2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率計(jì)算公式學(xué)案含解析北師大版必修3

PAGE§2古典概型2．1古典概型的特征和概率計(jì)算公式學(xué)問點(diǎn)古典概型及基本領(lǐng)件[填一填]1．古典概型定義假如一個(gè)概率模型滿意：(1)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果；(2)每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．我們把具有這樣兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型(古典的概率模型)．2．基本領(lǐng)件在一次試驗(yàn)中，全部可能發(fā)生的基本結(jié)果中不能再分的最簡(jiǎn)潔的隨機(jī)事務(wù)稱為該次試驗(yàn)中的基本領(lǐng)件．試驗(yàn)中其他的事務(wù)(除不行能事務(wù)外)都可以用基本領(lǐng)件來描繪．3．古典概型的概率計(jì)算公式對(duì)于古典概型，假如試驗(yàn)的全部可能結(jié)果(基本領(lǐng)件)數(shù)為n，隨機(jī)事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)為m，那么事務(wù)A的概率規(guī)定為P(A)＝eq\f(m,n).[答一答]利用古典概型計(jì)算公式求等可能事務(wù)概率的步驟是什么？提示：第一步：“讀”，即反復(fù)閱讀題目，收集題目中的各種信息；其次步：“判”，推斷試驗(yàn)是否為古典概型，若為古典概型，則進(jìn)行第三步；第三步：“列”，列舉出全部基本領(lǐng)件，并數(shù)出試驗(yàn)的基本領(lǐng)件總數(shù)及所求事務(wù)包含的基本領(lǐng)件數(shù)；第四步：“算”，利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算所求事務(wù)的概率．P(A)＝eq\f(m,n)是計(jì)算古典概型概率的基本公式．依據(jù)這個(gè)公式計(jì)算概率時(shí)，關(guān)鍵在于求出n、m，因此，首先要正確理解基本領(lǐng)件與事務(wù)A的相互關(guān)系．基本領(lǐng)件是一次試驗(yàn)中不能再分的最簡(jiǎn)潔的隨機(jī)事務(wù)，其他事務(wù)可以用它來描繪．假如同時(shí)拋擲兩枚勻稱硬幣，一共出現(xiàn)四個(gè)等可能的結(jié)果：正正、反反、正反、反正，不能把一正一反看做一個(gè)基本領(lǐng)件(因?yàn)檫@一事務(wù)包括“正反”“反正”這兩種結(jié)果)，否則基本領(lǐng)件就不等可能了．而事務(wù)A則不同，它可能僅含一個(gè)基本領(lǐng)件，也可能包含多個(gè)基本領(lǐng)件．因此在求n時(shí)必需強(qiáng)調(diào)n個(gè)基本領(lǐng)件必需等可能，同時(shí)在求m時(shí)，事務(wù)A中包含的每個(gè)基本領(lǐng)件也必需是等可能的.類型一古典概型的推斷【例1】袋中有大小相同的5個(gè)白球，3個(gè)黑球和3個(gè)紅球，每球有一個(gè)區(qū)分于其他球的編號(hào)，從中摸出一個(gè)球．(1)有多少種不同的摸法？假如把每個(gè)球的編號(hào)看作是一個(gè)基本領(lǐng)件概率模型，該模型是不是古典概型？(2)若按球的顏色為基本領(lǐng)件，有多少個(gè)基本領(lǐng)件？以這些基本領(lǐng)件建立概率模型，該模型是不是古典概型？【思路探究】由題目可獲得以下主要信息：①袋中有大小相同的5個(gè)白球，3個(gè)黑球和3個(gè)紅球．②每球有一個(gè)區(qū)分于其他球的編號(hào)，現(xiàn)從中摸一球．解答本題可先確立概率模型以及它是由哪些基本領(lǐng)件所構(gòu)成，然后再推斷該模型是否滿意古典概型的特點(diǎn)，進(jìn)而確定是否為古典概型．【解】(1)由于共有11個(gè)球，且每個(gè)球有不同的編號(hào)，故共有11種不同的摸法．又因?yàn)槿壳虼笮∠嗤虼嗣總€(gè)球被摸中的可能性相等，故以球的編號(hào)為基本領(lǐng)件的概率模型為古典概型．(2)由于11個(gè)球共有3種顏色，因此共有3個(gè)基本領(lǐng)件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”，又因?yàn)槿壳虼笮∠嗤?，所以一次摸球每個(gè)球被摸中的可能性均為eq\f(1,11)，而白球有5個(gè)，故一次摸球摸中白球的可能性為eq\f(5,11)，同理可知摸中黑球、紅球的可能性均為eq\f(3,11)，明顯這三個(gè)基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性不相等，所以以顏色為基本領(lǐng)件的概率模型不是古典概型．規(guī)律方法針對(duì)這個(gè)類型的題目，首先看這個(gè)概率模型是由哪些基本領(lǐng)件所構(gòu)成的，然后再探討這些基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)是否有限，出現(xiàn)的可能性是否相等．另外需留意的是基本領(lǐng)件的選擇不同，結(jié)果可能有所不同．(1)在數(shù)軸的0～3之間任取一點(diǎn)，你認(rèn)為該試驗(yàn)是古典概型嗎？為什么？若是，則求此點(diǎn)的坐標(biāo)小于1的概率．(2)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中隨意取出兩個(gè)數(shù)，你認(rèn)為該試驗(yàn)是古典概型嗎？為什么？若是，則求所取兩數(shù)之一是2的概率．解：(1)在數(shù)軸的0～3之間任取一點(diǎn)，此點(diǎn)可以在0～3之間的任一位置，且在每個(gè)位置的可能性是相同的，具備等可能性．但試驗(yàn)結(jié)果有無限多個(gè)，不滿意古典概型的特征“有限性”，因此不屬于古典概型．(2)因?yàn)榇嗽囼?yàn)的全部基本領(lǐng)件共6個(gè)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，且每個(gè)事務(wù)的出現(xiàn)是等可能的，因此屬于古典概型，兩數(shù)之一是2的概率為P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).