2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圖形的旋轉(zhuǎn) 壓軸解答題練習(xí)題（含答案解析）

第第頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：圖形的旋轉(zhuǎn)壓軸解答題練習(xí)題一．解答題（共25小題）1．如圖1，點(diǎn)A為直線MN上一點(diǎn)，AD為射線，∠DAN＝45°，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)A處，一邊AB在射線AN上，另一邊AC與AD都在直線MN的上方．（1）將三角板繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若AC恰好平分∠DAM（如圖2），則∠BAN＝°；（2）將三角板繞點(diǎn)A在直線MN上方逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB落在∠DAM內(nèi)部，且∠BAD=14∠CAM時(shí)，則∠CAN＝（3）將圖1中的三角板和射線AD同時(shí)繞點(diǎn)A，分別以每秒2°和每秒5°的速度順時(shí)針?lè)謩e旋轉(zhuǎn)一周后停止，求第幾秒時(shí)，射線AB恰好與射線AD成30°角？2．問(wèn)題：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a+1，﹣a+2）（a為實(shí)數(shù)），當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)均會(huì)變化，點(diǎn)P的位置也隨之改變．那么點(diǎn)P的位置有何變化規(guī)律呢？【方法探究】（1）小明同學(xué)看到這個(gè)問(wèn)題后，想到可否先取一些特殊值，看看能不能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請(qǐng)你幫忙將表格補(bǔ)充完整，并在圖1坐標(biāo)系中描出點(diǎn)P4，P5．a(chǎn)﹣2﹣1012P點(diǎn)坐標(biāo)P1（﹣1，4）P2（0，3）P3（1，2）P4（2，）P5（3，）猜想：通過(guò)列表和描點(diǎn)，你認(rèn)為點(diǎn)P的位置有何變化規(guī)律？答：【問(wèn)題解決】（2）小明同學(xué)認(rèn)為通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納得到的結(jié)論不一定正確，還需要證明．要解決上面的問(wèn)題，以下是他的簡(jiǎn)單思路：要想看出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），令x＝a+1，y＝﹣a+2，消掉字母a，就可以找出y與x的關(guān)系式．請(qǐng)你按照小明的思路，證明（1）中你的猜想．【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3﹣m，﹣m﹣2），B點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱．C，D為x軸、y軸正半軸上一點(diǎn)，OC＝OD＝2，求△BDC周長(zhǎng)的最小值，及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)．3．如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)E是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A，C重合），連接BE，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，將線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AK，連接HK，CK．（1）若BH=3，求線段CK（2）如圖2，連接CH，延長(zhǎng)KH交BC于點(diǎn)D，當(dāng)KD取最大值時(shí)，求證：AE＝CD；（3）在（2）的條件下，當(dāng)KD取最大值時(shí)，連接DE，將△CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接AD，BE，分別取AD，BE的中點(diǎn)M，N，連接MN，若△ABC的邊長(zhǎng)為4，當(dāng)點(diǎn)D落在直線AC上時(shí)，直接寫出MN長(zhǎng)．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P（m，0）作直線l⊥x軸，圖形W關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形為W'，圖形W'上任一點(diǎn)到x軸，y軸的距離的最大值是d，稱d是圖形W關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”．已知點(diǎn)A（3，2），B（5，2）．（1）①線段AB關(guān)于直線l的1倍鏡像“接收距離”是；②線段AB關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”是2，m的取值范圍是；（2）點(diǎn)C（﹣3，3），△ABC關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”的最小值是．（3）點(diǎn)D（﹣4，﹣3），E（﹣2，﹣3），線段DE關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”小于線段AB關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”，求m的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．5．圖形的定轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題的重要手段之一，小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行了研究．如圖（1），△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，且∠C＝∠AED＝90°．（1）觀察猜想小華將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD，CE，如圖（2），當(dāng)BD的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)：①BDCE的值為②BD與CE的夾角為度；（2）類比探究如圖（3），小芳在小華的基礎(chǔ)上，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△ADE，連接BD，CE，設(shè)BD的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)F，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展延伸若AE＝DE=2，AC＝BC=10，當(dāng)CE所在的直線垂直于AD時(shí)，請(qǐng)你直接寫出6．在等邊△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)M為直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接MB，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，把線段BM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BN，連接CN．（Ⅰ）如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，求證：AM＝CN．（Ⅱ）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接MC，AN，若∠ANC＝45°，求∠AMC的大?。á螅┤舻冗叀鰽BC的邊長(zhǎng)是6，連接DN，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫出線段DN的最小值．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（m，n），過(guò)點(diǎn)（m，0）且垂直于x軸的直線記為直線x＝m，過(guò)點(diǎn)（0，n）且垂直于y軸的直線記為直線y＝n．給出如下定義：將圖形G關(guān)于直線x＝m對(duì)稱得到圖形G1，再將圖形G1關(guān)于直線y＝n得到圖形G2，則稱圖形G2是圖形G關(guān)于點(diǎn)M的雙對(duì)稱圖形．（1）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)N（2，3）關(guān)于點(diǎn)M的雙對(duì)稱圖形點(diǎn)N2的坐標(biāo)為；（2）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（0，1）．①已知點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，﹣1），寫出點(diǎn)A，B，C關(guān)于M的雙對(duì)稱圖形點(diǎn)的坐標(biāo)A2，B2，C2；②已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣1），點(diǎn)P（4，n），點(diǎn)Q（4，n+1），線段PQ關(guān)于點(diǎn)M的雙對(duì)稱圖形線段P2Q2位于△ABC內(nèi)部（不含三角形的邊），求n的取值范圍．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜a＜360°）得到DC．（1）如圖1，若α＝30°，連接AD交BC于點(diǎn)E，若AC＝6，求DE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若0°＜α＜90°，CF平分∠BCD交AD于點(diǎn)F，連接BF，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD，在射線CG上取點(diǎn)G使得∠BGC＝45°，連接BG，請(qǐng)用等式表示線段CG、CF、BF之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖3，若BC＝8，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，將CP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到QP，連接AQ，M為AQ的中點(diǎn)，當(dāng)2CM+CQ取得最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出△ABM的面積．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），B（0，4），以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△ACD．（1）如圖①，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足DC∥x軸時(shí)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)，點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C恰好落在x軸正半軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，邊OB上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，當(dāng)DP+AP′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（直接寫出結(jié)果即可）10．請(qǐng)閱讀以下信息：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所組成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的“內(nèi)半角”．