2018年數(shù)學(xué)（北師大版必修4）練習(xí)第2章7172向量應(yīng)用舉例

第二章§77.1、7.21．已知兩條平行直線l1：12x＋5y－3＝0和l2：12x＋5y＋m＝0的距離為1，則m＝()A．10 B．－16C．10或－16 D．13解析：在l1上取點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,5)))，則M到l2的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0＋5×\f(3,5)＋m)),\r(122＋52))＝1，解得m＝10或－16.答案：C2．某物體沿與地面成60°的方向做斜拋運動，初速度|v0|＝10m/s，不計空氣阻力，則該物體在水平方向上的速度是解析：設(shè)物體在水平方向上的速度為|v1|，則|v1|＝|v0|·cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5(m/s)，即該物體在水平方向上的速度是5m/s.答案：53.如圖，已知AC，BD是梯形ABCD的對角線，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點．求證：EF∥BC．證明：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.∵eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴存在實數(shù)λ，使eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＝λb.∵E是BD的中點，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)．連接BF，∵F是AC的中點，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(λb－a)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(λb－a)－eq\f(1,2)(b－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ－\f(1,2)))b＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ－\f(1,2)))·\f(1,λ)))eq\o(BC,\s\up6(→)).又E，F(xiàn)，B，C四點不共線，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥∥eq\o(BC,\s\up6(→))，即EF∥BC．4.如圖，O為△ABC的外心，E為三角形內(nèi)一點，滿足eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，求證：AE⊥BC．證明：∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|2－|eq\o(OB,\s\up6(→))|2.又O是△ABC的外心，∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|.∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(AE,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).故AE⊥BC．5.如右圖所示，在細(xì)繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1.求：(1)|F1|，|F2|隨θ角的變化而變化的情況；(2)當(dāng)|F1|≤2|G|時，θ角的取值范圍．解：畫出物體的受力分析圖如圖．(1)由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則，得G＝－(F1＋F2)，|F1|＝eq\f(|G|,cosθ)，|F2|＝|G|tanθ