2024年甘肅蘭州中考數(shù)學(xué)考試試題（答案詳解）

2024年蘭州市初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)

注意事項:

1.全卷共120分，考試時間120分鐘.

2.考生必須將姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號等個人信息填（涂）寫在試卷及

答題卡上.

3.考生務(wù)必將答案直接填（涂）寫在答題卡的相應(yīng)位置上.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.2024的絕對值是（）

A.2024B.-2024C.------D.

20242024

2.已知N4=80°,則//的補角是（)

A.100°B.80°C.40°D.10°

3.2024年一季度，蘭州市堅持穩(wěn)中求進(jìn)、綜合施策，全市國民經(jīng)濟起步平穩(wěn)，開局良好.一

季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值87790000000元.數(shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.87.79xlO9B.8.779xlO9C.8.779xlO10D.8.779X1011

4.計算：2a(a-1)-2tz2=()

A.aB.一。C.2aD.—2a

5.一次函數(shù)y=2x-3的圖象不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.如圖，小明在地圖上量得Nl=/2,由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的

A.同位角相等，兩直線平行B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

試卷第1頁，共10頁

C.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行D.對頂角相等

7.如圖，小張想估測被池塘隔開的/,2兩處景觀之間的距離，他先在外取一點C,然

后步測出/C,8c的中點。，E,并步測出DE的長約為18m,由此估測/,8之間的距離約

為（）

A.18mB.24mC.36mD.54m

8.七巧板、九連環(huán)、華容道、魯班鎖是深受大家喜愛的益智玩具，現(xiàn)將1個七巧板，2個

九連環(huán)，1個華容道，2個魯班鎖分別裝在6個不透明的盒子中（每個盒子裝1個），所有盒

子除里面的玩具外均相同.從這6個盒子中隨機抽取1個盒子，抽中七巧板的概率是（）

1111

A."B.—C.—D.一

2346

9.關(guān)于x的一元二次方程9x2_6x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則，=（）

A.-9B.4C.-1D.1

10.數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國元代重要的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載著這樣一

個問題，大意是：999文錢買了周果和苦果共1000個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7

個苦果，問甜果，苦果各買了多少個？設(shè)買了甜果x個，苦果y個，則可列方程組為（）

x+y=1000x-y=1000x-y=1000x+y=999

A.:114B.<4C.<411D.<:411

—、+—>=999—x+—>=999—%+—>=999—%+—>=1000

97，97」79,79

11.如圖，在"BC中，AB=AC,ABAC=130°,DALAC,則()

A.100°B.115°C.130°D.145°

12.如圖1,在菱形/8CD中，NABC=60°,連接AD,點M從2出發(fā)沿AD方向以6cm/s

的速度運動至D,同時點N從2出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運動至C,設(shè)運動時間為x（s）,

的面積為Mem?）,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形48CD的邊長為（）

試卷第2頁，共10頁

D.8cm

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）

13.因式分解/一2x+l=

14.如圖，四邊形48co為正方形,V4DE為等邊三角形，EFLAB于點F,若/。=4,則

EF=

15.“輪動發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在

展覽館的仿真模型，圖2是模型驅(qū)動部分的示意圖，其中。M,eN的半徑分別是1cm和

10cm,當(dāng)。M順時針轉(zhuǎn)動3周時，eN上的點尸隨之旋轉(zhuǎn)〃。，貝lj"=.

圖1圖2

16.甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次，兩人的成績（單位：環(huán)）如圖所示，現(xiàn)有以下

三個推斷：

①甲的成績更穩(wěn)定；

②乙的平均成績更高；

③每人再射擊一次，乙的成績一定比甲高.其中正確的是.（填序號）

試卷第3頁，共10頁

三、解答題(本大題共12小題，共72分.解答時寫出必要的文字說明、證明

過程或演算步驟)

17.計算：V27-J|xV8.

2x+6>x

18.解不等式組：,1-3%

--------<1-2%

I2

19.先化簡，再求值：［1+卡］+空1,其中。=4.

V?+17a

k/、

20.如圖，反比例函數(shù)y=1(x>0)與一次函數(shù)y=s+l的圖象交于點4(2,3),點B是反比

例函數(shù)圖象上一點，軸于點C,交一次函數(shù)的圖象于點。，連接N8.

