2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.1.1構(gòu)成空間幾何體的基本元素學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE11．1．1構(gòu)成空間幾何體的基本元素1．了解幾何體的基本元素．2．理解平面的概念．3．駕馭平面的畫法及表示方法．1．幾何體假如我們只考慮一個(gè)物體占有空間部分的形態(tài)和大小，而不考慮其他因素，則這個(gè)空間部分叫做一個(gè)幾何體．2．構(gòu)成空間幾何體的基本元素(1)長方體由六個(gè)矩形(包括它的內(nèi)部)圍成，圍成長方體的各個(gè)矩形，叫做長方體的面；相鄰兩個(gè)面的公共邊，叫做長方體的棱；棱和棱的公共點(diǎn)，叫做長方體的頂點(diǎn)．(2)長方體有6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)．(3)點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素．3．空間點(diǎn)、線、面的特征(1)線有直線(段)和曲線(段)之分，面有平面(部分)和曲面(部分)之分．平面是到處平直的面，而曲面就不是到處平直的．(2)在立體幾何中，平面是無限延展的，通常畫一個(gè)平行四邊形表示一個(gè)平面，并把它想象成無限延展的．平面一般用希臘字母α，β，γ，…來命名，還可以用表示它的平行四邊形的對角頂點(diǎn)的字母來命名，如圖中的平面α、平面β、平面ABCD或平面AC等．(3)在幾何中，可以把線看成點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，假如點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向始終不變，那么它的軌跡就是一條直線或線段；假如點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向時(shí)刻在改變，則運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條曲線或曲線的一段．(4)一條線運(yùn)動(dòng)的軌跡可以是一個(gè)面，面運(yùn)動(dòng)的軌跡(經(jīng)過的空間部分)可以形成一個(gè)幾何體．(5)直線平行移動(dòng)，可以形成平面或曲面．固定射線的端點(diǎn)，讓其圍著一個(gè)圓弧轉(zhuǎn)動(dòng)，可以形成錐面．4．幾個(gè)定義的比較位置關(guān)系定義圖形符號表示平行線面假如直線和平面沒有公共點(diǎn)，則說直線和平面平行AB∥平面α面面假如兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則說這兩個(gè)平面平行平面α∥平面β垂直線面假如一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則說直線與平面垂直l⊥平面α面面假如兩個(gè)平面相交，并且其中一個(gè)平面通過另一個(gè)平面的一條垂線，則說這兩個(gè)平面相互垂直平面α⊥平面β距離點(diǎn)面點(diǎn)到平面的垂線段的長度，稱作點(diǎn)到平面的距離兩平面夾在兩平行平面間垂線段的長度稱作兩平面間的距離1．關(guān)于平面下列說法正確的是()A．平行四邊形是一個(gè)平面B．平面是有大小的C．平面是無限延展的D．長方體的一個(gè)面是平面答案：C2．下列說法中錯(cuò)誤的是()A．平面用一個(gè)希臘字母就可以表示B．平面可用表示平面的平行四邊形對角頂點(diǎn)的兩個(gè)英文字母表示C．三角形ABC所在的平面不行以寫成平面ABCD．一條直線和一個(gè)平面可能沒有公共點(diǎn)答案：C3．直線平行移動(dòng)確定形成平面嗎？解：不確定，還可能形成曲面．平面概念的理解推斷下列說法是否正確？并說明理由．(1)平面的形態(tài)是平行四邊形；(2)任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面；(3)圓和平面多邊形都可以表示平面；(4)若S?ABCD>S?A′B′C′D′，則平面ABCD大于平面A′B′C′D′；(5)用平行四邊形表示平面時(shí)，平行四邊形的四邊是這一平面的邊界．【解】(1)不正確．平行四邊形只是平面的一種表示方式，它不能延展，而平面能無限延展，平面沒有確定的形態(tài)；(2)不正確．任何一個(gè)平面圖形，如點(diǎn)、線都不是平面；角、圓、多邊形等都是平面的一部分，而不是平面；(3)正確．這樣的圖形可以表示平面，點(diǎn)、線這樣的平面圖形是平面的基本元素；(4)不正確．平面是不行度量的，不涉及大??；(5)不正確．平面是無限延展的，無邊界．