如圖①，若射線OC，OD在∠AOB的內(nèi)部，且∠COD=12∠AOB，則稱∠COD請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：（1）如圖①，∠AOB＝50°，∠BOD＝10°．若∠COD是∠AOB的“內(nèi)半角”，則∠AOC＝．（2）如圖②，已知∠AOB＝60°，將∠AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜60°）至∠COD，即∠COD＝∠AOB＝60°，其中∠AOC＝∠BOD＝α．若∠COB是∠AOD的“內(nèi)半角”，求α的度數(shù)．（3）把一塊含60°的三角板COD按如圖③方式放置，使OC邊與OA邊重合，OD邊與OB邊重合．如圖④，將三角板COD繞頂點(diǎn)O以每秒6°的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．當(dāng)射線OA，OB，OC，OD構(gòu)成“內(nèi)半角”時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．11．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），把線路AD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE（即AD＝AE），使得∠DAE＝∠BAC，連接DB、CE．（1）如圖1，點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝度．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC＝60°，則∠BCE＝度．（3）如圖3，設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，α，β的數(shù)量關(guān)系是什么？請(qǐng)說(shuō)明理由．（4）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β，當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出α，β的數(shù)量關(guān)系，不用證明．12．如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝27°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD．點(diǎn)P在線段BC上從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合時(shí)，連結(jié)AP．設(shè)∠BAP＝x°．（1）∠BAD的度數(shù)為．（2）當(dāng)△ABP是鈍角三角形時(shí)，求x的取值范圍．（3）當(dāng)△ABP是軸對(duì)稱圖形時(shí)，求x的值．（4）如圖②，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′、PB′，當(dāng)△APB′與△ABC重疊部分為軸對(duì)稱圖形時(shí)，直接寫出x的值．13．在等邊△AOB中，將扇形COD按圖1擺放，使扇形的半徑OC、OD分別與OA、OB重合，OA＝OB＝4，OC＝OD＝2，固定等邊△AOB不動(dòng)，讓扇形COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段AC、BD也隨之變化，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．（0＜α≤360°）（1）當(dāng)OC∥AB時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α＝度，OC⊥AB時(shí)旋轉(zhuǎn)角α＝度．發(fā)現(xiàn)：（2）線段AC與BD有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)僅就圖2給出證明．應(yīng)用：（3）當(dāng)A、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，求BD的長(zhǎng)．拓展：（4）P是線段AB上任意一點(diǎn)，在扇形COD的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫出線段PC的最大值與最小值．14．△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為線段BC上任意一點(diǎn)，連接AD，E為直線AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在AB邊上，連接DE．若AE＝1，BE＝3，求DE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若點(diǎn)E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE＝CD，點(diǎn)F為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠FAD＝60°．猜想線段AF，EF，AD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（1）的條件下，M為線段AD上一點(diǎn)，連接ME，將線段ME繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EN，連接MN．當(dāng)BN+DN的值最小時(shí)，直接寫出△AMC的面積．15．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD為BC邊上中線，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接DE．（1）如圖1，AB＝4，AC＝3，點(diǎn)E在BD中垂線上，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，求線段DF的長(zhǎng)．（2）如圖2，將線段DE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至DG，使∠EDG+2∠B＝180°，過(guò)點(diǎn)G作GM∥BC交AB于點(diǎn)M，作GN⊥GM交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，作GH⊥GE交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接CH，求證：MN＝2CH．（3）如圖3，AB＝4，∠B＝45°，EJ垂直平分BD于點(diǎn)J，點(diǎn)P是射線JE上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段PD′，點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD′，QD′，當(dāng)AD′最小時(shí)，將△AD′Q沿QD′所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△A′D′Q，連接A′D，A′C，當(dāng)A′D最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出△A′CD的面積．16．已知∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB＝10，OC＝OD＝8．（1）如圖1，連接AC、BD，問(wèn)AC與BD相等嗎？并說(shuō)明理由．（2）若將△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)C恰好在AB邊上時(shí)，請(qǐng)寫出AC、BC、OC之間關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）若△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠AOC＝15°時(shí)，直線CD與直線AO交于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)．17．在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ADE，直線DE與直線BC相交于點(diǎn)P．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P落在線段BC上時(shí)，求證：PC＝PE；（2）如圖2，當(dāng)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在AB上時(shí)，連接BD．若BC＝4，AC＝3，求△PBD的周長(zhǎng)．（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P落在CB的延長(zhǎng)線上，且DE∥AB時(shí)，連接BD，AP，判斷線段BD與AP的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．18．在△ABC中，AB＝AC，將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至線段BD，連接CD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交BC于點(diǎn)E．（1）如圖1，若∠ABC＝45°，∠ABD＝135°，且AB=2，連接DE，求線段DE（2）如圖2，若∠ABD＝120°，在CD上取點(diǎn)F，若∠FBC＝30°，求證：DF＝FC；（3）如圖3，若∠ABC＝60°，∠ABD＝150°，AB＝2，點(diǎn)P在射線DB上，點(diǎn)Q在射線BA上，且DP＝BQ，連接CP，CQ，當(dāng)CP+CQ最小時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E到CP的距離的平方．19．北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章《勾股定理》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：觀察圖1，判斷圖中三角形的三邊長(zhǎng)是否滿足a2+b2＝c2．經(jīng)過(guò)探究，勤思小組發(fā)現(xiàn)，在銳角三角形中，三邊長(zhǎng)滿足a2+b2＞c2；在鈍角三角形中，三邊長(zhǎng)滿足a2+b2＜c2．據(jù)此，他們做了進(jìn)一步探究，以下是部分探究過(guò)程：如圖2﹣①，在△ABC中，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．因?yàn)锳D⊥BC，所以∠ADC＝∠ADB＝90°．在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AB2﹣（BC﹣CD）2．．（1）請(qǐng)你補(bǔ)充完成上面橫線上所缺的過(guò)程；（2）善學(xué)小組在探究中發(fā)現(xiàn)，如圖2﹣②，當(dāng)△ABC為鈍角三角形（∠C為鈍角）時(shí)，也有類似的結(jié)論．請(qǐng)類比勤思小組的方法，寫出該結(jié)論，并說(shuō)明理由；（3）如圖2﹣③，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝9，AD＝11，請(qǐng)直接寫出該四邊形的面積．敏學(xué)小組的思路是連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，請(qǐng)你利用敏學(xué)小組的思路來(lái)求四邊形ABCD的面積．20．如圖所示，△ABC為等腰三角形，AB＝AC，點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)，連接AD．