(2)當(dāng)。C=4時，求△48。的面積.

21.如圖，在"3C中，AB=AC,。是8c的中點，CE//AD,AELAD,EF1AC.

(1)求證：四邊形/DCE是矩形；

(2)若BC=4,C￡=3,求E尸的長.

22.在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進(jìn)行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號水火箭的

實物圖，水火箭發(fā)射后的運動路線可以看作是一條拋物線.為了解水火箭的相關(guān)性能，同學(xué)

試卷第4頁，共10頁

們進(jìn)一步展開研究.如圖2建立直角坐標(biāo)系，水火箭發(fā)射后落在水平地面/處.科普員提

供了該型號水火箭與地面成一定角度時，從發(fā)射到著陸過程中，水火箭距離地面。/的豎直

高度y（m）與離發(fā)射點O的水平距離x（m）的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下:

水平距離》（加）0341015202227

豎直高度M加）03.244.168987.043.24

圖1圖2

（1）根據(jù)上表，請確定拋物線的表達(dá)式；

（2）請計算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點O的水平距離為5m時，水火箭距離地面的豎直高度.

23.觀察發(fā)現(xiàn)：勞動人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉

師傅的“木條畫直角法”，如圖1,他用木條能快速畫出一個以點/為頂點的直角，具體作法

如下：

①本條的兩端分別記為點N,先將木條的端點M與點/重合，任意擺放木條后，另一

個端點N的位置記為點2,連接NB；

②木條的端點N固定在點8處，將木條繞點2順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點M的落點記為

點C（點B,C不在同一條直線上）；

③連接CB并延長,將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點、B重合,端點N在CB

延長線上的落點記為點。；

④用另一根足夠長的木條畫線，連接AC,則畫出的ND4C是直角.

操作體驗：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2,BA=BC,請畫出以

點/為頂點的直角，記作N￡UC；

推理論證：（2）如圖1,小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請你補全括號里的證明依據(jù)：

證明：VAB=BC=BD,

"BC與AABD是等腰三角形.

NBCA=ABAC,ABDA=ABAD.（依據(jù)1）

試卷第5頁，共10頁

NBCA+ABDA=ABAC+ABAD=ADAC.

ZDAC+NBCA+ABDA=180°,（依據(jù)2）

:.2ZDAC=180°,

ADAC=90°.

依據(jù)1：；依據(jù)2：；

拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學(xué)習(xí)的尺

規(guī)作圖的方法可以減少誤差.如圖3,點O在直線/上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中

作出一個以。為頂點的直角，記作NP。。，使得直角邊。尸（或。。）在直線/上.（保留

作圖痕跡,不寫作法）

B

1O

圖3

24.為落實“雙減”政策，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時代新人，某校組織調(diào)研學(xué)生體育和美

育發(fā)展水平，現(xiàn)從七年級共180名學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生，對每位學(xué)生的體育和美育水

平進(jìn)行測評后按百分制分?jǐn)?shù)量化，并進(jìn)行等級評定（成績用x表示，分為四個等級，包括優(yōu)

秀：90VXV100；良好：80Vx<90；合格：70Vx<80；待提高：x<70）.對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,

描述和分析，部分信息如下.

信息一：體育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布圖如下.

試卷第6頁，共10頁

優(yōu)秀良好合格待提高等級

信息二：美育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下.

分組90<x<10080<x<9070<x<80x<70

人數(shù)m727

信息三：20位學(xué)生的體育成績和美育成績得分統(tǒng)計如下（共20個點）.

木美育成績/分

100

95

90二才，

III

85

80

75

70

65

60

3V6065707580859095100體音成績/分

根據(jù)以上信息，回答下列問題:

⑴填空：m=；

（2）下列結(jié)論正確的是；（填序號）

①體育成績低于80分的人數(shù)占抽取人數(shù)的40%；

②參與測評的20名學(xué)生美育成績的中位數(shù)對應(yīng)的等級是“合格”；

③在信息三中，相比于點/所代表的學(xué)生，點8所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，

但美育水平還存在一定差距，需要進(jìn)一步提升；

（3）請結(jié)合以上信息，估計七年級全體學(xué)生中體育和美育兩項成績均屬于“優(yōu)秀”等級的人數(shù).

