2021屆湖南省六校高三上學(xué)期聯(lián)考(一)數(shù)學(xué)試題(教師版含解析)

湖南六校聯(lián)考試卷(一)試卷一?選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)題意求出，再根據(jù)并集運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合補(bǔ)集和并集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.下列選項(xiàng)中正確的是()A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合特例法逐一判斷即可.【詳解】A：只有當(dāng)時(shí)，才能由推出，故本選項(xiàng)不正確；B：只有當(dāng)時(shí)，才能由，推出，故本選項(xiàng)不正確；C：當(dāng)時(shí)，顯然成立，但是顯然不成立,因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)椋?，因此本選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.已知等比數(shù)列中，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則()A.2 B.4 C.16 D.8【答案】D【解析】【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)求出a7，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【詳解】等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7，可得a72＝4a7，解得a7＝4，且b7＝a7，∴b7＝4，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，則b5+b9＝2b7＝8．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．4.對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，，定義某種運(yùn)算“”如下：當(dāng)，都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)，中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，，則在此定義下，集合中的元素個(gè)數(shù)是()．A.10個(gè) B.15個(gè) C.16個(gè) D.18個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)定義知分兩類進(jìn)行考慮，一奇一偶，則，同奇偶，則，由列出滿足條件的所有可能情況即可.【詳解】根據(jù)定義知分兩類進(jìn)行考慮，一奇一偶，則，，所以可能的取值為共4個(gè)，同奇偶，則，由，所以可能的取值為，共11個(gè)，所以符合要求的共15個(gè)，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類討論思想，集合及集合與元素關(guān)系，屬于中檔題.5.的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，則的形狀是()A.正三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理，再結(jié)合已知可求得，從而可得，可判斷的形狀.【詳解】解：中，由正弦定理得：，∴，又，∴，∴，∴或，即或，∴為等腰三角形或直角三角形.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷三角形的形狀，利用正弦定理化邊為角后，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得角的關(guān)系，得三角形形狀．6.設(shè)常數(shù).若的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為－15，則()A.－2 B.2 C.3 D.－3【答案】D【解析】【分析】利用通項(xiàng)公式求出項(xiàng)的系數(shù)且等于-15，建立關(guān)于的方程，求解即可.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，.令，得，所以展開式中項(xiàng)系數(shù)為，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.7.唐代詩(shī)人李顧的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)題意，則為最短距離，即可得答案；【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)榈膱A心為，根據(jù)題意，為最短距離，先求出的坐標(biāo)，的中點(diǎn)為，直線的斜率為1，故直線為，由，解得，，所以，故，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱及圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最小值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.8.已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的垂直平分線過，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為()A. B.3 C.6 D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示，再利用均值不等式得到答案．【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸，雙曲線實(shí)軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，．，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.已知為虛數(shù)單位，則下面命題正確的是()A.若復(fù)數(shù)，則．B.復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則．C.若復(fù)數(shù)，滿足，則．D.復(fù)數(shù)的虛部是3．【答案】ABC【解析】【分析】直接運(yùn)算可判斷A；由復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)模的概念可判斷B；由共軛復(fù)數(shù)的概念，運(yùn)算后可判斷C；由復(fù)數(shù)虛部的概念可判斷D；即可得解.【詳解】由，故A正確；由在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，即，則，故B正確；設(shè)復(fù)數(shù)，則，所以，故C正確；復(fù)數(shù)的虛部是-3，故D不正確.故選：A、B、C【點(diǎn)睛】本題綜合考查了復(fù)數(shù)的相關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.10.下圖是某市6月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇6月1日至6月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天.下列說法正確的有()A.該市14天空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值大于100B.此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為C.此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為D.每連續(xù)3天計(jì)算一次空氣質(zhì)量指數(shù)的方差，其中第5天到第7天的方差最大【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合所給統(tǒng)計(jì)圖，逐個(gè)分析判斷即可【詳解】A.，故正確；B.在6月1日至6月13日這13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，所以此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率為，故不正確；C.6月1日至6月14日連續(xù)兩天包含的基本事件有13個(gè)，此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的基本事件是，，，共4個(gè)，所以此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率是，故不正確；D.空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖可以看出，從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大，故正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】此題考查概率的求法，考查平均數(shù)的求法和方差的意義，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題11.已知四棱臺(tái)的上下底面均為正方形，其中，，，則下述正確的是()．A.該四棱臺(tái)的高為 B.C.該四棱臺(tái)的表面積為26 D.該四棱臺(tái)外接球的表面積為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)，補(bǔ)全為四棱錐，根據(jù)題中所給的性質(zhì)，進(jìn)行判斷．【詳解】解：由棱臺(tái)性質(zhì)，畫出切割前的四棱錐，由于，，可知△與相似比為；則，，則，則，該四棱臺(tái)的高為，對(duì)；因?yàn)?，則與夾角為，不垂直，錯(cuò)；該四棱臺(tái)的表面積為，錯(cuò)；由于上下底面都是正方形，則外接球的球心在上，在平面上中，由于，，則，即點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，則，該四棱臺(tái)外接球的表面積為，對(duì)，故選：AD．【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中垂直，表面積，外接球的問題，屬于難題．12.已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是()A.在區(qū)間上是增函數(shù)B.C.若函數(shù)在上有6個(gè)零點(diǎn)，則D.若方程恰有3個(gè)實(shí)根，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)在，上的單調(diào)性判斷，根據(jù)判斷，根據(jù)圖象的對(duì)稱性判斷，根據(jù)直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)判斷．