（1）如圖1，若∠BAC＝90°，把AD繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AE，連接BE、ED，滿足BE＝1，AE=3，求BC（2）如圖2，若∠BAC＝120°，把AD繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AP，連接BP、PD，求證：BP＝DP；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)若G為平面內(nèi)一點(diǎn)，若∠AGC＝90°，當(dāng)PG取最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出BPPG21．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿折線DB﹣BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將PD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得射線PQ，PQ交邊AC或邊BC或邊AB于點(diǎn)Q，連接PQ（即∠DPQ＝45°），設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x（x＞0）．（1）直接寫出AD的長(zhǎng)；（2）用含x的代數(shù)式表示PB的長(zhǎng)；（3）連接DQ，當(dāng)△DPQ是等腰直角三角形時(shí)，求x的值；（4）作點(diǎn)D關(guān)于PQ的對(duì)稱點(diǎn)D′，當(dāng)點(diǎn)D'落在△ABC的邊上時(shí)，直接寫出x的值．22．在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，連接CD．（1）如圖1，若AC=3+1，AD=2（2）如圖2，將線段CD繞D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，連接CE，ME，點(diǎn)F是線段DE中點(diǎn)，連接MF與CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，當(dāng)∠EBF＝30°時(shí)，求證：2BF=2BC?2（3）在（2）的條件下，將線段AE繞B順時(shí)行旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP，連接CP，求CPAD23．如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點(diǎn)，且DE＝CE，連接BD，CD．（1）試判斷BD與AC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若將△DCE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若將（2）中的兩個(gè)等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請(qǐng)求出夾角度數(shù)（夾角α：0°≤α≤90°）；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，n），C（2，0），B（m，0），且已知|n﹣6|+（m+2）2＝0．（1）求證：∠ABC＝∠ACB；（2）如圖①，過(guò)x軸上一點(diǎn)D（﹣6，0）作DE⊥AC于E，DE交y軸于點(diǎn)F．①求證：OF＝OC；②求F點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將△ABC沿x軸向左平移，AC邊與y軸交于一點(diǎn)P（P不同于A和C兩點(diǎn)），過(guò)P作一直線與AB的延長(zhǎng)線交于Q點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)M，且CP＝BQ，在△ABC平移過(guò)程中，求證：OC+BM＝OM．25．【知識(shí)背景】勾股定理的內(nèi)容是：直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，則AB、AC、BC三邊的數(shù)量關(guān)系滿足．【提出問(wèn)題】某學(xué)生在學(xué)習(xí)了勾股定理之后提出：銳角三角形有沒(méi)有類似于勾股定理的結(jié)論．首先定義一個(gè)新的概念：如圖1，銳角△MBC中，M是BC的中點(diǎn)，N是線段MA上的點(diǎn)，設(shè)MNAN=k，若∠BNC＝90°，MN=1【解決問(wèn)題】（1）如圖2，若∠BNC＝90°，MN=12BC，AB＝AC，當(dāng)勾股比k＝2時(shí)，求AB2+AC2與（2）如圖3，在銳角△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，N是線段MA上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B、C作AM的垂線，垂足分別為P、Q．①求證：CQ＝BP；②若∠BNC＝90°，MN=12BC時(shí)，用勾股比k的代數(shù)式填空：AB2+AC2＝（）

參考答案與試題解析一．解答題（共25小題）1．如圖1，點(diǎn)A為直線MN上一點(diǎn)，AD為射線，∠DAN＝45°，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)A處，一邊AB在射線AN上，另一邊AC與AD都在直線MN的上方．（1）將三角板繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若AC恰好平分∠DAM（如圖2），則∠BAN＝22.5°；（2）將三角板繞點(diǎn)A在直線MN上方逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB落在∠DAM內(nèi)部，且∠BAD=14∠CAM時(shí)，則∠CAN＝（3）將圖1中的三角板和射線AD同時(shí)繞點(diǎn)A，分別以每秒2°和每秒5°的速度順時(shí)針?lè)謩e旋轉(zhuǎn)一周后停止，求第幾秒時(shí)，射線AB恰好與射線AD成30°角？【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；代數(shù)幾何綜合題；運(yùn)算能力．【答案】（1）22.5；（2）144；（3）第5秒或25秒或142.5秒或172.5秒時(shí)，射線AB恰好與射線AD成30°角．【分析】（1）根據(jù)角的平分線的定義和平角的定義即可解答；（2）根據(jù)∠BAD=14∠CAM設(shè)未知數(shù)，由∠（3）正確畫圖，分三種情況討論，列一元一次方程即可解答》【解答】解：（1）∵∠DAN＝45°，∴∠DAM＝180°﹣45°＝135°，∵AC平分∠DAM，∴∠CAM=12∠DAM∵∠CAB＝90°，∴∠BAN＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°；故答案為：22.5；（2）如圖3，設(shè)∠BAD＝x，則∠CAM＝4x，由（1）知：∠DAM＝135°，∴x+90+4x＝135，∴x＝9°，∴∠CAN＝180°﹣4x＝180°﹣36°＝144°，故答案為：144；（3）三角板：t1=3602=射線AD：t2=3605=設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)射線AD與AB重合時(shí)，如圖4，有2t+45＝5t，∴t＝15；當(dāng)射線AB恰好與射線AD成30°角時(shí)，存在以下三種情況：①當(dāng)0＜t＜15時(shí)，如圖5，有5t+30＝2t+45，∴t＝5；②當(dāng)15＜t＜72時(shí)，如圖6，有5t＝2t+45+30，∴t＝25；③72s后，射線AD停止，三角板繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，有2t+30+45＝360（如圖7）或2t+（45﹣30）＝360（如圖8），∴t＝142.5和t＝172.5；綜上，第5秒或25秒或142.5秒或172.5秒時(shí)，射線AB恰好與射線AD成30°角．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換的綜合題，考查了一元一次方程的應(yīng)用，角平分線定義，角度的計(jì)算，正確畫出圖形并分類討論是解題的關(guān)鍵．2．問(wèn)題：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a+1，﹣a+2）（a為實(shí)數(shù)），當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)均會(huì)變化，點(diǎn)P的位置也隨之改變．那么點(diǎn)P的位置有何變化規(guī)律呢？【方法探究】（1）小明同學(xué)看到這個(gè)問(wèn)題后，想到可否先取一些特殊值，看看能不能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？請(qǐng)你幫忙將表格補(bǔ)充完整，并在圖1坐標(biāo)系中描出點(diǎn)P4，P5．a(chǎn)﹣2﹣1012P點(diǎn)坐標(biāo)P1（﹣1，4）P2（0，3）P3（1，2）P4（2，1）P5（3，0）猜想：通過(guò)列表和描點(diǎn)，你認(rèn)為點(diǎn)P的位置有何變化規(guī)律？答：點(diǎn)P在一條直線上運(yùn)動(dòng)【問(wèn)題解決】（2）小明同學(xué)認(rèn)為通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納得到的結(jié)論不一定正確，還需要證明．要解決上面的問(wèn)題，以下是他的簡(jiǎn)單思路：要想看出P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），令x＝a+1，y＝﹣a+2，消掉字母a，就可以找出y與x的關(guān)系式．請(qǐng)你按照小明的思路，證明（1）中你的猜想．【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3﹣m，﹣m﹣2），B點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱．C，D為x軸、y軸正半軸上一點(diǎn)，OC＝OD＝2，求△BDC周長(zhǎng)的最小值，及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）1，0，點(diǎn)P在一條直線上運(yùn)動(dòng)；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（3）△BCD的周長(zhǎng)最小值為22+26，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（52【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P的變化情況即可在圖1坐標(biāo)系中描出點(diǎn)P4，P5；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），令x＝a+1，y＝﹣a+2，聯(lián)立方程組，即可得P在直線y＝﹣x+3上；（3）求出點(diǎn)B在直線y＝﹣x+5上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y＝﹣x+5交x，y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，再求出CD所在直線表達(dá)式為y＝﹣x+2，過(guò)點(diǎn)F作FD′⊥y軸，且FD'＝FD，得CD'所在直線表達(dá)式為y＝5x﹣10，根據(jù)△BCD的周長(zhǎng)＝22+D'B+BC，當(dāng)D'、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，（D'B+BC）取到最小值，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出最小值，聯(lián)立EF，CD'表達(dá)式，即可得點(diǎn)B【解答】解：（1）如圖1，P4，P5即為所求；a﹣2﹣1012P點(diǎn)坐標(biāo)P1（﹣1，4）P2（0，3）P3（1，2）P4（2，1）P5（3，0）猜想：通過(guò)列表和描點(diǎn)，點(diǎn)P的位置規(guī)律：點(diǎn)P在一條直線上運(yùn)動(dòng)，答：點(diǎn)P在一條直線上運(yùn)動(dòng)；故答案為：1，0，點(diǎn)P在一條直線上運(yùn)動(dòng)；（2）x=a+1①y=?a+2②①+②得x+y＝3，即y＝﹣x+3，∴P在直線y＝﹣x+3上；（3）∵點(diǎn)B、點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3﹣m，﹣m﹣2），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3﹣m，m+2），設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），令3﹣m＝x，m+2＝y(tǒng)，則x+y＝5，即y＝﹣x+5．