本題主要考查平面的特征等基礎(chǔ)學(xué)問以及空間想象實(shí)力．eq\a\vs4\al()給出下列命題：①書桌面是平面；②8個(gè)平面重疊起來，要比6個(gè)平面重疊起來厚；③有一個(gè)平面的長是50m，寬是20m；④平面是確定的平、無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念．其中正確的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選A．平面無大小、無厚度、無邊際，所以只有④是正確的．應(yīng)選擇A．構(gòu)成空間幾何體的基本元素下列元素屬于構(gòu)成幾何體的基本元素的有()①點(diǎn)；②線；③曲面；④平行四邊形(不含內(nèi)部的點(diǎn))；⑤長方體；⑥線段．A．3個(gè) B．4個(gè)C．5個(gè) D．6個(gè)【解析】①②③⑥均為構(gòu)成幾何體的基本元素，只有④⑤不屬于構(gòu)成幾何體的基本元素，故選B．【答案】Beq\a\vs4\al()點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素，任何一個(gè)幾何體都是由這些基本元素組成的，而其他圖形有時(shí)也能構(gòu)成另外困難的幾何體，但是不能稱之為基本元素．以下結(jié)論中正確的是()A．“點(diǎn)動(dòng)成線”中的線確定是直線B．直線運(yùn)動(dòng)的軌跡確定是平面或曲面C．曲面上確定沒有直線D．平面上確定有曲線答案：D長方體中基本元素間的位置關(guān)系如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，假如把它的12條棱延長為直線，6個(gè)面延展為平面，那么在這12條直線與6個(gè)平面中，回答下列問題：(1)與直線B1C1平行的平面有哪幾個(gè)？(2)與直線B1C1垂直的平面有哪幾個(gè)？(3)與平面BC1平行的平面有哪幾個(gè)？(4)與平面BC1垂直的平面有哪幾個(gè)？【解】(1)與直線B1C1平行的平面有：平面AD1，平面AC．(2)與直線B1C1垂直的平面有平面AB1，平面CD1．(3)與平面BC1平行的平面有：平面AD1．(4)與平面BC1垂直的平面有：平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面DC1．若本例中的題干不變，將問題(1)(2)中的“直線B1C1”改為“直線BC1”，再去解答前兩個(gè)小題．解：(1)與直線BC1平行的平面有：平面AD1．(2)所給6個(gè)平面中，與直線BC1垂直的平面不存在．eq\a\vs4\al()以長方體為載體探討幾何體中的點(diǎn)、線、面的關(guān)系，有助于形成空間觀念，也可以利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來分析圖形中的線面位置關(guān)系．1．點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素．2．平面是無限延展的，通常畫一個(gè)平行四邊形表示一個(gè)平面．3．平面的記法(1)平面一般用希臘字母α、β、γ…來命名；(2)平面圖形頂點(diǎn)法．4．相識空間中的點(diǎn)、直線和平面之間的位置關(guān)系，我們可以動(dòng)手制作一些模型或畫出圖形，來幫助我們理解和提高空間想象實(shí)力．通常所說“點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體”中的線可能是曲線或直線，面也可能是平面或曲面，究竟是哪一種，取決于其運(yùn)動(dòng)的方向與方式．1．下列命題：①正方形是一個(gè)平面；②平面是有邊界的；③20個(gè)平面重合在一起比一個(gè)平面厚20倍．其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3答案：A2．飛機(jī)飛行表演在空中留下美麗的“彩帶”，用數(shù)學(xué)學(xué)問說明為________．答案：點(diǎn)動(dòng)成線3．一個(gè)平面將空間分成________部分；兩個(gè)平面將空間分成________部分．答案：23或4,[學(xué)生用書P77(單獨(dú)成冊)])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列不屬于構(gòu)成幾何體的基本元素的是()A．點(diǎn) B．線段C．曲面 D．多邊形(不含內(nèi)部的點(diǎn))解析：選D．點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素．2．