類型二基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)推斷【例2】一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次摸出2個(gè)球．(1)共有多少個(gè)基本領(lǐng)件？(2)“2個(gè)都是白球”包含幾個(gè)基本領(lǐng)件？【思路探究】將結(jié)果一一列舉，再計(jì)算基本領(lǐng)件數(shù)．【解】(1)方法1：采納列舉法．分別記白球?yàn)?,2,3號(hào)，黑球?yàn)?,5號(hào)，則基本領(lǐng)件如下：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，共10個(gè)(其中{1,2}表示摸到1號(hào)球和2號(hào)球)．方法2：采納列表法．設(shè)5個(gè)球的編號(hào)為a，b，c，d，e，其中a，b，c為白球，d，e為黑球．列表如下：abcdea{a，b}{a，c}{a，d}{a，e}b{b，a}{b，c}{b，d}{b，e}c{c，a}{c，b}{c，d}{c，e}d{d，a}{d，b}{d，c}{d，e}e{e，a}{e，b}{e，c}{e，d}由于每次取2個(gè)球，每次所取2個(gè)球不相同，而摸到{b，a}與{a，b}是相同的事務(wù)，故共有10個(gè)基本領(lǐng)件．(2)由(1)中方法1知，“2個(gè)都是白球”包含{1,2}，{1,3}，{2,3}，共3個(gè)基本領(lǐng)件；由(1)中方法2知，“2個(gè)都是白球”包含{a，b}，{b，c}，{a，c}，共3個(gè)基本領(lǐng)件．規(guī)律方法探求基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)的三種方法(1)列舉法：適用于基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)不是許多，可以把基本領(lǐng)件一一列舉出來的狀況，但列舉時(shí)必需依據(jù)肯定的依次，做到不重不漏．(2)列表法：適用于試驗(yàn)中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素，且試驗(yàn)結(jié)果相對(duì)較多的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)的求解問題．通常把基本領(lǐng)件歸結(jié)為“有序?qū)崝?shù)對(duì)”，也可用坐標(biāo)法．列表法的優(yōu)點(diǎn)是精確、全面、不易遺漏．(3)樹狀圖法：適合較困難問題中基本領(lǐng)件的探求．一般須要分步(兩步及兩步以上)完成的結(jié)果可以用樹狀圖進(jìn)行列舉．樹狀圖法若是有依次問題，只需作一個(gè)樹狀圖然后乘以元素個(gè)數(shù)即可．留意：(1)基本領(lǐng)件是最簡(jiǎn)潔的隨機(jī)事務(wù)；(2)不同的基本領(lǐng)件不行能同時(shí)發(fā)生．口袋中有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，4個(gè)人按依次依次從中摸出1個(gè)球，求基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)．解：我們把2個(gè)白球和2個(gè)黑球分別編號(hào)為1,2,3,4，于是4個(gè)人按依次依次從袋中摸出1個(gè)球的全部可能結(jié)果用樹狀圖表示如圖所示．由圖知共24個(gè)基本領(lǐng)件．類型三古典概型的概率計(jì)算【例3】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中選一名學(xué)生代表，假如每個(gè)同學(xué)當(dāng)選的可能性相同．(1)共有多少種選舉結(jié)果？(2)男同學(xué)當(dāng)選的結(jié)果有幾種？計(jì)算男同學(xué)當(dāng)選的概率．(3)女同學(xué)當(dāng)選的結(jié)果有幾種？計(jì)算女同學(xué)當(dāng)選的概率．【思路探究】由條件知，每個(gè)同學(xué)當(dāng)選的可能性相同，所以是古典概型．【解】(1)∵每個(gè)同學(xué)都有可能當(dāng)選．∴共有5種選舉結(jié)果．(2)∵共有3個(gè)男同學(xué)．∴男同學(xué)當(dāng)選的結(jié)果有3種，記男同學(xué)當(dāng)選為事務(wù)A，∵5個(gè)基本領(lǐng)件是等可能事務(wù)，A中包含其中3個(gè)，∴P(A)＝eq\f(3,5).(3)∵共有2個(gè)女同學(xué)，∴女同學(xué)當(dāng)選的結(jié)果為2種，記女同學(xué)當(dāng)選為事務(wù)B，∵5個(gè)基本領(lǐng)件是等可能事務(wù)，B中含有其中2個(gè)，∴P(B)＝eq\f(2,5).規(guī)律方法求古典概型的概率的步驟：①反復(fù)閱讀題目，收集整理題目中各種信息；②推斷試驗(yàn)是否屬于古典概率，并用字母表示全部基本領(lǐng)件；③計(jì)算基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)n及事務(wù)A中包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)m；④計(jì)算事務(wù)A的概率P(A)＝eq\f(m,n).從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的肯定值為2的概率是(B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)解析：本題考查古典概型的概率，從1、2、3、4中任取兩個(gè)不同的數(shù)共有6種不同結(jié)果(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，滿意差的肯定值為2的結(jié)果有(1,3)和(2,4)兩種，所以概率為eq\f(1,3)，選B.弄清題目所考查的是哪一類概率問題是本題的關(guān)鍵，在求解過程中不要數(shù)重或漏數(shù)．類型四古典概型與其他學(xué)問的綜合【例4】隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高(單位：cm)，獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖，如圖．