∴點(diǎn)B在直線y＝﹣x+5上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線y＝﹣x+5交x，y軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，∴OE＝OF＝5，∵OC＝OD＝2，∴D（0，2），C（2，0），CD=2OC＝22∴CD所在直線表達(dá)式為y＝﹣x+2，如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FD′⊥y軸，且FD'＝FD，∴∠DFB＝∠D'FB＝45°，∴點(diǎn)D與點(diǎn)D'關(guān)于y＝﹣x+5對(duì)稱，將D'（3，5），C（2，0）代入直線表達(dá)式y(tǒng)＝kx+b，得CD'所在直線表達(dá)式為y＝5x﹣10，∴△BCD的周長(zhǎng)＝CD+DB+BC＝22+DB+BC＝22+D'B+當(dāng)D'、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，（D'B+BC）取到最小值，聯(lián)立EF，CD'表達(dá)式，y=5x?10y=?x+5，得交點(diǎn)坐標(biāo)為（52，∵D'B+BC的最小值為：(3?2)2+(5?0∴△BCD的周長(zhǎng)最小值為22+26，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（52【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程組，兩點(diǎn)間的距離公式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．3．如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)E是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A，C重合），連接BE，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE于點(diǎn)H，將線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AK，連接HK，CK．（1）若BH=3，求線段CK（2）如圖2，連接CH，延長(zhǎng)KH交BC于點(diǎn)D，當(dāng)KD取最大值時(shí)，求證：AE＝CD；（3）在（2）的條件下，當(dāng)KD取最大值時(shí)，連接DE，將△CDE繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接AD，BE，分別取AD，BE的中點(diǎn)M，N，連接MN，若△ABC的邊長(zhǎng)為4，當(dāng)點(diǎn)D落在直線AC上時(shí)，直接寫出MN長(zhǎng)．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）3；（2）見(jiàn)解析；（3）7或3．【分析】（1）根據(jù)線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AK，可知△AHK為等邊三角形，再證△BAH≌△CAK，可知BH＝CK，從而求得答案；（2）過(guò)點(diǎn)C作CM∥BH交KD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，由（1）可知，∠BHA＝∠CKA，BH＝CK，從而知道∠AKC＝90°，推出∠HKC＝30°，借助平角可求得∠BHD＝∠DMC＝30°，借助證明△BHD≌△CDM，可知D為BC中點(diǎn)，KD＝AH+HD，AE+DE≥AH+HD，推出當(dāng)KD最大時(shí)，H與E重合，又因?yàn)锳H⊥BE，BA＝BC，那么此時(shí)E點(diǎn)在AC的中點(diǎn)，從而得證；（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC的延長(zhǎng)線時(shí)，取BC的中點(diǎn)J，連接MJ，NJ，過(guò)點(diǎn)N作NQ⊥MJ交MJ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，先求得HM，利用三角形中位線，求得MJ、JN以及∠QJN＝30°，在Rt△QNJ用勾股定理，求得QJ，最后在Rt△QNM用勾股定理，求得MN；當(dāng)點(diǎn)D在線段AC時(shí)，連接DN，過(guò)點(diǎn)E作ES⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，取BS的中點(diǎn)X，連接NX，取DN的中點(diǎn)Y，連接X(jué)Y，作DZ⊥MN交MN于點(diǎn)Z，先求得AD和MD的長(zhǎng)度，然后計(jì)算出∠BDE＝150°，然后在Rt△EDS中用勾股定理求得ES和DS，然后利用是三角形中位線求得NX，從而求得DX，DN，然后判定△NXY為等邊三角形，推導(dǎo)出∠XDN＝30°，從而得到∠MDN＝120°，MD＝DN＝1，最后在Rt△MDZ中用勾股定理求得MZ，從而得到MN．【解答】（1）解：△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AK，∴AH＝AK，∠KAH＝60°，∴∠BAC﹣∠HAC＝∠KAH﹣∠HAC，∴∠BAH＝∠CAK，在△BAH和△CAK中，AB=AC∠BAH=∠CAK∴△BAH≌△CAK（SAS），∴BH＝CK，∵BH=3∴CK=3（2）證明：過(guò)點(diǎn)C作CM∥BH交KD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，由（1）可知，△BAH≌△CAK，∴∠BHA＝∠CKA，BH＝CK，∵AH⊥BE，∴∠CKA＝90°，∵線段AH繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AK，∴AH＝AK，∠KAH＝60°，∴△KAH是等邊三角形，∴∠AKH＝60°＝∠AHK，∴∠HKC＝∠CKA﹣∠AKH＝90°﹣60°＝30°，∠BHM＝180°﹣∠AHB﹣∠AHK＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵BH∥CM，∴∠BHM＝∠DMC＝30°，∴∠DMC＝∠HKC＝30°，∴CM＝CK，∴CM＝BH，在△BHD和△CMD中，∠BHD=∠CMD∠BDH=∠CDM∴△BHD≌△CMD（AAS），∴BD＝CD，∵KD＝KH+HD＝AH+HD，AE+HD≥AH+HD，∴KD最大時(shí)，H與E重合，又∵AH⊥BE，BA＝BC，那么此時(shí)E點(diǎn)在AC的中點(diǎn)，如圖3：∴AE=AC∵BD=CD=12BC，AC∴AE＝CD；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)D在線段AC的延長(zhǎng)線時(shí)，如圖4：由（1）可知，△CDE是等邊三角形，CD=1∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AH⊥BH，∴AB＝AC＝BC＝4，CD＝CE＝ED＝2，AH=CH=12AC=2∴AD＝AC+CD＝4+2＝6，BH=A∴AM=DM=1∴HM＝AM﹣AH＝3﹣2＝1，CM＝AC﹣AM＝4﹣3＝1，∴HM＝CM，取BC的中點(diǎn)J，連接MJ，NJ，過(guò)點(diǎn)N作NQ⊥MJ交MJ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，∴MJ=12BH=3，MJ∥BH，∴∠MJC＝∠HBC＝30°，∠HJC＝∠ABC＝60°，∵∠BJN＝∠HJC＝60°，∠BJQ＝∠MJC＝30°，∴∠QJN＝∠BJN﹣∠BJQ＝60°﹣30°＝30°，∵BN＝EN，BJ＝CJ，∴JN=1∴NQ=1在直角三角形JNQ中，由勾股定理得：JQ=J∴MQ=JQ+JM=3在直角三角形MNQ中，由勾股定理得：MN=N②當(dāng)點(diǎn)D在線段AC時(shí)，連接DN，如5：由（1）可知，△CDE是等邊三角形，CD＝2，△ABC是等邊三角形，AB＝4，∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2，∠CDE＝60°，∴D是AC中點(diǎn)，∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴MD=1∵△ABC是等邊三角形，D是AC中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝90°+60°＝150°，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：BD=A過(guò)點(diǎn)E作ES⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，在Rt△DES中，∠SDE＝180°﹣∠BDE＝180°﹣150°＝30°，DE＝2，∴ES=1由勾股定理得：DS=D在Rt△BSE中，BS=BD+DS=23取BS的中點(diǎn)X，連接NX，∴NX∥ES，NX=12ES=∴∠BXN＝∠BSE＝90°，DX=BD?BX=23在直角三角形DNX中，由勾股定理得：DN=D取DN的中點(diǎn)Y，連接X(jué)Y，∴XY=DY=NY=1∵NX=NY=XY=1∴△XYN是等邊三角形，∴∠XNY＝60°，∴∠XDN＝90°﹣∠XNY＝90°﹣60°＝30°，∴∠MDN＝∠ADB+∠XDN＝90°+30°＝120°，作DZ⊥MN交MN于點(diǎn)Z，∵M(jìn)D＝DN＝1，∴∠MDZ=∠ZDN=∠MDN2=60°，MZ∴∠ZMD＝30°，∴DZ=MD2=∴MN=MZ+NZ=3【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，平角的定義，三角形內(nèi)角和定理等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P（m，0）作直線l⊥x軸，圖形W關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形為W'，圖形W'上任一點(diǎn)到x軸，y軸的距離的最大值是d，稱d是圖形W關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”．已知點(diǎn)A（3，2），B（5，2）．（1）①線段AB關(guān)于直線l的1倍鏡像“接收距離”是3；②線段AB關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”是2，m的取值范圍是32≤m≤（2）點(diǎn)C（﹣3，3），△ABC關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”的最小值是4．（3）點(diǎn)D（﹣4，﹣3），E（﹣2，﹣3），線段DE關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”小于線段AB關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”，求m的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】新定義；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）①3；②32（2）4；（3）m＜1【分析】（1）①求出A、B關(guān)于直線l的1倍鏡像的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)定義判斷；②表示出A、B關(guān)于直線l的m倍鏡像的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)定義列出不等式組|2m?3|≤2|2m?5|≤2（2）可推出B、C關(guān)于直線l的m倍鏡像B′、C′的距離之差也是8，從而得出△ABC關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”的最小值；（3）表示出A、B、C、D于直線l的m倍鏡像的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)DE關(guān)于直線l的m倍鏡像的線段是D′E′，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)D（﹣4，﹣3），E（﹣2，﹣3），線段DE關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”等于線段AB關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”時(shí)，得出（2m﹣5）+（2m+4）＝0，從而求得臨界m的值，進(jìn)而得出結(jié)果．