重合時，求t的值；

（2）（4分）當(dāng)MN=AB時，求t的值；

（3）（6分）當(dāng)AP=2AB時，點(diǎn)P,Q停止運(yùn)動，此時點(diǎn)M,N也隨之停止運(yùn)動，將線段MN沿數(shù)軸

4

以每秒2個單位長度的速度滑動，從此刻開始，經(jīng)過t秒后滿足時，求t的值.

答案解析部分

L【答案】D

2.【答案】D

【解析】【解答】解：A.6+（-2）=4不含未知數(shù)，不是方程，不符合題意；

2

B.§x-2不是等式，不是方程，不符合題意；

C.7%>5不是等式，不是方程，不符合題意；

D.2x-1=5是含有未知數(shù)的等式，是方程，符合題意；

故答案為：D.

【分析】含有未知數(shù)的等式是方程，根據(jù)方程的定義對每個選項逐一判斷求解即可。

3.【答案】A

【解析】【解答】A、是一元一次方程，故符合題意；

B、是一元二次方程，故不符合題意；

C、是分式方程，不是一元一次方程，故不符合題意；

D、是二元一次方程，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；

故答案為：A.

【分析】一元一次方程指只含有一個未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式。根據(jù)一

元一次方程的定義對每個選項一一判斷即可。

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】B

7.【答案】A

【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得等量關(guān)系：米樂收集的廢電池數(shù)量一琪琪收集的廢電池數(shù)量=7；

2x（米樂收集的廢電池數(shù)量-9）=琪琪收集的廢電池數(shù)量+9；

故可得方程組除::以二;'+9

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：米樂收集的廢電池數(shù)量一琪琪收集的廢電池數(shù)量=7；

2x（米樂收集的廢電池數(shù)量-9）=琪琪收集的廢電池數(shù)量+9；根據(jù)等量關(guān)系代入未知數(shù)即可得到方程.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：根據(jù)條件“容量為10斗的桶”、“桶中加滿谷子”，可列方程x+y=io.根據(jù)條

33

件“共得米7斗工“出米率為-“，可列方程x+gy=7.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相應(yīng)的條件，可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以解答本題.

9.【答案】C

【解析】【解答】解：設(shè)共有x人，y輛車，則

3(y-2)=x

2y+9=x

故答案為：C

【分析】設(shè)共有x人，y輛車，根據(jù)“如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車；如果每2人坐一輛

車，那么有9人需要步行”列出方程組即可.

10.【答案】D

x+2y=5-2a

【解析】【解答】解：,，，方程組上式一下式得3y=6-6。

x-y=4a-l

y=2-2a,

將y=2-2a代入方程組下式得％=2。+1,

x=2a+1

方程組的解為cc

y=2-2a

x=3

當(dāng)。=1時〈，x+y=3,

y=0

2a+l=3,

二①符合題意；

（2）二,x+y=2a+1+2—2cl=3w0,

二②符合題意；

③門+丁=3、x,y為自然數(shù)，

%—0、x—1、%—2、x—3

?1?10或1?；?1或1,

[y=3[y=2U=1[y=0

，有4對,

二③符合題意；

(J)2x+y=2(2。+1)+2-2。=8,解得a=2,

二④符合題意.

故答案為：D

【分析】①根據(jù)加減消元法解出方程組，將a=l代入方程組的解中，求出x、y的值即可判斷；②利用

①結(jié)論求出x+y的值，再根據(jù)互為相反數(shù)兩數(shù)的和為0,即可判斷；③由①知x+y的值，求出x、y的

自然數(shù)解即可判斷；④將方程組的解代入2x+y=8中，可得關(guān)于a的方程，求解即可判斷.

11.【答案】0

12.【答案】卜=8

(7=5

13.【答案】1

【解析】【解答】解：原關(guān)于x的方程可化簡為兩個方程

12023%-2024|=p-q,

|2023x—2024|=p+q.

由于原方程始終存在四個不同的實數(shù)解，這意味著兩個絕對值方程都需要有解.因此有

p-q>0,p+q>0.

將以上條件代入計算得

、、P、

--p-+---q--1,---p----q---1---p-q---11q

\p+q\\p-q\Ipq\\p\\q\

p+qp-qipgpg

-p+qp-q\pq\\p\\q\

pq、p,q

M|p|M

*/p-q>0,p+q>0.

A2p>0,即p>0.

V||2023x-2024\-p|=-q>0,

Aq<0.

‘1+1+獻(xiàn)+P+q

\P\IQI

=2—1+1—1

=1

故答案為：L

【分析】需要化簡原方程中的絕對值表達(dá)式.這可以通過分析絕對值的性質(zhì)來實現(xiàn).接著，根據(jù)題目要

求，原方程始終存在四個不同的實數(shù)解，這意味著可以通過這個條件來推導(dǎo)出p和q的關(guān)系.最后，將得

到的p和q的關(guān)系代入到給定的表達(dá)式中，從而求出該表達(dá)式的值.

14.【答案】5：11

x=2

15.【答案】

〔y=T1

16.【答案】(1)解：設(shè)甲、乙兩種貨車每輛各運(yùn)貨物x噸與y噸，

,/口2x+3y=15.5，

由題意，得,

5%+6y=35/

解得卜=

ly=2.5

答：甲、乙兩種貨車每輛各運(yùn)貨物4噸與2.5噸；

(2)解：老王應(yīng)付運(yùn)費(fèi)為(3x4+5x25)x30=735元.