25.單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動的裝置，某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實

試卷第7頁，共10頁

驗探究，并撰寫實驗報告如下.

實

驗

探究擺球運動過程中高度的變化

主

題

實

驗

擺球，擺線，支架，攝像機等

用

具

如圖1,在支架的橫桿點。處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往

實

復(fù)運動.（擺線的長度變化忽略不計）

驗

如圖2,擺球靜止時的位置為點力,拉緊擺線將擺球拉至點2處，BDLOA,

說

ZBOA=64°,BD=20.5cm；當(dāng)擺球運動至點C時，ZCOA=37°,C￡_LO/.（點。，

明

A,B,C,D,￡在同一平面內(nèi)）

2Z

實

驗

圖

示

圖1圖2

試卷第8頁，共10頁

(1)求證：EZ)是。。的切線；

(2)^BO=4,tanZ.CBA=,求EZ)的長.

27.綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動點運動的幾何問題,

如圖，在AASC中，點"，N分別為48,/C上的動點(不含端點)，且=

【初步嘗試】(1)如圖1,當(dāng)AABC為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn)：將繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)120。

得到MD,連接3。，則=請思考并證明：

【類比探究】(2)小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2,在中，AB=AC,

ABAC=90°,AE工MN于點、E,交BC于點、F,將M4繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到"D,連

接ZU,DB.試猜想四邊形的形狀，并說明理由；

【拓展延伸】(3)孫老師提出新的探究方向：如圖3,在中，/8=ZC=4,NB4c=90°,

連接BN,CM,請直接寫出8N+CM的最小值.

28.在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點尸是圖形平外一點，點0在尸O的延長

PO1馬一

線上，使得而^不，如果點。在圖形水上，則稱點尸是圖形少的“延長2分點”，例如：

YUL

(3、po1

如圖1,/(2,4),2(2,2),P-1,-弓是線段N8外一點，。(2,3)在P。的延長線上，且萬石=不,

因為點。在線段上，所以點尸是線段48的“延長2分點”.

試卷第9頁，共10頁

中，是圖形%的“延長2分點”；

⑵如圖2,已知圖形%:線段8C,8（2,2）,C（5,2）,若直線MN:y=r+6上存在點尸

是圖形名的“延長2分點”，求6的最小值：

（3）如圖3,已知圖形匕：以1）為圓心，半徑為1的eT,若以。（一1,-2）,E（-U）,F（2,l）

為頂點的等腰直角三角形。跖上存在點P,使得點P是圖形色的“延長2分點”.請直接寫

出，的取值范圍.

試卷第10頁，共10頁

1.A

【分析】本題主要考查了絕對值的意義，熟練掌握一個正數(shù)的絕對值是它本身是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)絕對值的意義解答即可.

【詳解】解：2024的絕對值是2024,

故選：A.

2.A

【分析】直接利用互補兩角的關(guān)系進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：：//=80。，

補角為:180°-80°=100°.

故選

【點睛】主要考查了互補兩角的關(guān)系，正確把握定義是解題關(guān)鍵.

3.C

【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù).絕對值大于1的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示，

一般形式為axlO",其中，14同<10,〃為正整數(shù)，且比原數(shù)的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此可以解

答.

【詳解】解:數(shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為8.779X10%

故選：C

4.D

【分析】本題主要考查了整式的混合運算，先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可.

【詳解】解:2a(a—l)—2a2

=2。)-2a-2a~

=-2。

故選：D.

5.B

【分析】先判斷鼠6的符號，再判斷直線經(jīng)過的象限，進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：?.?左=2>0,6=—3<0,

.?.一次函數(shù)y=2x-3的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限；

故選：B.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的系數(shù)與其圖象的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握一次函數(shù)的

答案第1頁，共18頁

圖象與其系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6.B

【分析】本題主要考查了平行線的判定，由4=/2,即可得出福大街與平安大街互相平行,

即內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

【詳解】解：=

???福大街與平安大街互相平行，

判斷的依據(jù)是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行，

故選：B.