【解答】解：（1）①設(shè)線段AB關(guān)于直線l的1倍鏡像的線段為A′B′，∵A′（﹣1，2），B′（﹣3，2），∴點(diǎn)B′距離y軸距離最大為：3，故答案為：3；②點(diǎn)A和B關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱點(diǎn)為：A′（2m﹣3，2），B′（2m﹣5，2），∵線段AB關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”是2，∴|2m?3|≤2|2m?5|≤2∴32故答案為：32（2）如圖1，∵A（3，2），B（5，2），點(diǎn)C（﹣3，3），∴B、C距離y軸的距離之差是8，∴B、C關(guān)于直線l的m倍鏡像B′、C′的距離之差也是8，∴C（﹣3，3），△ABC關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”的最小值是4，故答案為：4；（3）如圖2，點(diǎn)A和B關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱點(diǎn)為：A′（2m﹣3，2），B′（2m﹣5，2），線段DE關(guān)于直線l的m倍鏡像的線段是D′E′，則D′（2m+4，﹣3，），E′（2m+2），當(dāng)點(diǎn)D（﹣4，﹣3），E（﹣2，﹣3），線段DE關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”等于線段AB關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”時(shí)，（2m﹣5）+（2m+4）＝0，∴m=1∴當(dāng)點(diǎn)D（﹣4，﹣3），E（﹣2，﹣3），線段DE關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”小于線段AB關(guān)于直線l的m倍鏡像“接收距離”時(shí)，m＜1【點(diǎn)評(píng)】本題在新定義的基礎(chǔ)上，考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解一元一次不等式等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．5．圖形的定轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題的重要手段之一，小華和小芳對(duì)等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行了研究．如圖（1），△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，且∠C＝∠AED＝90°．（1）觀察猜想小華將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接BD，CE，如圖（2），當(dāng)BD的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)：①BDCE的值為2②BD與CE的夾角為45度；（2）類比探究如圖（3），小芳在小華的基礎(chǔ)上，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△ADE，連接BD，CE，設(shè)BD的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)F，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展延伸若AE＝DE=2，AC＝BC=10，當(dāng)CE所在的直線垂直于AD時(shí)，請(qǐng)你直接寫出【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）①2；②45；（2）結(jié)論成立，證明見(jiàn)解析部分；（3）42或2【分析】（1）證明△DAB∽△EAC，推出BDEC=ADAE=（2）結(jié)論成立．證明方法類似（1）；（3）分兩種情形：如圖（4）﹣1中，當(dāng)CE⊥AD于點(diǎn)O時(shí)，如圖（4）﹣2中，當(dāng)EC⊥AD時(shí)，延長(zhǎng)CE交AD于O，分別求解即可．【解答】解：（1）如圖（2）中，∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD=2AE，AB=2∴∠EAD＝∠CAB＝45°，ABAC∴△DAB∽△EAC，∴BDEC=ADAE=∴∠BEC＝45°∴BDEC=2故答案為：①2；②45；（2）結(jié)論成立．理由：如圖（3）中，設(shè)AC交BF于點(diǎn)O，∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD＝∠CAB＝45°，AD=2AE，AB=2∴∠EAD＝∠CAB＝45°，ABAC∴△DAB∽△EAC，∴BDEC=ADAE=∵∠AOB＝∠FOC，∴∠BAO＝∠CFO＝45°，∴BDEC=2（3）如圖（4）﹣1中，當(dāng)CE⊥AD于點(diǎn)O時(shí)，∵AE＝DE=2，AC＝BC=10，∠AED＝∠∴AD=2AE∵EO⊥AD，∴OD＝OA＝OE＝1，∴OC=AC∴EC＝OE+OC＝4，∵BD=2EC∴BD=42如圖（4）﹣2中，當(dāng)EC⊥AD時(shí)，延長(zhǎng)CE交AD于O，同法可得：OD＝OA＝OE＝1，OC＝3，EC＝3﹣1＝2，∴BD=2EC=2綜上所述：BD的長(zhǎng)為42或2【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．6．在等邊△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)M為直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接MB，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，把線段BM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BN，連接CN．（Ⅰ）如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在線段AD上時(shí)，求證：AM＝CN．（Ⅱ）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在線段DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接MC，AN，若∠ANC＝45°，求∠AMC的大?。á螅┤舻冗叀鰽BC的邊長(zhǎng)是6，連接DN，在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，直接寫出線段DN的最小值．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（Ⅰ）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（Ⅱ）15°；（Ⅲ）DN=3【分析】（Ⅰ）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△ABM≌△CBN（SAS），即可解決問(wèn)題；（Ⅱ）證明△ABM≌△CBN（SAS），得AM＝CN，∠BAM＝∠BCN，然后證明∠ACN＝90°，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；（Ⅲ）取AB的中點(diǎn)G，連接MG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD＝BG，再求出∠DBN＝∠MBG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB＝NB，然后利用“邊角邊”證明△MBG≌△NBD，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DN＝MG，然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥AD時(shí)最短，再根據(jù)∠BAD＝30°求解即可．【解答】（I）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵線段BM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∴∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN﹣∠MBC＝∠ABC﹣∠MBC，∴∠CBN＝∠ABM，∴△ABM≌△CBN（SAS），∴AM＝CN；（II）解：同（I）可知AB＝BC，BM＝BN，∠MBN＝∠ABC＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABC﹣∠ABN，∴∠MBA＝∠NBC．∴△ABM≌△CBN（SAS），∴AM＝CN，∠BAM＝∠BCN，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∠BAC∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∴∠BAM＝∠CAM＝150°，∴∠BCN＝∠BAM＝150°，∴∠ACN＝∠BCN﹣∠ACB＝150°﹣60°＝90°，∵∠ANC＝45°，∴∠CAN＝45°，∴∠ANC＝∠CAN，∴AC＝CN，∵AM＝CN，∴AM＝AC，∴∠AMC＝∠ACM＝15°；（III）解：線段DN的最小值32如圖③，取AB的中點(diǎn)G，連接MG，∵旋轉(zhuǎn)角∠MBN＝60°，∴∠MBD+∠DBN＝60°，∵∠MBD+∠MBA＝∠ABC＝60°，∴∠DBN＝∠GBM，∵AD是等邊△ABC的對(duì)稱軸，∴DB=12∵BG=12∴BG＝BD，∵M(jìn)B旋轉(zhuǎn)到BN，∴BM＝BN，在△MBG和△NBD中，BM=BN∠GBM=∠DBN∴△MBG≌△NBD（SAS），∴MG＝ND，根據(jù)垂線段最短，MG⊥AD時(shí)，MG最短，即DN最短，此時(shí)∠BAD=12×60°＝30°，AG∴MG=12AG∴DN=3【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M（m，n），過(guò)點(diǎn)（m，0）且垂直于x軸的直線記為直線x＝m，過(guò)點(diǎn)（0，n）且垂直于y軸的直線記為直線y＝n．給出如下定義：將圖形G關(guān)于直線x＝m對(duì)稱得到圖形G1，再將圖形G1關(guān)于直線y＝n得到圖形G2，則稱圖形G2是圖形G關(guān)于點(diǎn)M的雙對(duì)稱圖形．（1）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)N（2，3）關(guān)于點(diǎn)M的雙對(duì)稱圖形點(diǎn)N2的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）；（2）如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（0，1）．①已知點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，﹣1），寫出點(diǎn)A，B，C關(guān)于M的雙對(duì)稱圖形點(diǎn)的坐標(biāo)A2（4，﹣5），B2（6，﹣3），C2（2，﹣3）；②已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣1），點(diǎn)P（4，n），點(diǎn)Q（4，n+1），線段PQ關(guān)于點(diǎn)M的雙對(duì)稱圖形線段P2Q2位于△ABC內(nèi)部（不含三角形的邊），求n的取值范圍．