(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪個(gè)班的平均身高較高；(2)計(jì)算甲班的樣本方差；(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué)，求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率．【解】(1)由莖葉圖可知，甲班身高集中在162～179cm之間，而乙班身高集中在170～179cm之間．因此乙班平均身高高于甲班．(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182,10)＝170，甲班的樣本方差為eq\f(1,10)[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)設(shè)“身高為176cm的同學(xué)被抽中”的事務(wù)為A.從乙班10名同學(xué)中抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué)有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10個(gè)基本領(lǐng)件，而事務(wù)A包含4個(gè)基本領(lǐng)件，所以P(A)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).規(guī)律方法概率問題常與統(tǒng)計(jì)問題結(jié)合在一起考查，在此類問題中，概率與頻率的區(qū)分并不是非常明顯，通常干脆用題目中的頻率代替概率進(jìn)行計(jì)算．設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．解：設(shè)事務(wù)A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根意味著Δ＝(2a)2－4b2≥0，即a≥b基本領(lǐng)件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12個(gè)，其中第1個(gè)數(shù)表示a的取值，第2個(gè)數(shù)表示b的取值，而事務(wù)A包含9個(gè)基本領(lǐng)件，故事務(wù)A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).——規(guī)范解答——數(shù)形結(jié)合思想巧解古典概型概率【例5】(12分)先后拋擲兩枚大小相同的骰子．(1)求點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)的概率；(2)求出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)的概率；【思路點(diǎn)撥】明確先后擲兩枚骰子的基本領(lǐng)件總數(shù)，然后用古典概型概率計(jì)算公式求解，可借圖來確定基本領(lǐng)件狀況．【滿分樣板】如圖所示，從圖中簡(jiǎn)潔看出基本領(lǐng)件與所描點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，共36種.3分(1)記“點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)”為事務(wù)A，從圖中可以看出，事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件共6個(gè)：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).8分(2)記“出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)”為事務(wù)B，從圖中可以看出，事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件只有1個(gè)，即(4,4)．故P(B)＝eq\f(1,36).12分【思維啟迪】1.在求概率時(shí)，若事務(wù)可以表示成有序數(shù)對(duì)的形式，則可以把全體基本領(lǐng)件用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示，以便我們精確地找出某事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)．2．?dāng)?shù)形結(jié)合能使解決問題的過程變得形象、直觀，給問題的解決帶來便利．拋擲兩顆骰子，求：(1)點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率；(2)點(diǎn)數(shù)之和大于5小于10的概率．解：如圖，基本領(lǐng)件共有36種．(1)記“點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)”的事務(wù)為A，從圖中可以看出，事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件共有9個(gè)：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P(A)＝eq\f(1,4).(2)記“點(diǎn)數(shù)之和大于5小于10”的事務(wù)為B，從圖中可以看出，事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件共有20個(gè)．即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P(B)＝eq\f(5,9).一、選擇題1．據(jù)人口普查統(tǒng)計(jì)，育齡婦女生男生女是等可能的，假如允許生育兩胎，則某一育齡婦女兩胎均是女孩的概率是(C)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)解析：事務(wù)“該育齡婦女連生兩胎”包含4個(gè)基本領(lǐng)件，即(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，故兩胎均為女孩的概率是eq\f(1,4).2．下列是古典概型的為(C)A．隨意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為基本領(lǐng)件B．為求隨意的正整數(shù)的平方的個(gè)