7.C

【分析】本題考查三角形的中位線的實際應(yīng)用，由題意，易得為“3C的中位線，根據(jù)

三角形的中位線定理，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：：點。，E,分別為NC,3c的中點，

DE為-3C的中位線，

二AB=2DE=36m；

故選：C.

8.D

【分析】本題主要考查了根據(jù)概率公式計算概率，分析可知6個益智玩具中有1個七巧板，

根據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】解：???一共6個盒子里面有6個益智玩具，6個益智玩具中有1個七巧板，

???從這6個盒子中隨機抽取1個盒子，抽中七巧板的概率是：

6

故選：D.

9.D

【分析】此題考查了根的判別式，根據(jù)根的情況確定參數(shù)上的取值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

一元二次方程中2+樂+。=0(°/0)根的判別式八=62一4碇，當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根

時，A>0；當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時，A=0；當(dāng)方程沒有實數(shù)根時，A<0.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程9x2-6x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，

AA=(-6)2-4X9XC=36-36C=0,

解得：c=l,

故選：D.

答案第2頁，共18頁

10.A

【分析】本題考查根據(jù)實際問題列二元一次方程組，根據(jù)999文錢買了周果和苦果共1000

個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7個苦果，列出方程組即可.

【詳解】解：設(shè)買了甜果x個，苦果y個，由題意，得：

x+y=1000

<114?

—-y=999，

[9x+V

故選A.

11.B

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì).根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，

可得/。=竺"鏟"=25。，再由三角形外角的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：:AB=4C,/A4c=130。，

.180°-ABAC

??(_/—―23,

2

DALAC,

：.ACAD=90°,

???ZADB=ZC+ZCAD=115。.

故選：B

12.C

【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可知8N=x(cm),

W=V3x(cm),結(jié)合菱形的性質(zhì)得/D8C=30。，過點M作MH，8c于點8,貝!j

那么y='/(cm2),設(shè)菱形/BCD的邊長為a,則=那么點"

和點N同時到達(dá)點。和點C,此時ABMN的面積達(dá)到最大值為4石，利用最大值即可求得

運動時間x,即可知菱形邊長.

【詳解】解：根據(jù)題意知，BN=x(cm),W=V3x(cm),

?.?四邊形/BCD為菱形，ZABC=60°,

ZDBC=30°,

過點M作MH,8c于點區(qū)連接/C交AD于點。，如圖，

答案第3頁，共18頁

貝l|Aff/=5〃xsinZMBH=事x(cm),

那么，ABAW的面積為〉=工&/*〃77=3^2(cm2),

24v>

設(shè)菱形/BCD的邊長為a,

：.BD=2BO=2xBCxcosZBOC=2xax—=s/3a，

2

點M和點N同時到達(dá)點D和點C,此時ABMN的面積達(dá)到最大值為4百，

：.￡』△，解得x=4,(負(fù)值舍去)，

4

BC=4.

故選：C.

13.(x-1)2

【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案.

【詳解】解：X2-2X+1=(x-1)2.

故答案為：(X-1)-.

【點睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵.

14.2

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，根據(jù)正方

形和等邊三角形的性質(zhì)，得到△4FE為含30度角的直角三角形，NE=ND=4,根據(jù)含30

度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：：四邊形48a)為正方形，V4DE為等邊三角形，EFLAB,AD=4,

ZFAD=90°,NEAD=60°,ZAFE=90°,AD=AE=4,

：.ZFAE=30°,

EF=-AE=2；

2

故答案為：2.

15.108

答案第4頁，共18頁

【分析】本題主要考查了求弧長.先求出點尸移動的距離，再根據(jù)弧長公式計算，即可求

解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：點尸移動的距離為3x2萬xl=6?cm,

.n°x7rxl0

??=\)7T,

180

解得：n=108.

故答案為：108

16.①②##②①

【分析】本題考查了平均數(shù)、方差的意義.解答本題的關(guān)鍵是掌握它們的定義：方差是用來

衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)

越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動

越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.根據(jù)方差、平均數(shù)的意義進(jìn)行判斷即可求出答案.