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）（﹣2，﹣1）；（2）①A2（4，﹣5），B2（6，﹣3），C2（2﹣3）；②﹣5＜n＜﹣4；【分析】（1）根據(jù)雙對(duì)稱圖形的定義求出N（2，3）關(guān)于直線x＝0的對(duì)稱點(diǎn)為N1，再求出N1（﹣2，3），關(guān)于直線y＝1對(duì)稱的點(diǎn)為N2，即可得解；（2）①根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，﹣1），得兩條對(duì)稱軸分別為直線x＝1和直線y＝﹣1，然后根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)即可解決問(wèn)題；②先算出P和Q的雙對(duì)稱圖形點(diǎn)P2和Q2的坐標(biāo)，然后P2縱坐標(biāo)高于1，Q2縱坐標(biāo)低于3即滿足題意，從而建立不等式求解即可．【解答】解：（1）由題意可知，點(diǎn)N（2，3）關(guān)于直線x＝0的對(duì)稱點(diǎn)是N1（﹣2，3），點(diǎn)N1（﹣2，3）關(guān)于直線y＝1對(duì)稱的點(diǎn)是N2（﹣2，﹣1），∴點(diǎn)N（2，3）關(guān)于點(diǎn)M的雙對(duì)稱圖形點(diǎn)N2的坐標(biāo)是（﹣2，﹣1）；故答案為：（﹣2，﹣1）；（2）①∵點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，﹣1），∴兩條對(duì)稱軸分別為直線x＝1和直線y＝﹣1，點(diǎn)A（﹣2，3），B（﹣4，1），C（0，1）關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)分別為A1（4，3），B1（6，1），C1（2，1），點(diǎn)A1（4，3），B1（6，1），C1（2，1）關(guān)于直線y＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)分別為A2（4，﹣5），B2（6，﹣3），C2（2，﹣3），∴點(diǎn)A，B，C關(guān)于M的雙對(duì)稱圖形點(diǎn)的坐標(biāo)A2（4，﹣5），B2（6，﹣3），C2（2﹣3）；故答案為：A2（4，﹣5），B2（6，﹣3），C2（2﹣3）；②∵M(jìn)（1，﹣1），∴兩條對(duì)稱軸分別為直線x＝1和直線y＝﹣1，點(diǎn)P（4，n），Q（4，n+1）關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)分別為P1（﹣2，n），Q1（﹣2，n+1），點(diǎn)P1（﹣2，n），Q1（﹣2，n+1）關(guān)于直線y＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)分別為P2（﹣2，﹣2﹣n），Q2（﹣2，﹣3﹣n），∴P2Q2在直線x＝﹣2上，若P2Q2位于△ABC內(nèi)部，則需要滿足以下條件，?2?n＜3?3?n＞1∴﹣5＜n＜﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了坐標(biāo)的對(duì)稱、新定義等內(nèi)容，正確理解題意和熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜a＜360°）得到DC．（1）如圖1，若α＝30°，連接AD交BC于點(diǎn)E，若AC＝6，求DE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若0°＜α＜90°，CF平分∠BCD交AD于點(diǎn)F，連接BF，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD，在射線CG上取點(diǎn)G使得∠BGC＝45°，連接BG，請(qǐng)用等式表示線段CG、CF、BF之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）如圖3，若BC＝8，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，將CP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到QP，連接AQ，M為AQ的中點(diǎn)，當(dāng)2CM+CQ取得最小值時(shí)，請(qǐng)直接寫出△ABM的面積．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）23（2）CG=2（3）8；理由見(jiàn)解答過(guò)程．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得∠CAE＝∠D＝∠BCD＝30°，即可得到DE=EC=3（2）連接BD，AD與CG交于點(diǎn)O，根據(jù)角平分線可得∠BCF=∠DCF=12α，進(jìn)而得到∠ACG=∠DCG=45°+12α，∠CBD=∠CDB=90°?12α，得到∠OCF＝∠OFC＝45°，∠FDC=45°?（3）如圖，過(guò)P作PH⊥AC交AC于H，交AQ于O，過(guò)Q作QH⊥PH交PH于G，延長(zhǎng)CM交QG于N，延長(zhǎng)CB至E，使CB＝BE＝8，過(guò)A作AF⊥QG交QG于F，根據(jù)一線三垂直模型可證明△PHC≌△QGP（AAS），得PH＝GQ，GP＝CH，設(shè)GP＝CH＝a，則AH＝PH＝GQ＝8﹣a，GH＝GP+PH＝8＝BC，得到四邊形BCHG是矩形，四邊形ACBF是正方形，再說(shuō)明M與O重合，S△ABM=12S△ABQ，最后根據(jù)2CM+CQ＝CN+AN＝AN+NE≥AE，得到當(dāng)A、N、E三點(diǎn)共線時(shí)2CM+CQ取得最小值，得到FN=BN=12BF=4=2a，解得a＝2，最后根據(jù)S△ABM=12S【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得∠BCD＝α＝30°，CB＝CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∠ACD＝90°+30°＝120°，∴∠CAD＝∠CDA＝∠BCD＝30°，∴DE＝EC，AE＝2EC，在Rt△AEC中，AC2+EC2＝AE2，∴62+EC2＝（2EC）2，∴EC=23∴DE=EC=23（2）CG=2證明：連接BD，AD與CG交于點(diǎn)O，如圖2，由旋轉(zhuǎn)可得∠BCD＝α，CB＝CD＝CA，∴∠CBD＝∠CDB＝90°?12α，∠ACD＝90°+∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF=1∴△BCF≌△DCF（SAS），∴BF＝DF，∴∠FDB＝∠FBD，∵CG⊥AD，∴∠GOD＝∠FOC＝90°，∠ACG＝∠DCG=12∠ACD＝45°+∴∠OCF＝∠DCG﹣∠FCD＝45°+12α?∴∠OCF＝∠OFC＝45°，∴△OFC是等腰直角三角形，∴OC=OF=2∵∠FDC=∠OFC?∠FCD=45°?1∴∠FDB＝∠CDB﹣∠FDC＝（90°?12α）﹣（45°?∴∠FDB＝∠FBD＝45°，∵∠BGC＝45°，∠GOD＝90°，∠FDB＝45°，∴G、B、D三點(diǎn)共線，且△OGD是等腰直角三角形，∴OG＝OD，∴CG＝OG+OC＝OD+OC＝OF+FD+OC=22CF+22整理得CG=2（3）如圖3，過(guò)P作PH⊥AC交AC于H，交AQ于O，過(guò)Q作QH⊥PH交PH于G，延長(zhǎng)CM交QG于N，延長(zhǎng)CB至E，使CB＝BE＝8，過(guò)A作AF⊥QG交QG于F，∵將CP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到QP，∴CP＝QP，∠CPQ＝90°，∵QH⊥PH，PH⊥AC，∴∠CPQ＝∠PHC＝∠PGQ＝90°，∠HPC＝∠PQG＝90°﹣∠GPQ，∴△PHC≌△QGP（AAS），∴PH＝GQ，GP＝CH，設(shè)GP＝CH＝a，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，∴AH＝AC﹣CH＝8﹣a，∠BAC＝∠APH＝45°，∴AH＝PH＝GQ＝8﹣a，∴GH＝GP+PH＝8＝BC，∴四邊形BCHG是矩形，∴點(diǎn)B在QG上，CB⊥QG，HC＝BG＝a，∴四邊形ACBF是正方形，∴BF＝AF＝8，∵AH＝GQ＝8﹣a，∠AHP＝∠PGQ＝90°，∠GOQ＝∠AOH，∴△AHO≌△QGO（AAS），∴OG＝OH，OA＝OQ，∴O為AQ的中點(diǎn)，∵M(jìn)為AQ的中點(diǎn)，∴M與O重合，S△ABM=12S△∴MG＝MH＝OG＝OH，∴△NMG≌△CMH（ASA），∴CM＝MN，NG＝CH＝a∴CN＝2CM，NQ＝NG+GQ＝8﹣a+a＝8＝AC，∴四邊形ACQN是平行四邊形，∴CQ＝AN，∵CB＝BE＝8，CB⊥QG，∴CN＝NE，∴2CM+CQ＝CN+AN＝AN+NE≥AE，∴當(dāng)A、N、E三點(diǎn)共線時(shí)2CM+CQ取得最小值，此時(shí)△AFN≌△EBN，∴FN＝BN=12BF＝4＝2∴a＝2，∴GB＝a＝2，GQ＝8﹣a＝6，∴BQ＝GQ﹣BG＝4，∴S△ABM=12S△ABQ=12×【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱與最小值，勾股定理，30°直角三角形的性質(zhì)，涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，難度比較大．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），B（0，4），以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△ACD．（1）如圖①，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后滿足DC∥x軸時(shí)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)（6，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，2）．（2）如圖②，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C恰好落在x軸正半軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）在（2）的條件下，邊OB上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，當(dāng)DP+AP′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（直接寫出結(jié)果即可）【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）（6，2），（2，2）；（2）（2+2（3）(0，8【分析】（1）作CH⊥x軸于H．只要證明四邊形ADCH是矩形，利用矩形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）作DM⊥x軸于M．在Rt△ADC中，求出DM、AM即可解決問(wèn)題；（3）連接PA，P′A，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接DA′交y軸于P″，連接AP″，由題意AP′＝AP″＝A′P″，推出DP+AP′＝P″D+A′P″＝A′D，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)P″重合時(shí)，P′A+PD的值最?。灰蟪鲋本€A′D的解析式即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），B（0，4），以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△ACD．