《向量的數(shù)量積》同步學(xué)案(教師版)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《向量的數(shù)量積》同步學(xué)案情境導(dǎo)入如圖,一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,所做的功是多少?功是怎樣的量?自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引1.已知兩個(gè)非零向量a,b,O是平面上的任意一點(diǎn),作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ2.如果a與b的夾角是π2,我們說(shuō)a與b______,記作3.向量的數(shù)量積.(1)定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量______叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a?b,即(2)規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為______.4.如圖(1),設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,AB=a,CD=b,我們考慮如下的變換:過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到A1如圖(2),我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OM=a,ON=b.過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線,垂足為M1,則5.向量數(shù)量積的性質(zhì).設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與(1)a?(2)a⊥(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a?b=______;當(dāng)a與b反向時(shí),a?b=______.特別地(4)|a答案1.夾角[0,2.垂直a3.(1)|a4.投影 投影向量 O5.(1)|(2)0(3)|a‖b| -|(4)|預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)1.若|m|=4,|n|=6,mA.12 B.122 C.-122 2.已知|a|=9,|b|=62,A.45° B.135° C.120° 3.|a|=2,|b|=4,設(shè)e是與b方向相同的單位向量,向量a與向量b的夾角為120A.-3e B.-2e C.2e 答案1.B解析:m?2.B解析:因?yàn)閏osθ=a?b|a‖3.D解析:向量a在向量b上的投影向量是a新知探究探究點(diǎn)1向量的數(shù)量積的概念知識(shí)詳解1.兩個(gè)非零向量的數(shù)量積.已知條件向量a,b是非零向量,定義數(shù)量|a‖b|cosθ叫做向量a與記法a2.零向量與任一向量的數(shù)量積.規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.[特別提示]1.向量的數(shù)量積,不能表示為或.2.兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,而不是向量,其大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角都有關(guān),符號(hào)由夾角的余弦值的符號(hào)決定.設(shè)兩個(gè)非零向量a與b的夾角為θ,則當(dāng)θ=0°時(shí),當(dāng)θ為銳角時(shí),cosθ>當(dāng)θ為針角時(shí),cosθ<當(dāng)θ為直角時(shí),cosθ=當(dāng)θ=180°時(shí),典例探究例1已知|a|=6,|b|=5,當(dāng):(1)a//b;(2)a⊥b;(3)a解析根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解.答案(1)a//b,若a與b同向,則若a與b反向,則θ=180(2)a⊥b,則a與b的夾角為(3)a與b的夾角為60°方法技巧:對(duì)比向量的線性運(yùn)算,向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量,而兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,而且這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān),它的符號(hào)由夾角的余弦值確定.當(dāng)a≠0,b≠0,0°≤θ<90°時(shí),數(shù)量積為正;當(dāng)a≠0變式訓(xùn)練1判斷下列各命題是否正確,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.(1)a,b為非零向量,(2)若a≠0,a答案(1)因?yàn)閍?b=|a‖b|cosθ,其中θ是a與b的夾角,所以由a?b=±|a|?|b|及(2)若a≠0,a?b=a?c,由數(shù)量積公式,只能得到|b|cosα=|c|cosβ,其中α探究點(diǎn)2關(guān)于投影向量的問(wèn)題知識(shí)詳解1.投影向量的概念.如圖,設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,AB=a,CD=b,我們考慮如下的變換:過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作CD所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到A1B2.投影向量的求法.(1)設(shè)e是與a方向相同的單位向量,a與b的夾角為θ,則向量b在向量a方向上的投影向量為|b(2)設(shè)e是與b方向相同的單位向量,a與b的夾角為θ,則向量a在向量b上的投影向量為|a典例探究例2設(shè)e是與b方向相同的單位向量,已知|a|=3,|b|=5,且a與b的夾角為45A.322e B.3e C.4e解析向量a在向量b上的投影向量為|a答案A變式訓(xùn)練2已知|a|=2,|b|=10,a與b的夾角θ=120°,設(shè)e1是與a方向相同的單位向量,則向量b在向量a上的投影向量是______;答案-5e解析向量b在向量a上的投影向量為|b|cosθe1=10×探究點(diǎn)3向量數(shù)量積的性質(zhì)知識(shí)詳解1.設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與(1)a?(2)a⊥(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a?b=|a‖b|;當(dāng)a與b反向時(shí),(4)|a[特別提示]1.在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若ab=0,則a與b中至少有一個(gè)為0.而在向量數(shù)量積的運(yùn)算中,不能從a?b=0推出a=0或(1)a=0,b=0;(2)a=02.在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若a,b∈R,則|ab|=|a|?|b|.但對(duì)于向量a典例探究例3給出以下命題:①a?0=0;②0?a=0;③0-AB=BA;④|a?b|=|a‖b|;⑤若a≠0其中正確命題的序號(hào)是______.解析上述7個(gè)命題中只有③⑦正確.對(duì)于①,兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),應(yīng)有a?0=0;對(duì)于②,應(yīng)有0?a=0;對(duì)于④,由向量的數(shù)量積定義,得|a?b|=|a‖b|?cosθ|≤|a‖b|,這里θ是a與b的夾角,只有θ=0或θ=π時(shí),答案③⑦變式訓(xùn)練3給出下面的關(guān)系式:①0?a=0;②a?b=b?a;③A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C解析:顯然①②③正確;|a?b|?a?b,故④錯(cuò)誤;(a?b)2= 易錯(cuò)易混解讀例如圖,在?ABCD中,|AB|=2,|AD|=4,∠DAB=60°.設(shè)錯(cuò)解因?yàn)锽C與AD相等,所以|BC|=4.又因?yàn)椤螦BC等于120°,所以BC在AB錯(cuò)因分析向量BC與向量AB的夾角不是∠ABC,而是∠DAB,所以向量BC與向量AB的夾角應(yīng)該是60°正解因?yàn)锽C與AD相等,又因?yàn)椤螪AB=60°,所以BC在AB上的投影向量即為AD在AB上的投影向量,即為糾錯(cuò)心得關(guān)于求投影向量的問(wèn)題,一定要找清楚兩向量之間的夾角,以及所求的是誰(shuí)在誰(shuí)上的投影向量,明確了這兩點(diǎn),就不會(huì)弄錯(cuò)數(shù)據(jù).課堂檢測(cè)1.若向量a,b滿足|a|=|b|=A.12 B.32 C.1+32.已知|a|=8,|b|=4,a與b的夾角為120°,設(shè)eA.4e B.-4e C.2e 3.如果向量a,b滿足|a|=2,a?b=3,A.13 B.33 C.3 4.在ΔABC中,AB=aA.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定5.已知|b|=3,與b方向相同的單位向量為e,向量a在向量b上的投影向量