詳解】解：由題意可知當(dāng)時(shí)，是以3為周期的函數(shù)，故在，上的單調(diào)性與在，上的單調(diào)性相同，而當(dāng)時(shí)，，在，上不單調(diào)，故錯(cuò)誤；又，故，故正確；作出的函數(shù)圖象如圖所示：由于在上有6個(gè)零點(diǎn)，故直線與在上有6個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，，2，3，4，5，由圖象可知，關(guān)于直線對(duì)稱，，關(guān)于直線對(duì)稱，，關(guān)于直線對(duì)稱，，故正確；若直線經(jīng)過點(diǎn)，則，若直線與相切，則消元可得：，令可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，(舍，故．若直線與在上的圖象相切，由對(duì)稱性可得．因?yàn)榉匠糖∮?個(gè)實(shí)根，故直線與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，或，故正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，考查函數(shù)周期性、對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.13.已知，，，則向量與的夾角是____【答案】【解析】【分析】由題得再利用數(shù)量積的公式化簡(jiǎn)即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?向量與的夾角是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的計(jì)算和運(yùn)算律，考查向量夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14.已知隨機(jī)變量，若，則______.【答案】0.8【解析】分析】先根據(jù)正態(tài)分布對(duì)稱性求，再求【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，，所以因此故答案為：0.8【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)分布對(duì)稱性求概率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.15.如圖，直四棱柱，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，，則直線與成角的余弦值為_____．【答案】【解析】【分析】首先連接，，得到或其補(bǔ)角為直線與成角，再求其余弦值即可.【詳解】連接，，如圖所示：因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角為直線與成角.因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為的菱形，，，所以，..所以直線與成角的余弦值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線成角問題，平移找角為解題關(guān)鍵，屬于中檔題.16.已知函數(shù)，則的最大值為________，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是________.【答案】(1).2(2).【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)，易得.根據(jù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則有求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以的最大值為2，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以，所以，解得.故答案為：(1).2(2).【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域和三角函數(shù)的單調(diào)性，還考查了理解辨析運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)，(，，)的最小正周期為.(1)從①；②；③，都有這三個(gè)條件中，選擇合適的兩個(gè)條件，求函數(shù)的解析式；(2)求(1)中所求得的函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)最小值為-1，最大值為.【解析】【分析】(1)先根據(jù)周期得，①或③都能確定，所以選①②或②③，再根據(jù)②確定；(2)先根據(jù)自變量范圍得范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】(1)因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，解?選①②：因?yàn)?，所以，解得?因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，即，所?所以.選②③：因?yàn)?，都有，所以時(shí)，取得最大值，即，所以，，所以，所以.又因?yàn)?，所以，即，所?所以.(2)因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值為-1；當(dāng)時(shí)，取得最大值為；所以取得最小值為-1，最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式、根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18.已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)；(2)答案見詳解【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件再寫一個(gè)，兩式相減，可得，得出是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.即可得通項(xiàng).(2)將通項(xiàng)表示出來，裂項(xiàng)相消求和即可得的前項(xiàng)和為，再根據(jù)指數(shù)形式恒大于0，即可證得.【詳解】(1)，，即，令得：，即，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，(2)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知和的關(guān)系，求的通項(xiàng)，以及裂項(xiàng)相消求和，不等式的放縮，屬于中檔題.19.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為梯形，，，為側(cè)棱上一點(diǎn)，且，，，.(1)證明：平面.(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)答案見解析；(2).【解析】【分析】(1)連接交于點(diǎn)，連接，證明//即可證明出//平面；(2)建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量的方法，先計(jì)算出平面和平面的法向量，再利用向量的數(shù)量積計(jì)算法向量的夾角的余弦值.【詳解】解：(1)證明：如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接.四邊形為梯形，且，，即，在中，，，//又平面，平面，//平面.(2)如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別以、、為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.所以，，，，，設(shè)和分別是平面和平面的法向量，則，得，令得，，即，，得，令得，，即所以，，故平面和平面所成角銳二面角的余弦值為平面.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面平行的證明及二面夾角的計(jì)算問題，難度一般.證明線面平行時(shí)要緊扣線面平行的判定定理，二面角的計(jì)算一般通過法向量的夾角處理，準(zhǔn)確計(jì)算出平面的法向量是關(guān)鍵.20.已知函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求正整數(shù)t的最大值.【答案】(1)；(2)4.【解析】【分析】(1)首先求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)于m和n的方程求解即可；(2)首先將不等式化為，然后構(gòu)造函數(shù)，通過研究新函數(shù)的單調(diào)性求得其最小值，從而根據(jù)恒成立求得正整數(shù)t的最大值.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以有，解之得，故函?shù)的解析式為：；(2)可化為，因?yàn)?，所以，?)，則由題意知對(duì)任意的，，而，，再令()，則，所以在上為增函數(shù)，又，，所以存在唯一的，使得，即，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以，因?yàn)閠為正整數(shù)，所以t的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問題、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，意在考查邏輯思維能力、劃歸與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力以及方程思想，屬于?？碱}.21.已知橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.求橢圓的方程；直線：與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與軸和軸分別交于點(diǎn)，，當(dāng)面積取最小值時(shí)，求此時(shí)直線的方程.【答案】；或.【解析】【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，必過，，必不過，進(jìn)而代入坐標(biāo)求出橢圓的方程；將直線與橢圓方程聯(lián)立，寫出一元二次方程的形式，結(jié)合根的判別式和基本不等式，求出，，進(jìn)而求出直線的方程.【詳解】解：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，必過，，必不過，代入點(diǎn)得，，代入點(diǎn)得，.橢圓的方程為：.由，可得.直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，可知，整理得.由條件可得，，，，，.，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，最小值為，，，又由，解得.故此時(shí)直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，直線與橢圓相交的問題，考查分析問題能力，考查運(yùn)算求解能力，屬于中