如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于H，∴OA＝2，OB＝4，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得△ABO≌△ACD，∴AD＝AO＝2，DC＝BO＝4，∠CDA＝∠BOA＝90°，又∵DC∥x軸，∴∠D＝∠DAH＝∠AHC＝90°，∴四邊形DAHC為矩形，∴AH＝DC＝4，CH＝DA＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，2）；故答案為：（6，2），（2，2）；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于M，由Rt△ACD面積知12在Rt△ABO中，由勾股定理得AB=A∴AC=25∴12∴DM=4在Rt△DAM中，AM=D∴OM=OA+AM=2+2∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2+2（3）如圖3，邊OB上的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，連接PA，P′A，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接DA′交y軸于P″，連接AP″，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)P″位置時(shí)，A′、P、D在同一條直線上，DP+AP′取得最小值，由題意可得AP＝AP′，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AP′＝AP″＝A′P″，∴DP+AP′＝P″D+A′P″＝A′D，∵A′（﹣2，0），D的坐標(biāo)為（2+2∴設(shè)直線A′D的解析式為y＝kx+b，則0=?2k+b4解得k=4∴直線A′D的解析式為y=4當(dāng)x＝0時(shí)，y=8∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，8【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題、勾股定理解直角三角形，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決最短路徑問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．10．請(qǐng)閱讀以下信息：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所組成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的“內(nèi)半角”．如圖①，若射線OC，OD在∠AOB的內(nèi)部，且∠COD=12∠AOB，則稱∠COD請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下面的問(wèn)題：（1）如圖①，∠AOB＝50°，∠BOD＝10°．若∠COD是∠AOB的“內(nèi)半角”，則∠AOC＝15°．（2）如圖②，已知∠AOB＝60°，將∠AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度α（0＜α＜60°）至∠COD，即∠COD＝∠AOB＝60°，其中∠AOC＝∠BOD＝α．若∠COB是∠AOD的“內(nèi)半角”，求α的度數(shù)．（3）把一塊含60°的三角板COD按如圖③方式放置，使OC邊與OA邊重合，OD邊與OB邊重合．如圖④，將三角板COD繞頂點(diǎn)O以每秒6°的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．當(dāng)射線OA，OB，OC，OD構(gòu)成“內(nèi)半角”時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）15°；（2）20°；（3）t的值為103或30或170【分析】（1）根據(jù)題意算出∠COD的度數(shù)，利用∠AOC＝∠AOB﹣∠BOD﹣∠COD即可算出∠AOC的度數(shù)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可推出∠AOC＝∠BOD＝α和∠COD＝∠AOB＝60°，然后可用含有α的式子表示∠AOD和∠COB的度數(shù)，根據(jù)∠COB是∠AOD的內(nèi)半角，即可求出α的值；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成內(nèi)半角的情況總共有四種，分別畫出圖形，求出對(duì)應(yīng)t值即可．【解答】解：（1）∵∠COD是∠AOB的內(nèi)半角，∠AOB＝50°，∴∠COD=1∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOD﹣∠COD＝50°﹣25°﹣10°＝15°，故答案為：15°；（2）∵∠AOC＝∠BOD＝α，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝α+60°，∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣α，∵∠COB是∠AOD的內(nèi)半角，∴∠AOD＝2∠COB，即α+60°＝2（60°﹣α），解得：α＝20°，∴α的值為20°；（3）①如圖④，此時(shí)∠COB是∠AOD的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：∠AOC＝∠BOD＝6t°，∠COD＝∠AOB＝30°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3t°+30°，∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣6t°，∵∠COB是∠AOD的內(nèi)半角，∴∠AOD＝2∠COB，即6t+60＝2（60﹣6t），解得：t=10②如圖⑤，此時(shí)∠BOC是∠AOD的半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：∠AOC＝∠BOD＝6t°，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝6t°+60°，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝6t°﹣60°，∵∠BOC是∠AOD的內(nèi)半角，∴∠AOD＝2∠BOC，即6t+60＝2（6t﹣60），解得：t＝30；③如圖6，此時(shí)∠AOD是∠BOC的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠AOC＝∠BOD＝360°﹣6t°，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝420°﹣6t°，∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝300°﹣6t°，∵∠AOD是∠BOC的內(nèi)半角，∴∠BOC＝2∠AOD，即420°﹣6t°＝2（300°﹣6t°），解得t＝30（舍去）；④如圖⑦，此時(shí)∠AOD是∠BOC的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知．∠AOC＝∠BOD＝360°﹣6t°，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝420°﹣6t°，∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝6t°﹣300°，∵∠AOD是∠BOC的內(nèi)半角，∴∠BOC＝2∠AOD，即420°﹣6t°＝2（6t°﹣300°），解得t=170綜上所述：當(dāng)射線OA、OB、OC、OD構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，t的值為103或30或170【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．11．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），把線路AD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AE（即AD＝AE），使得∠DAE＝∠BAC，連接DB、CE．（1）如圖1，點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝90度．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC＝60°，則∠BCE＝120度．（3）如圖3，設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，α，β的數(shù)量關(guān)系是什么？請(qǐng)說(shuō)明理由．（4）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β，當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出α，β的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】三角形；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）90；（2）120；（3）α+β＝180°；（4）α+β＝180°或α＝β．【分析】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度數(shù)；（2）由“SAS”可證△BAD≌△CAE，得∠ABC＝∠ACE＝60°，可求∠BCE的度數(shù)；（3）由“SAS”可證△BAD≌△CAE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（4）由“SAS”可證△BAD≌△CAE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠ACB＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案為：90；（2）∵∠BAC＝60°，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°，故答案為：120；（3）α+β＝180°，理由如下：∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，∴∠ACE+∠ACB＝∠B+∠ACB，∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵∠BAC＝α，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°；（4）如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，α+β＝180°，證明方法同（3）；如圖5，當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，α＝β，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB+∠BAE＝∠EAC+∠BAE，∴∠DAB＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE，∵∠BAC＝α，∠BCE＝β，∴α＝β．綜上，α+β＝180°或α＝β．【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明△BAD≌△CAE是解題的關(guān)鍵．12．如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝27°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD．點(diǎn)P在線段BC上從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合時(shí)，連結(jié)AP．設(shè)∠BAP＝x°．（1）∠BAD的度數(shù)為63°．（2）當(dāng)△ABP是鈍角三角形時(shí)，求x的取值范圍．（3）當(dāng)△ABP是軸對(duì)稱圖形時(shí)，求x的值．（4）如圖②，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′、PB′，當(dāng)△APB′與△ABC重疊部分為軸對(duì)稱圖形時(shí)，直接寫出x的值．