【詳解】解：根據(jù)圖象可知甲的波動比乙小，則甲的成績更加穩(wěn)定，故①正確；根據(jù)圖象可

知甲的平均成績穩(wěn)定在5以下，而乙的平均成績穩(wěn)定在7.5左右，則乙的平均成績更高，故

②正確；如果每人再射擊一次，但乙的成績不一定比甲高，只能是可能性較大，因為乙的平

均成績更高，但是波動較大，故③錯誤.

故答案為：①②.

17.V3

【分析】本題考查二次根式的運算，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，進(jìn)行乘法運算，再合并同

類二次根式即可.

【詳解】解:原式=36

=36-2g

=Vs.

18.-6<x<1

【分析】本題考查求不等式組的解集，先求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，

即可得出結(jié)果.

2x+6>x①

【詳解】解：1-3%?。有

--------<1—2]②

[2

由①，得：x>—6；

答案第5頁，共18頁

由②，得：X<1;

???不等式組的解集為：-6<x〈l.

2a8

19.——，-

a+\5

【分析】本題考查分式的化簡求值，先通分計算括號內(nèi)，將除法變乘法，進(jìn)行約分化簡后,

再代值計算即可.

【詳解】解：原式1+：+

a+1。+4

2（a+4）a

。+1。+4

_2a

4+1

當(dāng)0=4時，原式=號=±.

4+15

20.（l）y=—,y=x+l

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反例函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)以及一

次函數(shù)的解析式.一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，兩點之間的距離公式等知識，掌握反

比例函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式.

（2）由已知條件求出點C,點2,點。的坐標(biāo)，過點8作8￡〃x軸交一次函數(shù)v=x+l的

圖象交于點E,過點N作/尸，BE與點R利用兩點之間的距離公式分別求出AD,BE,AF

的值，最后根據(jù)S^ABD=S.DBE-S.EAB即可求出答案.

【詳解】（1）解：?.?反比例函數(shù)y=*>0）與一次函數(shù)>=小+1的圖象交于點/（2,3）,

k

.*.3=-,3=2加+1,

2

??k=6,TYI—1,

...反比例函數(shù)為：y=-,一次函數(shù)的解析式為：y=x+i.

X

（2）VOC=4,

.-.C（4,0）,

?.?BCLx軸于點C,交一次函數(shù)的圖象于點。,

答案第6頁，共18頁

???點8的橫坐標(biāo)為4.點。的橫坐標(biāo)為4.

.6341u

??加二廠5，%=4+1=5

[4,|)，以4,5)

：.B

37

:?BD=5——二—

22

過點2作8￡〃x軸交一次函數(shù)y=x+l的圖象交于點￡,過點/作/尸，BE與點尸,

3

??.AD_L6￡,點E的縱坐標(biāo)為工,

2

33

AF=3——=—,

22

33

把一代入歹=X+1,得一=x+l,

22

..人一,

2

:.點E14],

17

BE=4——=-

22

?V=Q-V

,?3ABD_3DBE3EAB

=-BDBE--AFBE

22

21.(1)證明見解析

⑵處

【分析】本題主要考查了矩形的判定以及性質(zhì)，三腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理等知

識，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出N/DC=90。，有平行線的性質(zhì)得出/ECD=90。，

答案第7頁，共18頁

結(jié)合已知條件可得出NEAD=90°,即可證明四邊形ADCE是矩形.

(2)由(1)可知四邊形/DCE是矩形.由矩形的性質(zhì)得出N￡=OC,CE=AD=3,

ZAEC=90°,由已知條件可得出。C=/E=LBC=2,由勾股定理求出/C,最后根據(jù)等面

2

積法可得出尸/C=L/E.C￡,即可求出E尸.

22

【詳解】(1)證明：：/8=/C，。是3C的中點，

二AD1BC,

N/DC=90。，

,?CE//AD,

ZECD=180°-ZADC=90°,

又,:AELAD,

：.NEAD=90°,

.??四邊形/DCE是矩形.

(2)由(1)可知四邊形/DCE是矩形.

:.AE=DC,CE=AD=3,ZAEC=90°,

是3C的中點，8c=4

DC=AE=-BC=2,

2

在A4DC中，ZADC=90°,

?*-AC=y]AD2+DC2=A/32+22=713，

EF1AC,

：.-EFAC=-AECE

22

即工￡下.舊=1、2義3,

22

?m6VH

??EF=-------.