【解析】【分析】(1)設(shè)甲、乙兩種貨車每輛各運(yùn)貨物x噸與y噸，根據(jù)甲種貨車2輛運(yùn)輸?shù)呢浳镔|(zhì)量+

乙種貨車3輛運(yùn)輸?shù)呢浳镔|(zhì)量=15.5噸及甲種貨車5輛運(yùn)輸?shù)呢浳镔|(zhì)量+乙種貨車6輛運(yùn)輸?shù)呢浳镔|(zhì)量=35

噸，列出方程組，求解即可；

(2)用甲種貨車3輛運(yùn)輸?shù)呢浳镔|(zhì)量+乙種貨車5輛運(yùn)輸?shù)呢浳镔|(zhì)量算出這批貨物的總質(zhì)量，進(jìn)而根據(jù)

總運(yùn)費(fèi)=每噸貨物的運(yùn)費(fèi)x這批貨物的總質(zhì)量，列式計算即可.

17.【答案】(1)解：(一2x?+3x—6)—(―3x?+5x—7)=—2廠+3x—6+3x?—5尤+7

=X2-2X+1，即所捂的多項式是2X+1;

(2)解：,.，x是一x=—x+3的解，x=4->

42

2%+l=42—2x4+l=9，

即若x是工x=-gx+3的解，所捂多項式的值是9；

(3)解：若所捂多項式的值為144,則有2%+1=144,

(x+丁=(±12)2,的值是13或T1.

【解析】【分析】(1)把所捂的多項式看成未知數(shù)，x看成已知，解出來即可；

(2)根據(jù)“x是2x=-gx+3的解”解出x的值來，再代入(1)中所求的多項式，即可得到答案；

42

（3）根據(jù)“所捂多項式的值為144”得到方程尤2一2%+1=144,利用配方法得到（X+1）2=（±12）2,即可

得到答案.

18.【答案】（1）解：設(shè)這個班有機(jī)名學(xué)生，

由題意得：3m+20=4m—25,

解得：加二45,

答：這個班有45名學(xué)生；

（2）解：設(shè)應(yīng)先安排工人工作，

XY+2

由題意得：4x—+8x--=1,

4040

解得：x-2,

答：應(yīng)先安排2人工作.

【解析】【分析】（1）設(shè)這個班有陽名學(xué)生，根據(jù)“圖書的數(shù)量不變”列出方程3m+20=4機(jī)-25,再求解

即可；

（2）設(shè)應(yīng)先安排》人工作，根據(jù)“由一個人做要40〃完成，現(xiàn)計劃由一部分人先做4〃，然后增加2人與

Y+2

他們一起做8〃，正好完成這項工作”列出方程4x1+8x^—=1,再求解即可.

4040

19.【答案】（1）根據(jù)題意可得，側(cè)面：6x+4l：38-x；l=2x+152（個），底面：5（38-xi=190-5x

（個）.

（2）根據(jù)題意可得，一二二,解得x=7,所以盒子=.少=函1（個）.

190-5x2S

【解析】【分析】（1）因為x張用A方法，則有（38-x）張用B方法，就可以根據(jù)題意分別表示出側(cè)面和

底面的個數(shù).（2）由題意可得，側(cè)面?zhèn)€數(shù)和底面?zhèn)€數(shù)之比為3：2,可以列出一元一次方程，求出x的

值，從而可得側(cè)面的總數(shù)，即可求得.

20.【答案】（1）購進(jìn)甲、乙兩種掛件每個進(jìn)價分別是75元、80元

（2）40個

21.【答案】（1）解：設(shè)每支羽毛球拍的價格為x元，每支乒乓球拍的價格為y元，根據(jù)題意得：

x+2y=220

2x+y=230'

%=80

解得：\，

[y=7。

答：每支羽毛球拍的價格為80元，每支乒乓球拍的價格為70元.

（2）解：設(shè)購買了m支羽毛球拍，n支乒乓球拍，且用（九，根據(jù)題意得：

80m+70rl=2400,

Vm>n為正整數(shù)，且加〈”，

m=2\m=9

二〈，〈，

n=32[n=24

答：購買方案一：購買2支羽毛球拍，32支乒乓球拍；

購買方案二：購買9支羽毛球拍，24支乒乓球拍.

【解析】【分析】(1)設(shè)每支羽毛球拍的價格為x元，每支乒乓球拍的價格為y元，根據(jù)圖中信息列出方

程組，解方程組即可；

(2)設(shè)購買了m支羽毛球拍，n支乒乓球拍，根據(jù)題意列出方程，結(jié)合m<n,且m、n均為正整數(shù)，

即可得出答案。

22.【答案】(1)楊老師的平均車速是50km/h；

(2)校車距離國博中心還有20千米.

23.【答案】(1)解：由題意得：P表示的數(shù)為：-4-3t,B表示的數(shù)為AB-OA=6,

；.Q表示的數(shù)為6-5t,

...當(dāng)P、Q重合時,-4-3t=6-5t,

解得t=5；

(2)VM,N始終為AP,BQ的中點(diǎn)，

-4—3t—436—51+65??

；.M表示的數(shù)為：表示的數(shù)為“十o=6—士.?.肱V=10—小

當(dāng)MN=AB時，即|10-t|=10,當(dāng)

10t=10時，t=0(不符合題意,舍去)；

當(dāng)10-t=-10時,t=20；

.?.當(dāng)MN=AB時，t=20；

(3)由題得：AP=3t,AB=10.

VAP=2AB,即3t=20,

20

解得：

3

_2010n、士-gw.320..上一3皿且752032

..MN