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）63°；（2）0＜x＜63或90＜x＜126；（3）27或76.5；（4）42或51或84或75．【分析】（1）先由等邊對(duì)等角，求出∠C＝27°，運(yùn)用三角形內(nèi)角和進(jìn)行列式，得∠BAC＝126°，結(jié)合等腰三角形的三線合一，即可作答；（2）根據(jù)∠APB為鈍角，∠PAB為鈍角，這兩種情況進(jìn)行列式作答即可；（3）根據(jù)△ABP是軸對(duì)稱圖形，即△ABP是等腰三角形，進(jìn)行分類討論，即可作答．（4）分為點(diǎn)P在BD和CD上兩種情況，作圖，結(jié)合三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)，即可作答．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝27°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD，∴∠C＝∠B＝27°，即∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C＝126°，∴∠BAD=1即∠BAD的度數(shù)為63°，故答案為：63°；（2）當(dāng)∠APB為鈍角，即90°＜∠APB＜180°，∵180°﹣∠B﹣∠PAB＝∠APB，∠BAP＝x°，∴90°＜180°﹣27°﹣x°＜180°，即0＜x＜63，當(dāng)∠PAB為鈍角，∵180°＝∠PAB+∠APB+∠B，∴90°＜x°＜180°﹣27°＝153°，∵點(diǎn)P在線段BC上從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合時(shí)，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，∠PAB＝180°﹣27°﹣27°＝126°，∴90°＜∠PAB＜126°即90＜x＜126；綜上：當(dāng)△ABP是鈍角三角形時(shí)，x的取值范圍為0＜x＜63或90＜x＜126；（3）當(dāng)△ABP是軸對(duì)稱圖形時(shí)，如圖1，即△ABP是等腰三角形，當(dāng)AP＝BP時(shí)，∠ABP＝∠BAP＝27°，則x＝27；當(dāng)AB＝AP時(shí)，∠ABP＝∠APB＝27°，則∠BAP＝180°﹣27°﹣27°＝126°，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，故舍去；當(dāng)AB＝BP時(shí)，∠BAP=∠BPA=12×(180°?27°)=76.5°綜上：當(dāng)△ABP是軸對(duì)稱圖形時(shí)，x的值為27或76.5；（4）作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′、PB′，當(dāng)△APB′與△ABC重疊部分為軸對(duì)稱圖形時(shí)，點(diǎn)P在BD上時(shí)，記AB′與BD的交點(diǎn)為E，如圖2，∵作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)B′，∴∠BAP＝∠EAP＝x°，當(dāng)AP＝AE時(shí)，∠APE=∠AEP=1∵∠APE＝∠B+∠BAP＝27°+x°，則90°?1解得x＝42；當(dāng)AP＝PE時(shí)，則∠PAE=∠PEA=1即x＝51；點(diǎn)P在CD上時(shí)，記PB′與AC的交點(diǎn)為E，如圖3，易知∠BAP＝∠B′AP＝x°，則∠EAB′＝∠BAB′﹣∠BAC＝2x°﹣126°，那么∠AEP＝∠B′+∠EAB′＝27°+2x°﹣126°＝2x°﹣99°，則∠APB′＝∠ABP＝180°﹣27°﹣x°＝153°﹣x°，∠PAC＝∠PAB′﹣∠EAB′＝x°﹣（2x°﹣126°）＝126°﹣x°，當(dāng)AP＝AE時(shí)，則∠AEP＝∠APB′，2x°﹣99°＝153°﹣x°，解得x＝84；當(dāng)AP＝PE時(shí)，則∠PAC＝∠APB′，126°﹣x°＝153°﹣x°，此時(shí)x不存在；當(dāng)PE＝AE時(shí)，則∠PAC＝∠APB′，126°﹣x°＝2x°﹣99°，解得x＝75；綜上：當(dāng)△APB′與△ABC重疊部分為軸對(duì)稱圖形時(shí)，x的值為42或51或84或75．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，鈍角三角的定義，三角形的內(nèi)角和，以及三角形的外角性質(zhì)，難度適中，綜合性較強(qiáng)，學(xué)會(huì)分類討論以及正確作圖是解題的關(guān)鍵．13．在等邊△AOB中，將扇形COD按圖1擺放，使扇形的半徑OC、OD分別與OA、OB重合，OA＝OB＝4，OC＝OD＝2，固定等邊△AOB不動(dòng)，讓扇形COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線段AC、BD也隨之變化，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．（0＜α≤360°）（1）當(dāng)OC∥AB時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α＝60或240度，OC⊥AB時(shí)旋轉(zhuǎn)角α＝150或330度．發(fā)現(xiàn)：（2）線段AC與BD有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)僅就圖2給出證明．應(yīng)用：（3）當(dāng)A、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，求BD的長(zhǎng)．拓展：（4）P是線段AB上任意一點(diǎn)，在扇形COD的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫出線段PC的最大值與最小值．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）如圖1中，易知當(dāng)點(diǎn)D在線段AO和線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC∥AB，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α＝60°或240°，同法可求OC⊥AB時(shí)的旋轉(zhuǎn)角；（2）結(jié)論：AC＝BD．只要證明△AOC≌△BOD即可．（3）在圖3、圖4中，分別求解即可．（4）如圖5中，由題意，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，1為半徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，直線OH交⊙O于C′、C″，線段CB的長(zhǎng)即為PC的最大值，線段C″H的長(zhǎng)即為PC的最小值．易知PC的最大值＝6，PC的最小值＝23?【解答】解：（1）如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴∠AOB＝∠COD＝60°，∴當(dāng)點(diǎn)D在線段AO和線段AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，OC∥AB，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α＝60°或240°，同法可得：OC⊥AB時(shí)，α＝150°或330°，故答案為60或240；或150或330；（2）結(jié)論：AC＝BD，理由如下：如圖2中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠COA＝∠DOB，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠COA=∠DOB∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD；（3）①如圖3中，當(dāng)A、C、D共線時(shí)，作OH⊥AC于H．在Rt△COH中，∵OC＝2，∠COH＝30°，∴CH＝HD＝1，OH=3在Rt△AOH中，AH=O∴BD＝AC＝CH+AH＝1+13②如圖4中，當(dāng)A、C、D共線時(shí)，作OH⊥AC于H．易知AC＝BD＝AH﹣CH=13綜上所述，當(dāng)A、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，BD的長(zhǎng)為13+1或13（4）如圖5中，由題意，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，2為半徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，直線OH交⊙O于C′、C″，線段CB的長(zhǎng)即為PC的最大值，線段C″H的長(zhǎng)即為PC的最小值．易知PC的最大值＝6，PC的最小值＝23?【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，利用輔助圓解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．14．△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為線段BC上任意一點(diǎn)，連接AD，E為直線AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E在AB邊上，連接DE．若AE＝1，BE＝3，求DE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若點(diǎn)E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE＝CD，點(diǎn)F為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠FAD＝60°．猜想線段AF，EF，AD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在（1）的條件下，M為線段AD上一點(diǎn)，連接ME，將線段ME繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EN，連接MN．當(dāng)BN+DN的值最小時(shí)，直接寫出△AMC的面積．【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）作EF⊥AD于F，可得出EF∥BC，從而△AEF∽△ABD，從而AFAD=EFBD=（2）在AF上截取AG＝AD，連接BG，可推出△AGB≌△ADC，從而∠ABG＝∠C＝60°，BG＝CD，進(jìn)而可證明△FBE≌△FBG，從而得出EF＝FG，進(jìn)一步得出結(jié)論；（3）在AC上截取AW＝AE＝1，連接WN，可證得△AEM≌△WEN，從而∠EWN＝∠BAD＝30°，從而得出∠AWN＝90°，從而得出點(diǎn)N在過(guò)W且于AW垂直的直線上l運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接DB′交l于點(diǎn)N，直線l交AB于I，B′D交AB于X，可推出△BDI是等邊三角形，從而XI＝BX＝1，進(jìn)而得出IN得值，可求得GI得值，進(jìn)而求得GN，從而求得AM，進(jìn)一步得出結(jié)果．【解答】解：（1）如圖1，作EF⊥AD于F，∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BC＝AB＝AE+BE＝4，AD⊥BC，BD＝CD=12BC＝2，AD=32∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABD，∴AFAD∴AF=14AD=32∴DF＝AD﹣AF=3∴DE=D（2）如圖2，AF＝AD+EF，理由如下：在AF上截取AG＝AD，連接BG，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠FAD＝∠BAC＝60°，∴∠FAB＝∠CAD，∴△AGB≌△ADC（SAS），∴∠ABG＝∠C＝60°，BG＝CD，∴∠FBG＝180°﹣∠ABG﹣∠ABC＝60°，∵BE＝CD，∴BG＝BE，∵∠FB