13

22.⑴拋物線的表達(dá)式＞=V+gx

(2)水火箭距離地面的豎直高度5米

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，

(1)根據(jù)題意可設(shè)拋物線的表達(dá)式了="2+bx(a/0),結(jié)合體圖標(biāo)可知拋物線的頂點坐標(biāo)為

答案第8頁，共18頁

(15,9),代入求解即可;

(2)由題意知x=5,代入拋物線的表達(dá)式即可求得水火箭距離地面的豎直高度.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意可知拋物線過原點，設(shè)拋物線的表達(dá)式了="2+樂(。*0),

1

--=15a=---

，子，解得，25

由表格得拋物線的頂點坐標(biāo)為(15,9),則

士=9b=0

、4a5

則拋物線的表達(dá)式了=~x2+|x,

那么，水火箭距離地面的豎直高度5米.

23.(1)見詳解，(2)等邊對等角(等腰三角形的性質(zhì))；三角形內(nèi)角和定理；(3)見詳解

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及尺規(guī)作圖的作垂線，

(1)根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”延長CB至點D,且DB=CB,連接CA,AD即可知以點A為頂點的ND/C

為直角；

(2)根據(jù)作圖可知利用了等邊對等角，以及三角形內(nèi)角和定理；

(3)根據(jù)過定點作已知直線的垂線的方法作圖即可.

【詳解】解：［操作體驗］(1)

圖2

［推理論證］(2)依據(jù)1：等邊對等角(等腰三角形的性質(zhì))；依據(jù)2：三角形內(nèi)角和定理;

故答案為：等邊對等角(等腰三角形的性質(zhì))；三角形內(nèi)角和定理；

24.(1)4

答案第9頁，共18頁

⑵①③

⑶18

【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖的相關(guān)知識，個體占比，中位數(shù)定義，用樣本估計總體

等知識，掌握這些知識是解題的關(guān)鍵.

（1）用樣本總體減去良好成績的人生，合格成績的人數(shù)，待提高成績的人數(shù)即可得出答案.

（2）①用體育成績低于80分的人數(shù)8除以樣本總體20即可得出判斷.②用中位數(shù)的定義

判斷即可.③根據(jù)坐標(biāo)得出點N和點8各自的美育和體育的成績判斷即可.

（3）用樣本估計總體即可.

【詳解】（1）解：加=20-7-2-7=4,

故答案為：4.

（2）①根據(jù)20位學(xué)生的體育成績和美育成績得分統(tǒng)計圖可知：

體育成績低于80分的人數(shù)有8人，

體育成績低于80分的人數(shù)有占抽取人數(shù)的（8+20）x100%=40%,故①正確.

②???一共有20人，成績從小到大排序，中位數(shù)為第10位和第11位的平均數(shù)，

中位數(shù)位于80Mx<90之間,

即參與測評的20名學(xué)生美育成績的中位數(shù)對應(yīng)的等級是“良好”，故②錯誤.

③在信息三中，點N的美育成績?yōu)?0,體育成績?yōu)?0,點8的美育成績?yōu)?0,體育成績

為70,所以相比于點/所代表的學(xué)生，點2所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美

育水平還存在一定差距，需要進(jìn)一步提升，故③正確，

故有①③正確，

故答案為①③.

（3）根據(jù)信息三，可知：美育和體育成績都在90分以及以上的只有2人.

故七年級全體學(xué)生中體育和美育兩項成績均屬于“優(yōu)秀”等級的人數(shù)有180x點=18人.