已知下列三個(gè)結(jié)論：①鋪得很平的一張白紙是一個(gè)平面；②平面是矩形的形態(tài)；③一個(gè)平面的面積可以等于1m2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選A．在立體幾何中，平面是無限延展的，所以①③錯(cuò)誤；通常我們畫一個(gè)矩形來表示一個(gè)平面，但并不是說平面就是矩形，故②錯(cuò)．3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與對角線BD1既不相交又不平行的棱有()A．3條 B．4條C．6條 D．8條解析：選C．在平面A1B1C1D1上的四條棱中有A1B1，B1C1，在平面ABCD上的四條棱中有AD，CD，上、下兩底面之間的四條棱中，有AA1，CC1，故與BD1既不相交又不平行的棱共有6條．4．下面給出的四個(gè)平面圖形能制作成正方體的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D．可制作成上述四個(gè)平面圖形，然后折疊而得．5．下列命題正確的是()A．直線的平移只能形成平面B．直線繞定直線旋轉(zhuǎn)確定形成柱面C．直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以形成錐面D．曲線的平移確定形成曲面解析：選C．直線的平移，可以形成平面或曲面，命題A不正確；只有當(dāng)兩直線平行時(shí)旋轉(zhuǎn)形成柱面，命題B不正確；曲線平移的方向與曲線本身所在的平面平行時(shí)，不能形成曲面，D不正確，只有C正確．故選C．6．在以下幾種幾何體的圖形中，正方體ABCD-A1B1C1D1不行以由四邊形________(填序號)平移而得到．①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1．解析：①ABCD，②A1B1C1D1，③A1B1BA，按某一方向平移可以得到正方體ABCD-A1B1C1D1，④A1BCD1平移不能得到正方體ABCD-A1B1C1D1．答案：④7．把如圖的平面沿虛線折疊可以折疊成的幾何體是________．解析：圖中由六個(gè)長方形組成，可以動(dòng)手折疊試驗(yàn)，得到長方體．答案：長方體8．下列關(guān)于長方體的說法中，正確的是________．①長方體中有3組對面相互平行；②長方體ABCD-A1B1C1D1中，與AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；③長方體可看成是由一個(gè)矩形平移形成的；④長方體ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．解析：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正確；與AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，還有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故②錯(cuò)誤；這個(gè)長方體可看成由它的一個(gè)面ABCD上各點(diǎn)沿豎直方向向上移動(dòng)相同距離AA1所形成的幾何體，故③正確；棱AA1，BB1，CC1，DD1的長度是長方體中面ABCD和面A1B1C1D1的距離，因此它們平行且相等，故答案是①③④．答案：①③④9．下列各題說法對嗎？(1)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是線；(2)線運(yùn)動(dòng)的軌跡確定是面；(3)面運(yùn)動(dòng)的軌跡確定是體．答案：(1)正確；(2)錯(cuò)誤；(3)錯(cuò)誤10．已知長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別為5、4、3，試分別求面ABCD與面A1B1C1D1，面ADD1A1與面BCC1B1，面ABB1A1與面DCC1D1間的距離．解：因?yàn)槊鍭BCD∥面A1B1C1D1，AA1與該兩平面垂直．且長方體的高為3．所以面ABCD與面A1B1C1D1之間的距離為3．同理：面ADD1A1與面BCC1B1之間的距離為5．面ABB1A1與面DCC1D1之間的距離為4．[B實(shí)力提升]11．下列幾何圖形中，可能不是平面圖形的是()A．梯形 B．菱形C．平行四邊形 D．四邊形解析：選D．四邊形可能是空間四邊形，如將菱形沿一條對角線折疊成4個(gè)頂點(diǎn)不共面的四邊形．12．下列說法：①長方體是由六個(gè)平面圍成的幾何體；②長方體可以看作一個(gè)矩形ABCD(水平放置)上各點(diǎn)沿鉛垂線方向向上移動(dòng)相同的距離到矩形A′B′C′D′所形成的幾何體；③長方體一個(gè)面上的任一點(diǎn)到對面的距離相等．其中正確命題的序號是________．解析：①是錯(cuò)誤的，面與矩形是不同的．答案：②③13