2024-2025學年高中數(shù)學周練卷1習題含解析新人教A版選修2-3

周練卷(一)一、選擇題(每小題5分，共35分)1．用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n<55，n∈N*)為(D)A．Aeq\o\al(14,55) B．Aeq\o\al(15,55－n)C．Aeq\o\al(55－n,69) D．Aeq\o\al(15,69－n)解析：因為55－n,56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15個連續(xù)的自然數(shù)，所以(55－n)·(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).2．已知Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，則n的值為(B)A．4B．5C．6D．7解：由Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．將2位新同學分到4個班中的2個班中去，共有的分法種數(shù)為(B)A．4B．12C．6D．24解析：共有Aeq\o\al(2,4)＝12種分法．4．滬寧鐵路途上有六個大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江、南京，鐵路部門應為滬寧鐵路途上的這六個大站間打算的不同火車票的種數(shù)為(A)A．30B．15C．81D．36解析：所求問題可歸結為求從6個不同元素中每次取出2個不同元素的排列，共Aeq\o\al(2,6)＝6×5＝30(種)．故選A.5．有不同的5本書，其中語文書2本，數(shù)學書2本，物理書1本．現(xiàn)把它們擺放成一排，要求2本數(shù)學書不能相鄰，則這5本書的不同擺放種數(shù)是(D)A．24B．36C．48D．72解析：先排語文、物理書，有Aeq\o\al(3,3)種方法．然后將數(shù)學書插空，有Aeq\o\al(2,4)種方法，由分步乘法計數(shù)原理，得不同擺放種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72.6．從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對數(shù)值的個數(shù)為(D)A．56B．54C．53D．52解析：在8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)可以組成Aeq\o\al(2,8)＝56個對數(shù)值．但在這56個對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即滿意條件的對數(shù)值共有56－4＝52(個)．7．用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字且大于3000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有(C)A．250個 B．249個C．48個 D．24個解析：當千位排數(shù)字4或3時，其他三個數(shù)位上的數(shù)字從剩余的4個數(shù)字中任選3個全排，得到的四位數(shù)都滿意題設條件，因此滿意題設條件的四位數(shù)共有Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(3,4)＝2×4×3×2＝48(個)，故選C.二、填空題(每小題5分，共20分)8．滿意不等式eq\f(A\o\al(7,n),A\o\al(5,n))>12的n的最小值為10.解析：由排列數(shù)公式得eq\f(n！n－5！,n－7！n！)>12，即(n－5)·(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，所以n的最小值為10.9．奧運選手選拔賽上，8名男運動員參與100米決賽，其中甲、乙、丙三人必需在1,2,3,4,5,6,7,8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則支配這8名運動員競賽的方式共有2_880.解析：分兩步支配這8名運動員．第一步：支配甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四條跑道可支配，所以支配方式有4×3×2＝24(種)．其次步：支配另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號跑道支配，所以支配方式有5×4×3×2×1＝120(種)．所以支配這8人的方式有24×120＝2880(種)．10．把3盆不同的蘭花和4盆不同的玫瑰花擺放在如圖中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆蘭花不能放在一條直線上，則不同的擺放方法有4_320種．解析：先將7盆花全排列，共有Aeq\o\al(7,7)種排法，其中3盆蘭花排在一條直線上的排法有5Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)種，故所求擺放方法有Aeq\o\al(7,7)－5Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝4320(種)．11．如圖是一個正方體紙盒的綻開圖，把1,2,3,4,5,6分別填入小正方形后，按虛線折成正方體，則所得到的正方體相對面上的2個數(shù)的和都相等的概率是eq\f(1,15).解析：6個數(shù)隨意填入6個小正方形中有6?。?20種不同的填法．將6個數(shù)分三組1,6；2,5；3,4，每組中的2個數(shù)填入一對面中，共有Aeq\o\al(3,3)×2×2×2＝48種不同的填法，故所求概率P＝eq\f(48,720)＝eq\f(1,15).三、解答題(共45分)12．(15分)求證：Aeq\o\al(1,1)＋2Aeq\o\al(2,2)＋3Aeq\o\al(3,3)＋…＋nAeq\o\al(n,n)＝(n＋1)?。?.證明：方法1：∵2Aeq\o\al(2,2)＝3Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2)，3Aeq\o\al(3,3)＝4Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＝Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3)，…nAeq\o\al(n,n)＝(n＋1)Aeq\o\al(n,n)－Aeq\o\al(n,n)＝Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n)，∴左邊＝(Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(1,1))＋(Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2))＋(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＋…＋(Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n))＝Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(1,1)＝(n＋1)?。?＝右邊，∴原式成立．方法2：∵(n＋1)！＝(n＋1)·n?。絥Aeq\o\al(n,n)＋Aeq\o\al(n,n)＝nAeq\o\al(n,n)＋nAeq\o\al(n－1,n－1)＝nAeq\o\al(n,n)＋(n－1)Aeq\o\al(n－1,n－1)＋Aeq\o\al(n－1,n－1)＝nAeq\o\al(n,n)＋(n－1)Aeq\o\al(n－1,n－1)＋(n－2)Aeq\o\al(n－2,n－2)＋Aeq\o\al(n－2,n－2)＝…＝nAeq\o\al(n,n)＋(n－1)Aeq\o\al(n－1,n－1)＋…＋2Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(1,1)＋Aeq\o\al(1,1)，∴(n＋1)！－1＝Aeq\o\al(1,1)＋2Aeq\o\al(2,2)＋3Aeq\o\al(3,3)＋…＋nAeq\o\al(n,n)，∴原式成立．13．(15分)7名師生站成一排照相留念，其中老師1名，男生4名，女生2名，在下列狀況下，各有多少種不同的站法？(1)2名女生必需相鄰而站；(2)4名男生互不相鄰；(3)若4名男生身高都不相等，按從高到低或從低到高的依次站；(4)老師不站中間，女生不站兩端．解：(1)2名女生站在一起有Aeq\o\al(2,2)種站法，將2名女生視為一個整體與其余5人全排列，有Aeq\o\al(6,6)種站法，所以共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)＝1440種不同的站法．(2)先排老師和女生，有Aeq\o\al(3,3)種站法，再在老師和女生站位的間隔(含兩端)處插入男生，每空1名，有Aeq\o\al(4,4)種站法，所以共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144種不同的站法．(3)7人全排列中，4名男生不考慮身高依次的站法有Aeq\o\al(4,4)種，而按從高到低或從低到高的依次站，有2種，所以共有2×eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝420種不同的站法．(4)中間和兩端是特別位置，可按如下分類求解：①老師站兩端中的一端，另一端站男生，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)種站法；②兩端全由男生站，老師站除兩端和正中間外的另外4個位置之一，有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)種站法．所以共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝2112種不同的站法．14．(15分)某市田徑集訓隊有4名隊員，要參與4×100接力競賽，依據(jù)隊員的訓練成果，甲不能跑第一棒，乙