25.EZ）的長為8.2cm

【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，先求解0208,OC,再求解OE,從而可

得答案；

【詳解】解：,/BD1OA,ZBOA=64°,3。=20.5cm；

答案第10頁，共18頁

BD20.5

0D==10,

tan64°Z05

OP士也。

OB=22.73

cos64°0.44

OB=OC=22.73，

?：ACOA=37°,CEVOA,

：.O￡=(9Ccos370-22.73x0.8-18.2,

：.DE=OE-OD=182-10=^.2；

：.ED的長為8.2cm；

26.⑴見解析

16

⑵了

【分析】(1)連接OD,易得NODB=NOBD,圓周角定理得到N/D8=NNC8=90。，進(jìn)而

得至1」/0。8+乙4。0=90。，證明RtA4D3段ARtA/CB,推出/ADE=/0D3,進(jìn)而得到

ZODE=90°,即可得證;

AF)1

(2)等角的三角函數(shù)相等，得至IJtanNNBO=tanNC8N=——=-,證明△EDXS^EB。，得

BD2

"DAEAD

到蕨=法=而進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：連接OD,貝I」：OD=OB,

：.ZODB=ZOBD,

???/5為。。的直徑，

；?NADB=NACB=90。，

：.NODB+NADO=90。,

AB=AB,BD=BC,

：.RtAADB為RMCB,

???ZABC=ZABD=ZODB,

答案第11頁，共18頁

*.*ZADE=ZCBA,

ZADE=ZODB,

：.ZADE+ZADO=90°,即：NODE=90。,

：.OD1DE,

???。。是。。的半徑，

???ED是。。的切線；

（2）,：OB=4,

：.45=205=8,

由（1）知：ZABD=/ABC,

AT）1

tanZABD=tanZCBA=——二—,

BD2

由（1）知：/EDA=/ABD,

又,:ADEA=ZDEB,

4EDAsAEBD,

.ED_AE_AD\

??瓦一法—訪―5'

DE=2AE,DE2=AEBE，

：.（2AE）2=AE\AE+AB）,即：4AE2=AE2+SAE,

Q

解得:4E=Q（舍去）或/E=§,

DE=2AE=—

3

【點睛】本題考查圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟

練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵.

27.（1）見詳解，（2）四邊形/用。為平行四邊形，（3）46

【分析】（1）根據(jù)等邊三角的性質(zhì)可得//=60。,N5=/C,再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

DM=AM,AAMD=120°,從而可得NOAe=N/=60。，證明也AAED（SAS）,即可

得證；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得//3C=45。，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

MA=MD,AMAD=AMDA=45°,ADMA=ZDMB=90°,從而可得/加4。=//8F=45。，由

平行線的判定可得/?！á?,證明AMWgAMaD（SAS）,可得/AMN=/MDB,利用等

答案第12頁，共18頁

量代換可得=尸，再由平行線的判定可得。3〃/F，根據(jù)平行四邊形的判定即

可得證；

(3)過點/作/A4G=45。，使4G=C3,連接GW、GC,BG,延長CS,過點G作GO_LC8

于點O,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證NG/M=/2CN=45。，證明AG/M也ABCN("S),可

得GM=BN,從而可得當(dāng)點G、M、C三點共線時，8N+CN的值最小，最小值為CG的

值，根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義可得/G5O=45。，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾

股定理求得OG=08=20,從而可得OC=6亞，再利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明；為等邊三角形，

ZA=60°,AB=AC,

繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到MD,

：.DM=AM,ZAMD=120°,

NDMB=60°,

AN=BM,NDMB=AA=60°,

AANM^MBD(SAS),

:.MN=DB；

(2)解：四邊形4FKD為平行四邊形，理由如下，

VAB=AC,/BAC=90°,

：.ZABC=45°,

M4繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到MD,

MA=MD,/MAD=/MDA=45°,/DMA=ZDMB=90°,

???ZMAD=ZABF=45°,

則AD//BF,

在AANM和AMBD中，

MA=DM

</MAN=/DMB,

AN=MB

：.^ANM^MBD{SAS),

ZAMN=ZMDB,

???AEVMN,

答案第13頁，共18頁

ZAMN+ZMAE=90°,

■:/MDB+/MBD=90。,

???ZDBM=ZMAF,

JDB//AF,

則四邊形/尸皿為平行四邊形；

(3)解：如圖，過點4作/A4G=45。，^AG=CB,連接GM、GC,BG,延長。5,過

點G作GOLC5于點O,

VAB=AC=4fABAC=90°,

：.ZABC=ZACB=45°,

：./GAM=/BCN=45°,

AN=BM,

：.AM=CN,

又,:AG=CB,

:?AGAMMABCN〈SAS),

：.GM=BN,

：.BN+CM=GM+CM>CG,

???當(dāng)點G